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1. NOÇÕES DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
Mesmo em se tratando de um trabalho com finalidade de auxiliar os estudantes nas técnicas 
de Estatística Experimental, torna-se necessário que certos conceitos básicos de Estatística 
Descritiva fiquem bem posicionados, pois eles são, de certa forma, fundamentais na área de 
Estatística Experimental, Inventário Florestal e Manejo Florestais. 
 
A Estatística, sendo uma parte da Matemática Aplicada encarregada em fazer interferências 
a partir de dados observados, ajuda diretamente os processos empregados em Inventário 
Florestal, porque neste ramo da Ciência Florestal, também chegamos a conclusões a partir 
de dados observados em campo. 
 
Esses dados sobre os quais tiram-se conclusões, procedem de dois modos: enumeração e 
mensuração. MEYER (1976). 
 
a) ENUMERAÇÃO. 
 
Este se caso limita a coletar dados dos atributos estudados, na base da ausência ou 
presença. Por exemplo: se fizéssemos um levantamento de plantas de Pinus spp portadores 
de fox tail (rabo de raposa), simplesmente enumeraria-se o número de plantas com esse tal 
defeito nas unidades amostrais. 
 
b) MENSURAÇÃO 
 
Nesta segunda parte, diretamente ligada à mensuração florestal, pelo fato de que as 
observações referem a intensidades de uma grandeza contínua. Por exemplo: altura, 
volume, DAP, fator de forma, etc. 
 
Vale a pena salientar que em qualquer dos dois casos, a coleta de dados deve ser a mais 
compreensível e rigorosa possível, pois uma coleta malfeita de um ou mais dados, pode 
modificar completamente as conclusões de um levantamento, acarretando sempre 
desvantagens para o técnico responsável por tal levantamento. 
 
Dois conceitos básicos da Estatística Descritiva também devem ser comentados: população 
e amostra. 
 
Em termos de conceituação, população é um conjunto de indivíduos de mesma natureza, 
mas que diferem quanto ao atributo, isto é, pode-se ter uma população de arvores, mas 
dentro desta população os indivíduos diferem em suas características. Por exemplo, altura, 
volume, etc. MEMÓRIA (1973). 
 
Em termos de amostragem, pode-se concluir que população ou universo é o conjunto global 
dentro do qual lança-se um conjunto parcial (unidades amostrais ou parcelas), onde os 
dados são coletados para se chegar a conclusões globais. Como exemplo, poder-se-ia 
considerar um povoamento volumétrico. Assim sendo, a população seria os 3.000ha de 
Eucalyptus spp. e a amostra seria composta por exemplo, de 20 unidades amostrais de 0,5 
ha cada, nas quais coletar-se iam os dados necessários, calcular-se ia qual o número mínimo 
2 
 
de unidades amostrais representativo daquele local, para assim chegar-se a conclusões 
sobre o volume da população a um determinado nível de probabilidades. 
 
Em termos gerais uma população pode ser considerada finita quando o numero de 
elementos da mesma é contável e infinita quando não se pode determinar o número de 
elementos que compõem a mesma. 
 
Mas, em termos de amostragem, uma população é considerada finita, quando os números 
de unidades amostrais (n) lançado dentro da população é igual ou superior a 5% do número 
total de unidades amostrais (n) cabíveis dentro da população. 
 
Ex: Considerada que em 100 ha uma determinada espécie florestal, fossem lançadas mais 
de 5 unidades amostrais da 1 ha cada, o numero total de unidades amostrais (N) cabíveis na 
população seria 100 e poderia-se ter lançado 8 unidades amostrais (n) dentro da população, 
tendo-se, pois, n >5%N, e se fossem lançadas a população seria finita. 
 
Já na população infinita o valor de n é inferior a 5% de N. Mesmo sendo um exemplo muito 
hipotético, poder-se-ia considerar cada árvore como uma unidade amostral na região 
amazônica, o que seria praticamente impossível calcular o N, ou no caso anterior fazer uma 
amostra de tamanho 4 (n<5%N). 
 
Sabe-se que as características de uma população são expressas através de certos valores, 
denominados de “parâmetros”.Como na prática, por motivos de tempo, custos, etc, se torna 
inviável medir característica desejada em todos os indivíduos componentes da população, 
no caso unidades amostrais, o que se faz é estimar tal característica em um certo número de 
amostras, sendo que as medidas que estimam tal característica são denominadas de 
“estatísticas”, que tanto podem ser medidas de posição ou de variação.Os parâmetros são 
representados por símbolos do alfabeto grego, enquanto que as estatísticas são 
representadas por símbolos do alfabeto latino. MEMÓRIA (1973). 
 
Os valores que forem coletados nas amostras sendo de população, são considerados como 
variáveis que podem ser “discretas” e “contínuas”. 
 
Uma variável é considerada discreta quando esta sempre é um número real absoluto. Ex: 
número de cones numa árvore de pinus, número de árvores numa parcela ou população, etc. 
 
Já a variável contínua pode assumir valores decimais. Ex: altura de uma árvore, DAP, 
volume, etc. 
 
Todos estes valores (dados) que foram coletados numa população ou amostra podem ser 
representados de três formas: tabelas, gráficos e forma aritmética (medidas de posição e 
dispersão) SPIEDEL (1968). 
 
As duas primeiras maneiras, apesar de suas importâncias, deixarão de ser consideradas no 
presente trabalho, pelo fato de em mensuração florestal, se trabalhar mais com medidas de 
dispersão, muito embora gráficos e tabelas ajudarem na representação dos dados. 
 
3 
 
 
I) MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Neste tipo de medida, calcula-se um valor central em torno do qual se acumulam os dados 
observados. Entretanto, em muitos casos, esse valor central não está bem definido e pode 
ser considerado de várias maneiras, cada uma das quais descrevem uma propriedade dos 
dados que podem ser razoavelmente chamadas de tendência central SILVA (?). 
 
As medidas de tendência central mais comumente empregadas são: Moda, Mediana e 
Média Aritmética. 
 
1) MODA: Em uma distribuição de dados, a moda representada por mod, é o valor da 
variável que corresponde à maior freqüência observada, isto é, o valor mais 
frequente, daí seu nome. 
Ex: O quadro a seguir se refere a diâmetros (cm) coletados em um determinado 
povoamento de Pinus spp na idade de 3 anos. 
 
Diâmetro (d) 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
Freqüência (f) 
3 
4 
6 
8 
10 
9 
5 
7 
 
Neste caso o d mod seria igual a 10, porque apresentou maior freqüência. Mas, se, por 
exemplo, o d =11 também tivesse f =10, essa distribuição de diâmetros seria bimodal, e 
assim sucessivamente. 
 
Um caso contrário pode também ocorrer se, por exemplo, fosse medida ou estimada a altura 
de 20 árvores e nenhuma altura se repetisse, teria-se, então, um caso em que mesmo com 20 
mensurações não se poderia definir uma moda. 
 
Segundo Burger (1976), a moda caracteriza uma maneira primitiva da distribuição normal 
dos diâmetros de plantios puros equiâneos; para florestas nativas ou florestas em regime de 
talhadia, a moda não é um valor característico, não servindo, pois para cálculos. 
 
2) MEDIANA: A mediana (M) é uma medida de posição central em torno da qual o 
número de dados com valores inferiores a ela é igual ao número de dados com 
valores superiores a ela. É afetada pelo número de itens e não pela grandeza dos 
valores extremos, o que pode ser uma vantagem, quando a distribuição dos dados 
não for normal, mas sim assimétrica.SPIEDEL (1948). 
 
Podem-se considerar 4 casos de emprego de mediana: 
 
4 
 
a) A variável em estudo é discreta ou contínua, e o número de dados 
observados (n) é ímpar. Neste caso a mediana será o valor da variável que 
ocupe a posição n + 1/2. 
Ex: Altura média (m) de árvores em 9 amostras de 10 árvores cada. 
 
AMOSTRA 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Alt. Média (m) (h) 
18,5 
16,0 
20,3 
22,0 
15,8 
14,0 
23,2 
17,1 
19,0 
 
Neste caso torna-se importante o agrupamento dos dados na ordem crescente. 
 
h (m) 
14,0 
15,8 
16,0 
17,1 
18,5 
19,0 
20,3 
22,0 
23,2 
 
Então, a mediana será o valor colocado na ordem 9+1=10=5, isto é, 18,5m.2 2 
 
b) A variável em estudo é discreta ou continua e o número de dados (n) é par. 
Neste caso a mediana será o valor compreendido entre os valores que 
ocupam as posições n/2 e n + 2. 
 2 
Ex: Adicionar ao caso 1, mais uma observação. 
 
h (m) 
14,0 
15,8 
16,0 
17,1 
18,5 
5 
 
19,0 
20,3 
22,0 
23,2 
24,0 
 
Assim sendo, tem-se: 
2
n
 = 
2
10
 = 5 e 
2
2n
 = 
2
210 
 = 6 
 
Será, pois, a mediana (hm), o valor médio das observações 5 e 6. 
 
hm = 
2
0,195,18 
= 
2
5,37
 = 18,75m 
 
c) Os valores dos dados estão agrupados por freqüência, podendo o número de 
observações (n) ser par ou ímpar (casos a e b). 
 
Ex: Considerar o mesmo exemplo com as freqüências que se seguem: 
 
h (m) F f ` 
 
14,0 
15,8 
16,0 
17,1 
18,5 
19,0 
20,3 
22,0 
23,2 
24,0 
 
 
1 
2 
4 
1 
6 
3 
2 
2 
2 
1 
 
1 
3 
7 
8 
14 
17 
19 
21 
23 
24 
TOTAL 24 137 
 
Neste caso como n é par, ter-se-á que encontrar os valores 
2
n
 e 
2
2n
 . 
 
Então: 
2
n
 = 
2
24
 = 12 e 
2
224 
 = 13 
 
A mediana será o valor médio das observações 12 e 13. Como até 17,1 temos 8 
observações e até 18,5 temos 14, as observações 12 e 13 estão contidas na h = 18,5 que será 
a mediana. 
 
6 
 
Aos valores dos dados estão agrupados por classes e por freqüências, podendo o número de 
observações (n) ser ímpar ou par. 
 
Ex: Os dados abaixo, referem-se à mensuração de diâmetros (cm), classificados em classes 
diamétricas com amplitude (a) de 2 cm. COCHAN (1977). 
 
di F f ´ 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
16 
18 
20 
22 
24 
2 
30 
204 
313 
339 
297 
171 
83 
45 
9 
1 
1 
2 
32 
236 
549 
888 
1185 
1356 
1439 
1484 
1493 
1494 
1495 
 1495 
 
 
O dm será calculado da seguinte maneira: 
 
2
1n
 = 
2
11495 
 = 748 
 
Então, o diâmetro mediano será considerado o da árvore na aposição 748, ocorrendo, pois, 
747 árvores com diâmetros menores a 747 com diâmetros maiores que a mediana. Assim 
sendo, até o diâmetro 8,99 tem-se 549 árvores e até 10,99 tem-se 888 árvores. Então, por 
interpolação, calcula-se o diâmetro da posição 748. 
 
dm = 8,9 + x 
 
Se em 2 cm de amplitude (10,9 – 8,9) existem 339 árvores (888 – 549). 
 
x cm de diâmetro corresponde a 199 árvores (748 – 549). 
 
 x = 2*
339
199
 = 1,17 cm 
 
Então, 
 
 dm = 8,9 + 1,17 = 10,07 cm. 
 
Falta mediana por classe 
7 
 
 
3) MÉDIA ARITMÉTICA: A média aritmética é igual a soma de todos os dados 
coletados, dividida pelo número total de dados coletados. 
É representada por x . 
 
Ex: Os dados abaixo referem-se a diâmetros (DAP) de 10 árvores coletadas ao acaso num 
povoamento de Eucalyptus spp. 
 
DAP (cm) 
13 
15 
19 
22 
23 
24 
28 
30 
32 
33 
239 
 
 
X = 
n
ix
n
i

1 = 
10
239
 = 23,9 cm 
 
Muito comum também são os casos em que os dados se repetem, isto é, são agrupados por 
freqüências. 
 
Nestes, o cálculo de X é feito da seguinte maneira: 
 
Variável (x i _) Freqüência (f i ) 
 
f i x i 
X1 
X2 
| 
| 
| 
Xn 
f 1 
f 2 
| 
| 
| 
f n 
f 1 x 1 
f2 x2 
| 
| 
| 
fn xn 
TOTAIS 


n
i 1
fi = n 

n
i 1
fi xi 
 
 
 
 
8 
 
Onde, 
 
X = 




n
i
n
i
if
xifi
1
1
*
 
 
Ex: Supor que no exemplo anterior os dados se repetissem da seguinte maneira: 
 
xi fi Fi * xi 
13 
15 
19 
22 
23 
24 
28 
30 
32 
33 
3 
4 
6 
8 
10 
10 
8 
5 
3 
2 
39 
60 
114 
176 
230 
240 
224 
150 
96 
66 
TOTAIS 59 1395 
 
Então, 
 
X =
59
1395
 = 23,6 cm. 
 
Podem ocorrer casos em que além de agrupados em freqüência, os dados podem estar 
agrupados em classes. 
 
Ex: Os dados abaixo se referem à mensuração de DAP (cm), agrupados em classes de 
amplitude de 3 cm. 
 
Classes F Xc d F*d 
3 – 6 
6 – 9 
9 –12 
12 –15 
15 –18 
18 – 21 
21 –24 
 
3 
6 
8 
12 
11 
7 
2 
4,5 
7,5 
10,5 
13,5 
16,5 
19,5 
22,5 
-3 
-2 
-1 
0 
+1 
+2 
+3 
 
-9 
-12 
-8 
0 
11 
14 
6 
TOTAIS 49 2 
 
 
9 
 
Onde: 
 
– = indica que a classe vai até um número inferior ao que vem depois do sinal; 
f = freqüência; 
Xc = valor central da classe; 
D = valores codificados, onde a classe mediana geralmente é considerada como sendo 
zero. No caso de número par de classes, a escolhida como zero será a de maior 
freqüência. 
 
Assim sendo X = a * X + X 
 
Onde: a = amplitude da classe (3 cm) 
 
X = 


f
fd
i 
 
Xo = valor central da classe considerada zero. 
 
Então: 
 
X c = 
49
2
= 0,04 
 
X = 3 * 0,04 + 13,5 = 13,62 cm. 
 
Duas propriedades da média aritmética devem ser consideradas, uma vez que elas ajudam 
no cálculo das medidas de variação. 
 
1) A soma algébrica dos desvios entre os valores de variável X e a sua média X é 
nula, isto é : 


n
i
X
1
( i - X ) = 0 
 


n
i 1
( Xi - X ) = 

n
i 1
Xi – n X 
 
 = 

n
i 1
Xi – n 
n
X
n
i
i
1 
 
 = 

n
i 1
Xi - 

n
i 1
Xi = 0 
10 
 
 
2) A soma dos quadrados dos desvios em relação a média da amostra é mínima. Então 
a melhor estimativa de tal média proveniente de uma amostra de população, é a 
própria média de amostra, pois sendo esta adotada como melhor estimativa do valor 
real, o número representativo desta é que torna a soma de quadrados dos desvios 
mínimo.PIMENTEL GOMES (1970). 
 
Então, 
 


n
i 1
( Xi - X ) 2 = mínima 
 = 

n
i 1
Xi2 – 2 X 

n
i 1
Xi + n X 2 
 = 

n
i 1
Xi2 – 2 * 
n
Xi
n
i

1 * 

n
i 1
Xi + n * 
n
Xi
in
i

1 
 = 

n
i 1
Xi2 – 2 * 
n
Xi
in
i

1 + 
n
Xi
in
i

1 
 = 

n
i 1
Xi2 - 
n
Xi
in
i

1 
 
Isto quer dizer que se for calculada a soma dos quadrados dos desvios das variáveis em 
relação a outro valor qualquer diferente da média da distribuição, o resultado final será 
sempre um valor superior ao encontrado em relação à média. 
 
Pode-se também, provar tal afirmação se forem considerados os desvios em relação a um 
valor qualquer (a). 
 
 

n
i 1
(Xi – a)2 = Z 
 
a
z


 = 2 

n
i 1
(Xi – a) ( -1 ) = 0 
 -2 

n
i 1
(Xi – a) = 0 
 

n
i 1
(Xi – a) = 
2
0

 
 

n
i 1
(Xi – a) = 0 
11 
 
 

n
i 1
Xi – na = 0 
 na = 

n
i 1
Xi 
 a = 
n
Xi
in
i

1 
 a = X 
Provando, pois, que o número que torna a soma de quadrados dos desvios mínimo, será 
sempre a média. 
 
4) OUTRAS MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Mesmo sendo a média aritmética a medida de posição mais comum e mais usada, nem 
sempre a mesma satisfaz a representação dos dados. Em alguns casos ela pode ser 
substituída pelas médias geométrica e harmônica. 
 
a) MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
 A média geométrica de n itens é MG = n XnXX *...*2*1 , sendo que quando 
há apenas dois itens X1 e X2 , a média geométrica é a raiz quadrada do seu produto, MG 
=
21 *
1
XX
. Ela pode ser calculada achando-se o anti-logaritmo da média aritmética dos 
logaritmos dos valores, log MG = 
n
1
 

j
i 1
log Xi , não podendo, portanto, ser determinada 
quando há valores nulos ou negativos(29). 
 
Este tipo de média é mais apropriado quando se deseja promediar quantidades que seguem 
uma progressão geométrica ou lei exponencial. 
 
Na parte de mensuração florestal esta média é utilizada em estudos de tabelas volumétricas, 
precisamente na parte de comparação de modelos volumétricos de naturezas distintas, 
através do Índice de Furnival. LOETCH HALLER (1964). 
 
Pode também ser utilizada em levantamentos populacionais da fauna, principalmente, entre 
dois levantamentos, quando se deseja conhecera população intermediária, pois a média 
geométrica é uma melhor estimativa que a média aritmética pelo fato da população não 
aumentar anualmente na mesma quantidade. 
 
b) MÉDIA HARMÔNICA 
 
A média harmônica (MH) de uma série de dados é o recíproco da média aritmética dos 
recíprocos (inversos) desses valores. 
12 
 
 
M H =


j
i x
n
1
1
(
 
Ex: Suponhamos que a produção de madeira em m3 de um povoamento de Eucalyptus spp 
no final de 3 rotações de 6 anos cada, sob regime de talhadia, tenha sido de 240 m3.Na 
primeira rotação a produção foi de 100 m3, na segunda 80 m3 e na terceira 60 m3. Qual seria 
a produção média deste hectare? 
 
Se tomássemos a média aritmética teríamos: 
 
X = 
3
6080100 
 = 80 m3/ha/rotação, o que não é uma resposta correta. 
Entretanto, empregando a média harmônica, obteremos o seguinte resultado: 
 
MG =
60
1
80
1
100
1
3

 92,76
039,0
3
 m3/ha/rotação 
 
A média harmônica é melhor que a média aritmética neste caso, pelo fato de que mesmo 
sendo constante o período de rotação silvicultural, as produções foram viáveis. 
 
II) MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Um conceito de importância básica na estatística é o termo variação, pois como se sabe, os 
métodos estatísticos podem ser denominados de estudo da variação. 
 
Se se considerarem que dois povoamentos florestais produziram em média, por exemplo, 
120 m3/ha/ nos mesmos períodos de rotação, poder-se-ia concluir que eles seriam 
semelhantes, caso fosse tomada somente uma medida de posição, no caso a média 
aritmética, o que certamente seria uma conclusão errônea, pois um dos povoamentos 
poderia ter produzido tal quantidade média de madeira sem muita variação, enquanto que o 
outro poderia ter produzido a mesma quantidade média de madeira com grandes variações. 
 
Assim sendo, agregando-se uma medida de posição a uma da variação, logicamente estar-
se-á dando uma maior exatidão às conclusões. 
 
As medidas de dispersão ou variação mais conhecidas são: amplitude, variância, desvio, 
erro padrão da média e coeficiente de variação e limite ou intervalo de confiança. 
 
a) AMPLITUDE 
A amplitude, representada por a, refere-se à diferença existente entre o maior e o menor 
valor dos dados coletados, sendo, pois, a mais simples medida de variação. 
 
13 
 
Se por exemplo, no caso anterior, onde os dois povoamentos produzirem uma média de 120 
m3/ha no mesmo período de rotação e se a esta medida de posição estivesse associada à 
amplitude, pelo menos já se teria uma idéia da variação ocorrida nos dois povoamentos, o 
que daria uma maior oportunidade de conhecer a heterogeneidade dos povoamentos. 
 
Entretanto, a amplitude não é uma medida satisfatória de variação, pelas seguintes razões: 
 
1a – No seu cálculo considera-se apenas os dois valores extremos, sem considerar a 
variação dos valores intermediários. 
2a – Seu valor tende a crescer com o aumento de observações, viciando a comparação das 
variações de dois grupos de diferentes tamanhos. 
 Mas, devido à facilidade de cálculos, o emprego da amplitude pode ser razoável para um 
pequeno número de observações. 
 
b) VARIÂNCIA 
 
A variância S2 é definida como sendo a média dos quadrados dos desvios, e não a média 
dos desvios, pois se sabe que a soma dos desvios é igual a zero. Então elevando-se os 
valores dos desvios ao quadrado pode-se calcular a variância, que é expressa por: 
 
 S2 = 
 
2
1
N
XX
n
i
i


 
 
Como na prática, a média verdadeira não é conhecida, mas sim estimada pela estatística X , 
há necessidade de se substituir o N na fórmula por N – 1 tendo-se, pois o princípio de grau 
de liberdade, tornando a fórmula em: 
 
 
S2 = 
 
2
1
1


N
XX
n
i
i
 
 
O princípio do grau de liberdade, baseia-se no fato de que não se conhecendo a média 
verdadeira  , e fazendo-se cálculo de S2 a partir de uma estimativa X , equivale 
exatamente à perda de uma observação. RAY (1978). 
 
Outra maneira de tentar explicar o principio do grau de liberdade é a seguinte: supondo-se 
que se vá sortear casualmente, sem reposição, 10 unidades amostrais em uma determinada 
área. No primeiro sorteio, a chance de qualquer unidade amostral ser sorteada é a mesma, 
pois tem-se 10 opções de escolha. Depois de sorteada a primeira, no segundo sorteio passa-
se a ter 9 opções e assim sucessivamente. Quando só restarem duas parcelas e uma delas for 
sorteada, na última já não se tem mais opção de escolha, sendo, pois o número de opções 
igual a 9, isto é, N – 1. 
 
14 
 
Outra maneira de conceituar graus de liberdade é a seguinte; considerando-se um grupo “n” 
de observações e fixando-se uma média para este grupo, existe a liberdade de escolher os 
valores numéricos de n observações; o valor da última observação estará fixado, atendendo 
ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. SILVA (?). 
 
Assim sendo, a fórmula de aplicação da variância é expressa da seguinte maneira: 
 
S2 = 
 
2
1
1
2
2
1
11 











 

N
N
X
X
N
XX
n
i
in
i
i
n
i
i
 
 
Ex: Supondo-se que nos dois povoamentos anteriores, onde as produções médias foram 120 
m3/ha no período de rotação, obteve-se os seguintes dados em cinco unidades amostrais 
para cada povoamento, sendo que cada unidade amostral ou parcela, possuía a área de 1 
hectare. 
 
No da Parcela m 3/ha no período de rotação 
 
 
 Povoamento I Povoamento II 
1 
2 
3 
4 
5 
100 
120 
120 
140 
120 
80 
90 
100 
130 
200 
TOTAL 600 600 
X 120 120 
 
As variâncias dos povoamentos I e II seriam: 
 
S 21 = 4
5
600
120...120100
2
222 
 = 
4
5
360000
72800 
 = 200 
 
S 22 = 4
5
600
200...9080
2
222 
 = 
4
5
360000
81400 
 = 2350 
O que prova que o povoamento I é muito mais homogêneo em termos de produção que o 
povoamento II. 
 
Outra maneira que também pode ocorrer para cálculo de variância é quando o número de 
dados vem agrupado por freqüência, isto é, um ou mais dados podem ocorrer uma ou mais 
vezes. 
15 
 
Exemplo. Considerar que no povoamento II do exemplo anterior as produções ocorram nas 
seguintes freqüências: 
 
Observações 
(X) 
f f *X f * X2 
80 
90 
100 
130 
200 
3 
4 
6 
5 
1 
240 
360 
600 
650 
200 
19200 
32400 
60000 
84500 
40000 
TOTAL 19 2050 236100 
 
Neste caso, a formula de variância é dada por: 
 
S2 = 
2
1
1
1
12
1*
*















n
i
n
i
n
i
n
i
f
f
fX
Xf
 
Então : S2 = 
  2
13
19
2050
236100
= 828,65 
c) DESVIO PADRÃO 
 
É uma medida de variação muito utilizada pelo fato de que permite a interpretação direta da 
variação dos dados, pois o mesmo é expresso nas mesmas unidades de medição (kg,m, cm, 
etc) que na tomada dos dados, além de permitir estimar a variação não controlada, isto é, 
ocorrida ao acaso. 
 
O desvio padrão (S) é expresso como sendo a raiz quadrada da variância. 
 
S = 2S 
 
 
Para dados sem repetição: 
S = 
2
1
12
1
1










N
N
X
X
n
i
n
i
i
 
 
Para dados agrupados em freqüência: 
16 
 
 
S = 
2
1
1
1
1
2
1
1
*
*
















n
i
n
i
n
i
in
i
f
f
Xf
Xf
 
 
Nos dois exemplos de variância obter-se-iam os seguintes desvios: 
 
Ex 1= S1 = 200 = 14,14 m3/ha 
S2 = 2350 = 48,47 m3/ha 
 
Ex 2 = = 65,828 = 28,78 m3/ha. 
 
Como em mensuração florestal é muito comum o dado, além de serem agrupados por 
freqüência, ainda são agrupados por classes diamétricas ou de alturas, convém demonstrar 
como se calcula o desvio padrão (S) para este caso. 
 
S = a * Sc 
 
Onde: S = desvio padrão 
 a = amplitude de classe 
 Sc = desvio padrão codificado 
 
Ex: Os dados que seguem, referem-se a medidas de alturas de árvores, em classes de 2 m . 
 
Classes f d fd fd2 
8 10 
10 12 
12 14 
14 16 
16 18 
18 20 
20 22 
10 
20 
21 
32 
22 
18 
13 
-3 
-2 
-1 
0 
+1 
+2 
+3 
-30 
-40 
-21 
0 
22 
36 
39 
90 
80 
21 
0 
22 
72 
117 
TOTAL136 6 402 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
O desvio padrão codificado é dado por: 
 
Sc = 
















n
i
n
i
n
i
n
i
f
f
df
df
1
1
1
12
1
*
*
 
Então: 
 
Sc = 
 
135
136
6
402
2

= 1,72 m. 
 
 Onde: 
 
S = a * Sc = 2*1,72 = 3,44 m. 
 
Para o cálculo de variância de dados agrupados por freqüência e classes, basta elevar o 
desvio padrão ao quadrado. 
 
Em casos em que se vão mensurar grandes amostras (n > 30), o desvio padrão é um 
indicador dos prováveis limites dentro dos quais se situam certas proporções das 
observações.Verifica-se que cerca de 68% das observações do grupo estará entre os limites 
de X  S; 95 % das observações entre X  2 S: e 99% das observações entre X  3 S. 
 
- DISTRIBUIÇÃO NORMAL DA VARIÁVEL X 
 
5) ERRO PADRÃO DA MÉDIA 
 
Se por exemplo se coletassem n amostras de j produções de madeira em m3/ha ,ter-se-ia 
diversas estimativas para a média e com elas poder-se-ia calcular um novo desvio padrão 
que seria o erro padrão da média(S X ), que dá uma idéia da precisão de estimativa para a 
média obtida ( X ). 
 
Tal erro padrão da média é expresso por: 
 
S X = 
n
S 2
 = 
n
S
 
 
Em dados agrupados por freqüência: 
 
18 
 
S X = 



n
i
n
i
f
S
f
S
11
2
 
 
Em dados agrupados por freqüência e classes: 
 
 
 
S X = 



n
i
n
i
f
Sca
f
S
11
2 *
 
 
6) COEFICIENTE DE VARIAÇÃO. 
 
O coeficiente de variação significa o desvio padrão expresso em porcentagem da média, 
sendo estimado da seguinte maneira: 
 
Se para X ocorre um desvio S 
Em 100 ocorrerá um C.V. 
 
Donde: 
 
CV = 100*
X
S
 
 
Como o coeficiente de variação é expresso por um número que independe das unidades 
usadas, pois o mesmo é adimensional, ele dá condições de se compararem variáveis de 
naturezas distintas.Por exemplo, desejando-se verificar se existe maior variação nos 
diâmetros ou alturas de um determinado povoamento, o coeficiente de variação seria a 
estatística que permite fazer tal comparação. 
 
O coeficiente de variação permite que se tenha idéia da distribuição dos dados, pois quanto 
mais baixo o coeficiente de variação, maior é a homogeneidade dos dados observados. 
 
Pimentel Gomes (1970), classifica os resultados de coeficientes de variação da seguinte 
maneira: 
 
 <10 % baixo 
10 a 20% médio 
20 a 30% alto 
 >30% muito alto. 
 
 
7) Limite ou Intervalo de Confiança 
19 
 
 
O limite de confiança L.C ou I.C, é de fundamental importância, pois as estimativas 
geralmente são expressas através da média, com uma probabilidade associada.Então, o 
limite ou intervalo de confiança descreve os limites dentro do qual um parâmetro da 
população é esperado ocorrer a um determinado nível de probabilidade. MACIEL (1974). 
 
O limite de confiança é representado por: 
 
 
Tα X ±tα s X 
 
Onde: 
 
X = média aritmética das observações 
t = valor tabelado a um nível de probabilidades 
s X = erro padrão da média. 
 
O princípio do limite de confiança parte da distribuição de t. 
 
P  







 1t
XS
X
t 
 
Onde  é o nível de probabilidade escolhido, e t um valor tabelado. 
 
Assim, tem-se: 
 
 t
XS
X
t 

 
 
-t XS*  X - XSt *  
- X - t XS* X  + t XS* 
 
Multiplicando por (-1) 
 
X + XSt * X  - t XS* 
 
Então: 
 
P     1*** XStXXStX 
 
O que indica que a média verdadeira da população deverá ocorrer no espaço X XSt * 
a um nível de probabilidade  . 
Então, o limite de confiança é representado por: 
20 
 
 
X XSt * 
 
ou X t * 
N
S
 
 
Exemplo: Considerando-se que foram estimadas alturas de 30 árvores e achou-se uma 
média aritmética X =18,5 m com um desvio padrão S = 1,6 m. Qual seria o limite de 
confiança para a média verdadeira  a nível de 1% de probabilidades? 
 X = 18,5 m 
 S = 1,6 m 
 N = 30 
 t (1% , 29 G. L) = 2,76. 
 
Então: 
 
18,5-2,76 * 
30
6,1
*76,25,18
30
6,1
 
 
18,5 - 0,8 8,05,18  
 
17,7m m3,19 
 
Indicando que  deve estar próximo de X = 18,5 , mas podendo variar de 17,7m a 19,3m 
a nível de 1% de probabilidades. 
 
Outros Conceitos Básicos. 
 
Quando se quer lançar resultados de um levantamento florestal, a parte final do trabalho é 
feita em termos de limite de confiança, X XSt * . 
 
Sabe-se que S X = 
n
S 2
 ; mas ,em termos de populações finitas , a relação entre o número 
de unidades amostrais lançadas e o número total de amostras cabíveis na população , no 
caso a fração de amostragens n/N, deve ser considerada (DRESS, 1959; FURNIVAL,1961; 
SILVA,1977). 
 
Assim sendo, o erro de amostragem se deve à parte que não foi incluída no inventário, ou 
seja, a fração 




 
N
n
1 .Medindo-se todas as unidades amostrais, esta fração seria zero, 
porque n = N (CAMPOS, 1974).Então este termo 




 
N
n
1 pode ser considerado como 
sendo um fator de correção(f) para populações finitas,sendo no caso n≥5% de N. 
21 
 
 
Quando se faz uma amostragem muito pequena, o valor de f tende para 1, sendo que 
quando multiplicado ao S X ,logicamente não altera os resultados,significantemente. 
 
Assim sendo, em populações finitas, o erro padrão da média deve ser multiplicado pelo 
fator de correção, resultando em: 
 
S X = 




 
N
n
n
S
f
n
S
1*
2
 
 
Se, por exemplo, se tomassem 10 unidades amostrais em 300, o valor de f seria: 
 
f = 97,0
300
10
1  ≈1 
 
Que quando multiplicado a S X , praticamente,não alteraria nada. Mas, se nessa população 
cujo N = 300, fossem tomadas 30 unidades amostrais, o resultado já seria um pouco 
modificado. 
 
Considere que neste segundo caso o erro padrão da média fosse 2,6 sem considerar o fator 
de correção. Considerando-se o mesmo, ter-se-ia: 
 
f = 9,0
300
30
1  
 
Então: 
 
S X c = 2,6 * 0,9 = 2,34 
 
Onde: 
 
S X c = erro padrão da média corrigido. 
 
Podem ocorrer casos em que o número de unidades amostra passa a ser difícil de se 
determinar, principalmente, quando se trabalha com unidades amostrais sorteadas com 
reposição, isto é, uma unidade amostral pode ser sorteada mais de uma vez. 
 
Mas, em Inventário Florestal, se faz amostragem sem reposição, o que dá condições de 
caracterizar, quando é ou não finita. 
 
2. TESTES DE HIPÓTESES E SIGNIFICÂNCIA. 
 
Tais testes são critérios objetivos que auxiliam o experimentador na tomada de decisões 
FREESE (16). 
 
22 
 
Na tomada de decisão, se faz necessário à formulação de hipóteses ou suposições sobre a 
população que esta sendo estudada. Tais hipóteses são formuladas com o objetivo de aceitá-
las ou rejeitá-las em função da suposta distribuição de probabilidades da população e da 
margem de erro (nível de significância) que se julgue aceitável. 
 
Então, duas hipóteses podem ser consideradas: 
 
H0 = hipótese de nulidade 
H1 = hipótese alternativa 
 
A hipótese de nulidade, ou hipótese básica da estatística experimental, é aquela que, “à 
priori’, se admite que não deve existir diferença significativa entre os tratamentos 
estudados, isto é, são semelhantes. Já a hipótese alternativa é aquela que admite que existe 
diferença significativa entre os tratamentos estudados”. 
 
Muitas vezes, ao se lançar uma hipótese para uma determinada população, pode-se obter 
resultados diferentes da hipótese proposta, não pelo fato de que H1 ou H0 tenha ocorrido, 
mas sim por causa de uma interpretação incorreta dos resultados, provenientes de uma 
coleta de dados errada, ou mesmo de erros de cálculo. Quando isto ocorre, estão sendo 
cometidos erros que são classificados como do tipo I ou  e tipo II ou  . 
 
O quadro que se segue, mostra em quais condições pode ocorrer tais erros. 
 
 Aceita H0 
ou 
Rejeita H1 
Rejeita H0 
ou 
Aceita H1 
H0verdade 
ou 
H1 falsa 
Decisão correta Erro I ou 
H0 falsa 
ou 
H1 verdade 
Erro II ou  . 
 
Decisão Correta 
 
 
Tais erros ocorrem a não se pode eliminá-los, completamente; mas, uma maneira de se 
reduzi-los é aumentar otamanho da amostra. 
 
- Nível de significância. 
 
Corresponde à probabilidade máxima de ocorrer um erro do tipo I ou  .Tal 
probabilidade( ) geralmente é menor que 0,1, sendo que quanto menor for  , maior é a 
probabilidade de se tomar uma decisão correta. 
 
- Testes unilaterais e bilaterais. 
 
Quando se obtém valores que podem ocorrer em ambos os extremos da curva de Gauss, e 
se quer comparar estes valores, o teste empregado será bilateral. No caso de se considerar 
23 
 
só um dos lados da referida curva, utiliza-se um teste unilateral. O emprego destes testes 
está ligado á hipótese alternativa adotada, que por sua vez é função da questão especifica a 
ser julgada. 
 
Considere-se o seguinte exemplo: Num povoamento de Eucalyptus spp, o incremento 
médio anual num período de 8 anos, foi de 20 m3 . Com base numa amostra de tamanho n, 
como decidir se a amostra pertence ou não à espécie considerada,a um nível  de 
significância? 
 
Considerando-se um nível de significância  = 0,05 , a representação gráfica da regra de 
decisão para este teste bilateral seria: 
 
Onde a área de – A até A, corresponde à região de aceitação de H0 e a área hachuriada é 
denominada de região crítica ou de rejeição. A soma das duas áreas extremas corresponde a 
0,05 que é o nível da significância do teste. 
 
Então, a H0 seria rejeitada se a estimativa da média (obtida a partir da amostra), fosse maior 
que A ou menor que –A. 
 
Supondo-se que tal espécie apresente um incremento médio anual superior a 20 m3, a 
hipótese ideal seria: 
 
H0 = 20 m3 versus H1 = m >20 m3 
 
Considerando-se  = 0,05 de significância, ter-se-ia: 
 
Onde, rejeitar-se-ia H0 se Am 
 
Poder-se-ia também supor que tal variedade possuísse um incremento médio anual menor 
que 20 m3. Considerando-se o mesmo nível de significância, ter-se-ia: 
 
Rejeitando-se H0 caso m < -A. 
 
- Teste de F e V 
 
Segundo PIMENTEL GOMES (1970), o teste básico para a análise da variância é o teste de 
Z, substituído atualmente pelos seus equivalentes F de Snadecor ou V de Brieger, sendo 
que ambos comparam variâncias ou desvios padrões. Se 221 SeS são as estimativas das 
variâncias a comparar,tem-se: 
 
F = FVonde
S
S
V
S
S
 ,, 1
2
2
1 
 
24 
 
Como 221 eSS são maiores ou iguais a zero, ter-se-á sempre F≥ 0 . Na maioria dos casos, 
22
1 SS  obtendo-se pois, valores tabelares maiores que 1, muito embora ocorram caos em 
que a situação se inverta, isto é , S2 > 21S . 
Em termos de análise da variância os valores de F e V são calculados respectivamente por: 
 
F = 
resíduoMQ
tratamentoMQ
V
resíduoMQ
tratamentoMQ
..
..
,
..
..
 
 
Como geralmente os valores de F são maiores que 1, na maioria dos casos o emprego do 
teste é unilateral, porque somente se avalia a probabilidade de se ter valores maiores ou 
iguais ao F obtido. Mas, às vezes, podem ocorrer casos em que não se pode prever qual o 
maior valor estimado, 221 ouSS . Então, nestes casos, deve-se empregar os testes bilaterais, 
que considera ambas as possibilidades, isto é: 
 
22
1 SS  → 12
2
1 
S
S
 ou 221 SS  → 12
2
1 
S
S
 
 
Nos quadros de analise da variância, geralmente ocorre que os quadrados médios de 
tratamentos são maiores que quadrados médios de resíduos, justificando-se o uso de testes 
unilaterais. 
Considere-se o exemplo seguinte: 
 
FV GL SQ QM F V 
Tratamentos 
 
Resíduo 
4 
 
20 
1980 
 
622 
495,0 
 
31,1 
15,91** 3,98** 
TOTAL 24 2602 
 
Os valores calculados de F ou V no quadro da analise da variância devem ser comparados 
com os valores de f ou V tabelados, que são calculados em função dos graus de liberdade 
de tratamentos (n1) e resíduo (n2). 
 
Quando o valor de F calculado for menor ou igual ao valor de F tabelado, há uma indicação 
de que não ocorrem diferenças significativas entre os tratamentos no nível de significância 
considerado. Neste caso, coloca-se um n.s. como expoente do valor de F calculado no 
quadro de análise da variância. 
 
Quando o valor de F calculado for maior que o valor de F tabelado considerando  = 0,05, 
em vez do n.s., coloca-se um asterisco (*) como expoente do valor de F calculado, 
indicando que pelo menos dois tratamentos devem diferir entre si. No caso de se considerar 
 = 0,01, coloca-se dois asteriscos (**) ao lado de F calculado, indicando que existe 
diferença altamente significativa entre pelo menos dois tratamentos a nível de 1% de 
probabilidades. 
 
25 
 
Para o exemplo considerado, os valores de F e V tabelados a níveis  = 0,05 e  = 0,01,são 
respectivamente: 
 
F0,01 = 4,43 
F0,0 5= 2,87 
F0,0 1= 2,10 
F0,05= 1,69 
 
Indicando que ocorre diferença altamente significativa a nível de 1% de probabilidades, 
pelo menos entre dois tratamentos. 
 
Supondo-se que Q.M. tratamento = 31,1 e Q.M resíduo = 495, 0, ter-se-ia: 
 
F = 062,0
0,495
1,31
 * 
Aconselhando-se o uso do teste bilateral para F < 1, onde os valores seriam: 
 
5% ..............0,117 
1% ..............0,050 
 
No caso de valores de F < 1, a interpretação da significância é o inverso da anterior, isto é, 
quando o valor de F calculado for menor que o F tabelado, ocorrem diferenças 
significativas entre os tratamentos, e vice-versa. 
 
Daí poder-se-ia concluir que ocorreria diferença significativa ao nível de 5% de 
probabilidades, mas não ocorrendo ao nível de 1%, pois neste caso a área de aceitação de 
H0 aumentaria, isto é, seria maior que a nível de 5% de probabilidades. 
 
São raros os casos em que se obtêm valores de F calculado menores que 1. Quando isto 
ocorre, geralmente é devido a erros de cálculos, ou o resíduo inclui alguma fonte de 
variação que foi controlada, mas não foi isolada da análise da variância. 
 
Quando em um quadro da análise da variância, ocorre um F significativo, indica que há 
necessidade de um teste de separação de médias, pois pelo menos duas delas devem diferir. 
 
Os testes de F ou V poderão ser considerados como testes de separação de médias, no caso 
de o experimento conter somente dois tratamentos. 
 
- Teste de t 
 
Teste usado na comparação de médias, ou contrastes de médias. 
 
Para a aplicação do teste de t, dois requisitos básicos devem ser obedecidos: 
 
a) Os contrastes devem ser estabelecidos antes de serem examinados os dados 
(estabelecidos à priori). 
26 
 
b) Os contrastes devem ser ortogonais, e no máximo devem existir tantos contrastes 
quantos forem os graus de liberdade para os tratamentos. 
 
Ex: Num experimento com 5 tratamentos, pode-se ter no máximo 4 contrastes ortogonais, 
porque o número de graus de liberdade de tratamentos é 4. 
 
Diz-se que um contraste é ortogonal quando as médias que nele ocorrem são iguais, isto é, 
m1 = m2 = m3 = m4 = m5. 
 
Então, num contraste ortogonal, a soma dos coeficientes das médias deve ser nulo. 
 
Y1 = m1 + m2 + m3 – m4 – 2 m5 
1 + 1+ 1 – 1 – 2 = 0 
 
Dois ou mais contrastes são ortogonais, quando o produto escalar 21 * é nulo. 
 
Y1 = m1 – m2 
Y2 = m1 + m2 - 2m3 
 
Então os coeficientes são: 
 
 
 
0011*
21;1
1;1
21
2
1






 
 
Neste caso, o contraste Y1 é ortogonal ao Y2. 
Generalizando: 
 
Y1 = a1 m1 + a2 m2 + ... + an mn 
Y2 = b1 m1 + b2 m2 + … + bn mn 
 
Então: 
 1  naaa ;...;; 21 
2  nbbb ;;...; 21 
 
1 *2 = 
n
nn
j
ba
j
ba
j
ba
 ...
2
22
1
11 
 
Quando o número de repetições for diferente por tratamentos deve-se ter: 
 
n
nn
j
ba
j
ba
j
ba
 ...*
2
22
1
11
21  
 
Ex: Verificar se os contrastes que se seguem são ortogonais: 
27 
 
Y1 = 3 m1 – 2 m2 – m3 
 
Y2 = m2 – 2 m3 + m4 
 
Sabendo-se que, m1 teve 3 repetições, m2 teve 4 repetições, m3 teve 4 repetições e m4 teve 5 
repetições. 
 
Então: 
00
4
2
4
2
0
5
1
:
4
2
:
4
1
:0
0:
4
1
:
4
2
:
3
3
21
2
1




 



 



 
 
O que indica que os contrastes são ortogonais. 
 
O termo ortogonalidade significa que a variação de um contraste é completamente 
independente de outro contraste que lhe seja ortogonal.Num experimento com 3 médias, pode-se obter dois contrastes ortogonais: 
 
Y1 = m1 – m2 
Y2 = m1 + m2 – 2 m3. 
 
Contrastes com outros coeficientes para as médias, também podem ser considerados: 
 
 
Y1 = m1 – m3 
Y2 = - m1 +2 m2 – m3. 
 
Os valores reais de m1, m2, m3, isto é, as médias verdadeiras não são conhecidas, mas sim 
estimadas por 321 ˆˆ,ˆ memm . 
O teste de t no estudo de contrastes é expresso por: 
 
t =  1
1
ˆ
0ˆ
YS
Y 
 
 
A fórmula do cálculo de S( 
1Y ) é expresso por: 
 
S    YVY ˆˆ1̂  
 
28 
 
Onde: 
 
 YV ˆˆ = 2
2
2
2
2
1
2
1 ... S
j
a
j
a
j
a
n
n






 
Sendo: 
ai = coeficientes das médias no contraste 
ji = número de repetições por tratamento 
S2 = variância dos dados observados. 
 
Ex: Considerando que as estimativas das médias de 3 tratamentos com o mesmo número de 
repetições (3) foram: 
 
0,24ˆ;1,22ˆ;0,28ˆ 321  mmm 
 
Admitindo-se que o desvio padrão foi 2,0, com 6 graus de liberdade, verificar se o contraste 
Ŷ 1 = 2 321 ˆˆˆ mmm  é significativo a nível de 5% de probabilidades: 
 
 Ŷ 1 = 2 321 ˆˆˆ mmm  
Ŷ 1 = 2,28 - 22,1 - 24 = 9,9 
 
Então: 
t = 
 2
222
0,2
3
1
3
1
3
2
09,9








 
 
t = *5,3
9,2
9,9
 
 
Este valor calculado é superior ao valor tabelado a nível de 5% de probabilidades que é de 
2,45. Então, diz-se que o contraste difere significantemente das médias do tratamento 2 e 3. 
No caso de só se querer comparar duas médias pelo teste de t, há duas situações a serem 
consideradas: 
 
a) Amostras não pareadas 
b) Amostras pareadas 
 
Diz-se que as amostras não são pareadas quando além da fonte e variação considerada, 
podem existir outras. 
Ex: Comparar duas espécies diferentes de Pinus spp, plantadas em locais distintos. 
 
Nota-se que além do parâmetro a ser estudado, que poderia ser volume, altura, etc. ainda 
pode existir outro tipo de variação proveniente da influencia do tipo de solo, uma vez que 
são distintos. 
29 
 
 
Já nas amostras pareadas, a única fonte de variação existente deve ser a estudada.No 
exemplo anterior, para que as amostras fossem pareadas, os dois tipos de solos deveriam ser 
semelhantes. 
 
Para amostras não pareadas, o teste de t é expresso por: 
 
t =  YS
YY
ˆ
ˆ 
 
 
Sabendo-se que se está comparando só duas médias, pode-se escrever tal expressão da 
seguinte maneira: 
 
t = 
   
 YS
mmmm
ˆ
ˆˆ 2121  
 
Foi visto que, Y = m1 - m2 = 0, tornando a formula em: 
 
t =  YS
mm
ˆ
ˆˆ 21  
 
Calculando-se S  Ŷ , tem-se: 
S  Ŷ =  YV ˆˆ 
 
Onde: 
 
   
     21
21
ˆˆˆ
ˆˆˆ
mVmVYV
mmVYV


 
 
Por que para variáveis independentes, a variância de uma diferença é igual à variância a 
soma FREESE (1960). 
 
Se m1 for calculada com j1 repetições de distribuição normal, N ( 222 ,m ), tem-se: 
 
V    21 ˆˆˆ mmVY  = 
2
2
2
1
2
1
jj

 
Como não se conhece a média verdadeira, os valores de 22
2
1  e são estimados por 
2
2
2
1 SeS 
tornando a expressão em: 
 
 YV ˆˆ = 






2
2
2
1
2
1
j
S
j
S
 
30 
 
Como a variância deve ser homogênea para toda a distribuição, 222
2
1 SSS  
 
Assim sendo, tem-se: 
 
  YV ˆˆ = 2
21
11
S
jj 






 
Então: 
 
    yVyS ˆˆˆ  
 
S  ŷ = 2
21
11
S
jj 






 
 
S  ŷ =S 
21
11
JJ
 
Onde: 
 
t = 
21
21
1
ˆˆ
jj
S
mm


 
 
O valor do desvio padrão associado (S) é calculado através da seguinte expressão: 
 
S = 
   
2
ˆˆ
21
1
22
2
1
11

 

jj
mXmX
n
i
n
i 
 
S = 
221
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1


















 



jj
j
X
X
j
X
X
n
i
n
i
n
i
n
i 
 
O valor -2 no denominador corresponde aos graus de liberdade, onde se perde uma 
observação em X1 e outra em X2. 
 
Ex: Em dois povoamentos florestais de Pinus spp, deseja-se saber se duas espécies distintas 
de tal gênero, diferem significantemente em termos de produção volumétrica aos 8 anos de 
idade, sabendo-se que os tipos de solos são diferentes para cada espécie. 
 
31 
 
Considerar um nível de significância 05,0 
 
 Espécie A (m3) Espécie B 
(m3) 
 160 
140 
180 
165 
150 
172 
184 
160 
165 
158 
142 
128 
133 
150 
143 
144 
139 
150 
120 
129 
TOTAIS 1634 1383 
 4,163X 138,3 
 
S = 
 
21010
10
1383
129...126142
10
1534
158...140160
2
222
2
222





















 
 
S = 
18
1,9704,1553 
 
 
S = 11,85 
 
t = 
21
21
1
ˆˆ
jj
S
mm


 em que: 
22
11
ˆ
ˆ
Xm
Xm


 
 
 
t = 
10
1
10
1
85,11
3,1384,163


 
 
t = **7,4
3,5
0,25
 
 
O valor de t tabelado com 05,0 e 10 graus de liberdade é igual a 2,1 e para 01,0 é 
2,55. Então, pode-se concluir que as duas espécies diferem entre si a nível de 1% de 
probabilidades. 
 
32 
 
Em casos em que m1 for menor que m2, para o resultado de t, considera-se o valor absoluto. 
 
No caso de amostras pareadas, o valor de t calculado provém da seguinte expressão: 
 
t = 
dS
d
 
 
Onde: d = diferença média entre os valores considerados 
 dS = erro padrão das diferenças médias. 
 
Neste caso, como as amostras são comparadas duas a duas, o número de repetições para os 
dois tratamentos deve ser igual. 
 
Ex: Considerando uma situação semelhante a anterior, onde as duas espécies distintas 
estavam plantadas num mesmo tipo de solo. 
 
Espécie A (m3) Espécie B (m3) (A – B) 
180 
128 
160 
142 
165 
150 
172 
174 
144 
139 
192 
144 
156 
142 
160 
149 
160 
174 
150 
120 
-12 
-16 
4 
0 
5 
1 
12 
0 
-6 
19 
 7 
 
7,0
10
71 


n
d
d
n
i
i
 
 
Sd2 = 
2
1
1
2
1
1









 

n
n
d
d
n
i
in
i 
 
Sd2 = 
       
110
10
7
19...1612
2
222


 
 
33 
 
Sd2 = 678,108
9
9,4983


 
Sd2 = 
n
Sd 2
 
S d = 
10
678,108
 
 
S d = 3,3 
 
t = 
3,3
7,0
 
t = 0,21n.s 
 
Como o valor calculado é inferior ao valor tabelado nos diversos níveis de significância, se 
aceita a hipótese de nulidade H0, aceitando a idéia de que m1 não difere de m2. Isto não quer 
dizer que sejam iguais, apenas não podemos afirmar que elas sejam diferentes. 
 
Vale a pena salientar que nas fórmulas de aplicação do teste, a variância sempre está 
posicionada no denominador. Então, quanto maior for a variação entre tratamentos, menor 
será o resultado final do valor de t calculado, onde aumenta a probabilidade de aceitar H0, 
quando na realidade haveria maior probabilidade de aceitar H1, incorrendo em um erro do 
tipo  ou II. A situação inversa também pode ocorrer FREESE (1970). 
 
Este fator constitui uma das limitações do uso do teste de t. 
 
- Teste de Tukey. 
 
Compara todo e qualquer contraste entre duas médias, sendo baseado na amplitude 
estudentizada (q). 
 
Tal teste é expresso por: 
∆ = q   yV ˆˆ
2
1
 
Em que: 
 
∆ = valor máximo em torno do qual se aceita H0, conhecido também como DMS (diferença 
mínima significativa). 
q  = amplitude total estudentizada, que é um valor tabelado, calculado em função do 
número de tratamento e graus de liberdade do resíduo: 
n1 = número de tratamentos a serem comparados e n2 = graus de liberdade do resíduo. 
 yV ˆˆ = estimativa da variância de um contraste. 
 
34 
 
Foi visto que para um diferente número de repetições para os tratamentos de um contraste 
qualquer, a estimativa de sua variância será: 
 
 yV ˆˆ = 2
21
11
S
jj 






 
 
Numa análise da variância, o valor de S2 é igual ao quadrado médio dos resíduos, sendo, 
portanto: 
 
  yV ˆˆ = 






21
11
jj
QMR 
 
Tornando a expressão de ∆ em: 
 
 
∆ = q  QMR
JJ 







22
11
2
1
 
 
No caso de o número de repetições ser o mesmo para todos os tratamentos, tem-se: 
 yV ˆˆ = QMR
jj 







11
 
 yV ˆˆ = QMRj
*
2
 
 
Tornando ∆ em: 
∆ = q  QMR
j
*
2
*
2
1
 
∆ = q 
j
QMR
 
Salienta-se que o teste de Tukey só deve ser aplicado quando o teste de F ou V for 
significativo, porque pelo menos deverá ocorrer diferença entre duas médias de 
tratamentos. 
Ocorrem casos, em que embora tenha ocorrido significância para F ou V, não ocorrem 
diferenças entre médias pelo teste de Tukey, ou vice-versa. Segundo PIMENTEL GOMES 
(1970), tais casos são de pouca importância prática, e se devem a diferentes hipóteses nas 
deduções teóricas. 
 
35 
 
Ex: Em um experimento de competição de 4 espécies de eucaliptos, em termos de 
crescimento até os 6 anos de idade, o quadro da análise da variância foi o seguinte: 
 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 
Resíduo 
3 
16 
12,95 
3,6 
4,32 
0,225 
19,19** 
TOTAL 19 16,55 
Considerando que cada tratamento teve 5 repetições e que as médias foram: 
mX
mX
mX
mX
D
C
B
A
6,13
0,13
6,12
4,11




 
 
Aplicar o teste de Tukey a nível de 1% de probabilidades. 
 
Então: 
∆ = q
j
QMR
 
O valor de q com 4 tratamentos e 16 graus de liberdade para o resíduo é igual a 5,19. 
 
∆ = 5,19 10,1
5
225,0
 
Assim sendo, qualquer diferença entre duas médias que seja superior ao valor 1,10, indica 
que os tratamentos diferem ao nível de 1% de probabilidades pelo teste de Tukey. 
 
A comparação entre as médias pode ser feita de três maneiras, sendo que em qualquer uma 
delas há necessidade de se organizar as médias na ordem crescente ou decrescente. 
 
a) Os tratamentos cujas diferenças entre médias forem inferiores ao valor de ∆, serão 
unidos por uma mesma letra. 
 
 
bX
aX
aX
aX
A
B
C
D
4,11
6,12
0,13
6,13




 
b) Unir por barras os tratamentos que não diferem entre si. 
36 
 
 
4,11
6,12
0,13
6,13




A
B
C
D
X
X
X
X
 
 
c) Na linha horizontal coloca-se os valores das médias em ordem decrescente, 
excetuando-se a menor delas.Na coluna, coloca-se valores das médias em ordem 
crescente, eliminando-se também a média de maior valor, e calculam-se as 
diferenças. 
 
 6,13DX 0,13CX 6,12BX 
0,13
6,12
4,11



C
B
A
X
X
X
 
2,2** 
 
1,0n*s 
0,6n*s 
1,6** 
 
0,4n*s 
1,2** 
 
- Interceptação. 
 
Nos casos 1 e 2, intercepta-se da seguinte maneira: médias unidas pela mesma letra ou 
barra não diferem entre si, pelo teste de Tukey a nível de 1% de probabilidades. 
 
No caso 3, as médias BCD XeXX , diferem significantemente da média AX ,sendo que 
não ocorre diferença significativa entre elas, pelo teste de Tukey a nível de 1% de 
probabilidades. 
 
Podem ocorrer casos em que o número de repetições não é o mesmo para todos os 
tratamentos. Considerando que no exemplo anterior o tratamento D tivesse apenas 4 
repetições, o quadro da analise da variância seria o seguinte: 
 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 
Resíduo 
3 
15 
12,95 
3,60 
4,32 
0,24 
18** 
TOTAL 18 16,55 
 
Neste caso, o valor de q com 4 tratamentos e 15 graus de liberdade para o resíduo a nível de 
1% de probabilidades é 5,25. 
 
Então, nesta situação há necessidade de se calcular dois valores de ∆, um para comparar 
tratamentos com 5 repetições e outro para comparar tratamentos com 5 repetições versus o 
tratamento de 4 repetições. 
 
37 
 
∆1= 5,25 15,1
5
24,0
 
 
∆2 = 5,25 22,124,0
5
1
4
1
2
1





  
 
A comparação pode ser feita por qualquer uma das três maneiras anteriores, sendo que para 
tratamentos com o mesmo número de repetições deve-se usar o valor de 1,15 e para 
tratamentos com diferentes números de repetições usa-se 1,22. 
 
Considerando-se a terceira maneira tem-se: 
 
 6,13DX 0,13CX 6,12BX 
0,13
6,12
4,11



C
B
A
X
X
X
 
2,2** 
 
1,0n*s 
0,6n*s 
1,6** 
 
0,4n*s 
1,2** 
 
Nota-se que não houve modificações em termos de significância, o que não alterou a 
interpretação dos resultados; mas como se pode notar, os valores de ∆ foram diferentes do 
caso anterior o que poderia proporcionar modificações nas comparações das médias. Tal 
fato, provavelmente não ocorreu porque os valores das medias estão muito próximos uns 
dos outros. 
 
- Teste de Duncan. 
 
STEEL (1960), cita que este teste foi desenvolvido por Duncan em 1951, e permite 
comparar médias de cada tratamento, levando em consideração as médias dos outros 
tratamentos. 
 
É um teste de aplicação mais trabalhosa que o de Tukey, principalmente quando o número 
de tratamentos é elevado, mas pode identificar diferenças entre tratamentos com maior 
facilidade que o teste de Tukey, isto é, em casos em que o teste de Tukey indica que deve 
ser aceita H0, o teste de Duncan pode indicar que deve ser aceita H1. 
 
Tal diferença deste teste em ralação ao teste de Tukey, pode ser explicada pelo fato e que o 
teste de Duncan considera o numero de medias envolvidas no contraste, isto é, se no 
exemplo anterior quando se comparou BD XcomX , considerou-se unicamente estas duas 
médias, pelo teste de Duncan ter-se-ia que considerar três medias envolvidas no contraste, 
pois a media CX ocorre entre as duas consideradas. No exemplo em que se considerou o 
nível de 99% de probabilidades (0,99), pelo teste de Duncan, para as três medias,tal 
probabilidade seria(0,99)2 =0,98;e envolvendo quatro medias seria (0,99)3 = 0,97;e assim 
sucessivamente.Então para n medias, a probabilidade será (nível de significância =   1n . 
38 
 
Entretanto.o teste de Duncan por ser menos rigoroso que o de Tukey,leva mais facilmente o 
pesquisador à conclusões errôneas RAY (1978). 
 
A formula de aplicação de tal teste é expressa por: 
 
D = z  yV ˆˆ
2
1 
 
Em que: 
 
D = valor em torno do qual qualquer diferença superior a ele, deve ser aceito como 
significativa a um nível de probabilidades  , também conhecido como DMS (diferença 
mínima significativa). 
z = valor tabelado em função do número de medias envolvidas no contraste e graus de 
liberdade do resíduo. 
 
Quando o número de repetições for o mesmo para todos os tratamentos, o teste de Duncan é 
expresso por: 
 
D = z
j
QMR 
 
Quando ocorre tratamentos com números de repetições diferentes, considera-se como: 
 
D = z QMR
jj 







21
11
2
1 
A interpretação dos resultados é semelhante às consideradas no teste de Tukey. 
 
Considerando-se o mesmo exemplo, aplicado no teste de Tukey; ter-se-ia os seguintes 
resultados quando o número de repetições fosse igual em todos os tratamentos: 
 
FV GL SQ QM F 
Tratamento 
Resíduo 
3 
16 
12,95 
3,60 
4,32 19,19** 
TOTAL 19 16,55 
 
Para comparar contrastes a nível de 99% de probabilidades envolvendo duas médias, isto é, 
comparar X C - X B e X B - X A , tem-se o seguinte valor: 
 
D1 =4,13 88,0
5
25,0
 
 
Para contrastes envolvendo três médias, isto é, X D - X B e X C - X A , tem-se: 
39 
 
 
D2 = 4,34 92,0
5
225,0
 
 
Para o contrastes envolvendo quatro médias, X D - X A,tem-se: 
 
D3 = 4,45 94,0
5
225,0
 
Assim sendo, tem-se: 
 
 X D = 13,6 X C = 
13,0 
X B = 12,6 
X A = 11,4 
X B = 12,6 
X C = 13,0 
2,2** 
1,0** 
0,6n.s. 
1,6** 
0,4n.s 
1,2** 
 
Note-se que pelo teste de Duncan, as médias dos tratamentos X D e X B diferem 
significantemente, o que não ocorreu pelo teste de Tukey. 
 
A interpretação dos resultados é semelhante ao teste de Tukey. 
 
Considerando-se o exemplo em que o tratamento X D só possuía 4 repetições, tem-se: 
 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 
Resíduo 
3 
15 
12,95 
3,60 
4,32 
0,24 
18** 
TOTAL 18 16,55 
 
O valor de D ao nível de 01% de probabilidades para contrastes entre duas médias é: 
 
D1 = 4,14 91,0
5
24,0
 
Este valor serve para comparar X C - X B e X B - X A, porque os tratamentos possuem 
cinco repetições cada. Já para comparar X D - X C, onde X D provêm de quatro repetições, 
tem-se: 
 
D2 = 4,17 97,024,0
5
1
4
1
2
1





  
 
Para os contrastes envolvendo três médias, tem-se: 
 
40 
 
D3 = 4,37
5
24,0
= 0,96 
Valor este que serve para compararX C - X A. 
 
Para comparar, X D - X B , tem-se: 
 
D4 = 4,37 02,124,0
5
1
4
1
2
1





  
 
Para contraste envolvendo quatro médias, X D - X A ,tem-se: 
 
 D5 = 4,50 05,124,0
5
1
4
1
2
1





  
 
Então, 
 
 X D = 13,6 X C = 13,0 6,12BX 
X A = 11,4 
X B = 12,6 
X C = 13,0 
2,2** 
1,0n.s. 
0,6n.s. 
1,6** 
0,4n.s 
1,2** 
 
Cuja interpretação é feita semelhantemente às maneiras anteriores 
 
- Teste de Scheffé. 
 
Teste mais rigoroso que os de Tukey e Duncan, e serve para comparar contrastes entre duas 
ou mais médios, sendo mais indicado para contrastes com mais de duas médias. Tal teste só 
deve ser aplicado quando o teste de F ou V for significativo. 
 
Às vezes, ocorrem casos em que mesmo sendo o F significativo, nem o teste de Tukey ou o 
de Duncan, identificam qualquer contraste significativo entre duas médias, o que não quer 
dizer que não ocorre nenhum contraste significativo, pois se aplicando o teste de Scheffé, 
provavelmente aparecerá um ou mais contrastes significativos, envolvendo mais de duas 
médias. 
 
O valor S obtido no teste de Scheffé é expresso por: 
 
S =    yVFI ˆˆ**1  
 
Em que: I = número de tratamentos. 
F valor tabelar a um nível  de probabilidades. 
 yV ˆˆ = estimativa da variância do contraste. 
41 
 
 
Considerando uma função linear: 
 
       
 
n
n
n
nn
nn
j
a
j
a
j
ayV
maVmaVmaVyV
mamamay
2
2
2
2
22
2
1
2
12
1
2211
2211
...ˆ
ˆ...ˆˆˆ
.ˆ...ˆˆˆ




 
 
Sendo: 2222
2
1   n 
 
Tem-se: 
 
   22221 ...ˆ naaaj
QMR
yV  
 
Onde: 
ai = coeficiente da média no contraste. 
 
Assim sendo, tem-se: 
 
S =    
j
QMR
aaaFI n
22
2
2
1 ...*1  
 
 Ou 
 
S =   QMR
j
a
j
a
j
a
FI
n
n







2
2
2
2
1
2
1 ...*1 
 
No exemplo anterior, verificar se o contraste ABC mmmy ˆˆˆ2ˆ  é significativo pelo teste 
de Scheffé a nível de 1% de probabilidades. 
 
Então: 
 
4,116,1213*2ˆ y 
 
..
0,22426ˆ
sn
y  
S =       
5
225,0
*11229,5*14 222  
 
S = 2,07 
 
42 
 
Como o valor de S = 2,07 foi superior ao valor do contraste ŷ , indica que não há razão para 
admitir H1 para tal contraste, que é não significativo; isto é, aceita-se H0. 
 
Considerando o contraste ABCD mmmmy ˆˆˆˆ3ˆ  onde o tratamento D teve 4 
repetições,tem-se: 
 
Ŷ= 3*13,6 - 13,0 - 12,6 -11,4 
 
Ŷ= 3,8** 
 
O valor de S será: 
 
S =         24,0*
5
1
5
1
5
1
4
3
42,5*14
2222





 




 
 
S = 3,33 
 
Como o valor de Ŷ=3,8 foi superior ao de S = 3,33, aceita-se H1, admitindo que no 
contraste a média do tratamento D difere das médias dos tratamentos C, B e A. 
 
- Teste de 2X (qui quadrado). 
 
Segundo OLIVEIRA (1970), a distribuição de 2X foi estabelecida pelo físico alemão 
F.R.Helmet em 1876, e reexaminada pelo estatístico inglês Karl Pearson. A partir desta 
distribuição surgiu o teste de 2X , que é um teste de ajustamento estatístico,que permite 
estudar o problema da compatibilidade entre dados observados e esperados (teoricamente). 
 
A fórmula que expressa o teste de 2X é a que se segue: 
 
2X = 
 

n
i i
ii
fe
fefo
1
2
 
 
Em que: 
esperadafrequênciafe
obtidafrequênciafo
i
ie


 
 
O resultado do teste de 2X é sempre positivo, e será tanto menor quanto maior for o acordo 
entre as freqüências obtidas e as calculadas teoricamente (esperadas). 
 
O valor de 2X obtido é comparado com um valor de 2X tabelado a um determinado nível 
de probabilidades  , sendo que quando 22 tO XX  , aceita-se H0 ,e quando 
22
to XX  ,aceita-
se H1. 
 
43 
 
Ao se aplicar o teste de 2X , deve-se ter pelo menos cinco observações esperadas, sendo 
que o ideal é que contenha pelo menos 10. Assim sendo, quando o número de observações 
é muito reduzido, torna-se difícil o emprego tabelar de tábuas de qui-quadrado, devendo-se 
então, não utiliza-las. 
 
O valor tabelado de qui-quadrado é obtido em função dos graus de liberdade de tratamentos 
com um nível de probabilidades  . 
 
Ex: Em um hectare de eucaliptos plantados no espaçamento 2m x 3m, foi aplicado m 
fungicida X para verificar a resistência proporcionada às plantas por tal fungicida. Em outro 
hectare, no mesmo espaçamento, tal fungicida não foi aplicado. Depois do período de 
desenvolvimento da doença, foram contadas as plantas atacadas nos dois locais, e os 
resultados foram: 
 
Local tratado = 560 plantas atacadas 
Local não tratado = 1104 plantas atacadas 
 
Como nos dois hectares haviam 3332 plantas, ocorrendo um total de 1664 plantas atacadas, 
era de se esperar caso não houvesse usado o tratamento, que ocorressem 832 plantas 
atacadas em cada hectare. 
 
Desta forma, tem-se: 
 
2X = 
    **22 84,177
832
8321104
832
832560




 
O valor de qui-quadrado com 1 grau de liberdade para tratamento a nível de 1% de 
probabilidades é 6,635, indicando que o grau de ataque depende do fungicida aplicado. 
 
Ocorrem casos também, em que se estuda ao mesmo tempo mais de 2 fatores. 
 
Ex: Em 1500 estacas, foram aplicados 3 tipos de cupinicidas para verificar a eficiência dos 
mesmos no decorrer de 2 anos. Cada tipo de cupinicidas foi aplicado em 500 estacas, sendo 
que depois de 2 anos foi feita a contagem das estacas e não atacadas, obtendo-se os 
seguintes resultados: 
 
CUPINICIDAS/ 
OCORRÊNCIAS 
A B C TOTAL 
ATACADAS 193 148 210 551 
NÃO ATACADAS 307 352 290 949 
TOTAL 500 500 500 1500 
 
Então, há necessidade de se calcular as frequências esperadas para os cupinicidas A, B e C. 
Tal cálculo é feito da seguinte maneira: 
 
Em 1500 estacas houve 500 tratadas com A 
Em 551 estacas atacadas haverá feA. 
44 
 
 
feA = 66,183
1500
551*500
 
 
Então,183,66 estacas atacadas são das tratadas com o cupinicida A. 
 
Prosseguindo: 
 
Em 1500 estacas houve 500 tratadas com A 
Em 949 estacas não atacadas haverá feA. 
 
feA = 33,316
1500
949*500
 
 
As frequências esperadas para os cupinicidas B e C iguais ao resultado de A porque todos 
os tratamentos foram aplicados em 500 estacas. 
 
O quadro anterior torna-se em: 
 
CUPINICIDAS/ 
OCORRÊNCIAS 
A B C TOTAL 
ATACADAS 193(183,66) 148(183,66) 210(183,66) 551 
NÃO ATACADAS 307(316,33) 352(316,33) 290(316,33) 949 
TOTAL 500 500 500 1500 
 
Tem-se então: 
 
2X = 
       
   
33,316
33,316290
66,183
66,183210
33,316
33,316352
66,183
66,183148
33,316
33,316307
66,183
66,183193
22
2222











 
 
2X = 17,66** 
 
O valor tabelado de qui-quadrado com 2 graus de liberdade a nível de 1% de probabilidades 
é igual a 9,21, indicando que o grau de ataque depende da aplicação ou não de cupinicida. 
 
Quando ocorrem mais de 2 tratamentos o emprego do qui-quadrado é denominado de tabela 
de contingência. 
 
FREESE (1970), propôs uma modificação no teste de qui-quadrado, que permite verificar a 
aplicação de uma tabela volumétrica de um local em outro local. 
 
Tal procedimento consiste em se trabalha com a equação selecionada em um local e 
empregar em dados reais de outro local, sendo que, através das diferenças ocorridas, se 
45 
 
calcula um valor de qui-quadrado que se for maior que o tabelado, indicará que não será 
possível aplicar tal equação naquele local. Em caso contrário, aceita-se H0, isto é, a tabela 
de volume de um local pode ser aplicada no outro local ao nível de probabilidades adotado. 
 
Partindo-se de: 
 
2X = 
 
2
1
2




n
i
iiX
 
 
Onde: Xi = valor da observação estimulada pela equação selecionada no outro local; 
i = valor real da observação do local em que se está testando a equação; 
2 = variância hipotética. 
 
Tal variância hipotética 2 é expressa por: 
 
   2
2
2
2
2
2
575,296,1
E
ou
E
  
 
Onde: E = número de unidades em que o valor verdadeiro deverá ocorrer a um determinado 
nível de probabilidades; 
1,66 e 2,575 = valores dos desvios padrões correspondentes a 5% de probabilidades. 
 
Ovalor de E é calculado por: 
Ei = 
100
iQ 
 
Em que: 
Q = erro adotado em percentagem. 
Assim sendo, a variância hipotética torna-se em: 
2
22
2
2
2
96,196,1
iQE   
 
A fórmula de qui-quadrado torna-se em: 
 
X2 =
 
 






 N
I i
ii
Q
X
1
22
22196


 
 
Considerando-se os desvios di =  iiX  tem-se: 
 









n
i i
id
Q
X
1
2
2
2
2 *
196

 
46 
 
 
Ou 
 









n
i i
id
Q
X
1
2
2
2
2 5,257

 
 
Também se pode estimar com que percentagem de erro uma equação de um local está 
estimando os valores de outro local, através de: 
 
 
 













n
i
n
i i
i
i
i d
X
Qou
d
X
Q
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2 5,257196

 
 
Ex: Em um estudo comparativo entre a fórmula de Smalian e a fórmula reduzida para 
cálculo do volume, foram cubados rigorosamente por ambos os métodos, 100 árvores de 
várias espécies de eucaliptos, sendo que o volume real foi considerado o proveniente da 
fórmula de Smalian e as estimativas foram provenientes da fórmula reduzida. (SILVA) 
 
Feita a cubagem das 100 árvores, os resultados foram os seguintes: 
 
Volume real das 100 árvores calculado por: 
 
















  3
...
24000
2
2
1
2
3
2
2
2
1
22
0 hDDDDD
DD
V nn
n 



100
1I
iTOTAL VV 
 
TOTALV = 20,012704m
3 
 
Volume total estimado por: 
 
 hpDDAPV n2280000 

 
 



n
i
iTOTAL VV
1
 
 
778048,19totalV 
 
Em que: 
 
V = volume da árvore 
Di = diâmetros medidos em cm 
47 
 
h = comprimento da última secção 
hp = distancia (m) entre o DAP e o Dn 
 
Desta forma, obteve-se todos os dados necessários para a aplicação do teste de qui-
quadrado. 
 







 100
1
2
3982931,1
i r
er
V
VV
 
 
Q= 5% 
 
Então: 2X = **
2
2
67,21483982931,1*
5
196
 
 
Este valor obtido foi comparado com o valor tabelado 124,3, o que indicou que a aceitação 
de H1 a nível de 5% de probabilidades, isto é, as duas fórmulas não são consideradas 
semelhantes no cálculo de volume pelo teste de 2X . 
 
Como houve diferença significativa entre os métodos, aplicou-se o teste de 2X com o valor 
tabelado, de maneira tal que se calculou a percentagem de erro que a nova fórmula difere 
do padrão, no caso a fórmula de Smalian. 
Então: 
 
%79,203982931,1*
3,124
19622 Q 
 
Significando que a nova fórmula está estimando os dados reais, no caso, calculados pela 
fórmula de Smalian, com uma diferença de 20,79%. Este teste é tido como muito rigoroso, 
pois no caso considerado aplicando o teste de t para amostras pareadas a nível de 15 de 
probabilidades, obtém-se: t = 0,663557n.s. indicando que as fórmulas são semelhantes. 
 
- Interpolações harmônica e linear. 
 
Nas tabelas de t F, v, q e z, muitas vezes se procura um determinado valor, mas o número 
de graus de liberdade que se tem não consta na tabela, sendo necessário interpolações para 
se encontrar o valor procurado. 
 
Na interpolação harmônica, que é a mais utilizada, se empregam as recíprocas dos números 
de graus de liberdade para armar a regra de três. 
 
Ex: Qual será o valor de F a nível de 1% de probabilidades, quando se tem 4 graus de 
liberdade para tratamento e 35 graus de liberdade para o resíduo? 
 
Para 30 graus de liberdade, tem-se 2,69. 
Para 40 graus de liberdade, tem-se 2,61. 
48 
 
 
Tendo-se então: 
 
046,0
210
08,0*120
120
1
08,0*210
1
210
1
35
1
30
1
08,061,269,2
120
1
40
1
30
1



X
X 
 
O valor procurado será: 
2,69-0,046 = 2,644. 
 
Considerando-se tal valor por uma interpolação linear ter-se-ia: 
 
Para 30 graus de liberdade, tem-se 2,69. 
Para 40 graus de liberdade, tem-se 2,61. 
 
Tendo-se então: 
 
Se em 10 (40 – 30) tem-se um a diferença de0, 08. 
Em 5 ter-se-á X. 
 
04,0
10
08,0*5
X 
 
O valor procurado será: 
 
2,69 – 0,04 = 2,65 
Nota-se que apesar de muito pequena a diferença entre as duas interpolações, a harmônica é 
a mais indicada por ser mais precisa. 
 
3) PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO. 
 
Antes de se entrar em detalhes sobre problemas da experimentação, necessário se faz 
definir o que é um experimento propriamente dito. 
 
Segundo STEEL & TORRIE (1960), um experimento é uma inquisição planejada para 
obter novos fatos, confirmar ou refrutar os resultados de outros experimentos anteriores, de 
modo que esta inquisição possa ajudar na tomada de decisões administrativas, tais como: 
escolha de variedades, técnicas, inseticidas, etc. 
 
Ao se realizar um experimento, há necessidade de se padronizar uma unidade para 
experimentação, onde os dados serão coletados para posterior análise estatística.Esta 
49 
 
unidade experimental, denominada parcela, unidade amostral ou amostra, pode ser 
focalizada por diversos aspectos.Em experimentos florestais, a parcela poderá ser uma 
única árvore, um conjunto de árvores ou até mesmo um hectare. 
 
O número de parcelas a ser lançado por experimento deve ser função da possível variação a 
ser estudada, no caso, a premeditada, isto é, aquela introduzida pelo experimentador para 
fazer as comparações.Assim sendo, em locais onde ocorre grande variação nas parcelas, o 
numero de parcelas deverá ser maior, pois uma maneira de reduzir o erro experimental, isto 
é, variações que ocorrem ao acaso, é aumentar o número de repetições no experimento, o 
que acarreta num maior número de parcelas.Aumentando-se o tamanho da parcela, pode-se 
diminuir o número de parcelas, pos ocorre um balanceamento entre tamanho e número de 
parcelas; mas o aumento do tamanho da parcela só é eficiente até um determinado ponto, 
porque à medida que se aumenta o tamanho da parcela, aumenta-se a probabilidade de 
variações dentro da mesma. 
 
Outros fatores que influenciam também na escolha do número das parcelas são os custos e 
a precisão requerida no experimento. 
 
No caso de amostragem, estes dois fatores possuem grande importância no tamanho da 
amostra, pois existem fórmulas baseadas em tais fatores. 
 
Quando se usam parcelas perto uma das outras pode ocorrer competição entre elas, o que 
poderá implicar na influencia de um tratamento sobre outro. Então, para reduzir esta 
possível causa de variação, devido á proximidade de parcelas, o que, geralmente, se faz é 
considerar as duas fileiras externas da parcela como bordadura. Estas duas fileiras não 
devem ser computadas na análise da variância. 
 
Na organização de um experimento qualquer, onde o objetivo básico é a comparação de 
tratamentos, três princípios básicos devem ser considerados: 
 
a) Repetição 
b) Casualização 
c) Controle do local 
 
Se por exemplo, se considerar um experimento de competição entre duas espécies florestais 
A e B, e se estas forem lançadas numa parcela para cada tratamento, poderá ocorrer de uma 
delas apresentar maior produção que outra, em função de variações que possam ocorrer e 
que não sejam intrínsecas do tratamento considerado, pois, por exemplo, a espécie A 
poderia ter sido atacada por uma praga, ou ter sido lançada em um local menos favorável 
que a B, etc, ocasionando numa menor produção. 
 
Assim sendo, para diminuir tal tipo de erro, o ideal é repetir os tratamentos espalhadamente 
pela área de experimentação. Portanto, em vez de comparar os resultados de uma parcela 
versus o da outra, compara-se os resultados das médias das parcelas. 
 
Entretanto, o simples fato de se repetir não é suficiente na experimentação, pois no exemplo 
citado poderia ocorrer que se repetissem todas as parcelas de um tratamento perto uma das 
50 
 
outras e qualquer diferença de solo, ou ataque de pragas seria mais prejudicial que se elas 
estivessem espalhadas casualmente. Neste caso, a distribuição casual das parcelas na área 
experimental, corresponde ao principio da casualização ou aleatorização. 
 
Com a casualização, outras duas vantagens passam a ser considerada, pois as estimativas 
das médias dos tratamentos e do erro experimental não são tendenciosas. SILVA (48) 
 
Assimsendo definida a área de experimentação e o número de repetições, as parcelas 
devem ser sorteadas ao acaso dentro da área, por um sorteio simples ou por uma tabela de 
números aleatorizados. 
 
Mesmo empregando estes dois princípios básicos da experimentação, pode ser que no ato 
do sorteio das parcelas de um tratamento sejam todas sorteadas em um local, onde as 
condições de solo ou clima sejam melhores que em outro local, onde as outras parcelas do 
outro tratamento foram sorteadas e continuar com o mesmo problema da interferência do 
local sobre os tratamentos. Neste caso, deve-se antes lançar o experimento, delimetar as 
áreas em termos de homogeneidade, sendo que cada área homogênea é considerada como 
bloco, onde realmente ocorre uma redução do erro experimental. 
 
Então, em locais onde existem outras fontes de variação devido ao local, deve-se proceder 
da seguinte maneira, no estabelecimento de um experimento: 
 
a) Delimitar as áreas consideradas heterogêneas, isto é, deve-se separar a área total em 
blocos homogêneos, sendo que entre os blocos podem ocorrer variações, mas 
intrablocos não. 
 
b) Caracterizar o número de parcelas a ser lançado por tratamentos. 
 
c) Casualizar estas parcelas dentro dos blocos, sendo que cada bloco deve conter o 
mesmo número de parcelas para todos tratamentos, pois todo bloco deve conter 
todos os tratamentos na mesma igualdade de condições. 
 
Quando em uma experimentação, a área onde vai lançar as parcelas é considerada 
homogênea, basta considerar os princípios de repetição e casualização, tendo-se o 
delineamento inteiramente casualizado. 
 
Quando ocorre o controle do local, o delineamento apropriado para tal caso é denominado 
de blocos ao caso ou blocos casualizado. 
 
Ocorrem casos em que o controle do local pode ir mais além, pois considera-se as variações 
no sentido horizontal (linhas) e no sentido vertical (colunas). Neste caso, toda linha e 
coluna devem conter parcelas de todos tratamentos, sendo que cada tratamento só deve 
ocorrer uma vez por linha e por coluna. Desta forma, a distribuição das parcelas sempre 
conduz a uma forma quadrangular, o que caracteriza o delineamento como quadrado latino. 
 
51 
 
À medida que se aumenta o controle do local, ocorre uma diminuição dos graus de 
liberdade para resíduo, o que não é bom. Em compensação, a diminuição da variância 
residual, propicia um ganho de precisão. 
Entretanto, o controle excessivo do local, como em parcelas subdivididas, reticulados, 
blocos incompletos, etc., pode conduzir a uma diminuição demasiada dos graus de 
liberdade do resíduo, além de tornar bastante complicada a análise da variância; e caso o 
pesquisador não possua conhecimentos mais aprofundados em estatística, poderá ocasionar 
sérios erros, onde seria melhor para tal pesquisador ter usado um modelo mais simples. 
 
4) REQUISITOS DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA. 
 
Em todo estudo de análise da variância de qualquer experimento, há necessidade da 
existência de um modelo matemático, bem como da aceitação de algumas hipóteses básicas 
(Pimentel Gomes, 1970). 
 
Considerando-se o modelo matemático para um experimento em quadrado latino, tem-se: 
 
Yijk = μ + τi + δj + θk + εijk 
 
Onde: Yijk = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na coluna j na linha k; 
m é a média geral; τi é o efeito do tratamento i; δj é o efeito da coluna j; θk é o efeito da 
linha k; e εijk é a parte não controlada, isto é, devida ao acaso. 
 
Então, na análise da variância de tal experimento, as seguintes hipóteses devem ser 
consideradas: 
 
a) Os efeitos devem ser aditivos. 
 
b) Deve existir independência entre os diversos efeitos, isto é, não haja correlação 
entre eles. 
 
c) Deve haver normalidade na distribuição dos erros. 
 
d) Deve haver homogeneidade das variâncias, isto é, os tratamentos individuais devem 
possuir uma variância comum. 
 
Não é com muita facilidade que em um delineamento, estas quatro suposições ocorram 
conjuntamente, mas se elas ocorrem aproximadamente, principalmente com relação à 
normalidade da distribuição dos dados, a análise estatística pode ser realizada sem 
problemas, pois testes como o de f e t não se alteram muito se a distribuição dos dados não 
for muito homogênea. 
 
Uma das suposições que deve ser obedecida é a de aditividade dos diversos efeitos, sendo 
que quando isto não ocorre, há necessidade de se utilizar transformação de dados. 
 
Segundo Oliveira quando ocorrem associações entre as médias dos tratamentos e suas 
respectivas variâncias, não se deve analisar os dados originais, ma sim uma transformação 
52 
 
apropriada desses dados, que torne as variâncias dos tratamentos independentes de suas 
respectivas médias. Além de tais transformações permitirem solucionar o problema da não 
aditividade entre os efeitos, estas ainda propiciam que os dados passem a ter uma 
distribuição aproximadamente normal, de tal modo que os testes de comparações de médias 
e variâncias podem ser empregados normalmente. 
 
Outro problema também solucionado pela transformação dos dados originais é a não 
homogeneidade das variâncias, provocada pela não normalidade dos erros. 
 
As transformações de dados mais usadas são: 
 
a) Transformação angular. 
 
b) Transformação de raiz quadrada 
 
c) Transformação logarítmica 
 
- Transformação angular 
 
Este tipo de transformação é utilizado quando os dados obedecem uma distribuição 
binomial, onde a variância é altamente correlacionada com a média (Arruda, 1979). 
 
Tal transformação expressa por: 
100
**
y
senarc , deve ser utilizada quando: 
a) A contagem é expressa em percentagem (menos de 100 indivíduos). Por exemplo: 
percentagem de sementes germinadas, percentagem de plantas doentes, etc. 
 
b) A contagem é feita em 100 ou mais indivíduos, mas os valores podem decrescer de 
30% ou subirem de 70 %(7). 
 
Tal tipo de transformação tornará homogênea as variâncias dos erros experimentais, 
tornando válida a aplicação de testes de significância e dos intervalos de confiança e dos 
intervalos de confiança para as médias dos tratamentos. 
 
Ex: Os dados que seguem, referem-se ao estudo da quebra de dormência em tamboril 
(Enterolobium contortisiliquum), quando submetido aos seguintes tratamentos (Santos, 
1978): 
 
1) Ácido sulfúrico concentrado; 
2) Ácido / água em 3:1; 
3) Ácido / água em 2:1; 
4) Ácido / água em 1:1; 
5) Ácido / água em 1:2; 
6) Ácido / água em 1:3; 
7) Água quente; 
8) Testemunha. 
53 
 
 
Cada tratamento foi repetido 4 vezes a foram utilizadas 20 sementes para cada repetição, 
num total de 80 sementes por tratamento A contagem das sementes que germinaram após 
21 dias, foi a que segue: 
 
TRAT./REP. 1 2 3 4 5 6 7 8 
1 
2 
3 
4 
8 
8 
4 
3 
3 
3 
4 
4 
5 
5 
6 
4 
8 
9 
6 
9 
10 
10 
8 
10 
0 
0 
2 
0 
5 
5 
7 
5 
0 
0 
0 
0 
Então, para realizar a análise estatística, tais dados foram transformados da seguinte 
maneira: 
 
X11 = 8 
X11 (transformado) = 43,16
100
8
** senarc 
X13 = 4 
 
X13 ( transformado) = 54,11
100
4
** senarc 
 
E assim sucessivamente, resultando em: 
 
TRAT./REP. 1 2 3 4 5 6 7 8 
1 
2 
3 
4 
16,43 
16,43 
11,54 
9,98 
9,98 
9,98 
11,54 
11,54 
12,92 
12,92 
14,18 
11,54 
16,43 
17,46 
14,18 
17,46 
18,44 
18,44 
16,43 
18,44 
0,00 
0,00 
8,13 
0,00 
12,92 
12,92 
15,34 
12,92 
0,00 
0,00 
0,00 
0,00 
 
A análise da variância e as comparações entre médias dos tratamentos são feitas com os 
dados transformados, mas na apresentação de resultados, utilizam-se os dados originais. 
 
Muitos livros de estatística já trazem tabelas prontas de dados transformados em função dos 
observados. 
 
- Transformação raiz quadrada 
 
Utilizada quando os dados seguem a distribuição de Poisson, onde a variância é igual a 
média. Esta proporcionalidade altera a uniformidade do erro experimental às vezes a 
aditividade dos efeitos considerados (PAULA NETO, 1977). 
 
Como exemplo, cita-se a contagem do número de árvores doentes ou sadias em uma área 
relativamente pequena, número