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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
AULA 02 
Apresentação e Organização de 
dados não agrupados
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Na aula 01 vimos que a primeira etapa para termos uma 
melhor visibilidade dos dados brutos extraídos de um 
fenômeno coletivo é a construção de um rol. 
Distribuição de Frequências
É uma tabela que viabiliza a extração rápida de uma 
grande quantidade de informações sobre um problema 
aplicado.
Vamos resolver o último exercício da Aula 1.
Alltura ( fi ) N°
atletas
Freq. Relativa
fri
fri
%
150 4 4/25 = 0,16 16%
152 8 8/25 = 0,32 32%
153 3 3/25 = 0,12 12%
157 2 2/25 = 0,08 8%
160 3 3/25 = 0,12 12%
165 1 1/25 = 0,04 4%
166 2 2/25 = 0,08 8%
170 2 2/25 = 0,08 8%
() 25 1,00 100%
150 150 150 150 152
152 152 152 152 152
152 152 153 153 153
157 157 160 160 160
165 166 166 170 170
150, 166, 170, 152, 152, 156, 
153, 152, 166, 153, 160, 152, 
170, 160, 150, 160, 152, 165, 
160, 153, 152, 150, 150, 152, 152 
Rol
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Exemplo: Sejam as alturas de 25 atletas. 
Determine o Rol e a distribuição de frequências.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Vamos construir uma tabela de distribuição de 
freqüências considerando o seguinte exemplo:
A tabela representa os dados brutos sobre as vendas 
diárias de um aparelho TV 32”, durante um mês:
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
O rol para estas informações pode ser descrito por uma série 
numérica ordenada de forma crescente do tipo:
{10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 
14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 17}
14 12 11 13 14 13
12 14 13 14 11 12
12 14 10 13 15 11
15 13 16 17 14 14
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
{10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 
14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 17}
Pelo rol observamos que as vendas de 11, 12, 13, 14, 15 
aparelhos ocorreram em 3, 4, 5, 7 e 2 dias no mês, 
respectivamente, e, as vendas de 10, 16 e 17 aparelhos 
ocorreram em apenas em um dia. 
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
{10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 
14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 17}
Vendas diárias 
do aparelho
Número de dias 
10 1
11 3
12 4
13 5
14 7
15 2
16 1
17 1 
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Frequências Simples ou absoluta
Denotada por fi , representa o número de repetições com 
que o dado coletado i aparece no rol. 
O dado i = 1 é igual a 10 e a frequência é f1 =1; 
O dado i = 2 é igual a 11 e a frequência é f2 = 3;
O dado i = 3 é igual a 11 e a frequência é f2 = 4;
E assim por diante.
Acrescentando a coluna das freqüências fi na tabela:
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Tabela de Frequências Simples
i
(dado)
Número de 
dias 
1 10
2 11
3 12
4 13
5 14
6 15
7 16
8 17 
Frequência simples 
fi
1
3
4
5
7
2
1
1 1
∑ f i = 24
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Para facilitar a análise dos dados podemos inserir mais 
duas outras colunas, uma com os dados relativos ao 
tamanho da amostra e outra expressos percentuais.
Novas colunas:
Frequências Relativas ( fri ): razão entre a frequência 
simples e o tamanho da amostra.
Frequências Relativas Percentuais (fri %): são escritas 
em forma percentual.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
i
(dado)
Vendas 
diárias 
fi fri fri % = fri . 
100 
1 10 1 1/24 
0,04
4 
2 11 3 3/24  0, 
13
13 
3 12 4 4/24  0, 
17
17
4 13 5 5/24  0, 
20
20 
5 14 7 7/24  0, 30 
∑ f i = 24
 i
i
f
f
fri = 
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Podemos responder às questões?
a. No mês, qual o % de vendas diárias de 12 aparelhos?
Frequência relativa percentual do dado 3, fr3 % = 17%, isto é, 
em 17% dos dias no mês foram vendidos 12 aparelhos.
b. Em quantos dias no mês foram vendidos 15 aparelhos?
Basta analisar a frequência simples do dado 6, f6 = 2 dias.
c. Qual o dado que aparece mais frequentemente na tabela ? 
Veja o dado com a maior frequência simples, x5 = 14 
aparelhos.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Gráficos: Histograma
Cada linha vertical indica uma frequência.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Gráficos: Diagrama de colunas
Cada barra vertical indica uma frequência.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Gráficos: Diagrama ou gráfico de barras
Apresenta as freqüências simples ou relativas sob a 
forma de barras horizontais.
Gráfico de Barras
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10
12
14
16
vendas diárias
frequência de vendas diárias
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Gráfico ou Diagrama de Setores
Representa as frequências 
simples ou relativas sob a 
forma de setores circulares. 
Aponta os dados mais 
representativos da distribuição 
de frequências.
Vendas diárias de um 
aparelho de TV 32”
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Vendas diárias de um 
aparelho de TV 32”
O setor circular de maior área 
está associado a 14 aparelhos 
que é o dado com a maior 
freqüência simples 30%), 
seguido por 13 aparelhos (20%). 
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Xi fi fi % Fi Fi%
12 5
16 13
17 32%
34 8
45 47
56 3
 50 100%
Exercício1: Em um determinado período alguns números 
sorteados (Xi) apresentaram as seguintes repetições (fi). 
Complete a distribuição de frequências.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Xi fi fi % Fi Fi%
12 5 10% 5 10%
16 13 26% 18 36%
17 16 32% 34 68%
34 8 16% 42 84%
45 5 10% 47 94%
56 3 6% 50 100%
 50 100%
Frequência acumulada = Fi
Frequência porcentual acumulada = Fi%
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Exercício 2: A distribuição a seguir indica o n° de acidentes 
ocorridos com 70 motoristas.
No de 
Acidentes
0 1 2 3 4 5 6 7
No de 
Motoristas
20 10 16 9 6 5 3 1
a) Quantos motoristas sofreram pelo menos 5 acidentes?
Resp: 9
b) Quantos sofreram no mínimo 2 e no máximo 4 acidentes?
Resp: 31
c) Qual a % de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes?
Resp: 46 / 70 = 65,7% 
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Exercício 3: A parcela da população convenientemente 
escolhida para representá-la é chamada de:
( ) variável.
( ) rol.
(x) amostra.
( ) dados brutos.
( ) Nada podemos afirmar, a informação é incompleta.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Exercício 4: Ao nascer, os bebês são pesados e medidos, 
para se saber se estão dentro das tabelas de peso e 
altura esperados. Estas duas variáveis são:
( ) qualitativas.
( ) ambas discretas.
(x) ambas contínuas.
( ) continua e discreta, respectivamente.
( ) discreta e contínua, respectivamente.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Exercício 5: O rol é uma sequência ordenada de valores 
referentes a uma mesma variável. Dadas as sequências 
da mesma variável x:
I. -2, 4, 5, 6, 7.
II. 1, 3, 3, 6, 7.
III. 8, 7, 5, 2, 1.
IV. 5, 4, 4, -1.
podemos afirmar que:
( x ) Todas constituem rol.
( ) Apenas I constitui rol.
( ) A sequência III não é um rol mas as outras sim.
( ) apenas I e IV não são rol.
( ) somente a sequência III é um rol, as demais não.
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Exercício 6: O método estatístico tem como objetivo:
( x ) estudar os fenômenos estatísticos.
( ) estudar qualidades concretas dos indivíduos que 
formam grupos.
( ) determinar qualidades abstratas dos indivíduos que 
formam grupos.
( ) determinar qualidades abstratas de grupos de 
indivíduos.
( ) estudar fenômenos numéricos. 
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
i xi fi fri Fi
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
1
....
4
....
3
2
....
....
0,05
0,15
....
0,25
0,15
....
....
....
....
4
....
13
....
18
19
....
∑ = 20 ∑ = 1,00
Exercício: Complete os dados que faltam na
distribuição de frequência:
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
i xi fi fri Fi
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
1
3
4
5
3
2
1
1
0,05
0,15
0,20
0,25
0,15
0,10
0,05
0,05
1
4
8
13
16
18
19
20
∑ = 20 ∑ = 1,00
Exercício: Complete os dados que faltam na
distribuição de frequência:
AULA 02 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
fi Fri Fi Fri
2
5
12
10
8
3∑ = ∑ =
Exercício: Dada a distribuição de frequência:
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
AULA 03 – dados agrupados em classes
AULA 03 
Organização de dados 
agrupados em classes
AULA 03 – dados agrupados em classes
Na aula 2 aprendemos a montar e representar 
graficamente uma distribuição de freqüências para um 
conjunto de dados não agrupados. Nesta terceira aula 
veremos que quando os dados coletados possuem 
valores diferentes, uma melhor distribuição de 
freqüências pode ser obtida por intermédio de 
agrupamentos desses dados em classes. 
AULA 03 – dados agrupados em classes
Exemplo
Suponha que tenha sido feita uma coleta de dados 
relativos às estaturas de quarenta alunos de uma 
Faculdade A, o resultado da pesquisa foi apresentado 
na tabela primitiva
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
AULA 03 – dados agrupados em classes
ROL
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
o menor valor da variável é 150 cm e o maior valor é 173 cm.
AULA 03 – dados agrupados em classes
Amplitude do amostra (AA)
É a diferença entre o maior valor e o menor valor da 
variável.
Denotando por x a variável do problema temos:
AA = x máximo – x mínimo
AA = 173 – 150 = 23
AULA 03 – dados agrupados em classes
Cálculo do número de classes
Para determinar o número de classes adotaremos a 
Regra de Sturges, que nos dá o número de classes em 
função do tamanho da amostra:
i = 1 + 3,3 . log n
onde: i é o número de classes, n o tamanho da amostra e 
log n é o logaritmo na base 10 de n.
AULA 03 – dados agrupados em classes
Assim, o número de classes que devemos adotar em 
nosso exemplo é de: i = 1 + 3,3 . log n
i = 1 + 3,3 . log 40 = 6, 286797970  6 classes
Arredonda-se sempre o valor de i para o número 
inteiro mais próximo, pois o número de classes deve 
ser sempre inteiro.
AULA 03 – dados agrupados em classes
Amplitude do intervalo de classe 
É obtido pela divisão entre a amplitude amostral e o 
número de classes:
h = 
Assim, a amplitude do intervalo de classe do nosso 
problema é dada por: h = = 3,8 4
• arredondamento para o maior inteiro mais próximo.
Os dados devem ser agrupados em 6 classes distintas 
de intervalos com amplitudes iguais a 4.
i
AA
6
23 
AULA 03 – dados agrupados em classes
Classes e tabulação dos dados
Menor valor: 150
O limite superior da primeira classe deve ser o limite 
inferior da segunda classe e assim por diante.
A convenção adotada para a representação de uma 
classe é a seguinte:
|− Limite inferior incluído na classe e superior não.
|−| Limite superior e inferior incluídos na classe.
AULA 03 – dados agrupados em classes
Exemplo: 
• A classe i = 1 terá como limite inferior 150 cm 
(inclusive) e limite superior 154 cm (exclusive) ;
• A classe i = 2 terá como limite inferior 154 cm 
(inclusive) e superior 158 cm (exclusive) e assim por 
diante.
A tabela de freqüências para as estaturas pode ser 
apresentada na seguinte forma:
AULA 03 – dados agrupados em classes
Tabela 3 - Distribuição de frequências 
Estatura de 40 alunos da faculdade A
i Estaturas
(cm)
fi
(freq. 
simples)
1 150|−154 4
2 154|−158 9
3 158|−162 11
4 162|−166 8
5 166|−170 5
6 170|−174 3
 fi = 40
Exemplo:
Na classe i=2, existem na
amostra 9 alunos com
estaturas entre 154 cm
(inclusive) e 158 cm
(exclusive).
AULA 03 – dados agrupados em classes
Distribuição de frequências 
Poderemos acrescentar na tabela outros tipos de 
frequências:
• Frequências Relativas 
• Frequências Relativas Percentuais 
• Frequências Acumuladas Simples
• Frequências Relativas Acumuladas
AULA 03 – dados agrupados em classes
Distribuição de frequências 
• Frequências Relativas Acumuladas
Fri % = 
• Pontos médios de cada uma das classes: divide a 
classe em duas partes iguais.
O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.
AULA 03 – dados agrupados em classes
Tabela 4- Distribuição de freqüências 
i Estatura xi fi fri fri % Fi Fri Fri %
1 150|−154 152 4 0,100 10 4 0, 100 10
2 154|−158 156 9 0, 225 22,5 13 0, 325 32,5
3 158|−162 160 11 0, 275 27,5 24 0, 600 60
4 162|−166 164 8 0, 200 20 32 0, 800 80
5 166|−170 168 5 0, 125 12,5 37 0, 925 92,5
6 170|−174 172 3 0, 075 7,5 40 1, 000 100
 fi = 40  fri = 1
AULA 03 – dados agrupados em classes
Responda aos seguintes questionamentos:
1.Quantos alunos têm estatura entre 162, inclusive, e 166?
2.Qual a % de alunos cujas estaturas são < 158 cm?
3.Quantos alunos possuem estatura < 162 cm?
4.Quantos alunos possuem estatura > ou igual a 158 cm? 
5.Qual o percentual de alunos cuja estatura é < 166 cm? 
6.Qual a estatura que representa a classe cinco?
1.Basta observar f4 = 8 alunos.
2.Basta observar Fr2% = 32, 5% dos alunos.
3.Basta observar F3 = 24 alunos.
4.Basta fazer a seguinte conta: F6 – F2 = 27 alunos.
5.Basta observar Fr4% = 80 % dos alunos.
6.Basta observar o ponto médio da classe 5: x5 = 168 cm
AULA 03 – dados agrupados em classes
Gabarito: a. 900; b. 800; c. 1000; d. 950; e. 100; f. 76; g. 0, 155 
AULA 03 – dados agrupados em classes
Gabarito: h. 262; i. 194; j. 138; l. 29,5 %; m. 19 %; n. 78 %; o. i = 3; p. i = 5 
AULA 03 – dados agrupados em classes
Representação Gráfica de uma Distribuição 
A utilização de gráficos para representar problemas de 
natureza prática é usual em nossa cultura, se 
percorrermos os jornais e revistas no nosso dia a dia 
iremos nos defrontar a cada momento com essas figuras 
ilustrativas que nos possibilitam uma boa compreensão 
dos fatos estudados.
No caso da Estatística, as representações gráficas de uma 
distribuição de freqüências para dados agrupados por 
classes que aparecem mais frequentemente são:
AULA 03 – dados agrupados em classes
Representação Gráfica de uma Distribuição
Histograma
Apresenta as freqüências das classes em colunas:
• As freqüências representadas podem ser simples ou 
relativas.
• As colunas possuem bases da mesma largura.
• Não existem espaços entre as classes. 
AULA 03 – dados agrupados em classes
Histograma
4
9
11
8
5
3
0
2
4
6
8
10
12
Estaturas (cm)
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 d
a
s
 e
s
ta
tu
ra
s
O histograma da distribuição de freqüências da Tabela 3. 
Estaturas de 40 alunos.
AULA 03 – dados agrupados em classes
Polígono de Freqüência
E um gráfico de linha que representa as frequências 
simples dos pontos médios das classes.
Polígono de Frequências Simples
0
2
4
6
8
10
12
148 152 156 160 164 168 172 176
Pontos Médios das Classes 
F
re
q
u
ê
n
c
ia
s
 S
im
p
le
s
Estatura
(cm) 
xi fi
150|−154 152 4
154|−158 156 9
158|−162 160 11
162|−166 164 8
166|−170 168 5
170|−174 172 3
AULA 03 – dados agrupados em classes
* Para obtermos um polígono que é representado 
por uma linha fechada, devemos completar a 
figura, ligando os extremos da linha obtida aos 
pontos médios da classe anterior à primeira classe 
e da posterior à última classe.
AULA 03 – dados agrupados em classes
Polígono de Freqüência Acumulada
É um gráfico de linha representando as freqüências 
acumuladas dos limites superiores das classes.
Polígono de Frequências Acumuladas
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
150 154 158 162 166 170 174
Limites Superiores das Classes 
F
re
q
ê
n
c
ia
s
 A
c
u
m
u
la
d
a
s
AULA 03 – dados agrupados em classes
Atividade 2
O histograma foi 
construído com 
base numa 
pesquisa do tempo 
de serviço dos 
empregados de 
uma determinada 
empresa.
Relação do número de empregados por tempo de 
serviço
3
6
7
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo de serviço (em anos)
N
ú
m
e
ro
 d
e
 E
m
p
re
g
a
d
o
s
AULA 03 – dados agrupados em classes
Determine:
a. O númerode classes
b. A amplitude total
c. A freqüência total
d. O limite inferior da 1ª classe
e. O limite superior da 1ª classe
f. A freqüência relativa da 1ª classe
g. A freqüência acumulada da 2ª classe
h. A freqüência cumulada relativa da 3ª classe
i. O limite inferior da 4ª classe
j. O limite superior da 5ª classe
k. A amplitude da 4ª classe
l. O ponto médio da 3ª classe
m. A freqüência da 4ª classe
n. A freqüência relativa da 4ª classe
Relação do número de empregados por tempo de 
serviço
3
6
7
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo de serviço (em anos)
N
ú
m
e
ro
 d
e
 E
m
p
re
g
a
d
o
s
Gabarito: a. 5; b. 30; c. 
25; d. 0; e. 6; f. 0,12; g. 9; 
h. 0,64; i. 18; j. 30; k. 6; l. 
15; m. 4; n. 0,16
0 6 12 18 24 30
AULA 03 – dados agrupados em classes
Proposta de Atividade 3
A MKT Image é uma empresa de consultoria em marketing 
e iniciou um trabalho de pesquisa para a TDI, que 
pretende lançar um novo produto no mercado brasileiro. 
Foram aplicadas algumas pesquisas de mercado para 
verificar o potencial de compra por parte da população. A 
tabela abaixo mostra os dados sobre uma amostra da 
população pesquisada, referente à renda familiar mensal 
(em salário mínimo):
AULA 03 – dados agrupados em classes
Podemos afirmar (Falso ou Verdadeiro):
a) 30% ganham 10 salários mínimos ou mais.
b) 44,08% ganham abaixo de 10 salários mínimos.
c) Menos de 10% ganham 15 salários mínimos ou mais.
d) Mais de 75% ganham abaixo de 10 salários mínimos.
e) Mais de 5% ganham 20 salários mínimos ou mais.
Salário 
Mínimo (Sm)
Número de 
pesquisados
fi %
0 ≤ Sm < 5 734 44,08%
5 ≤ Sm < 10 526 31,59%
10 ≤ Sm< 15 205 12,31%
15 ≤ Sm< 20 140 8,4%
20 ≤ Sm< 25 60 3,6%
1665 100%
AULA 03 – dados agrupados em classes
GABARITO
a) Falso, 24% da amostra ganham 10 salários mínimos ou mais;
b) Falso, 76% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos;
c) Falso, 12% da amostra ganham 15 salários mínimos ou mais;
d) Verdade, Mais de 75% da amostra ganham abaixo de 10 salários 
mínimos;
e) Falso, 4% da amostra ganham 20 salários mínimos ou mais.
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
AULA 04 – Medidas de Posição
AULA 04 
Medidas de Posição:
Média Aritmética
Mediana
Moda
2
AULA 04 – Medidas de Posição
Média Aritmética, Mediana e Moda
São medidas de tendência central definidas na 
Estatística. 
São medidas importantes que tentam apontar para o 
valor central de um conjunto de dados. 
3
AULA 04 – Medidas de Posição
Média Aritmética
A Média Aritmética é a medida de posição central da 
Estatística que encontra o ponto médio de um conjunto 
de dados. 
Vamos estudar as técnicas para cálculo da média nos 
casos de dados:
Não agrupados 
Agrupados
4
AULA 04 – Medidas de Posição
DADOS NÃO AGRUPADOS
A Média Aritmética ou simplesmente Média é obtida 
pela soma de todos os valores numéricos do conjunto 
de dados, dividido pela quantidade de dados.
Para o conjunto de n dados, X1, X2,..., Xn, a média 
aritmética pode ser obtida aplicando-se a fórmula:
n
X+...+X+X
=X n21
5
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 1
Suponha que as notas de um candidato, em seis provas 
de um concurso, sejam 
8,4 9,2 7,1 6,8 8,7 7,2
Cálculo da Média das notas:
9,7=
6
4,47
=
6
2,7+7,8+8,6+1,7+2,9+4,8
=X
6
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 2
Considere uma distribuição de frequências simples:
Em uma prateleira de uma loja foram encontrados 4 
tipos de produtos com os seguintes preços e 
respectivas quantidades:
R$ (xi)
50 60 80 90
Quantidade ou 
frequência
(fi)
8 5 4 3
7
f i = 20

AULA 04 – Medidas de Posição
As quantidades atuam como fatores de ponderação.
Logo, o preço médio dos produtos pela
Média Aritmética Ponderada será:
R$ (xi) 50 60 80 90
fi 8 5 4 3
5,64=
20
1290
=
20
3.90+4.80+5.60+8.50
=x
O preço médio de todos os produtos da prateleira é R$64,50.
8
AULA 04 – Medidas de Posição
Outro exemplo de Média Aritmética Ponderada: 
50 casais de um condomínio.
N° de Filhos
(xi )
N° de casais
(fi )
fi . xi
0 6 0
1 16 16
2 9 1 8
3 8 24
4 3 12
5 3 15
6 3 18
7 2 14
Total () 50 117
X
n
 iixf
=
50
117
= 2,34 filhosX
9
=
AULA 04 – Medidas de Posição
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES
Neste caso, a média aritmética é obtida utilizando-se a 
Média Ponderada, com as seguintes ressalvas:
Os valores utilizados para as variáveis xi correspondem 
aos pontos médios dos intervalos de classes. 
As frequências fi correspondem às frequências simples 
dos intervalos de classes.
10
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 3: DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES
Distribuição de frequências dos 40 alunos a faculdade A.
i Estaturas
(cm)
xi
(ponto médio) 
fi
(frequências simples)
xi fi
1 150|−154 152 4 608
2 154|−158 156 9 1404
3 158|−162 160 11 1760
4 162|−166 164 8 1312
5 166|−170 168 5 840
6 170|−174 172 3 516
 fi = 40
6440
11
AULA 04 – Medidas de Posição
Para o cálculo da estatura média dos alunos da turma 
aplicamos a fórmula da média ponderada. 
Concluímos que a altura média dos estudantes da 
amostra é de 161 cm.
161=
40
6440
=
40
3.172+5.168+8.164+11.160+9.156+4.152
=x
12
AULA 04 – Medidas de Posição
Principais Características da Média Aritmética
• O cálculo da média envolve todos os elementos do 
conjunto de dados.
• A média é influenciada por dados com valores muito 
pequenos ou muito grandes.
• Para qualquer conjunto de dados haverá sempre uma 
única média.
13
AULA 04 – Medidas de Posição
MEDIANA - Dados não agrupados
Neste caso, a MEDIANA é o valor da variável que ocupa 
a posição central de um conjunto de dados ordenados 
de forma crescente.
14
AULA 04 – Medidas de Posição
MEDIANA - Dados não agrupados
• Ordenar os dados de forma crescente.
• Caso o número de dados seja ímpar, a mediana será o 
termo de ordem central que apresenta o mesmo número 
de elementos à direita e a esquerda, isto é, a mediana 
será o valor do termo de ordem (n + 1)/2. 
• Caso o número de dados seja par, a mediana será a 
média aritmética dos termos que ocupam as posições 
n/2 e (n/2) + 1.
15
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 1 - Cálculo da Mediana
6,8 7,2 7,2 8, 4 8,7 9,2 
Como n = 6 (número par de dados) a mediana do 
conjunto será a média aritmética entre os termos de 
posição 3 e de posição 4:
Md = 8,7=
2
6,15
=
2
4,8+2,7
16
AULA 04 – Medidas de Posição
Exercício 2- O cálculo da Mediana
Para a série de dados: 5 13 10 2 4 7 6
qual é o valor da mediana?
Em ordem crescente:
2 4 5 6 7 10 13
A mediana é dada por Md = (n + 1) / 2 = 4 (ou 4° dado)
Md = 6
Observe que três termos estão situados à esquerda de 
6 e os outros três termos a direita de 6. 
A mediana dividiu a série de dados em partes iguais.
17
AULA 04 – Medidas de Posição
Dados agrupados SEM intervalos de classes
1° Passo: Incluir na distribuição de frequências simples 
uma coluna com as frequências acumuladas.
2° Passo: Identificar a frequência acumulada imediatamente 
superior à metade do somatório das frequências simples e 
observar o valor da variável associado a esta frequência, 
que é a MEDIANA (Md).
18
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo: Cálculo da Mediana
1º Passo: Incluir uma coluna com as frequências 
acumuladas na distribuição de frequências.
xi fi Fi
50 8 8
60 5 13
80 4 17
90 3 20
 fi = 20
19
AULA 04 – Medidas de Posição
2º Passo: calcular o valor de
A frequência acumulada imediatamente superior ao 
número 10 encontrado é F2 = 13. 
Logo, a MEDIANA Md = 60, que corresponde ao 
valor da variável associado a frequência acumulada 13.
xi fi Fi
50 8 8
60 5 13
80 4 17
90 3 20
 fi = 20
10=
2
20
=
2
f
i
∑
20
AULA 04 – Medidas de Posição
Atenção!
Quando o valor de for igual a uma das 
frequências acumuladas Fi , o cálculo da mediana será a 
média aritméticaentre os valores das variáveis xi e xi+1. 
Exemplo:
21
2
∑ if
AULA 04 – Medidas de Posição
xi fi Fi
50 20 20
58 30 50
66 50 100
 fi = 100
50=
2
f∑
i
A mediana da distribuição será dada pela média 
aritmética entre os valores das variáveis x2 e x3. 
Md = 62=
2
66+58
22
AULA 04 – Medidas de Posição
Dados agrupados COM intervalos de classes
• Acrescentar à tabela uma coluna com as frequências 
acumuladas Fi.
• Calcular 
• Encontrar a classe mediana que corresponde à classe 
associada à frequência acumulada imediatamente 
superior a .
2
∑ if
2
∑ if
23
AULA 04 – Medidas de Posição
Onde:
Limd ➔ limite inferior da classe mediana
f md ➔ frequência simples da classe mediana
Fmd-1 ➔ frequência acumulada da classe anterior à classe 
mediana 
Amd ➔ amplitude da classe mediana.
24
AULA 04 – Medidas de Posição
i Estaturas
(cm)
fi
(frequências
simples)
Fi
(frequências 
acumuladas)
1 150|−154 4 4
2 154|−158 9 13
3 158|−162 11 24
4 162|−166 8 32
5 166|−170 5 37
6 170|−174 3 40
 fi = 40
Exemplo 3: Cálculo da Mediana
25
2
∑ if = 20
Imediatamente 
acima
Classe 
Mediana
AULA 04 – Medidas de Posição
Pela fórmula:
LImd = 158
Amd = 4
fmd = 11
Fmd -1 = 13
Md = 158 + . ( 20 – 13) = 160, 54
11
4
26
i (cm) fi Fi
1 150|−154 4 4
2 154|−158 9 13
3 158|−162 11 24
4 162|−166 8 32
5 166|−170 5 37
6 170|−174 3 40
 fi = 40
AULA 04 – Medidas de Posição
Moda
É a medida de posição da Estatística que encontra o 
dado que aparece mais frequentemente na distribuição.
A moda é o valor que mais se repete no conjunto.
27
AULA 04 – Medidas de Posição
Moda para dados NÃO agrupados 
Exemplo 1: Cálculo da moda
A série de dados
8,4 9,2 7,2 6,8 8,7 7,2
tem moda igual a 7,2 que corresponde ao dado que 
mais se repete.
28
AULA 04 – Medidas de Posição
xi fi
50 8
60 5
80 4
90 3
 fi = 20
MODA: Dados Agrupados SEM intervalos de classes.
A maior frequência é f1 = 8, logo a moda é o valor 
correspondente à variável x1, ou seja Mo = 50.
29
AULA 04 – Medidas de Posição
MODA: Dados Agrupados COM intervalos de classes.
Identificamos a classe modal que corresponde à classe 
com maior frequência de dados. 
Então o cálculo da Moda será dado por: 
Mo = 
onde: l = limite inferior da classe modal e 
L = limite superior da classe modal.
2
Ll +
30
AULA 04 – Medidas de Posição
Exemplo 3: O cálculo da Moda
i Estaturas
(cm)
fi
(freq. simples)
1 150|−154 4
2 154|−158 9
3 158|−162 11
4 162|−166 8
5 166|−170 5
6 170|−174 3
 fi = 40
cm160
2
162158
=
+
31
AULA 04 – Medidas de Posição
A Moda pode não ser única: bimodal
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas 
Mo= 4 e M’o= 6. 
Pode não existir: amodal
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, 
logo não possui moda.
32
AULA 04 – Medidas de Posição
33
Mediana
Exemplo:
a) O número de valores observados (n) é impar
X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)
1º) Colocar em ordem crescente: X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)
2º) A posição da Mediana por P = = = 4
==> 4ª posição.
Md = 4
2
1n +
2
17 +
AULA 04 – Medidas de Posição
34
Mediana
b) O número de valores observados (n) é par
X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)
1º) Ordem crescente: X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)
2º) Determinar a posição da Mediana: Md = + 1
P1 = = 4➔ 4ª posição e P1 = + 1 = 5 ➔ 5ª posição
Os números são 6 (4ª posição) e 7 (5ª posição).
Tira-se a média aritmética entre os dois números.
Md = = 6,5
2
n
2
8
2
8
2
76+
AULA 04 – Medidas de Posição
35
Moda – para dados agrupados com classes
Taxas 
(xi)
N°de 
Municípios 
(fi) 
6 --- 16 29
16 --- 26 24
26 --- 36 16
36 --- 46 13
46 --- 56 4
56 --- 66 3
66 --- 76 2
76 --- 86 2
86 --- 96 1
Total () 94
1º passo:
Identifica-se a classe de maior
freqüência = 29 ➔ (1ª classe): 6 --- 16
amplitude=10
2º passo: Aplica-se a fórmula:
Mo =
Mo = = 11
2
LsLi +
2
166 +
AULA 04 – Medidas de Posição
36
HISTOGRAMA
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de
retângulos justapostos.
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de um
polígono.
Idade Fi
2-4 3
4-6 5
6-8 10
8-10 6
10-12 2
 26
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fi
limite das classes
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
AULA 05 – Medidas de Dispersão
AULA 05 
Medidas de Dispersão
2
AULA 05 – Medidas de Dispersão
Média Geométrica
A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos 
valores encontrados em um conjunto numérico.
Para o conjunto X = {x1, x2,..., xn}, onde cada xi é um número 
real não negativo, a média geométrica (MG) será:
MG =
Exemplo:
Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos 
valores de X é igual a
3
n
n21
x...x.x
4 16.7.5.3 4 1680= = 6,402
AULA 05 – Medidas de Dispersão
Considerações sobre a Média Geométrica
Como a média geométrica é sempre menor ou igual à 
média aritmética, muitos a utilizam como uma forma de 
medida mais conservadora de análise central para um 
conjunto de dados.
Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de 
razões de crescimentos de dados populacionais e 
financeiros.
4
AULA 05 – Medidas de Dispersão
5
Exemplo:
A tabela reflete as vendas e a razão de crescimento anual 
de uma empresa:
A razão média de crescimento nas vendas ao longo desses anos é 
medida com base na média geométrica entre as razões anuais:
MG = = 1,2854
Ano Vendas Razão
2005 100000
2006 140000 1,4
2007 210000 1,5
2008 273000 1,3
2009 273000 1
4 13,15,14,1 xxx = 4 73,2
AULA 05 – Medidas de Dispersão
6
Exercício:
Suponha que nos últimos 4 anos a inflação tenha sido 
respectivamente de i1= 15%; i2= 20%; i3= 25% e i4= 50%. 
Qual a inflação média anual?
Sugestão: 
MG = (1 + iMG) =
(1 + iMG) = = 1,2683
Logo a inflação média anual = 26,83%
4 50,125,120,115,1 xxx
AULA 05 – Medidas de Dispersão
7
Medidas de Posição Relativa
Além da média, moda e mediana que são consideradas 
medidas de posições centrais existem outras medidas de 
posições denominadas de relativas. Dentre elas 
destacamos os: QUARTIS, DECIS e PERCENTIS.
Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição
que um determinado dado ocupa em relação à amostra 
como um todo.
Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados 
em duas partes iguais.
AULA 05 – Medidas de Dispersão
8
QUARTIS
Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados 
em quatro partes iguais.
Após a ordenação dos dados:
O primeiro quartil (Q1) é o valor que deixa a quarta parte 
ou 25% das observações dos dados abaixo dele. 
O segundo quartil (Q2) coincide com a mediana (Md) do 
conjunto.
O terceiro quartil (Q3) é o valor que deixa três quartos 
(3/4) ou 75% das observações dos dados abaixo dele.
AULA 05 – Medidas de Dispersão
9
Determinação dos Quartis
Caso1: Dados NÃO agrupados
Para determinar os quartis para um conjunto com n 
devemos ordenar o conjunto.
Q1 será o valor que ocupar a posição (n/4)
Q2 o que ocupar (2n/4)
Q3 o que ocupar a posição (3n/4).
AULA 05 – Medidas de Dispersão
10
Determinação dos Quartis
- Se a divisão indicada no item anterior for um número 
fracionário, arredonde-o para cima e o valor do quartil 
será o dado encontrado nesta posição.
- Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a 
média aritmética do valor que ocupar a posição 
encontrada na divisão com o valor que ocupar a posição 
seguinte.
AULA 05 – Medidas de Dispersão
11
Exemplo: Suponha uma análise sobre o tempo para se
aprontar para o trabalho de modo a minimizar atrasos
excessivos ou chegar com muita antecedência. Para tal
foram coletados, durante dez dias, os tempos uma
pessoa levou desde do levantar da cama até sair de casa.
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 910
minutos
31 35 52 44 44 40 29 39 39 43
Tempo
(min.)
29 31 35 39 39 40 43 44 44 52
Para calcular os quartis vamos ordenar.
AULA 05 – Medidas de Dispersão
12
Posição de Q1
Observe que  Como 2,5 é um número fracionário 
devemos arredondar para 3. Pelas regras, a posição do quartil Q1
será definida pelo 3°elemento, i.e, tempo de 35 minutos.
Para se aprontar a pessoa em 25% dos dias um tempo ≤ 35 min e em 
75% dos dias um tempo ≥ 35 min.
5,2
4
10
4
==
n
Tempo
(min.) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52
AULA 05 – Medidas de Dispersão
13
Observe que  Como 5 é um número inteiro, o quartil 2 
ou Mediana será dado pela média aritmética dos tempos situados 
nas posições cinco e seis da série ordenada.
Q2 = Md = (39 + 40)/2 = 39, 5
Podemos concluir que para a metade dos dias a pessoa 
levou um tempo ≤ 39, 5 minutos para ficar pronto e para a 
outra metade dos dias um tempo ≥ 39, 5 minutos.
5
2
10
2
==
n
Tempo
(min.) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52
Para calcular o quartil Q2
AULA 05 – Medidas de Dispersão
14
Observe que  Como 7,5 é um número fracionário 
devemos arredondar para 8. 
Então Q3 será definida pelo 8°elemento: 44 minutos.
Conclusão: em 75% dos dias a pessoa levou um tempo ≤ 44 
minutos para ficar pronto e em 25% dos dias levou um 
tempo ≥ 44 minutos.
5,7
4
30
4
3
==
n
Tempo
(min.) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52
Para calcular o quartil Q3
AULA 05 – Medidas de Dispersão
15
Caso 2: Dados Agrupados
Determinação QUARTIL Q1:
a) Acrescentar a coluna frequências acumuladas (Fi).
b) Calcular .
c) Encontrar a classe que corresponde à frequência
acumulada imediatamente superior a .
(cont ...) 
∑
4
f
i
∑
4
f
i
AULA 05 – Medidas de Dispersão
16
d) Aplicar a fórmula:
Onde:
l* é o limite inferior (da classe)
f* é a freqüência simples (da Classe)
h* é a amplitude da classe encontrada no item (c); 
F(ant) é a frequência acumulada da classe anterior encontrada em “c”.
AULA 05 – Medidas de Dispersão
17
QUARTIL Q2 é a MEDIANA do conjunto de dados.
QUARTIL Q3 é calculado de forma parecida a do quartil Q1
e poderá ser obtido pela fórmula: 
AULA 05 – Medidas de Dispersão
18
Exemplo: Cálculo do Quartil Q1 da distribuição de 
frequências das estaturas dos 40 alunos da faculdade A.
1) Encontrar o valor de: 
2) Marcar a classe que possui frequência acumulada 
imediatamente superior a 10 (é a 13).
10=
4
40
=
4
f∑
i
AULA 05 – Medidas de Dispersão
19
i Estaturas
(cm)
Fi
freq. simples
Fi
freq. acumulada
1 150|−154 4 4
2 154|−158 9 13
3 158|−162 11 24
4 162|−166 8 32 
5 166|−170 5 37
6 170|−174 3 40
 fi = 40
l* = 154
h* = 4
f* = 9
F(ant) = 4
Q1 = 154 + (10 - 4) 
Q1 = 156, 66 cm
9
4
Cálculo do Quartil Q1
AULA 05 – Medidas de Dispersão
20
Cálculo do Quartil Q3
Onde:
l* = 162
h* = 4
f* = 8
F(ant) = 24
Q3 = 162 + (30 - 24) = 165 cm
8
4
3010.3
4
40.3
4
3∑
===
if
i Estaturas
(cm)
Fi
freq. simples
Fi
freq. acumulada
1 150|−154 4 4
2 154|−158 9 13
3 158|−162 11 24
4 162|−166 8 32 
5 166|−170 5 37
6 170|−174 3 40
 fi = 40
AULA 05 – Medidas de Dispersão
21
PERCENTIL
Os PERCENTIS são os valores que separam uma série de 
dados em 100 (cem) partes iguais.
Determinação dos PERCENTIS
Caso1: Dados não agrupados
Para determinarmos os percentis para um conjunto com n
dados devemos adotar os seguintes passos:
AULA 05 – Medidas de Dispersão
22
Passos para determinação dos PERCENTIS
1) Ordenar o conjunto.
2) O percentil Pk é o valor que ocupar a posição (k.n)/100
- Se essa divisão der um número fracionário, arredonde-o
para cima; o valor do quartil será o dado nesta posição.
- Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a média
aritmética do valor que ocupar a posição encontrada na
divisão com o valor que ocupar a posição seguinte.
AULA 05 – Medidas de Dispersão
23
Passos para determinação dos PERCENTIS
Vamos calcular o percentil P30 na série ordenada dos
tempos gastos para se aprontar para o trabalho.
(k. n)/100 =
Como 3 é inteiro, a posição do percentil P30 será definida
pela média aritmética dos terceiro e quarto.
P30 =
minutos 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52
3
100
300
100
10.30
==
utosmin37=
2
74
=
2
39+35
AULA 05 – Medidas de Dispersão
24
Caso 2: Dados Agrupados
Como os quartis, os PERCENTIS podem ser calculados para 
dados agrupados em classes, pela fórmula:
Pk = l* + - F(ant)]
onde k é a ordem do percentil que se deseja encontrar.
Assim no exemplo das estaturas dos 40 alunos:
100
fk
[
*f
*h ∑
i
AULA 05 – Medidas de Dispersão
25
No exemplo das estaturas vamos calcular o percentil P20
i (cm) fi Fi
1 150|−154 4 4
2 154|−158 9 13
3 158|−162 11 24
4 162|−166 8 32 
5 166|−170 5 37
6 170|−174 3 40
 fi = 40
Pk = l* + - F(ant)]
100
fk
[
*f
*h ∑
i
Onde:
l* = 154 h* = 4 f* = 9 F(ant) = 4
Imediatamente acima = 13
AULA 05 – Medidas de Dispersão
26
Medidas de dispersão
Medem o grau de variabilidade, ou a dispersão dos valores
observados em torno da média aritmética.
Deseja-se comparar o desempenho de dois funcionários com
base na produção diária de uma peça, durante cinco dias:
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 → = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 → = 71
A performance média da A é de 70 peças (varia de 69 a 71)
A performance média de B é de 71 peças (varia de 60 a 83).
A performance de A é bem mais uniforme do que de B.
Qual o melhor empregado?
AULA 05 – Medidas de Dispersão
27
Amplitude total (AT) 
É a diferença entre o maior e o menor valor observado. 
AT = xmax − xmin
Empregado A = 71 − 69 = 2 
Empregado B = 83 − 60 = 23 
Qual o melhor empregado?
AULA 05 – Medidas de Dispersão
Desvio médio (DM): Analisa todos os desvios em relação à média.
Cálculo dos desvios (di)
Empregado A 
d1 = 70 – 70 = 0
d2 = 71 – 70 = +1
d3 = 69 – 70 = - 1
d4 = 70 – 70 = 0
d5 = 70 – 70 = 0
 di = 0
Empregado B 
d1 = 60 – 71 = - 11
d2 = 80 – 71 = +9
d3 = 70 – 71 = -1
d4 = 62 – 71 = - 9
d5 = 83 – 71 = +12
 di = 0
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 → = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 → = 71
AULA 05 – Medidas de Dispersão
29
Desvio Médio: DM = =
Para eliminar a soma zero ➔ desvios em módulo
Empregado A
d1 =  0  = 0
d2 = +1 = 1
d3 = - 1 = 1
d4 =  0  = 0
d5 =  0  = 0
  di  = 2
Empregado B
d1 = - 11 = 11
d2 = +9  = 9
d3 = - 1  = 1
d4 = - 9  = 9
d5 = +12  = 12
  di  = 42
n
di ||
n
Xxi || −
5
2
A ➔ DM = = 0,4 B ➔ DM = = 8,4
5
42
AULA 05 – Medidas de Dispersão
30
Variância
Denotada por (s2) ou (2 ), é a medida de dispersão que 
mede a variação média dos dados de uma amostra em 
relação a sua média aritmética. 
Fórmula: 
= 
n

2(di)
n
 2)X-(xi
AULA 05 – Medidas de Dispersão
31
Variância (2)
Para eliminar a soma zero, eleva-se os 
desvios ao quadrado: 
Empregado A 
d1 = (0)
2 = 0
d2 = (+1)
2 = 1
d3 = (−1)
2 = 1
d4 = (0)
2 = 0
d5 = (0)
2 = 0
 (di)
2 = 2
Empregado B
d1 = (–11)
2 = 121
d2 = (+9)
2 = 81
d3 = (−1)
2 = 1
d4 = (–9)
2 = 81
d5 = (+12)
2 = 144
 (di) 2 = 428 
n

2(di)
n

2x)-(xi
2 = 
= 
2 A = = 0,4 
2 B = = 85,6
5
2
5
428
AULA 05 – Medidas de Dispersão
32
Desvio-padrão
É a raiz quadrada da variância: 2 =
Desvio Padrão do funcionário A: = = 0,63
Desvio Padrão do funcionário B: = = 9,25
4,0
6,85
A
A
AULA 05 – Medidas de Dispersão
33
Desvio-padrão
Calcular o desvio-médio, a variância e o desvio padrão da
seguinte distribuição:
xi 5 7 8 9 11
Fi 2 3 5 4 2
AULA 05 – Medidas de Dispersão
34
Solução:
1°) Cálculo do desvio médio: 
DM = ou
Primeiramente, precisa-se do valor da média: 129/16 = 8,06 
n
fi |X- xi|
n
fi |di|
xi fi xi . fi |di| |di|
2 |di| fi
5 2 10 | 5 - 8,06 | = - 3,069,36 6,12 
7 3 21 | 7 - 8,06 | = - 1,06 1,12 3,18 
8 5 40 | 8 - 8,06 | = - 0,06 0,00 0,30 
9 4 36 | 9 - 8,06 | = 1,06 1,12 3,76 
11 2 22 | 11 - 8,06 | = 3,06 9,36 5,88 
∑ 16 129 20,96 19,24 
xi 5 7 8 9 11
Fi 2 3 5 4 2
AULA 05 – Medidas de Dispersão
35
Portanto, DM = = = 1,20
2°) Cálculo da variância:
2 = = = 1,31
3°) Desvio Padrão:
n

2(di)
16
96,20
2 = = = 1,1431,1
n
fi |di|
AULA 05 – Medidas de Dispersão
36
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
AULA 06 – Análise Combinatória
AULA 06 
Análise Combinatória
2
AULA 06 – Análise Combinatória
3
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é um ramo da matemática que 
estuda coleções finitas de objetos e se preocupa com a 
contagem de objetos, ou seja, o número de elementos de 
um conjunto, estando esses elementos agrupados sob 
certas condições. 
AULA 06 – Análise Combinatória
4
Exemplo:
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos 
de sanduíches: hot dog e hambúrger. Como sobremesa, 
há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. 
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma 
pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma 
sobremesa? 
AULA 06 – Análise Combinatória
5
Podemos ter as seguintes refeições: 
1) hot dog e sorvete 
2) hot dog e torta 
3) hot dog e salada de frutas 
4) hamburger e sorvete 
5) hamburger e torta 
6) hambuger e salada de frutas 
AULA 06 – Análise Combinatória
6
Diagrama de árvore
1ª coluna: possibilidades de escolha do sanduíche 
2ª coluna: possibilidades de escolha da sobremesa. 
AULA 06 – Análise Combinatória
7
Fazer uma refeição completa representa uma ação 
constituída de duas etapas sucessivas: 
1ª) Tipo de sanduíche: há duas possibilidades. 
2ª) Sobremesa: para cada um dos sanduíches há três 
escolhas de sobremesa. 
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) 
pode ser feita assim:
2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeição. 
AULA 06 – Análise Combinatória
8
Princípio Fundamental da Contagem - PFC 
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas 
etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de 
p maneiras distintas. Para cada uma dessas 
possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q
maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de 
se efetuar a ação completa é dado por 
p x q. 
AULA 06 – Análise Combinatória
9
Princípio Fundamental da Contagem – PFC
Este princípio vale para mais de duas etapas sucessivas. 
Se a primeira etapa ocorrer de k1 maneiras diferentes, a 
segunda de k2 maneiras diferentes, e assim 
sucessivamente, então o número total de maneiras de 
ocorrer o acontecimento é: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
AULA 06 – Análise Combinatória
10
Exemplo 1: Placas dos veículos: 3 letras e 4 algarismos. 
Quantos veículos poderão ser licenciados? 
São 26 letras e o 10 algarismos possíveis:
1ª posição: 26 alternativas (pode haver repetição)
2ª e 3ª posições: 26 alternativas (pode haver repetição). 
Algarismos: 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. 
Então, podem ser licenciados: 
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 veículos.
AULA 06 – Análise Combinatória
11
Exemplo 2 
Nos anos 60 as placas dos veículos tinham 2 letras e 4 
algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia 
ser licenciado? 
O número total de veículos que podiam ser licenciados: 
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000. 
Obs: A inclusão de apenas uma letra faz com que sejam 
licenciados a mais quase 170 milhões de veículos. 
AULA 06 – Análise Combinatória
12
Fatorial
n! = n . (n-1) . (n-2) ... 4 . 3 . 2 . 1 para n ≥ 2. 
n! = n . (n-1)! | n ∈ ℕ e n ≥ 2
a) 1! = 1. 
b) 0! = 1.
b) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
c) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
d) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 
e) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
AULA 06 – Análise Combinatória
13
Arranjo
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-
se Arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer 
sequência ordenada de k elementos distintos 
escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os agrupamentos 
conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição 
dos seus elementos. 
AULA 06 – Análise Combinatória
14
Exemplo: Formar centenas com os algarismos 1,3,5,7,9.
135; 137; 139; 153, 157 e assim sucessivamente. 
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma 
destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 
135 e 351. 
Temos um ARRANJO de 5 elementos tomados 3 a 3. 
AULA 06 – Análise Combinatória
15
Exemplo 1 
Dado o conjunto C = (1, 2, 3, 4), escreva todos os arranjos 
desses quatro elementos tomados dois a dois. 
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); 
(4, 1); (4, 2); (4, 3) 
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos 
elementos gera um agrupamento diferente. Neste caso é 
ARRANJO.
AULA 06 – Análise Combinatória
16
Exemplo 2 
O segredo de um cofre é marcado por uma sequência de 3 
dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, 
quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para 
conseguir abri-lo? 
Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a 
segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que são dígitos 
distintos, ou seja, diferentes). 
Pela fórmula de arranjos pelo PFC: 10.9.8 = 720. 
A10,3 = 720 
AULA 06 – Análise Combinatória
17
Cálculo do número de Arranjos 
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos 
encontrar uma expressão para o número de arranjos dos 
n elementos tomados k a k: (An,k). 
A fórmula do Arranjo é:
An,k = | n ≥ k
)!(
!
kn
n
−
AULA 06 – Análise Combinatória
18
Exemplo 3 
Obter o valor de A4,2 + A7,3. 
A4,2 = = = = 12 
A7,3 = = = = 210
Logo:
A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222 
)!24(
!4
− !2
2.3.4
!2
!4
)!37(
!7
− !4
!4.5.6.7
!4
!7
AULA 06 – Análise Combinatória
19
Permutações simples 
Permutações simples de n elementos distintos são os 
agrupamentos formados com todos os n elementos e que 
diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
É um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja: 
An,k = = = = n! 
Fórmula da Permutação: Pn = n!
)!(
!
kn
n
− !0
!n
1
!n
AULA 06 – Análise Combinatória
20
Exemplo 1 
Escrever todos os anagramas da palavra MAR. 
Um anagrama da palavra MAR é qualquer permutação das 
letras M, A, R de modo que se forme uma palavra com ou 
sem sentido. 
Assim, temos: 
MAR, MRA, AMR, ARM, RMA, RAM. 
AULA 06 – Análise Combinatória
21
Exemplo 2 
De quantas maneiras cinco pessoas: 
João, Luiz, Carlos, Maria e Joana 
podem ser dispostas em fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das 
cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma sequência
na qual comparecem sempre as cinco pessoas. 
Assim, o resultado esperado é: 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120 
AULA 06 – Análise Combinatória
22
Exemplo 3 
Com as cinco pessoas, quantas filas podem ser 
compostas começando por Maria ou por Joana? 
A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras 
(tanto Maria como Joana pode iniciá-la). 
Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares 
para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, 
num total de:
P4 = 4! = 24 possibilidades. 
Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48. 
AULA 06 – Análise Combinatória
23
Permutação com elementos repetidos 
Se entre os n elementos de um conjunto, existem 
a elementos repetidos
b elementos repetidos
c elementos repetidos 
e assim sucessivamente, o número total de permutações 
que podemos formar é dado por:
Pn
(a,b,c) = 
!!!
!
cba
n
AULA 06 – Análise Combinatória
24
Exemplo 1:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMATICA.São 10 elementos com repetições. 
A letra M repete duas vezes, a letra A três, a letra T, duas. 
n = 10 a = 2 b = 3 c = 2
P10
(2,3,2) = = 151200 
!2!3!2
!10
AULA 06 – Análise Combinatória
25
Exemplo 2 
Quantos anagramas podem ser formados com as letras 
da palavra MARIA? 
Temos:
n = 5 (cinco letras)
a = 2 (a letra A se repete duas vezes) 
P5
(2) = = = 5.4.3 = 60 
!2
!5
2
2.3.4.5
AULA 06 – Análise Combinatória
26
Combinações
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se 
combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a 
qualquer subconjunto formado por k elementos.
Ex: de cinco pessoas desejamos formar grupos de três; o 
grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo 
formado por Luís, Pedro e João. 
Temos uma COMBINAÇÃO quando os agrupamentos 
conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição 
dos seus elementos. 
AULA 06 – Análise Combinatória
27
A fórmula da Combinação é dada por:
Cn,k = 
)!(!
!
knk
n
−
AULA 06 – Análise Combinatória
28
Exemplo 1: Em uma turma de 10 alunos, quantos grupos 
de três alunos podemos formar? 
Como ao trocar a ordem das pessoas em cada grupo não 
altera o grupo, temos que trabalhar com combinação. 
n = 10
k = 3
Cn,k = 
C10,3 = = = 120 
)!(!
!
knk
n
−
)!310(!3
!10
− !7!3
!7.8.9.10
AULA 06 – Análise Combinatória
29
Exemplo 2: Faça todas as combinações dos cinco 
elementos de M = {a, e, i, o, u} tomados dois a dois. 
{a, e} = {e, a}; portanto é combinação. 
Cn,k = = = = 10
As combinações pedidas são: 
{a, e}; {a, i}; {a, o}; {a, u}; {e, i}; 
{e, o}; {e, u}; {i, o}; {i, u}; {o, u}
)!(!
!
knk
n
− !3!2
!5
!3.2
!3.4.5
AULA 06 – Análise Combinatória
30
Exemplo 3: Três livros serão sorteados entre Pedro, Luís, 
José, Claudia e Márcio. Quais os possíveis resultados? 
Cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco 
alunos tomados três a três. 
n = 5
k = 3
Cn,k = = = = 10
Os possíveis resultados do concurso são: 
{P, J, M}; {P, J, A}; {P, M, A}; {P, L, J}; {P, L, M}; {P, L, A}; 
{L, J, A}; {L, J, M}; {J, A, M}; {L, A M}
)!(!
!
knk
n
− !2!3
!5
!3.2
!3.4.5
AULA 06 – Análise Combinatória
31
Quando é Arranjo e quando é Combinação?
Arranjo: quando os agrupamentos conseguidos ficam 
diferentes ao se inverter a ordem dos elementos.
Combinação: quando os agrupamentos conseguidos 
não se alteram ao inverter a ordem dos elementos.
AULA 06 – Análise Combinatória
32
Exercícios de revisão
1) Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três 
estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras 
distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 
Viagem de A a C é constituída de duas etapas sucessivas: 
1ª ir de A até B: são quatro possibilidades 
2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, 
há três maneiras de chegar a C, a partir de B. 
Assim, o resultado procurado é 4 x 3 = 12. 
AULA 06 – Análise Combinatória
33
2) Um torneio mundial de basquete é disputado por quatro 
seleções: Brasil, China, Holanda e Itália. De quantas 
maneiras distintas podemos ter os três primeiros 
colocados? 
Holanda (campeã), Brasil (2°) e Itália (3°)
Brasil (campeão), Itália (2°) e Holanda (3°)
Cada resultado do torneio é um arranjo de 4 três a três. 
An,,k =
A4,3 = = = 4 . 3 . 2 = 24 
)!(
!
kn
n
−
)!34(
!4
− !1
!4
AULA 06 – Análise Combinatória
34
3) Quantas possibilidades de agrupamentos há com os 
elementos A,B,C? 
São possíveis as seguintes permutações:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
AULA 06 – Análise Combinatória
35
4) Uma prova de 15 questões, o aluno deve resolver 10. 
De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, 
podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 
15 elementos, 10 a 10. 
Cn,k = = = = 3003)!(!
!
knk
n
− !5!10
!15
2.3.4.5!10
!10.11.12.13.14.15
AULA 06 – Análise Combinatória
36
5) Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se 
existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes 
podem ser preparados? 
C7,3 = = = = 35 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
AULA 07 
CONCEITOS DE PROBABILIDADE
2
A História da probabilidade
O homem das cavernas sentia temor ante os 
fenômenos naturais porque não podia explicá-los. Mitos e 
magias dominavam o seu pensamento. De forma lenta e 
gradual, o passou a compreender a natureza e respeitá-la. 
Assimilou que diversos dos fenômenos incertos poderiam 
ser modelados e melhor entendidos. Assim, nasciam as 
primeiras aplicações práticas para as probabilidades.
3
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Na antiguidade, acreditava-se que somente os deuses 
poderiam explicar a ocorrência de alguns eventos naturais. 
Na Grécia antiga, antever o futuro era um privilégio de 
Tirésias. Cego por vingança divina, Tirésias recebeu de 
Zeus o dom da profecia. 
4
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
A partir do século XVII a incerteza passou a ser objeto de 
estudo dos matemáticos, resultando na Teoria das 
Probabilidades. 
Para eles, probabilidade é porcentagem: frequência com 
que ocorre um evento em relação às alternativas possíveis. 
Iniciava-se assim, os estudos matemáticos para 
compreender os jogos de azar e os riscos dos seguros, 
possibilitando o surgimento da Teoria da Probabilidade. 
5
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
A necessidade de calcular o número de possibilidades 
existentes nos jogos de azar levou ao desenvolvimento da 
Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática 
que estuda os métodos de contagem. 
6
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Esses estudos foram iniciados no século XVI, pelo 
matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), 
conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses 
Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
7
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Pascal Fermat Tartaglia
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
A Estatística estuda fenômenos cujos resultados variam de 
uma observação para outra.
Para a explicação desses fenômenos – fenômenos 
aleatórios – adota-se um modelo matemático probabilístico. 
Nesse caso, o modelo utilizado será o 
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES.
8
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
A probabilidade representa a relação entre o número de 
eventos favoráveis ao que se estuda em relação ao número 
possível de eventos.
Exemplo: 
Ao jogar um dado, qual a probabilidade de dar o número 6?
9
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
%7,16167,0
6
1
====
PossíveisEventos
FavoráveisEventos
p
Podemos também representar:
Para quantificar o número de eventos favoráveis e o número 
de eventos possíveis, empregamos diferentes métodos:
10
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Método clássico: Quando o resultado é provável, seu 
emprego é comum nas situações que envolvem dados, 
moedas e baralhos. Nesses casos, se sabe previamente 
quais os resultados possíveis e desses, quantos são 
favoráveis. 
Exemplos:
a) Moeda: probabilidade de sair “cara” é 50% ou 1/2.
b) a probabilidade de extrair uma carta de copas de um 
baralho é 25% ou 1/4.
11
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Método empírico: A frequência de ocorrer o evento é 
determinada a partir de uma série de observações práticas 
anteriores. 
Por exemplo, em uma cidade de 10.000 habitantes 4.800 são 
do sexo feminino, estima-se que a probabilidade de um 
habitante escolhido ao acaso seja do sexo feminino é igual 
a 4.800/10.000, ou 0,48, ou 48%. Neste caso, a probabilidade 
está associada à frequênciarelativa (fi%).
12
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Método subjetivo
A probabilidade é estimada com base na opinião pessoal. 
Por exemplo, um cientista político pode estimar que a 
probabilidade de vitória da oposição nas próximas 
eleições seja de 60%.
A probabilidade do Fluminense ser campeão é de 85%.
13
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplo 1: (Método clássico)
Qual a probabilidade de se extrair uma bola vermelha de 
uma caixa com 12 bolas, sendo que lá existem três 
vermelhas?
Resp: 3/12 = 25%
14
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplo 2: (Método clássico)
Quando dois dados são jogados simultaneamente, 
existem seis resultados possíveis em cada dado, ou seja, 
36 resultados possíveis. 
Qual é a probabilidade de se obter a soma sete?
Para que a soma seja sete os pares devem ser: 
{(6,1)}; {(5,2)}; {(4,3)}; {(3,4)}; {(2,5)}; {(1,6)}.
Assim, a probabilidade é igual a 6/36 = 1/6
15
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplo 3: (Método empírico)
Qual a probabilidade de encontramos um aluno maior de 
idade em um colégio, sabendo que uma pesquisa com 
1400 alunos apontou 800 maiores de idade. 
A probabilidade seria de 800/1400 = 57,14%.
16
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Experimento aleatório: É quando repetido em iguais 
condições, podem fornecer resultados diferentes. 
Exemplo: possibilidades de ganho na loteria, a 
abordagem envolve cálculo de experimento aleatório, que 
apresenta as seguintes características:
• É possível conhecer previamente o conjunto dos 
resultados possíveis.
• Não é possível prever o resultado.
• Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições.
17
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplos de experimentos
1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e 
observar seu naipe. 
2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de 
coroas obtidas. 
3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que 
contém 5 bolas brancas e seis pretas. 
4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face 
de cima. 
5: Contar o número de peças defeituosas da produção 
diária de uma determinada máquina. 
18
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
A análise desses experimentos revela 
a) Cada experimento poderá ser repetido 
indefinidamente sob as mesmas condições. 
b) Não se conhece um particular valor do experimento 
“a priori”, porém podemos descrever todos os possíveis 
resultados – são as possibilidades. 
19
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
c) Quando o experimento for repetido um grande 
número de vezes surgirá uma regularidade, uma 
estabilidade da fração f = s/n (frequência relativa), onde 
s é o número de sucessos e 
n é o número de repetições. 
20
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
ESPAÇO AMOSTRAL: 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. A letra que representa o espaço 
amostral, “S” ou Ω.
Para cada experimento aleatório E, o espaço amostral é o 
conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
O conjunto de todos os possíveis resultados do 
experimento é denominado espaço amostral (Ω). 
O número de elementos de um espaço amostral = n(Ω). 
21
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplo 1:
a) E = Jogar um dado e observar o número 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
b) E = jogar duas moedas e observar os resultados. 
Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} 
Onde
K = Cara 
C = Coroa 
22
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplo 2:
Lançamos uma moeda honesta e observamos a 
face voltada para cima: 
Temos: Ω = {K, C}
Logo o número de elementos do Espaço Amostral 
n(Ω) = 2. 
Chamamos cada um dos resultados possíveis de 
Ponto Amostral. 
23
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplo 3:
Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro azuis. 
Duas bolas são extraídas, ao acaso, sucessivamente e 
sem reposição. 
24
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Para determinar Ω, construímos um 
diagrama de árvore:
Ω = {(V, V), (V,A), (A,V), (A,A)} ➔ n(Ω) = 4
Cada par é um ponto amostral de Ω. 
Evento
É um conjunto de resultados do experimento. 
É um subconjunto de Ω. 
Podemos formar novos eventos: 
A ∪ B é o evento que A ou B ocorre ou ambos. 
A ∩ B é o evento que A e B ocorrem. 
25
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exemplo 1: Sejam os experimentos: 
a) jogar três moedas e observar os resultados: 
Ω =
{(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)} 
Determine o evento que ocorre pelo menos duas caras. 
E = {(c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)} 
26
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
b) Lançar um dado e observar o número de cima. 
E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. 
c) Lançar um dado e observar a ocorrência de número 
maior que 8. 
E = Ø é um evento impossível. 
27
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
d) lançar um dado e observar a ocorrência de múltiplo de 2. 
E = {2, 4, 6}; E ⊂ Ω.
e) lançar um dado e observar a ocorrência de número ímpar.
E = {1, 3, 5}; E ⊂ Ω.
28
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Probabilidade de um Evento 
Podemos quantificar o grau de confiança de um evento. 
Exemplo:
O experimento consiste em extrair uma bola do interior de 
uma caixa e observar sua cor. Há um total de nove bolas na 
caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. Qual a 
probabilidade de tirar uma bola que não seja preta? 
29
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Probabilidade de um Evento 
Para solucionar temos que determinar o espaço amostral:
Elemento Probabilidade
(B) Branca 2/9
(V) Vermelha 3/9
(P) Preta 4/9
Ω = {Branca, Vermelha, Preta}
30
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, 
E = {B,V}, consta de dois elementos. 
Se somarmos as probabilidades da bola branca, 2/9
e da vermelha, 3/9, vamos conhecer o valor da 
probabilidade do evento A:
P(E) = + = 
31
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
9
2
9
3
9
5
Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos 
resultados (eventos elementares) tem a mesma frequência
relativa esperada. 
Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e 
comprovar o resultado. 
Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e 
que sua probabilidade é uniforme. 
32
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
33
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
Exercícios:
1. Um experimento é composto de duas etapas: primeiro, 
uma moeda é lançada e, em seguida, um dado é lançado. 
Construa o espaço amostral.
Ω = {(C,1), (C,2), (C,3), C,4), (C,5), (C,6), {(K,1), (K,2), (K,3), 
K,4), (K,5), (K,6)}
Exercícios:
2. Será realizado um sorteio para saber que mês haverá uma 
feira de artesanato. Construa o espaço amostral.
Ω = {jan, fev, mar, abr, mai, jun, jul, ago, set, out, nov, dez}
3. Uma carta de um baralho de 52 cartas será sorteada. 
Determine: a) Ω b) n(Ω)
Ω = {Áscopas, Ásouros, Ásespadas, Áspaus, ... Reicopas, Reiouros, 
Reiespadas, Reipaus}
n(Ω) = 52
34
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
4. Um diálogo está gravado em seis idiomas: português, 
francês, italiano, inglês, alemão e espanhol.
Podemos escolher um desses idiomas. 
Determine o espaço amostral.
Ω = {português, francês, italiano, inglês, alemão, espanhol}
35
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
5. Uma urna contém três bolas vermelhas e uma azul. 
Retiramos, sucessivamente, duas bolas dessa urna. 
Construa o espaço amostral correspondente, se a 
extração é feita: 
a) com reposição 
Ω = {(V, V), (V, A), (A, A), (A, V)}
b) sem reposição 
Ω = {(V, A), (V, V), (A, V)}
36
Aula 07 – Conceitos de Probabilidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
Aula 08 – Axiomas
AULA 08 
Axiomas
2
3
Aula 08 – Axiomas
Axiomas da Probabilidade
Os conceitos básicos a partir dos quais se constróia definição de probabilidade são conhecidos como os 
axiomas da probabilidade, sendo o seu conhecimento 
importante para compreender claramente as condições 
necessárias à sua aplicação.
http://www.oderson.com/educacao/estatistica/axiomas.htm
http://www.oderson.com/educacao/estatistica/axiomas.htm
4
Aula 08 – Axiomas
Axiomas de Kolmogorov
Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov
(1903 - 1982) lançou as bases axiomáticas da probabilidade e 
desenvolveu toda uma teoria que constituiu um enorme avanço, 
estabelecendo um marco histórico. 
Os seus princípios básicos são relativamente simples e intuitivos, 
permitindo que se tenha uma boa compreensão dos conceitos e suas 
aplicações práticas.
5
Aula 08 – Axiomas
Axiomas de Kolmogorov
1°) Em um experimento aleatório, existe sempre um espaço 
amostral e uma álgebra de eventos.
2°) Para todo evento existe um número não-negativo chamado de 
probabilidade.
3°) A probabilidade do espaço amostral é igual a 1.
4°) Para quaisquer dois eventos disjuntos a probabilidade da união 
deles é igual à soma das suas probabilidades.
5°) O 4° Axioma é verdadeiro para infinitas uniões, desde que 
todos os pares de eventos sejam disjuntos.
6
Aula 08 – Axiomas
Propriedades Fundamentais da 
Probabilidade (P)
P de qualquer evento é sempre um número maior ou igual a 
zero e menor ou igual a um. 
P de um evento impossível é zero. 
Se a ocorrência de um evento implica na ocorrência de um 
segundo, então P do primeiro < P do segundo. 
P da união de dois eventos = P do primeiro + P do 
segundo – P da ocorrência simultânea dos dois. 
7
Aula 08 – Axiomas
Importância do Conceito de Partição
A partição de um conjunto é uma coleção de 
conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e 
que a interseção de quaisquer dois deles é vazia. 
Ao se particionar um evento, é possível calcular a sua 
probabilidade (P) somando-se P dos eventos da partição. 
Para isso é necessário apenas dispor da P dos elementos 
da partição (vide Axiomas 4° e 5°).
8
Aula 08 – Axiomas
Importância do Conceito de Partição
Através do particionamento de conjuntos, é possível não 
apenas calcular a probabilidade de eventos a partir de 
outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir 
diversas propriedades e implicações do próprio conceito 
de probabilidade.
9
Aula 08 – Axiomas
Evento Complementar 
Consideremos um evento E relativo a um 
espaço amostral Ω. 
Chamamos evento complementar de ao evento que 
ocorre quando E não ocorre. 
Observe o seguinte diagrama: 
__
E
E ∩ = ∅
E ∪ = Ω
__
E
__
E
10
Aula 08 – Axiomas
Exemplo 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se 
da urna, ao acaso, uma bola. Se E é o evento “ocorre 
múltiplo de 3”, então será? 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo: 
= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} evento “não ocorre múltiplo de 3”. 
E ∪ = Ω
__
E
__
E
__
E
11
Aula 08 – Axiomas
Probabilidades em 
Espaços Amostrais Equiprováveis 
Consideremos o espaço amostral Ω formado por k 
pontos amostrais: Ω = {a1, a2, a3, ..., ak } 
Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um 
número real, p{ai }, ou simplesmente pi, chamado 
probabilidade do evento {ai }, ou seja, probabilidade de 
ocorrência do ponto amostral ai, tal que: 
12
Aula 08 – Axiomas
Probabilidades em 
Espaços Amostrais Equiprováveis 
Consideremos o espaço amostral Ω formado por k 
pontos amostrais: Ω = {a1, a2, a3, ..., ak } 
Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um 
número real, p{ai }, ou simplesmente pi, chamado 
probabilidade do evento {ai }, ou seja, probabilidade de 
ocorrência do ponto amostral ai, tal que: 
13
Aula 08 – Axiomas
(I) 0 ≤ pi ≤ 1
(II) = = 1 , isto é:
p1 + p2 + ... + pk = 1 

=
k
i
pi
1
14
Aula 08 – Axiomas
Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, 
isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma 
probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a 
probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos 
amostrais de Ω, temos, em (II): 
K vezes
p + p + p + ... + p = 1 ➔ k . p = 1 ➔ p = 
k
1
K vezes
15
Aula 08 – Axiomas
A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por 
r pontos amostrais E = {a1, a2, a3, ..., ar } , com r ≤ k, é dada 
por: 
p (E) = p1 + p2 + ... + Pr ➔ p(E) = + + + ... +
p (E) = 
k
1
k
1
k
1
k
1

=
deelementosdenúmero
Edeelementosdenúmero
k
r
16
Aula 08 – Axiomas
Como E ⊂ Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω). 
Assim:
p(E) = | 0 ≤ p(E) ≤ 1
A probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pela 
razão entre o número de casos favoráveis e o 
número de casos possíveis.
)(
)(
n
En
possíveiscasosdenúmero
favoráveiscasosdenúmero
n
En
Ep =

=
)(
)(
)(
17
Aula 08 – Axiomas
No lançamento de um dado, se o evento A consiste em 
obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1, pois 
num dado honesto só existe um “5”, e o número de casos 
possíveis é 6, portanto o espaço amostral é: 
Ω = {1,2,3,4,5,6} 
E a probabilidade do evento A será: p (A) = 1/6.
18
Aula 08 – Axiomas
Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, 
isto não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em 
uma delas sairá o número “5”. 
Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez ou que 
saia mais de uma vez. 
A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse 
experimento um número grande de vezes, o evento A vai 
ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas. 
19
Aula 08 – Axiomas
Exemplo 1
Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola 
é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada 
uma bola com número maior ou igual a 11? 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 15} 
Seja o evento E: “número da bola sorteada ≥ 11”. 
Logo: E = {11, 12, 13, 14, 15}. 
p(E) = = = = 33,3%
)(
)(
n
En
15
5
3
1
20
Aula 08 – Axiomas
Exemplo 2: Um dado é lançado. Qual a probabilidade de 
dar: a) menor que 3? b) Maior ou igual a 3? 
a) Temos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E = {1, 2}. Então, p(E) = = 
b) Podemos usar o evento complementar: = {3, 4, 5, 6}
Assim, p ( ) = = = 
)(
)(
__
n
En
6
2
3
1
__
E
__
E
6
4
3
2
Obs: p( E ) + p( ) = 1 = 100% 
__
E
21
Aula 08 – Axiomas
Exemplo 3: Uma moeda é lançada três vezes, 
sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos: 
a) exatamente uma cara? b) No máximo duas caras? 
Diagrama de Árvore
22
Aula 08 – Axiomas
O espaço amostral é formado pelas oito sequências
indicadas no Diagrama de Árvore. 
a) Exatamente uma cara: E1 = {(K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)}
p(E1) = = = 37,5% 
b) No máximo duas caras
E2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)} 
p(E2) = = 87,5%. 
)(
)(
__
1
n
En
8
3
8
7
23
Aula 08 – Axiomas
Exemplo 4: Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. 
Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para 
representantes de turma. Qual a probabilidade dessa 
comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos? 
Solução:
Comissões total: n(Ω) = C45,5
Comissões só de meninos = C20,5
P(E) = = 0,0126 = 1,26%
5,45
5,20
C
C
24
Aula 08 – Axiomas
Exemplo 5: Nos anagramas da palavra XADREZ, qual a 
probabilidade da palavra escolhida começar por XA? 
Solução:
O número de elementos de Ω é o número de permutações 
da palavra XADREZ. 
Então, n(Ω) = P6 = 6! = 720. 
O evento E = X A __ __ __ __ 
Definidas as duas primeiras letras, há P4 = 4! = 24
Logo: p(E) = = 3,33% 
720
24
25
Aula 08 – Axiomas
Exemplo 6: Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma 
pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade 
revelou que: 
• 25 pessoas consomem carnes e verduras 
• 83 pessoas consomem verduras 
• 39 pessoas consomem carnes
Qual é a probabilidade de uma pessoa: 
a)Consumir exclusivamente carne? 
b) De não comer nem carne nem verdura?
26
Aula 08 – Axiomas
Solução:
Diagrama de Venn Euler: carne (C) e verdura (V). 
27
Aula 08 – Axiomas
Solução:
1°) Há 25 pessoas na interseção de C e V. 
2°) Consomem exclusivamente verduras: 83 – 25 = 58 
3°) Consomem exclusivamente carnes: 39 – 25 = 14 
4°) 25 + 58 + 14 = 97 (3 que não comem carnes nem verduras. 
a) Exclusivamente carne
= 0,14 = 14% 
b) Não comer nem carne nem verdura
= 0,03 = 3% 
100
14
100
3
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
AULA 09 
Probabilidade Condicional
2
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
Objetivos da AULA 09 
- Probabilidade de dois eventos.
- Teorema do Produto
- Probabilidade Condicional.
3
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
4
Relembrando o que é Evento
a) Lançar um dado e observar o número de cima. 
E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. 
b) Lançar um dado e observar a ocorrência de pares. 
E = Ω = {2, 4, 6} é um evento de números pares. 
c) Lançar um dado e observar a ocorrência de número 
maior que 8. 
E = Ø é um evento impossível. 
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
5
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE 
DOIS EVENTOS 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço
amostral. Vamos encontrar uma expressão para
a probabilidade de ocorrer o evento A ou o
evento B, isto é, a probabilidade da ocorrência
do evento A  B.
Consideremos dois casos:
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
6
1°) Teorema da soma: 
eventos mutuamente exclusivos
A  B = Ø 
n(A  B) = n(A) + n(B)
Como n( Ω ) ≠ 0:
) n(
)n(B
) n(
)n(A
 ) n(
)Bn(A 

+

=


Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
7
Da definição de probabilidade: 
a probabilidade da união de (A) com (B) é a 
soma da probabilidade de (A) com a 
probabilidade de (B).
P( A  B ) = p(A) + p(B)
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
8
2°) Eventos com ocorrências simultâneas: 
Aplica-se nas operações multiplicativas de 
probabilidades, que são aquelas que envolvem a 
expressão “e” e são representadas por “”.
A  B ≠ Ø
p( A  B ) = p(A) + p(B) - A  B 
O evento A  B representa a ocorrência simultânea 
dos eventos A e B.
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
9
Exemplo 1 
Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola 
é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada 
ser múltiplo de 2 ou de 3? 
Consideremos os eventos:
A “o número é múltiplo de 2” e B “o número é múltiplo de 3”. 
Queremos encontrar p(A  B) 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
10
Lembrando que:
Podemos calcular a probabilidade da interseção: 
25
12
) n(
)n(A
)A( =

=p
25
8
) n(
)n(B
)B( =

=p
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
11
A  B = {6, 12, 18, 24} ➔ é o evento formado pelos 
múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo, isto é, pelos 
múltiplos de 6. 
Temos: p(A  B) = 
Como p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
Temos p(A  B) = %6464,0
25
4
25
8
25
12
==−+
25
4
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
12
Exemplo 2: Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 
25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade 
da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? 
A = {5, 10, 15, 20, 25} 
Logo: p(A) = 
B = {7, 14, 21} 
Logo: p(B) = 
Como A  B = Ø temos: 
p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B) =
25
5
25
3
%3232,0
25
8
25
3
25
5
===+
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
13
Exemplo 3: A probabilidade de um policial aplicar quatro 
ou mais multas em um dia é de 63%; a probabilidade de 
ele aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. 
Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente 
quatro multas? 
Consideremos os eventos: 
A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63 
B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56 
Temos: 
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
14
1°) A  B é o evento “aplica exatamente quatro multas”. 
Queremos determinar p(A  B). 
2°) p(A  B) = (o guarda aplica menos de quatro multas 
ou quatro multas ou mais de quatro multas). 
Assim, p(A  B) = p(Ω) = 1 (pois A  B é o evento certo). 
Então: 
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
1 = 0,63 + 0,56 - p(A  B)
p(A  B) = 1 – 1,19 = 0,19 = 19%
≤ 4 4 ≥4
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
15
Exemplo 4: Observe a roleta. 
a) Qual a probabilidade de cada 
evento elementar? 
P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 
P(3) = 2/8 
b) Qual a probabilidade do número ser par? P({2,4,6}) = 3/8 
c) Qual a probabilidade de dar o número 3? P(3) = 2/8 = 1/4 
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
16
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Seja o evento E: lançar um dado 
Seja o evento A = {sair o nº 4}
p (A) = 1/6
Seja o evento B = {sair um número par} = {2, 4, 6}
É importante para o cálculo das probabilidades calcular a 
probabilidade condicional. 
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
17
Estamos interessados em avaliar a probabilidade do 
evento A condicionada à ocorrência do evento B. 
A probabilidade condicionada é representada por: 
p(A/B) ➔ lê-se: probabilidade de A dado B
Observe que uma vez dada a informação da ocorrência 
de um evento, teremos a redução do espaço amostral.
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
18
Sabemos que B = {2, 4, 6}
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para
Ω = {2, 4, 6} e é nesse espaço amostral reduzido é que 
se avalia a probabilidade do evento.
Dados dois eventos A e B, a p(A/B) é a probabilidade 
condicionada do evento A quando B tiver ocorrido:
p(A/B) = 
)B(
B) (A 
p
p 
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19
Podemos concluir:
p(A/B) = = = 
Assim, para avaliar a probabilidade de A, dado B, basta 
contar o número de casos favoráveis ao evento (A  B) e 
dividir pelo número de casos favoráveis ao evento B.
)B(
B) (A 
p
p 
NTC
BNCF
NTC
)(
B) NCF(A 
)(
B) NCF(A 
BNCF

Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
20
Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os 
eventos:
A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} 
B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 é o resultado do 
dado 2.
Pede-se avaliar p(A); p(B); p(A/B) e p(B/A)
Solução:
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
21
p(A) = 
p(B) =
Lembrando A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} e B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 }
Apenas (6,4) é favorável ao evento A  B e que 15 pares são favoráveis a B.
12
1
36
3NCF(A)
==
NTC
12
5
36
15NCF(B)
==
NTC
15
1
)(
)NCF(A 
=

BNCF
B
3
1
)(
)NCF(A 
=

ANCF
B
p(A/B) = 
p(B/A) =
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22
TEOREMA DO PRODUTO
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois 
eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao 
produto da possibilidade de um deles pela probabilidade 
condicional do outro, dado o primeiro”.
Logo: p(A  B) = p(B) . p(A/B)
Logo: p(A  B) = p(A) . p(B/A)
)(
B) p(A 
)/(
Bp
BAp

=
)(
B) p(A 
)/(
Ap
ABp

=
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
23
TEOREMA DO PRODUTO
Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 
duas são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual 
a probabilidade de que ambas sejam boas?
A = {a primeira peça é boa} ➔ p(A) = 
B = {a segunda peça é boa} ➔ p(B/A) =
p(A  B) = p(A) . p(B/A) = 
33
14
11
7
12
8
=x
12
8
11
7
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
24
Exercícios: 
1) Calcule A  B. São dados:
p(A) = p(B) = P(A  B) =
Solução:
Pela fórmula p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) 
5
2
3
1
5
1
15
8
5
1
3
1
5
2
=−+
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25
2) Dado p(A) = p(B) = p (A  B) = 
Calcule p(A/B). 
Solução:
5
2
4
1
5
1
5
4
4
1
5
1
)(
B) p(A 
)/( ==

=
Bp
BAp
Aula 09 – Axiomas da Probabilidade
26
3) Dado p(A) = p(B) = p (A  B)