Fatec-SP Seja a seqüência (7, 14, 21, …, an, …), com n natural, n ≥ 1. A expressão log a10 7m · log a12 a10 · log a13 a12 · log7 a13 com m inteiro,...

Para resolver essa questão, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos. Primeiro, vamos simplificar cada termo da expressão: - log a10 7m = (log 7m) / (log 10a) - log a12 a10 = (log a10) / (log a12) - log a13 a12 = (log a12) / (log a13) - log7 a13 = 1 / (log a7) Substituindo esses valores na expressão original, temos: (log 7m / log 10a) * (log a10 / log a12) * (log a12 / log a13) * (1 / log a7) Podemos simplificar os termos log a10 / log a12 e log a12 / log a13, que são equivalentes a log a10 / log a13, e obtemos: (log 7m / log 10a) * (log a10 / log a13) * (1 / log a7) Agora, podemos utilizar a propriedade log a^n = n * log a para simplificar o termo log a10 / log a13, que é equivalente a log a10 a^(-1): (log 7m / log 10a) * (log a10 / (log a10 - log a13)) * (1 / log a7) Simplificando, temos: (log 7m / log 10a) * (1 / (1 - log a13 / log a10)) * (1 / log a7) Agora, podemos substituir log a13 / log a10 pelo valor 12 / 10, já que a13 = a12 * a10 e log a13 = log a12 + log a10: (log 7m / log 10a) * (1 / (1 - 12 / 10)) * (1 / log a7) Simplificando, temos: (log 7m / log 10a) * 10 * (1 / 2) * (1 / log a7) (log 7m / log 10a) * (1 / log a7) Agora, podemos utilizar a propriedade log a^b = b * log a para simplificar o termo log 10a: (log 7m / log a) * (1 / log 7) Simplificando, temos: log 7m / (log a * log 7) Agora, podemos utilizar a propriedade log a^n = n * log a para simplificar o termo log a: log 7m / (1 * log 7) Simplificando, temos: log 7m / log 7 = m Portanto, a alternativa correta é a letra E) m.