Topografia 5

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Topografia
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi
Revisão Técnico:
Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana
Revisão Textual:
Prof.a Dr.a Selma Aparecida Cesarin
Planimetria
• Introdução
• Medição de Distâncias
• Distâncias Angulares
• Estação Total
• Irradiação
• Ângulos Internos das Poligonais
 · Nesta Unidade, o estudante deverá aprender sobre o uso da Esta-
ção Total, a tomada de dados e a construção de poligonais em um 
plano cartesiano.
 · O aluno também será apresentado a outro método de cálculo de 
área, baseado nas coordenadas e nos erros envolvidos. 
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Planimetria 
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Planimetria 
Introdução
Nesta unidade, aprenderemos como realizar as medições de distâncias lineares 
e dos ângulos para a construção da área projetada dos terrenos de interesse. 
Chamamos esse tipo de levantamento de planimetria. 
Um dos métodos mais utilizados para a realização de um levantamento desse 
tipo é a construção de uma poligonal. 
A poligonação é realizada por meio da observação de segmentos de reta 
consecutivos, que margeiam o local a ser estudado. Esse é um dos principais 
métodos para a obtenção da área e da forma do terreno. Para tanto, precisamos 
obter as distâncias horizontais entre as linhas consecutivas e os ângulos formados 
entre as direções dessas linhas. A quantidade de linhas que serão utilizadas (ou o 
número de lados) da poligonal depende da forma do terreno. Quanto mais irregular 
for a borda do terreno, mais linhas deveremos utilizar para contorná-lo.
Medição de Distâncias
É muito importante para o topógrafo realizar as medidas de distância adequada-
mente, para que erros não ocorram na reconstrução da área de interesse durante 
a planimetria. 
A medida de distâncias horizontais é a base da Topografia e é daí que partem 
as suas raízes mais distantes. Em geral, são marcados dois pontos no chão e 
as distâncias entre as verticais de cada ponto são medidas sob o mesmo plano 
horizontal. Isso significa que caso dois pontos estejam em alturas diferentes, 
devemos medir a distância horizontal entre o eixo vertical dos pontos, e não na 
diagonal (distância real). 
 
Distância Real
B
A
A-B
Distância Horizontal
x
Figura 1 – Distância Real e Distância Horizontal
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Distâncias Angulares
Para se obter as medidas angulares de uma poligonal, utilizaremos um ponto 
inicial como referência, para o qual conhecemos as coordenas por meio de um 
GPS ou outro instrumento e, consequentemente, sabemos a sua distância com 
relação ao Norte. 
A seguir, podemos medir as distâncias angulares com o uso da Estação Total 
ou teodolito; podem ser medidos ângulos internos ou externos, dependendo do 
interesse e da praticidade.
Estação Total
Há algumas décadas, instrumentos analógicos como o teodolito, por exemplo, 
eram os instrumentos mais utilizados na Topografia. Atualmente, a Estação Total 
substituiu o Teodolito e vem sendo amplamente utilizada devido à sua precisão e 
praticidade. Esse instrumento realiza em tempo real os cálculos de inclinações, 
ângulos e distâncias nos levantamentos modernos. 
A Estação Total possui pelo menos três instrumentos eletrônicos de leitura: 
um instrumento de medição de distância, um instrumento de leitura angular e um 
microprocessador para tratar os dados e realizar os cálculos básicos no momento da 
observação. Esse aparelho é capaz de calcular as distâncias horizontais e verticais, 
as distâncias angulares e exibi-los em uma tela. Além disso, a Estação Total 
também pode armazenar esses dados para, posteriormente, serem transferidos a 
um computador.
Em campo, a Estação Total deve ser colocada sobre um tripé e deve-se prestar 
muita atenção ao seu nivelamento, para que não ocorram erros nas medidas devido 
ao seu mau posicionamento.
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UNIDADE Planimetria 
Figura 2 – Estação Total de um dos modelos disponíveis no Mercado e seus componentes
Fonte: GHILANI, C. D. & WOLF. P. R. Geomática São Paulo. São Paulo: Pearson, 2014, p.162
Irradiação
Nesta unidade, você irá aprender a realizar o levantamento de uma poligonal 
fechada por meio do método de pontos irradiados ou Irradiação. Nesse método, 
posicionamos a Estação Total em um ponto inicial e a partir desse ponto, 
observamos os outros pontos do terreno, colocando uma pessoa segurando uma 
mira no ponto desejado. 
Assim, com o auxílio da luneta da Estação Total, encontramos a mira e ela 
calcula automaticamente a distância angular e horizontal até o ponto de interesse. 
Um ponto de coordenadas conhecidas fora da poligonal deve se observado, pois é 
por meio dele que realizaremos a calibração do nosso levantamento. 
A figura3 mostra uma poligonal na qual a Estação Total foi colocada no ponto 
O e o ponto Z é um ponto de referência com coordenadas conhecidas (nessa 
fase, algumas pessoas preferem alinhar o ponto Z ao Norte verdadeiro, pois assim 
teremos sempre o azimute verdadeiro para cada ponto).
Primeiramente, devemos medir a distância OZ e calibrar a Estação Total para 
que o ponto Z seja a origem das nossas medidas angulares. 
Para prosseguir com o levantamento, devemos medir a distância horizontal OA e 
a distância angular ZA; a seguir, a distância horizontal OB e a distância angular AB; 
então, a distância horizontal OC e a distância angular BC, e assim sucessivamente. 
10
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A
B
C
D
E
F
O
Z
Figura 3 – Poligonação por meio do método de pontos irradiados.
A posição O marca a Estação Total e os outros pontos marcam o vértice do terreno
Os dados devem ser anotados em uma Caderneta de campo e é importante 
que, durante o levantamento, seja realizado um croqui com os nomes dos pontos 
observados no terreno, para posterior conferência ou localização. 
Você deverá anotar os seguintes dados:
Ponto Ângulo Horizontal Distância Azimute
Veja o exemplo a seguir, baseado na figura3. Suponha que com um GPS vocêmediu as coordenadas do ponto Z, que será a nossa referência, e encontrou um 
azimute de 36º25’20”.
Ponto Ângulo Horizontal Distância Azimute
A-B 29° 13’24” 62,510 350° 47’ 0”
B-C 45° 07’ 42” 31,720
C-A 105° 39’ 43” 46,0
Z 180° 00’ 19”
O ponto Z foi medido novamente, para realizar o fechamento da nossa poligonal 
e calcular eventuais erros de fechamento
Devemos, então, calcular o azimute para cada medida.
O azimute será:
azimute = (azimute anterior + Angulo Horizontal) - 180°
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UNIDADE Planimetria 
Lembrando-se de que o azimute deve estar entre 0º e 360º. Portanto, se:
Azimute < 0º - devemos fazer azimute + 360º
Azimute > 360º - devemos fazer azimute -3 60º
Importante!
Por exemplo: se um ponto tem o ângulo de 42°’06’ 53” e um azimute inicial de 24° 37’ 
32” teremos:
azimute = (24° 37’ 32” + 42° 06’ 53”) - 180°
azimute =66°44’25” - 180° sendo igual então a - 133°15’35”
-133° 15’ 35” < 360° logo então deve ser convertido com a somatória : 
-133° 15’ 35” + 360° = 246° 44’25”
Sendo este então o azimute final.
Importante!
Logo:
Azimute A-B = (350°47’ 0” + 45° 07’ 42”) - 180° = 215° 54’ 36”
Azimute B - C = (215° 54’ 36” + 105° 39’ 06”) - 180° = 141° 33’ 48”
Ponto Ângulo Horizontal Distância Azimute
A-B 29° 13’24” 62,510 350° 47’ 0”
B-C 45° 07’ 42” 31,720 215° 54’ 36”
C-A 105° 39’ 43” 46,0 141° 33’ 42”
Z 180° 00’ 19”
Após o cálculo dos azimutes, devemos calcular as coordenadas para transpor o nosso 
terreno para uma planta.
Então, para o cálculo da coordenas x e y de cada ponto, devemos utilizar as fórmulas:
X = distância x sen(azimute)
Y = distância x cos(azimute)
Assim, teremos:
Ponto Distância Azimute X(m) Y(m)
A 62,510 350° 47’ 0” -10,012 61,703
B 31,720 215° 54’ 36” -18,604 -25,691
C 46,0 141° 33’ 42” 28,597 -36,031
Z -- 180° 00’19” -- --
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E dessa forma temos as coordenadas X e Y para cada ponto e podemos realizar 
o gráfico do terreno, como pode ser visto na figura a seguir. 
Notem que o desenho aparece girado, por causa das coordenadas do azimute 
inicial que foi adotado:
Figura 4 – Gráfi co das coordenadas obtidas para o terreno observado
Conhecendo esses pontos, podemos utilizar o método de Gauss para calcular 
a área de um polígono, sabendo as coordenadas de seus vértices. Porém, para 
facilitar os cálculos, vamos transportar o Gráfico para o primeiro quadrante. Para 
isso, basta observar quais são os valores mais negativos (tanto para x, quanto para 
y) e realizar a soma para todas as coordenadas (em x e y, separadamente). Dessa 
maneira, o gráfico todo será transportado para valores positivos de x e y, que é o 
primeiro quadrante. 
Vamos acompanhar.
Reescrevendo a Tabela anterior, temos:
Ponto Distância Azimute X(m) Y(m) X Positivo Y Negativo
A 62,510 350° 47’ 0” -10,012 61,703
B 31,720 215° 54’ 36” -18,604 -25,691
C 46,0 141° 33’ 42” 28,597 -36,031
Z -- 180° 00’19” -- --
Onde o valor mais baixo para x é -18,604m e para y é -36,031m; então devemos 
somar esse valor em módulo para cada uma das colunas, de maneira que o valor 
mais baixo para o x seja igual a zero e o valor mais baixo para y também seja 0.
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UNIDADE Planimetria 
Os novos valores são colocados em azul na Tabela:
Ponto Distância Azimute X(m) Y(m) X Positivo Y Negativo
A 62,510 350° 47’ 0” -10,012 61,703 8,592 97,734
B 31,720 215° 54’ 36” -18,604 -25,691 0 10,340
C 46,0 141° 33’ 42” 28,597 -36,031 47,597 0,000
Z -- 180° 00’19” -- --
E, dessa forma, podemos obter o Gráfico do terreno no primeiro quadrante:
Figura 5 – Gráfico do levantamento planimétrico no primeiro quadrante
Então com todos os valores positivos para as coordenadas, podemos utilizar o 
método de Gauss para o cálculo da Área:
1
 ...
2
A B C A
A B C A
x x x x
área
y y y y
=
Nesse método, as diagonais serão multiplicadas e os valores das diagonais 
descendentes devem ser positivos e as diagonais ascendentes devem ser negativas. 
Vamos aplicar o método no exemplo anterior.
Colocaremos os valores de x e y positivos na matriz:
1
2
8 592 0 47 597 8 592
97 794 10 340 0 97 794
, , ,
, , ,






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área = ½ |1,790x66,667 + 0x89,330 + 42,852x75,554 + 62,836x32,601 + 77,165x0 + 39,881x28,299 
– 28,299x0 - 66,667x42,852 -89,330x62,836 -75,554x77,165 -32,601x39,881-0x1,790|
área = ½| 119,333 + 0 + 3237,640 + 2048,516 + 0 + 1128,590 - 0 -2856,814 -5613,140 
-5830,124-1300,160|
área= ½|6534,076-15600,238| = ½ |-9066,162|
Devido ao módulo, aqui representado pelas barras | |, devemos pegar o valor 
positivo para realizar o cálculo.
Área = 2.125,65 m²
Ângulos Internos das Poligonais
Em alguns levantamentos topográficos, é importante realizar a medição dos 
ângulos internos. E para isso é importante lembrar uma regra da Geometria que diz 
que a soma dos ângulos internos de uma poligonal deve ser igual a:
angulos internos ( 2) 180ºn= − ×∑
Onde n é o número de lados do polígono. Por exemplo, a soma dos ângulos 
internos de um triângulo deve ser 180º, pois (3-2)x180º=180º. Essa informação é 
muito importante para a correção de erros angulares. 
Por exemplo: imagine que um topógrafo realizou as seguintes medições para 
um terreno de quatro lados:
A
B
C
D
Sabendo que os ângulos internos são:
A 86º 21’ 54”
B 94º47’03”
C 81º 59’ 20”
D 99º 25’48”
Temos que a soma dos ângulos internos é igual a 362º34’05”.
Como essa poligonal possui 4 lados, sabemos que a soma dos seus ângulos 
internos deve ser igual a (4-2)x180º = 360º.
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UNIDADE Planimetria 
Logo, nesse caso, temos um erro de fechamento angular com a sobra de 
2º34’05”. Para compensar esse erro, devemos dividí-lo pelo número de lados da 
poligonal e somar ou subtrair o valor encontrado, dependendo do caso. 
Nos casos nos quais a soma dos ângulos internos é superior ao valor teórico, 
devemos subtrair a correção, enquanto nos casos nos quais a soma dos ângulos é 
inferior ao valor teórico, devemos somar a correção para realizar a compensação. 
Então, teremos 2º34’05” dividido por 4 = 0º38’31,25” e devemos subtrair esse 
valor de cada medida do ângulo interno:
Ponto Ângulo Interno Ângulo Interno Corrigido
A 86º 21’ 54” 85º43’22,75”
B 94º47’03” 94º08’31,75”
C 81º 59’ 20” 81º20’48,75”
D 99º 25’48” 98º47’16,75”
Por exemplo: os ângulos internos de uma poligonal foram medidos por um 
topógrafo, como mostra a Tabela a seguir. 
Vértice Ângulo Interno
A 98º 12’ 40”
B 104º27’13”
C 99º 39’ 28”
D 109º 15’48”
E 127º52’44”
Responda: 
a. Qual foi o erro de fechamento angular?;
b. Qual é a correção que deve ser aplicada para cada vértice?;
c. Quais são os novos valores angulares?
a. A soma dos ângulos internos de um polígono de 5 lados (5 vértices) deve 
ser de (5-2)x180º=540º.
O valor encontrado para a soma dos ângulos internos do exercício é de 
539º27’53”; logo, o erro total é de 540º- 539º27’53” = 0º32’7”.
Ou seja, o erro é de -0º32’7”.
b. Para compensar esse erro, devemos somar um total de 0º32’7”/5 = 
0º6’25,4” para cada vértice, ou seja, a correção deve ser de +0º6’25,4”, 
para cada ângulo interno.
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c. Os novos valores corrigidos são dados na Tabela a seguir:
Ponto Ângulo Interno Ângulo Interno Corrigido
A 98º 12’ 40” 98º19’5,4”
B 104º27’13” 104º33’38,4”
C 99º 39’ 28” 99º45’53,4”
D 109º 15’48” 109º22’13,4”
E 127º52’44” 127º59’9,4”
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UNIDADE Planimetria 
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
Para aprofundar seus conhecimentos, sugiro:
 Vídeos
Engenharia Topografia Agrimensura
Engenharia Topografia Agrimensura – Poligonal. Videoaula sobre o cálculo de azimutes e ângulos internos 
e externos.
https://youtu.be/fCAVpA5t1-s
Treinamento Estação Total
Vídeo sobre o uso da Estação Total.https://youtu.be/Em2mpjL-4j0
Engenharia Topografia Agrimensura
Desenho de poligonal em AutoCAD. Videoaula sobre a utilização de autoCAD para desenhar poligonais 
topográficas 
https://youtu.be/dnhhXcVjhJU
 Leitura
Ciência Rural
Reconstituição de uma poligonal topográfica pelo sistema de posicionamento global. Planimetria. 
CORSEUIL, C. W., ROBAINA A. D. Ciência Rural, Santa Maria (RS), v.33, n.2, p.299, mar.-abr. 2003. 
Este estudo tem por objetivo verificar a influência do tempo de coleta de dados com receptores GPS na 
reconstituição de uma poligonal topográfica. 
https://goo.gl/VihNQy
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Referências
BORGES, A. C. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1992. v.1 e 2. 
BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. São Paulo: Edgard Blucher, 1997.
GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às ciências agrárias. 
São Paulo: Nobel, 1994.
GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática São Paulo: Pearson, 2014. Disponível 
na Biblioteca Virtual.
NBR 13 133/94. Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro: 
ABNT, 1994.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de Topogra-
fia. Curitiba: UFPR, 2012.
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