sel310-A10 Linha parte 7 Sel310 612

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Linha de Transmissão 
Parte 7
Onda Estacionária
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia elétrica e curso de engenharia elétrica e 
engenharia de computação.
� Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
� solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
3/22/2012 2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
Impedância ao longo da linha
( )
( )
( )
( )
0
0
0
tgh
tg
t
, 0
g
L
L
I
I
Z
Z jZ k z
Z z Z
Z
z
Z kz
jZ zk
≤
−
−
=
−
3/22/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP 3
( )
( )
( )
0
0
0
tgh
tg
, 0
com 
h
I
L
R
L
Z
z
Z kz
Z z Z
Z Z kz
k jkk
≤
−
= +
=
−
Terminação: Curto-circuito
0
L
Z =
( )
( )
0
0 0
0
0 tg
tg( )
0 tg
I
I
I
jZ k l
Z z l Z jZ k l
Z j k l
+
= − = =
+
curto
( ) tg( )Z z l jZ k l=− =
Curto-circuito 0Z =
3/22/2012 4SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )0/ tg( )IZ z Z j k l jX= − = =ℓ
normalização
( ) 0tg( )IZ z l jZ k l=− =
Terminação: Circuito aberto
L
Z →∞
( )
( )
( )
0
0 0
0
1 / tg( )
cotg( )
/ tg( )
L I
I
L I
j Z Z k l
Z z l Z jZ k l
Z Z j k l
+
= − = = −
+
Circuito aberto
Circuito 
aberto ∞⇒Z
3/22/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )
0
cotg( )
I
Z z
j k l jX
Z
= −
= − = −
ℓ
( ) 0cotg( )IZ z l jZ k l= − = −
normalização
Terminações: Curto e aberto
I
m
p
e
d
â
n
c
i
a
,
 
X
posição
do 
curto
ou
aberto
0
+
I
m
p
e
d
â
n
c
i
a
,
 
X
posição
do 
curto
ou
aberto
0
+
0
+
( )
0
tg( )
I
Z z
j k l jX
Z
= −
= =
ℓ
Curto-circuito
0-λ/4-λ/2-3λ/4-λ
Distância ao longo da linha, z
I
m
p
e
d
â
n
c
i
a
,
 
X
ou
aberto
curto
-
0-λ/4-λ/2-3λ/4-λ
Distância ao longo da linha, z
I
m
p
e
d
â
n
c
i
a
,
 
X
ou
aberto
curto
--
3/22/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )
0
cotg( )I
Z z j k l jX
Z
= −
= − = −
ℓ
Circuito aberto
Linha Terminada em Curto-circuito-1
( ) ( )0 0 00 / 0 1Z ZΓ = − + =−
( ) ( )( ) exp expV z V jk z jk z+  = − + Γ =  
Curto-circuito 0Z =
0z =
coeficiente de reflexão
tensão
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )
( ) ( )
0
( ) exp exp
exp exp
I I
I I
V z V jk z jk z
V jk z jk z+
 = − + Γ =  
 − −  
( )( ) 2 sen IV z j V k z
+= −
3/22/2012 7
Linha Terminada em Curto-circuito-1
( ) ( )0 0 00 / 0 1Z ZΓ = − + = −
( ) ( ) ( )0 0( ) / exp expI II z V Z jk z jk z+  = − −Γ =  
Curto-circuito 0Z =
0z =
coeficiente de reflexão
corrente
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )
0
exp exp
I I
V
jk z jk z
Z
+
  
 − +  
( )
0
2
( ) cos
I
V
I z k z
Z
+
=
3/22/2012 8
Linha curto-circuitada: Tensão
( )( ) 2 sen IV z j V k z
+= −
( ){ }( , ) Re 2 sen j tIv z t j V k z e ω+= −
3/22/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )( , ) 2 Iv z t V sen k z sen tω
+=
Linha curto-circuitada: Corrente
( )
0
2
( ) cos
I
V
I z k z
Z
+
=
( )
0
2
( , ) Re cos j t
I
V
i z t k z e
Z
ω
+   =  
   
3/22/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
0  
( ) ( )
0
2
( , ) cos cos
I
V
i z t k z t
Z
ω
+
=
Linha curto-circuitada: Resumo
( ) ( )( , ) 2 Iv z t V sen k z sen tω
+=
( )( ) 2 sen IV z j V k z
+= −
2V +
3/22/2012 11SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )
0
2
( , ) cos cos
I
V
i z t k z t
Z
ω
+
=
( )
0
2
( ) cos
I
V
I z k z
Z
+
=
Simulação no WinTls
3/22/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
Curto-circuito: Tensão
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
 
 
M
ó
d
u
l
o
 
d
a
 
t
e
n
s
ã
o
 
t
o
t
a
l
 
(
v
o
l
t
s
)
 ωt=0,1pi ωt=0,2pi ωt=0,3pi vf=3x108m/s
f=1 MHz
V+=2 volts
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
-400 -300 -200 -100 0
0,0
0,5
1,0
1,5
M
ó
d
u
l
o
 
d
a
 
t
e
n
s
ã
o
 
t
o
t
a
l
 
(
v
o
l
t
s
)
Distância ao longo da linha (metros)
Curto-circuito 
0z =
Curto-circuito 
0z =
3/22/2012 13
Curto-circuito: Corrente
0,06
0,08
0,10
 
 
M
ó
d
u
l
o
 
c
o
r
r
e
n
t
e
 
t
o
t
a
l
 
(
a
m
p
e
r
e
s
)
 ωt=0,1pi ωt=0,2pi ωt=0,3pi
vf=3x10
8m/s
f=1 MHz
V+=2 volts
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
-400 -300 -200 -100 0
0,00
0,02
0,04
M
ó
d
u
l
o
 
c
o
r
r
e
n
t
e
 
t
o
t
a
l
 
(
a
m
p
e
r
e
s
)
Distância ao longo da linha (metros)
Curto-circuito 
0z =
Curto-circuito 
0z =
3/22/2012 14
Cargas Diversas: Tensão
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
 
M
ó
d
u
l
o
 
d
a
 
t
e
n
s
ã
o
 
t
o
t
a
l
 
(
v
o
l
t
s
)
 ZL=0 ZL=infinito ZL=50 ohms ZL=25
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
-400 -300 -200 -100 0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
M
ó
d
u
l
o
 
d
a
 
t
e
n
s
ã
o
 
t
o
t
a
l
 
(
v
o
l
t
s
)
Distância ao longo da linha (metros)
vf=3x10
8m/s
f=1 MHz
V+=2 volts
3/22/2012 15
Onda Estacionária: Módulo-1
( ) I Ijk z jk zV z V e V e−+ −= +
0
I Ijk z jk zV e V e− + + += Γ
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )0I Ijk z jk zV z V e e−+= + Γ
0 0
rje φΓ = Γ
3/22/2012 16
Onda Estacionária: Módulo-2
( ) ( )0I Ijk z jk zV z V e e−+= + Γ
( ) ( ) ( )
2
0 0
( ) ( ) ( )
I I I Ijk z jk z jk z jk z
V z V z V z
V e e V e e
∗
∗− −+ + ∗
= =
  + Γ + Γ =      
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
0 0
2 2 2
0 0 0 0
2 22 2
0 0 0
1
1
I I I I
I I
I I
jk z jk z jk z jk z
j k z j k z
j k z j k z
V V e e e e
V e e
V e e
∗ − −+ + ∗
−+ ∗ ∗
−+ ∗
     
+ Γ + Γ =
+ Γ + Γ + Γ Γ =
+ Γ + Γ + Γ
3/22/2012 17
Onda Estacionária: Módulo-2
( ) ( ) ( )
2
0 0
2 2
2 2
0 0
0 02 cos 2
r I r I
I r
I
r
I
I
j j k z j jk z
j k z j k
j k z j z
I
k
z
r
e e e e
e
e e
e k z
φ φ
φ φ
φ
− −−∗
− + +
= Γ + Γ =
 Γ + = Γ + 
Γ Γ
 
+
( )2 20
2
0
2 2
0( ) ( ) ( ) 1
I Ij k z j k zeV z V z eV z V −∗∗ += = + Γ + ΓΓ +
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )0 02 cos 2 I re e k z φΓ + = Γ +  
( )
22 2
0 0( ) 1 2 cos 2 I rV z V k z φ
+  = + Γ + Γ + 
 
3/22/2012 18
Onda Estacionária: Valor Máximo
( )
22 2
0 0 cos 2( ) 1 2 I rk zV z V φ
+ +
 
= + Γ + Γ 
 
( )cos 2 1I rk z φ+ =Máximo ocorre para maxz z=
max2 2 , 0,1, 2, 3...I rk z n nφ π+ = =
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
max2 2 , 0,1, 2, 3...I rk z n nφ π+ = =
( ) ( )2 22 2 20 0 0max( ) 1 2 1V z V V+ += + Γ + Γ = + Γ
( )max 0max( ) 1V z V V
+≡ = + Γ
3/22/2012 19
Onda Estacionária: Valor Mínimo
( )
22 2
0 0 cos 2( ) 1 2 I rk zV z V φ
+ +
 
= + Γ + Γ 
 
2 2 1 , 0,1, 2, 3....k z n nφ π+ = + =
( )cos 2 1I rk z φ+ = −Mínimo ocorre para minz z=
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )min2 2 1 , 0,1, 2, 3....I rk z n nφ π+ = + =
( ) ( )2 22 2 20 0 0min( ) 1 2 1V z V V+ += + Γ − Γ = − Γ
( )min 0min( ) 1V z V V
+≡ = − Γ
3/22/2012 20
Relação de Onda Estacionária (ROE)
( )
( )
( )
( )
0max
0mi
0
n 0
11(
0
)
( ) 1 1
VV z
V z
R
V
E
+
+
+ Γ+ Γ
= =
− Γ − Γ
=
( )
( )
( )
( )
0 0max
00min
1( ) 1
0 
( ) 11
II z
R E
I z I
+
+
+ Γ + Γ
= = =
− Γ− Γ
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) ( )00min( ) 11I z I − Γ− Γ
0 0Γ = 0 1R E =
0 1Γ = 0R E → ∞
0 1R E ≥
Casamento de impedância
Reflexão total
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