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L ' ..... "' 
SISTElVIA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) 
Nn SisLema Internacional distinguem-se três classes de unidades: 
11 1111l tl 1d ·s de base; 
11) 111iltl11d ·s suplementares; 
1 J 1111ld11d:s derivadas. 
-
Grandeza 
li 1111p1irnento 
" li 1 
I• 1111111 
1h 11 ldndc de corrente elétrica 
I• 1111111utura termodinâmica 
li 11< 11 l lucle luminosa 
'li 11111 tldodc ele matéria 
Grandeza 
1111ln plano · .. 
1111 ln sólido 
UNIDADES SI DE BASE 
! Unidade 
1 metro 
quilograma 
segundo 
ampere 
kelvin 
candeia 
mo! 
UNIDADES SI SUPLEMENTARES 
Unidade 
radiano 
esterorradiano 
Símbolo 
m 
kg 
s \ 
A 
K 
, cd 
/ mo! 
Símbolo 
rad 
sr 
' 
UNIDADES SI DERIVADAS USADAS NESTE LIVRO 
Grandeza 
spccífica 
o, energia e quantidade 
I' 
H 
o 
1 11111 L sp cífico 
l11dc térmica 
1.1 •nle 
vi lade térmica 
iolur 
1 
--
1 
Unidade 
metro quadrado 
metro cúbié.o 
quilograma por metro cúbico 
newton 
joule 
watt 
pascal .. 
joule por quilograma kelvin ., 
joule pQr kelvin ---+ --
joule por quilograma. -
watt por metro kelvin 
joule por m~l k~lvin . : _ 
- -· 
Símbolo 
Expressão em 
unidades SI de base 
m2 - · m2 
m3 m3 
kg/m3 kg . ITl- 3 . . 
N ' kg ;· m·ç2 
J kg -'m2 : . s ~2 
··-:-::::-
W .• kg· m2 · s-3 . 
· Pa kg· m- 1 · s- 2 -
J/(kg· K) m2. s- 2. K~ 1 
- J/K . , .. kg_· m2 -. s-c2 · K-'- 1 
' 
J/kg .-- m2 ·C2, 
W/(m·K) kg· m · s- 3 · K-'. 
J/(mol :. K) :_ ko · m2 · s- 2 · K-1-. moJ -·
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r~.;:;;~~'.'\'.~ HIDROSTÁT1CA ,/ ~ár~~~;,i;~ .. . _ . · · . · ']:.<.'Y•.1: d<..1. CON!tDE"RAÇOES PRELIMINARES ........... ... ........... .... ...... ..... ....... ............ ... . 1 
~).fª~f.CK2. DENSIDADE .. .. .......... . :: ... : .... ...... ..... ............ ....... ....... .. ....... .. ... , ... ... .. : .... . 
. . Of<.3. TEOREMA DE ARQUIMEDES ................ ..... .... .. ......... ......... ... ...... .. ... : .... .... . 
1 
J'.'-' .·:·: ,. 
!.• . • . - • 
1· .. ;,,: 
!.:'·~·.;:·.~--: 
[ ' -~ . ': 
Ol<..4. PESO APARENTE ... ........ ... ......... ...... ... ........... ................ .................... ... .. . 
5. FORÇ.A ASCENSIONAL. FLUTUAÇÃO ....... .... .. ." ...... .... ............ .. .. .' .. .... .. ......... .. 
6. CONCEITO DE PRESSÃO ........................ .. .... ................... .. ......... .............. . 
7. PP..f.SSÃO HIDROSTÁTICA ......... ................ ...... .. ......... ... .............. .. .. .......... . 
8. PRESSÃO NO INTERIOR DE UM LÍQUfDO EM EQUILÍ?RIO ........ .. ..... .. ... ..... '.'=.-: . 
9. TEOREMA DE.STEVIN .... .. ............ ......... ............................... ... .. ........ ...... . 
10. PRESSÃO ATMOSFÉRICA . BARÔMETRO .. ...... ... ...... .... ............ .. ...... .. ......... .. .. 
H. EQUILÍBRIO DE LÍQUIDOS IMISCÍVEIS, VASOS COMUNICANTES ....... .. ...... : ..... :. 
12. PRINCÍPIO DE PASCAL. PRENSA HIDRÁULICA ...................... .. ............ ..... .. .. .. 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMÉNTO ................. ... .. ... ........... ...... .. .... .... ...... . , .. .. 
TERMOMETRIA 
1. NOÇÃO DE ESTADO TÉRMICO ...................... .. ..... .. ... ..... .. .. .... .. .. ... ....... .. .. 
2. EQUILÍBRIO TÉRMICO .... ...... ........ .... .. ... .. ............ .. .. ..... ....... . · ..... ... ....... .. .. . 
3. NOÇÃO DE TEMPERATÜRA .. .......... .. .................. ... ..... .. ............ ..... ........... . 
4. EQUAÇÃO TERMOMÉTRICA ..... .... .......... .. ..... .... .... ... .. ....... ..... ... .. .. ... .... .... . 
5. TERMÔMETRO ......................... ....... .... .. ...... .. ..... .. .. ..... ... .. ... .... ...... ..... .. . . 
. 6. ESCALA Tl;.RMOMÉTRICA .............. .. .. ........................ .. .. .. ............ .. .. ..... .. .. 
7. ESCALAS RELA TIVAS USUAIS .. ...... ............... ......................... ......... ...... ..... .. 
8. CONVERSÃO ENTRE AS ESCALAS RELATIVAS USUAIS ...... .... ......................... .. 
9. ESCALA ABSOLUTA KELVIN ...... ... ........ .... .. : ..... .. .. ... ................... . : .. .. ......... .. 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO ....... .......... ....... ...... .... , ...... .... ..... .... .. ...... .. 
6 
7 
14 
24 
26 
28 
29 
36 
37 
44 
47 
51 
52 
52 
52 
53 
54 
54 
61 
62 
70 
r:·.:·~~·, Ô\'DILATAÇÃO TÉRMICA DOS SÓU9,0 S_ 
t·-.:.· .. ~·~)-.. - - ;: g7~~~á~~~~R;~~~~~~;~s·:: : :::::::::: : :::::::: ; : ,::: : : ::::::: ::::::::::::: : ::::: : :: :: : ;; 
. , r-~~.·. 
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L 
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3. DILATAÇÃO SUPERFICIAL DOS 5ÓLiDOS .. .. .. .. .. .. .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. 78 
4. DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA OU CÚBICA DOS SÓLIDOS......... ... .. ...... ..... .......... 81 
5. DILATAÇÃO DOS SÓLIDOS ANISÓTROPOS.. .. .................... .. .. .. ... .. ... .... .......... 83 
6. VARIAÇÃO DA DENSIDADE COM A TEMPERATURA ...... ....... .. .................. ..... . 84 
. 7. DILATAÇÃO DE UM SÓLIDO OCO ............................................. .. .. ..... .. ..... . 85 
8. EFEITOS MECÂNICOS DA DILATAÇÃO TÉRMICA .................. :.. .. ....... ............... 88 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO...... .............. ............ .. ....... .. ..... .... .... .. .. .... 90 
..... :. ...... ~ , .. 
ó·1,DILATAÇÃO TÉRMICA DOS LÍQ UfDOS 
- 1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . 93 
. 2. DILATAÇÃO APARENTE .... .... ...... .. ............ ... .. .... .... ......... .. ...... ........... .. ...... 100 
e 3. COMPORTAMENTO TÉRMICO DA ÁGUA .. .. ..... .. ............... .. .... ... .. ... .. .. ......... 105 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO .................. ....... .................. ..... ................ 108 
01·-., ·CALORIM ETR!A) .. / 
., • ~ 1. O QUE É G4.LOR ................ .... ....... ... .... ..... ... ...... · ..... ... .... ....... .. .. ... ........... 109 . 
, 2. TEMPERATURA, ENERGIA TÉRMICA E CALOR .... .. ................................. .. .... .. 111 
1 3. QUANTIDADE DE CALOR ...................... .... .......... .. ......... .... .. .... ....... ......... 112 
, .. 
e4. CALOR SENSÍVEL E CALOR LATENTE .......................... .. ................ .. ............ 1 113 
q 5. LEtS Df\S MUDANÇAS DE FSTADO DE AGREGAÇÃO ................. ... .. ................ 114 
I • , · · 1 
o 6. CALOR, SENSIVEL ......................... : .............................. ....... .............. ....... 117 
, 7.·. CÁLCULO DA QUANTIDADE DE CALOR SENSÍVEL'. .. .. .... ... .... .. ....................... 121 
' 
· 8. CALOR_ÍMETRO . EQUIVALENTE EM ÁGUA ............ ...... .. ...... ... .... : .. .............. 
1
. 135 
' 9. PRINCIPIO GERAL DAS TROCAS DE CALOR ........................ .. ......... : .............. . 136 
EXERi:ÍCIOS DE APROFUNDAMENTO .. .. ........ .. .... .. ............ .. ...... .... .... .. .. .... .... .... 148 
r·i< MUDANÇAS DE ESTA.DO 
•1. OS ESTADOS DE AGREGAÇÃO DA MATÉRIA ...... .. .. .. .. .. .. .. .... .................. .... ... 152 
I· 
•2. DIAGRAMA DE FASES .. .. ...... .............. .......... .. ... .......... .. .. .. .. ... ........ ....... .. 153 
.3. TRANSIÇÃb SÓLIDO '= LÍQUIDO ................................ : ...... .. .. .... ... .... .. .... 157 
·4. SOBREFUSÃO ................... ......... .. .. ... ... ..... : ....... ..... .... ..... .. ........ ...... ........ 161 
• 5. TRANSIÇÃO LÍQUIDO '=> VAPOR .. .. .. .. .... .. .. ........ .... .......... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. 163 
·6. INFLUÊNCIA_DA PRESSÃO NO PONTO DE EBULIÇÃO .... .... < .. .. ................ .. .... 167 
·1 
1 
, 7. EVAPORAÇÃO .............. ....... .... ................ .. ...... ............... .. .... .. .... .. .. ... .. .. .. 170 
·8. TRANSIÇÃO SÓLIDO '=> VAPOR ...... ... .. ... ............. .... .. .. .. .. . .' .... ........ .... .. .... 172 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO .............. .. .............. .. . .... .. .... .. ........ ...... .... 174 
li 
\1 
PROPAGAÇÃO DO CALOR rr~)~ 
1. CONSIDERAÇÕES GERAIS .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . H8 ~ ' 
2. CONDUÇÃO TÉRMICA .. ...... .. .. .. ... .. .. ... ........ .. .. ...... .... .... .... .. .... ... ........ ...... 179 ·~ 
3. CONVECÇÃO TÉRMICA .... ..... ...... .... .. .. .. .. .. ... ......... .. .... .. .. ........ ... .. ............ 187 
4. IRRADIAÇÃO TÉRMICA .......... .. .. ..... ... .. .. ....... .. ........ .. .. . : ... .... .. ... .. ............ .. 191 
LEITURA: A GARRAFA TÉRMICA .. .. .......... .. .. ... .. ......... ... .. .... .. ...... ..... ........ .. ........ 194 
5. ESTUFA .................................... .. .. ...... .... ... ..... .. ... ......... .. .. ... .. ..... .... .. ..... 195 
LEITURA: O EFEITO ESTUFA .. ...... ........ ........ ........... .. ............................. .. .. ...... . 195 
· LEITURA: O AQUECIMENTO SOLAR ...... ...... .. .... ........ .. ... : ... ....... .. ..... .................. i 196 
· EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO ...... ... .. .. .................. ...................... .... ....... ' 199 
COA1PORTAMENTO TÉRMiCÓ DOS GAS~S ~ 
• 1. O MOLE A MASSA MOLAR ................ '. .......................... ...... .... ........ .. ...... .. 201 ' 
2. PRESSÃO DE UM GÁS .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .... . .. .... .. . .. .. .. .... .. . .... .. . 205 
3. O GÁS IDEAL .................................................... .. ......... .... .. .. ... .. .............. 205 
4. DENSiDADE DE UM GÁS IDEAL .... .... ..... .' .................................................... 215 
5. LEI GERAL DOS GASES PERFEITOS ...... ....................... ........ .. ...... .. ........ ...... . 218 
6. TRANSFORMAÇÕES GASOSAS PARTICULARES .................. .... . : ............. ..... ..... 221 
7. GRANDEZAS MACROSCÓPICAS E MICROSCÓPICAS .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . 229 , 
8. CALORES ESPECÍFICOS DOS GASES .............................................. .... ........... 234 
9. TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA .............. .. .... .... .. .......... .. .................. .... ..... 242 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO .. .. .. .. .. .... .. .. . .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 244 
TERMODINÂMICA 
1. O CALOR E A ENERGIA MECÂNICA ...... .... .. ..................... .. ........ .............. .... 247 
2. TEORIA CINÉTICA DOS GASES .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . 252 
3. ENERGIA INTERNA ............. , ................. ........... .. .... ......... : .. .... ... .... ... ... .... . 254 
4. TRABALHO NAS TRANSFORMAÇÕES GASOSAS .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .. .. .. .. . 259 
5. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA .................................. ...... .. ................. 261 
6. A PRIMEIRA LEI APLICADA ÀS TRANSFORMAÇÕES ISOBÁRICA E 
ISOCÓRICA DE UM GÁS iDEAL .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. 267 
7. A PRIMEIRA LEI APLICADA À TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA 
DE UM GÁS IDEAL . . . .. .. . . . .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . .. .. . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . .. . . . .. . . .. . . . 276 
8. A PRIMEIRA LEI APLICADA À TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA 
DE UM GÁS IDEAL ....... ...... .... ... ......... ... ................... : ......... ......... .... ........ 279 
9. A LEI DE JOULE DOS GASES PERFEITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 283 
- . / 7 O. TRANSFORMA0_0 CICLICA ;; ...... .. .. .... ... .... . : . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . .. . . . . . . . . 286 
77. TRANSFORMAÇOES REVER.SIVEIS E IRREVERSIVEIS ....... ........... ......... ...... ... .... 293 
12. SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA ............ ...... .. ... .. .... ....... ... ....... .. .......... 294 
13. MÁQUINAS TÉRMICAS ................... .. ...... ...... .. ... .. .. .. ...... ..... ......... ........ ..... 295 
14. RENDIMENTO DA MÁQUINA TÉRMICA ....... ...... .... ... .. ....... ...... ..... ............ ... 296 
15. MÁQUINAS FRIGORÍFICAS .... .............. ..... ....... ..... .............. ....... ..... ...... ...... 296 
16. MÁQUINA DE CARNOT .............. ..... ... ..... ...... ....... .. .. ..... ... ...... .. ......... ....... 300 
77. ESCAIA"ABSOLUTA TERMODINÂMICA ........... ........... ....... ... ..... ....... ............. 305 
18. DEGRADAÇÃO DA ENERGIA. NOÇÃO DE ENTROPIA ....... ..... .. ...... ....... .. ... .. .... 305 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . 307 
H IDRODINÂMICA i. 
7. FLUIDOS EM MOVIMENTO ....................... • .......................... : ....... ...... ........ 308 
2. ESCOAMENTO DE FLUIDOS ...................... ......... .. ......... .. ........ ..... ............ .. 311 
3. VAZÃO E FLUXO DE MASSA .................. .. ....... ......................... ..... ............. 314 
4. PRESSÃO E VELOCIDADE ... ...... ............. .... .... ....... .. ... ... ..... ... ..................... 318 
5. EQUAÇÃO DE BERNOUILLI .. .. . .. . . . .. . . .. . .. .. . . . . . .. . . . . . . . . . ... .. . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 324 
6. EQUAÇÃO DE TORRICELLI . . . . . . .. .. . . . . . .. .. . . . . . .. . . . .. .. . . . . . .. . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 325 
7. O TUBO DE VENTURI .............. ... ... ...... ,. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . .. . . .. . . . . . . . . . .. .. . . . .. .. . . . .. 328 
8. O TUBO DE PITOT . . .. . .. . . .. .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 330 
9. DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOUILLI ................. ....... .. ... ............. 333 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO ... ........ ...... ... ..... ... ... •.... .. ...... .. ......... ......... 334 
ANÁLISE DIMENSIONAL 
GRANDEZAS FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. .. .. . . . . . . . . . . 336 
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO ......... ... ........ . .' .... ....... ........ ....... ... ... .. ... ..... 344 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS . . . . . . . . .. ... . . . . .. .. . . . . . .. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . ... .. .. . .. . .. . . .. . . . . . . . . . . 348 
INDICE REMISSIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. . .. . . . . ... ..... .. .... . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . 357 
··~ ··· 
·., ·· • 
, 
CAPITULO 1 
, 
HIDROSTATICA 
1. CON SIDERAÇÕES PRELIMINARES 
O termo hidrostática, que usamos como título deste capítulo, significa 
literalmente "estática da água" ou, por extensão, "estática dos líquidos". No 
entanto, apesar de utilizarmos esse termo, já consagrado"pelo usõ; estudaremos a 
"estática elos fluidos' ', isto é, a "Fluiclostática". Fluidos é o termo genérico para 
indicar substâncias que fluem, escoam, adquirindo a forma elo recipiente que as ' 
contém, já que não apresentam forma própria. Estão nt;ssa ·categoria de 
substâncias os líquidos e os gases. 
Portanto, nesse sentido, p_odemos afumar que a I:Ii.dro~tática é a parte da 
Mecânica que estuda o equilíbrio dos fluidos. 
Dizemos que um fluido está em equilíb1io quando não há movimentação de 
suas diferentes partes, urnas em relação às outras, isto é, quando não há correntes 
ele fluido no seu interior. 
2. 'pENSIDADE . 
Qualquer corpo, independentemente do 
fato de ser ou não homogêne·o, possui certa 
massa m e ocupa um lugar no espaço, isto é, 
ocupa um volume V (Fig. 1).Define densida-
de elo ·corpo a grandeza escalar dada pela 
relação entre sua massa m e seu volume V: 
! d;= ..... ~ l 
_ ... ~· .. ··, - ' 
m 
fig. 1 
1. 
• 
· ~--. 
A densidade tem por unidade, no Sistema Internacional de Unidades (SI), o 
quilograma por metro cúbico (kg/m3). São usadas também outras unidades, como 
o gramarp.or centímetro cúbico (g/cm3) e o quilograma por litro (kg/ e). 
Quando o corpo é maciço e homogêneo , a relação. entre a massa m e o 
voh1me V define a massa específica (µ) da substância de que é feito o corpo, 
confundindo-se, então, com sua densidade: · 
t~~~--~~".~.·~,:~f ·. 
· Desse modo, usanêlo iiriia única substância (com sua massa específica 
caractei-ística), podemos fazer vários corpos de densidades diferentes, deixando 
espaços " vazios" (ocupados por ar) no seu interior. 
Por exemplo, consideremos o cobre, cuja massa específica éµ = 8,9 g/ cm3 
(cada 1 cm3 de cobre tem 8,9 g de massa). Qualquer coqJO maciço de cobre - um 
cubo, uma esfera, um fio - terá densidade d = 8,9 g/cm3, isto é, coincidente com 
a massa específica do cobre. No entanto, se o corpo for oco, ele poderá ter maior 
volume para a mesma massa de cobre, pois uma parte desse volume será ocupada 
por ar. Em conseqüência, a densidade será menor que a massa específica do cobre. 
A água a 4ºC teín .. uma massa específica ou densidade .(supondo-a homo-
gênea) que é freqüentemente adotada como padrão de referência. Seu valor, nas 
várias unidades, é: 
d;gua = 1 g/cm3 = l kg /J! = l · 103 kg / m3 
Chamamos densidade relativa de um corpo ou de uma substância à relação 
entre sua densidade e · á densidade de outra substância tomada como referência. 
Geralmente, a densidade relativa de sólidos e líquidos é definida em relação à 
água. Assim, por exemplo, o mercúrio, que tem 'densidade dHg = 13,6g/cm3, 
terá densidad~_relativ~ em relação à água: 
dR 
= d11g = l3,6g/cm3 
--,--~1,----=3- d R ';"') 3, 6 . dágua l,O g,. cm· . . 
Observe que a densidade relativa é uma grandeza adimensional, não 
apresentando, portanto, unidade. 
Logicamente, é possível tomar outros padrões de referência que não a água. 
A densidade relativa dos gases é comumente referida em relação ao oxigênio. 
Observação ~-----------~ 
A título de maior clareza, evitando confusões, a densidade definida 
anteriormente pode ser denominada densidade absoluta. 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
Uma amostra de dada substância apresenta 50 gramas de massa e volume de 4, O cm3. 
1 ·tcnnine a densidade dessa substância expressa em g/ cm3 e em kg/ m3. 
11 
1 
·: 
' 
·I 
!, 
): .... , /. •·· - .. 
/ 
·1 
( 
ResoluçãÓ: 
-~-------·----
BIBLIOTECA 
PRÉ-VEST1BULA:R CENTRAL 
Temos m = 50g e V = 4,0cm3. 
A densidade é dada por: . d = _.!!!_ 
V 
d 
. 50 
4,0 
• 
1 
d = l2,5 gj"J,;,.3 
Muã'ii;1do ~s unidades (! g = 10-3 kg e J cm3 
d .= 12 5 . rn-3 kg 
' Jü- 6m3 
· d = 12,5 , ·fo3 kg/m3 . 
. . 
HIDROSTÁTICA+ 
/ 
) f Um' co1po maciço e homogêneo tem massa 20 gramas e volume 4,0 cm3. Calcule a depsidad.e do 
, material que o constitui, exprimindo-a em g/cm3 e em kg/m3. . ... 
\ .' 
~Um cubo tem 5,0 cm de aresta e massa igual a 60 gramas. No centro, esse cubo é oco, tendo 
a parte oca forma cúbica com aresta 2,0 cm. Determine a densidade do cubo e a densi dad~ 
do materi al que D constitui. 
Resolução: 
A massa do cubo é m = 60 g e o volume: 
V = a3 = (5,0)3, V = 125cm3. Sua densi-
dade vale: 
d = _.!!!_ 
V • d ,;,; p,48 g/cm
3 
Para encontrar ·a densidade do material que 
constitui o corpo: devemos descontar do .volu-
me ,total o volume da parte oca: 
' Yoco = a' 3 = '(2,0) 3 , Yoco = 8,0cm3 
VMAT = V - Y oco 
VMAT = 125 - 8,0 
. VMAT = 117cm3 
f.: .... 
!:·,'._li?.~~; ( 
t;~q 
a'= 2,0 cm 
Desprezando a eventual quantidade de ar que exista na pmte oca, podemos admitir que a 
massa do material seja igual à massa do cubo: 
mMAT = m = 60g 
A densidade do material vale: 
d - mMAT d 60 r ' oº 51 . / 3 :: MAT - - - MAT = ~117 i dMAT -. = '. g cm .... 
VMAT 
k,, "'""<em mio 2,0 om. So• porte =••. •=Um "'""" é "" e <em mm <,O om. Sopoodo 
que a pmte não oca é homogênea e tem massa 80 gramas, determine: 
a) a densidade da esfera; J, 4.~/Ól'YV>,.--
b) a densidade do material que constitui a esfera . .Q , +3·~/ c:;yv-} 
Dado: volume de uma esfera V = ± ?rR3; adote ·7r = 3,14. . 3 
~~~--------~~==::::::==~ -.._.~M!'l!.;,.,;;;,.;;;;;~::;~,..,.;:......,.....,~~~~ ..... ...,,.....,,.,.,......,,~""""·._._.......,.,... .. ...,.~,,~,__~~~~~~~~~~n '.•"" "-k ·.-· -• •OS"" , . .... ~ ·:..-_·"> •' 
-
- ~ 
J 
-~~ .,.,,_ 
,. ·, 
, · . êneos de densidade 2,0 g/ cm e ' g cm 3 0 80 / J são misturados. 
is hqu1dods ho:~~ da mistura nos dois casos seguintes: 
D tcn111nc a ens1 ' . , . . 
. d as iouats dos hqmdos , u) são mistura as mass º. · .fí uidos 
b) são misturados volumes iguais do( q . 
1 
Resolução: . . _ _ ) os volumes são diferentes (V A i= Vs). 
a) Se as m_assª~s_ã_Q...!g~1~ (mA. - ms - .m , 
Aplic~do o conceito de densidade, vem. 
} 
- ..fll. .. 
dA = J:. V A - dA 
m} · VB-~ ds = y
8 
- ds 
2m . Substituindo: A densidade da mistura será dada por: d = V A + V B 
d = ( 1 2m 1 ) ' 
rn dA -t- ds 
2m 
d 
2 
Sendo dA = 2,0g/cmJ e dn = 0,80 g/cm3 , vem: 
2 . 2,0 · 0,80 _ 1d_ d = 1,14 g/cm3 
d = 2,0 + 0 ,80 - 2,8 
( = VB = V), as massas são diferentes b) Se os volumes são iguais V A . 
Aplicando o conceito de densidade, t~mos. 
ds = ~ } m13 = ds . V 
A densidade da mistura será d<J.da por: 
mA + m13 
d = 2V 
Substituindo: · 
(dA + ds)V. d - dA + ds dA V + <ln V d = 
2
y - 2 
d = 2V , , · · 't' das 
"d d da mistura e media antme ica . 1 mes iguais) a dens1 a e ' 
3 Nesse caso (mistura em vo. u 'do d = 2 O g/ cmJ e ds = 0,80 g/ cm , vem: 
densidades dos líquidos misturados. Sen A , .-=:.- . 
2,0 + 0,80 = ~ d = l ,4g/cm: 
d = 2 2 
J .1 . tu' de dois lf~~id~~ de de1;sid~des 5,0g~cm~ e 2,0g/~m3·;; ~ · e a densidade da mis ra . , /c 3 ' , Deteimm . . . \ U {v-,...' b) em volumes iguais. '3,'::lc'(i CJvf'- 1· 
a) em massas iguais, oi.., O ·-···· ... _ _ .- -· -
\ 
". 
. í 
, . 
EXER.cíc1os DE REFORÇO 
. ..... ·j 
/ 7. (UC-BA) O Volume interno de urna caixa, com formato de um paralelepípedo, é igual a 60 <lm3. 
'{ .... / Quantos litros de água essa caixa comporta? .J d:1r:,> .- J(., ~6DJ?. 
!·: .. j a) 0,06 . .· b) 0,6 c) 6 fr\ 60 e) 600 · 
"t ~ (U. E. Londtina-PR) Qual é, em gramas, a massa de um volume de 50q113 de um líquido cuja 
j ~enstdade é igual a 2,0 g/crr:i3? cL"" _, .. ,,, .. e( V <:\ ' r r· ." ~ ,.,. a) 25 b) 50 v c) 75 ·/Yl~ :1-.SO ;~100 (-;? e) 125 ' 
J: 9 . . (UNIMEP-SI>) Se a densidade do óleo é 0,92g~\ ~~~~\a contida em 2 .!i~,de óleo. va]e:-
. · a) 1 840 kg \~ / ur,., "" .)y'°'\) / j_ e) 1,08 kg '(r"cl V e) 184 g 
J. b) 1,84 g '. ..d)' 1,84 kg 'fY\ :-D,qc'l.. · cl, 
. ~ , .,,..,., , ~ . e-~ ~ . 
10. (FUVEST-SI>) Os .chamados "Buracos Negros", de elevada densidade, senam regioes do 
·universo capazes de abs~y~ matéria, que passaria a ter a densidade desses Buracos. Se a-Te1rn, 
com massa da ordem <:le '1~027 g)osse absorvida por um ' 'Buraco Negro" de densidade, 10~4!Jcm3 , 
ocupana um volume comparável ao· \'1 l . 
a) de um nêuiron. ·· . Ou: I0 ,~ \/: ~ d) da Lua. 
~ 
b) de uma gotà. d'água. · '! ~ e) c!Q_Sol. .... -j 
· / de uma bola de futebol. \f - ~o;J.·+ V , "' ·t:· .. , ,, . ·., 
' ·---... ) ...._ - .__ ~ <;;:. .tÔ 4- . ' , . _, r-, 
' .,,. 101" · · - .:.. . 
; ll. (PUC-SP) Dois blocos maciços, A e B, têm massas respectivari1ente iguais a 500 g e 750 g e 
'---C::' densidades respectivas 5,0 g/cm3 e 7,5 g/cmJ .. Sobre ess.es .. blocos podemos afirmar que: 
a) são de mesma. substância. V=~· VA.: 500 d) têm pesos iguais. 
,b( têm volun1es Iguais. °'- 6' e) têni pesos ~specíficos iguais . ·:, , 
c) ovolume deBé111aiorqt1eodeA . . , · O ,, v·1'- ~---,~-. \J._ , ,_ 1/t··. : \Qn 
V Fl '~0 v,,:i -: :5 v ~ '· · -e>\ @(u. E Londnna-PR) Um_ objeto maciço tem massa igual a~~~e volume igµa~ a 20~ Qual é 
o valor da massa, em~, de outro objeto maciço, feito com o mesmo matenal, que temvolume igual a IOOcn1
3
? (Os dois objetos estão nas mesmas condições de tempe1atura e pressão e 
~ 
são homogêneos.) . · _ . , ,· , , . 
C 'a), 0,0500 •! C- . bl O,Jqü" \J\ 50,Q I d) 100 ·' - e) , 200 
' • - •• I ' y f\ ~ - ' " 
13. (UNISA-SP) Um cubo de gelo foi form,~do ~olid ific;ndo-se completamente ~'Z.,('í_g_~e água. Qual ~ ( 
J a medida da ar~sta do cubo? A densidade do gelo é 0,90 g/cin3. cL ~ __,, V; ~ -b li~ '" 1' ' 'r-o.." ' / . y d, 0,9 ;a) 1 cm :., b) 2 cm "- .. ..f) ;!_cm }l 4 cm e) 5 cm G 
4 
·::i 
, C\ " ~ !\ ' -';. CL ~ ' .({ " "'> lo- -;; <'j J '>. -~ V: ""'' 
14.j (UF-PA) Uni cnstal de quart?.o de formamegular tem massa de 42,5 g. Quando submerso em ag_ua 
: num tubo de ensaio de raio ~5 cm, 0 nível pa água sobe <;fe 2,26. cm. A densidade do crist~l em 
\ .1.kg/mJé:VvTfR~:. \., ---. o..;<J...) ,'5 _. ;l.
1
06,--. _ .. · 
·1 ~· . Js.q1 J . 6 104' . ' a) 2,66 , .-t . b) 2.~õ"::l c) 2,66 . 102.. · )(2,66 . )O e) 2,6 · ~'. 
\} ·Vc.~ ·~1 \ '1 ·~ 1 ">) .;,;LG -t-~2,J ,. · · 
. 15. (FUVEST-SP) Duas substâncias , A e B, são colocadas num recipiente, uma após a outra . Durante o 
· ·. preenchimento, são medidos coriti~uamente ~ massa e o volume contidos no recipiente. Com estes 
dados éonstrói-se o gráfico ao lado. , 
A.s massas específicas (densidades) de A e B, em · m(g) 
if cm3 , são, respec\ivameiíte: . 
d ' ,,, . . 
a) ·LO e 1,2 h<~ ~ '\it, .. , d) 2,0e 4,0 
b) 2,0 e 4,8 . . ::,l_ : . e) 2,0 e 3,0 
~ 1 ,0e1,4, ~ . -
r:),<ç,~ &..:.; \ ). 1 ·), 
. ---::- - ,\{), C.f('C\ 
Jj) ~ AO V(cm3) 
48 ········ ---- -- ----
20 
I· 
1 
20 
5 • 
; J 
> .• _, •• 
CX. ~VfüT .$f, Um,- eh;P' de oo;re de 2m' :·,;,;;,d, e;, "m oole<m ~e oo~g;, ~lm. ó p~ra;, 
com tinta preta cuja massa específica, após a. secagem, é 1;7 g/cm3. A espessura da camada é da 
· / ordem .de ·5µm (micrômetro). Qual é à massa de tinta seca existente sobre a chapa? ' ... 
; ~ vJ . -(FUV~ST-SP)A d;~~~;d~ -~o~~o é 0,8~ i1 ~m3 . s~;ond~ que ~ acel;ra~ão da gravi:ad:·~ale . 
U IOP1/s2 , responda: · · 
: a)" Quanto pesa o óleo contido em uma lata dé 900 mi? 7, 2 fU · 
J b) Quantas latas d~, 900 ml.p.i>flem ser preeilc_hid_as com 180 kg de óleo? · . ".!.,5 . 10 <-n ~;,._ · ·- ·· , · ' --1 ·.· · . . . • · . -mi!~ . . ' . ' 1 
. 18. (FGV-S;') Uma-peça maciça é. formada de ouro (densidade o;= 20g/cm3) e prata (densidade= 
\)'fJ. 10 g/cm )_ O volume e a massa da peça são, respectlvamente~c_m.'._~-~!LJPodemos entãçi 
afümai que a massa de ouro contida na peça é igual a: - . ;r , 
J a) 5000g b) 6250g e) 6900g " d) 7250g > :(7500 g 
19., (U. E. Londrina-PR) ])ois líquidos miscíveis têm, respectivamente, densidades d = 3,0 g/cm3 e 
[)\{./ d = 2,0 g/ cm
3
. Qual é a densidade, em g/ cm3, de uma ntistura homogênea dos dois líquidos 
composta, em volume, de 40% do primeiro e 60% do segundo? 
a) 1,5 b) 2,2 ~ 2,4 d)' 2,8 e), 3,4 
I 
1 
' ' 
3. ,TEOREfv1A DE ARQUIMEDES 
O Teorema de Arquimedes, vá lido para corpos mergulhados em qualquer 
fluido ('gás ou líqu ido) em··equilíbrio, es tabelece que: 
HEURECA! 
Conta a lenda que, certo 
dia, o célebre cientis ta gre-
i
. g,6 Arquimedes, durante 
_ .. ~fü!. banho, percebeu que, 
··- . · . a partir da força 
--=.-::;J""";;;~;;:;. ;:;:,:~::::,;::::._ ;,;;;;;;;;;;:: que impulsiona-
~.,.. 
· -.V 1.__ 
·~ 
va seu corpo pa-
ra cima ua água, 
poderia res9_l ver 
um problema fí-
sico que o preo-
cupava havia al-
gum tempo. 
Teria então saí-Fig. l 
do completa-
mente uu p elas ruas de 
Siracusa , entu sia smado 
com sua descoberta, gritan-
do a famosa palavra: Heu-
reca ! Heureca ! (Achei! 
Achei!). 
" Um corpo imerso (merg ulhado), parcial ou 
totalmente, uum fluido em equilíbrio sofre a 
ação de urna força com as seguintes caracte-
rísticas: 
direção: vertical. 
sentido: de baixo para cima. 
ponto de aplicação: centro de gravidade do 
volume de fluido deslo-
cado. 
intensidade: igual à do peso do volume de 
fluido deslocado." 
Cousiderernos um recipiente completa-
mente cheio por um fluido em equilíbrio. Na 
figura 2, destacamos um ci lindro desse fluido 
com eixo vertical e as forças que atuam sobre 
t<le. As forças hidrostáticas com que o resto do 
fluido atua lateralmente uo cilindro se equili-
bram, duas a duas. Na direção vertical, as 
'-> -> 
forças atuantes são Fi na base superior, F
2 
na 
base_ iuferior e Pr é o peso do cilindro de 
fluido. Como há equilíbrio: 
F1 - Fr = Pr 
\i_,';\ / r~ i 
' 1 
<iz C)rnmando cje empuxo Ê a . resulta~te entre f! 
Ed1~2 - F 1, vem: · .. 
~~-F.:~t, :.i ... . r::· -. r'~~!. :~:.1 
Logicamente, se . em vez .do cilindro fluido 
.- tiyermos u~ corpo sólido de mesma forma e volume, 
O ~~W!JJ.WU~clm.státi.;:as..) estará 
· attiando sobre ele (Fig. 3). O cilindro sólido ficará 
sujeitá então a duasforÇas na direção verti~] que não_ 
se equilibram necessariamente: o empuxo E aplicado 
pe)o fluido 'e seu próprio peso P. 
~tenliic@d~.d.Q.-e_mpuxo, igual à dçi~pe~o..:.de 
fllJ.içl~ogd.Q_.p§lQ_~orpo,,. pod~-S~L ~.xp_~ss_a....em 
fpuçi!_o~d~t:;!)~c@d~~do,,fJuj_çlQ_ (cjg)~...ml~ 
· t}~tiQQA.e.QJ.oç<\,.dQ)Y--E). Realmente: 
E= Pr mr ·- · g 
Mas mr = dr · V~, donde: 
• .. ·· ... 
1 E = · dr · Vr · g : 
. : ... ·· .' ' '. , • ' 
-> 
e F1, cuja intensidade ~ 
Fig. 3 
Para comparar a intensidade do empuxo com a do peso do corpo, 
costumamos exprimir a última em função da densidade (d) e do volume (V) do 
corpo: 
p = m. g 
Como m = d· V, vem: 
P ~ d : V : g· .·· 
Logicamente, se o corpo estiver totalmente mergulhado . no fluido, o volume 
de fluido deslocado (V\o) é igual ao volume do próprio corpo (V): 
(V-. v'-"'--v~...,...,._. 
:, V~= V 
&\../\..._......._.,... 
4. PESO APARENTE 
Quando a densidade do corpo, cousiderado 
totalmente imerso no fluido, é maior que a deusidade 
do fluido, a intensidade do peso do corpo é maior que 
a do empuxo. 
Realmente, sendo Vr = V , as intensidades são 
dadas por: 
E = dr · V · g e P "" d · V · g 
Sendo d > dr, vem: fE~ 
A resultante que atua sobre o corpo é deuomi-
nada peéQ,apai:.elJ/.e e tem intensidade dad;:t por: 
r Q'VV-vA.JV~·~ 
( . Pap = P - _E_~ Fig. 4 {/'\.,.--...;,......__ ....... ._... ,........ __ ~ 
Sob a ação dessa força resultante (Fig. 4 ), o corpo desloca-se para baixo e só 
vai atingir o equilíbrio ao encontrar o fundo do recipiente. 
No caso de a densidade do corpo coincidir com a densidade do fluido, o 
peso do corpo e o empuxo terão intensidades iguais e o peso aparente será nu lo . 
N esse caso, qualquer que sej~-posição do corpo no seio do fluido, ele estará em 
equilíbrio. / 
Se dF = d _=> P = E => Pap = O. 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃÓ 
ll rn corpo sólido cÜfndrico, cujo raiu da buse e 2,0 cm e cuja altura é 5,0 cm, está 
totulmente imerso num fluido de densidade 2,0 g/ cm3. Sendo a aceleração da gravidade 
10m/ s2 , determine a intensidade do empuxo com que o fluido age sobre eie. 
ltcsolução: 
O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura: 
V -= A . H = .,.. · R2 · H, onde R = 2,0 cm e H = 5,0 cm 
V = 3,14 · (2,0) 2 · 5,0 
V ""-62,8cm3 .. ~ ~ 
1\111 unidades do SI: 
i 
; 
V = 62,8 · 10- 6 m3 
volume de fluido deslocado é igual ao volume 
du cilindro e, po1tanto: 
V" = 62,8 · 10- 6 m3 l ----i_: H = 5.0 cím 1 
S •ntlo dr- = 2,0 g/ cm3 = 2,0 · 103 kg/m3 
L --l 
'g = 10m/ s2 , a intensidade do empuxo é dada 
por: 
E = dF . VF. g 
E = 2,0 · 103 · 62,8 · 10- 6 · 10 
E = 125,6 · 10- 2 N , E= l ,256N 
1-C-I 
R = 2,0 cm 
~. llm cubo de aresta 2,0 <;m está totalmente imerso num fluido de densidade O, 80 g,/cm3• D: temüne 
11 l11tcnsidade do-empuxo que o fluido exerce no cubo. Adote g = 10m/ s2• 
J 
-'! J o-1. .. - -. . .. 
ti..";-( . . 
~Urn corpo de massa 20 kg está total.mente imerso num fluido de densidade 2,0 · 102 kÚm3. 
Sendo o volume do corpo 0,020m3 e g ;, 10m/s2, determine: 
-, 
.. -·· 
n) a densidade do corpo; 
b) o peso aparente do corpo; 
e) admitindo não haver atritos, a aceleração do movimento do corpo no líquido. 
Resolução: :·. ' 
11) Sendo a maSsa m = 20 kg e o volume V = 0,020 m3, a c;lensidadedo co1pq vale: 
r--····-· - V 
d = 1,0 ·)03 ~g/m3 ] 
! . 
. l 
\ 
/. í 
b) O volume de fluido deslocado é igual ao volume do corpo, pois este está totalmente 
imerso: 
VF = V _= 0,020m3 
A intensidade do empuxo é dada por: 
E >= dp · Vp · g . 
Como dp = 2,0 · 102 kg/m3 e g = 10m/s2 , vem: 
E = 2,0 · 102 · 0,020 · 10 E = 40N 
O peso do corpo tem intensidade: 
P = m. g : · 
p = 20. 10 
P = 200N 
O peso aparente é a resultante entre o peso do 
corpo e, o empuxo, tendo intensidade dada 
por: 
Pap ·= P - E . 
Pap = 200 - 40 
.1 ' ...... --"""Jf l tli 
c) O peso aparente é a força que acelera o corpo em seu movimento através do fluido. 
Aplicando o 'Princípio Fundamental da Dinâmica: 
Pap = m · a, donde a = Pap a = 1.§Q_ • .a:= s:Ó .. m/s2 ·; '--' 
J _ m_ 20 
~ cubo d~ aresta ~.2~ m e massa 48 kg está totalmente imerso num líqmdo CUJa dens1~ade é 
5,0 · 103 kg/m3.,Sendo a aceleração da giavidade g = 10m/ s2 , determine: 
a) a densidade do corpo; <ó . ).(J 3 k'.q /·.,..,,) _.- :- _ 
b) a intensidade do empuxo que o corpo sofre; AOO iV · :. 
c) o peso aparente do cotpo; SO 1'l · · · • · --; "2 
dJ a aceleração do corpo através do __ líquido, supondo n~o haver_resistências . .,':::'. ,A 1 'rJ IM.. / 5 
~Um sólido, totalmente imerso num líquido de .• densidacle 6,0 · 102 kg/m3 , movimenta-se 
/
verticalmente para baixo com uma aceleração igu~l .a um quarto, da aceleração da gravidade . 
Determine a densidade do sólido. Despreze as resistências opostas ao movimento. 
Resolução: 
O corpo, de densidade d e volume V, está 
totalmente imerso no fluido (líquido), sendo o 
volume de fluido deslocado igual ao do corpo 
(VF = V). O corpo desce sob a ação de seu peso 
aparente, cuja· intensidade vale: ' · 
P,p = P - E (1) 
AE1_icando o Princípi~ Fundamental da Dinâmica, sendo a a aceleração'._do corpo no líquido, 
véfü: · · 
Pap = m ·a Pap =d · V· a 
O peso do corpo tem, intensidade: 
1 
P=d·V·g 
A intensidade do empnxo, sendo dF a densidade do fluido, é dada por: 
E= dp · Vp · g . E _= dp ·V· g " j 
~- . 
Substituindo em {I): 
d · V · a = d · V · g --::. dF · V · g 
. ~as a = f e daí: 
d .' v . . ..[·=·(a ·-; dF}v .. g 
4 ...... 
. '3d · ~ 4dp 
==> d · l_ = d - dF ==> d = 4d - 4dp 4 
.:::.:Como dp = 6,0 · 102 kg/m3, vem: 
3d = 4 . 6,0 . 102 
i;_
7
<l~;;J:~~:-~~§2~/~~~.:J 
'l/ 
25/Qual a densidade de um flu ido no qual, desprezadas as resistências, um corpo de densidade 
"' 2,0 . 10
3 
kg/m
3 
cai com aceleração igual à metade da aceleração da gravidade? ' 
~> . 1 ·~ 
\ci K~ YI\ J . 
~O c01po da figura é uma esfera de massa 
50 kg e volume 0,020 m3, estando em equilí-
brio mergulhada num líquido de densidade 
8,0 · 10
2
' kg/m 3 e susten tada por um fio 
idea l. Sendo a aceleração da grav idade 
g = 10 m/s2, determine . a intensidade da 
tração no ·fio. 
Resolução: 
~ forças que atua~10 corpo. são o empu_!:p 
E, a tração no fio T e o peso do corpo P. 
Como há equilíb1io: 
T+E = P 
Mas o empuxo tem intensid ade · E = dp · VF · g, onde dp = 8,0 . 102 kg/m3, 
'{p = V- = Ú,020 m3 (corpo totalmen te imerso) e g = 10 m/s2 . Ass im: 
E = 8,0 · 102 · 0,020 10 E = 160 N 
A intensidade do peso do c01po vale P = m · g, onde m = 50 kg: 
P = 50 · 10 P = 500 N 
A tração terá intensidade: 
T = P - E T = 500 - 160 
f T ;;;,· 34DN-
J,r;;:o,bo do'""" 0:30 m o m"'" W kg"" 
lotalmenle imerso .. IJum líquiciô' de densidade 
ó.O · 10
2 
kg/ m3 , sustentado por um fio ideal, 
como mostra a figura. Determine a força que deve 
s r· nplicada ao fio - para manter o cubo em 
('tpri líbrio. Adote g = 10 1n/s2. ".,".':, !"-' 
• IO 
.j 
1 
! . 
1 
> 
--------------------..,~---
i 
,) l . . 'ExERcíc1os DE REFO~ÇO_ 
28. ·ctJFLA-MG) O erí1puxo exercido sobre um corpo imerso em um líquidÓ depende: 
(ilf./ :a) ,do volum~ doffquido deslocado e da densidade do co1po. F . . 
. . b) da densidade e volume do corpo. f Ê. d V _ g 
. ~ do volume e .da .densidade do líquido deslocado. · - f J- U 
J 
d) somente d() volume do líquido deslocado. P 
. / e) somente d~. den_sidade do líquido d_eslocad_o. p 
- 29. (PtJC-RS) Duas esfeí-as metálicas, A. e B., cJ.ç, __ .:.: . ,._.~. 
'. ôK, jfü;s.!ÍJ...i-Y..QJ.u.rne e massas diferentes, est~o totatI'": · 
' - hiente imersas na-água. Analisando essa situação, 
é possível afirmar que a intçnsid.mie_do_em~o 
q~ie a água exerce nas esferas: 
)( { a mesma nas duas esferas. 
b) ~ maior na esfera A., [""'('"-Y.,~ -n(.',,y cL_f!,-.~d c:LQ... 
c) e m.a10r na esfera B. -'lo·voJVJ-O-. .1 
.d) Jepende das massas das esferas. · 
" J e) Jepende da quantidade de água no recipiente. 
1 ) , , 1 / . 
~ 
HIDROSTÁTICA + 
30. (U. fvfogi das Cruzes-SP) Duas esferas metálic_as, feitas do mesmo metal, .uma maciça e o.utrn .. .qca, 
O-IG de n1es)11ª-1uas .. s.~, es tão totalmente imersas em um recipiente que contém água. AJ espeito dos 
emptlXOS nas ·esferas, concluímos que: do ce...> cl,,-,;:-ua. (:_ ' J..v .V '<.1\ - e'(, 
_ • • /c-d ~ -u 1 , 11 /\ 
11 "-a) os empuxos sao iguais. 1 - ·w -• · [ -d-,
1 
. '''""''"'' 
. .):< o empuxo sobre a esfera oca é maior que sobre a maciça. ~ = d_, VJ '. ~· •'> 
c) 0 empuxo sobre a esfera maciça é maior que sobre a oca. \} l Hf,c: ? 1::1;,. r, 
d) n~da se pode concluir sobre os empuxos. "-1º'"'- <( •"t<frc__ · J e) 0 empuxo sobre .a esfera maciça é maior que o seu peso. 
~l. (FUVES\-SP) A figura ilustra .,, ., . 
1 Ufü mn peixe parado num aquário. (;' , 
4
., , ("J.J..Ah ' 
a) Indique as fÓr\:as ex ternas p ': p .. Q.b•S Ld 
que atuam sobre ele, iclenti-
fica~do-as . · -
b) o que ocoÍ-re quando meca-
nismos internos do peixe ~......,........ -~~ 
J 
produzem .aumento de seu . 
t ,,. . I . ;:: ... r ;:./ :·? ( ú._.,Jr..!C!. . volmne? Justifique. ~- = v1 d_r ~ 1 ._() ""rc'é'l(> C'...'Urcno 1 ' ""''' i / 1.1-:.1 1
• ,, 
32. (VUNf!SP-SP) Coloca-se água num recipiente até que o nível do líquido fique na altura do bico 
lateral, como mostra a figura da esquerda. Quando uma pedra é colocada no interior do recipiente, 
ela àfunda: o nível da água sobe, parte do líquido se escoa pelo bico e seu nível volta à posição 
61i<Yinal. como mostrà a figura, da.direita. · ' 
D ' / 
Seja1n P1 b peso do conjúnto 
água+ recipiente antes da intra-
- dução .. da pedra (figura da es-
querda) e P2 o peso do conjunto 
água + recipiente + pedra após 
o líquido haver ·voltado ao nível 
original (figura da direita). 
a) p 2 é igual, 'maior ou menor que P1? 
b) Justifique sua resposta . . 
\ : , 
1/r-;'JJ •, T'i. · r,_O..o 
Q
, )-- \/µ ,o ~ 
f C~o.; 
---- - --
. 
.. ·. 
'---+------"~-~ ----- . i . -
V 
pl p'--
d :. r.) 
dr J 
1,1. (UP-AM) Um corpo ,imerso em água e abandonado a si mesmo afunda com um movimento inicial, 
() ( 1 ·uj a aceleração no instan.te inicial (quando a velocidade do corpo é nula) é a metade da aceleração · 
do gravidade .. A densidade do corpo em relação à água é: 
J , n)4 ~ c)6 .~2 . 
14. 1(Mackenzie-SP) Um bloco maciço de ferro 9Censidade 8 g/cm3 com 8filg encontra-se no fundo 
de uma piscina com água de densidade 1 g/cm3 e profundidade 3-. .m. Amarrando-se a esse bloco 
um fio ideal e puxando esse fio de fora da água, leva-se o bloco à superfície ·com \lclncidade. 
~Adote g = 10 m/s2. A força aplicada a esse fio tem intensidade de: 'il 1,.,.,, \J 
o)SOON 1: , -~"-p,. c)6001t;=:~_1D:J;•I !;' e)lOO~. '<, \A'700N • d)300N.____ ' _, ~ T':c'W'.Jll 
~ \J ~ ! -:>~ -,.,; do J P E~ clI .\IJ··º 
• J- <:! 1= o IQO() 
1!!. (VUNESP-SP) Uma àmostra de metal pendurada numa balança de mola acusa massa de 120 g. Se a 
nmostra é mergulhada em água púra sem tocar o fundo do frasco, a mesma balança acusa massa de 
l!M..&..g. Qual é a IPllS...§UâP~ da amostra? (A massa específica da água é 1,00 g/cm3 .) 
o) J,52 g/cm3 d) 3,04 g/cm3 
b) 15,2 g/cm3 )ef 7,9 g/cm3 
C) 7,6g/cm3 J.,OliZ. ::. l"o~ 
111. (PUC-RJ) 
e, .r 
Fig. 1 
iit1 r-.: 
Cilindro de 
alumínio 
o 
Fig. 2 
11 ·=o,::"·:·-
líquido 
m cilindro de alumínio é pendurado à extremidade de uma barra metálica homogênea que é ' 
sustentada pelo seu centro de gravidade (0).Do outro lado da barra é pendurado um contrapeso .á 
111110 distância e, de o tal que a barra fique em equilíbrio na horizontal (Fig. 1). 
A scgi1ir, a experiência é repetida, agora, com o cilindro de alumínio totalmente imersq em um 
lít111ido homogêneo. Nesta sitúação, para restabelecer-se o equilíbrio da barra, o contrapeso tem que 
~ r deslocado para uma distância P.2 de O (Fig. 2). 
u) Nos dois caso.s ilustrados, isole o cilindro de alumínio representando tod_as as forças que atuam 
sobre ele e estabeleça uma expressão para a tração do fio que o sustenta. (Despreze o empuxo < 
devido ao ar.) · · ! .· · 1 
h) Ainda nos dois casos, escreva a condição de equilíbrio da barra. · · ' · _. · 
•) Finalmente, sabendo que P.1 = 10,0 cm, P.2 = 7,0 cm e que a massa específica do alumínio é 
2,7 g/cm3, determine a massa específica do líquido em questão. ·' 
17, (LF A-MG) Um recipiente contendo água (densidade = 1 g/cm3) encontra-se num dos pr~tps de 
1111\0 balança de braços iguais, em equilfbdo. Uma régua de madeira é então parcialmente imersa n'a 
gua do recipiente, mas sem tocá-lo, ficando a outra ponta da régua sustentada pela · m~o ifo 
xp rimentador. · · ... , · · · · · 
S volume da parte submersa · da régua for 50 cm3, qual o valor da massa que deverá sei: 
ll(lici nada ao outro prato da balança •. de forma a restabelecer s.eu equilíbrio? l{se g }Oiin/s2 • 
\. 
<... 
' 
il 
·.; · 
.J 
I. · 
, ) 
( 
:.. ., 
. ~· .i 
, ... 
-- ~- · 
HIDROSTÁTICA • f 
\ 
39 . 
. E. Mauá-SP) Uma mola helicoidal de fio de 
a o, de comprimento Lo = 1,215 m, está presa 
um apoio fixo e sustenta, na outra extremidade, 
um corpo de massa m = 20,0 kg e volume 
V = 4,50 x 10- 3 m3. Nessas condições o 
comprimento da mola é L = 1,315 m. Imerge-
se o sistema mola-corpo num líquido de densi-
dade d = 1,100 x 103 kg/m3. 
Determine o novo comprimento L' da mola. Use 
g = 10 m/s2 . 
. .. 1 ' 
(FATEC-SP) Tem-se uma mola disposta na yertical; na sua extremidade livre pendura-se um 
corpo. Obsi:rva-se que a mola, devido ao {e'so do corpo, apresenta uma ceita deformação x0 . 
Mergulhando-se o corpo em água, conforme ilustra a figura abaixo, a mola ~presenta uma 
deformação x que queremos comparar com x0 . :._'· .;- •· • \··" r'. ' •n. 
......,_, \\;; ' ;;o (xb~><. \ :: G,,. __ º"""'~'"" " ! 
.. :=-. 
~· \ '· . '!E '; _'°:_:~':..:::: ,: / z,..~ (° 60\,· é<\ =c"'lÔ<o Xj 
!L.4, :: ·rr]~ ·- ·- V. ' . {' i .... .. : ! . F:"'i'· 
' . 10 :.J",: '-. .. . x" . 1 :. ~ ~~ - l () ,. ·.:. -· G~ •. água ma; fl. ::-:.. _:::::i :. ··-- --~--... (r:. .,. ....r . ·.) \ ~· ~----
- - 1C:Se; densidade do co1po é 6 vezes ~~i~' que à da águ_~ _po~em9.!' afirmar que: 
-':. :.' \\il'x = lQ_x 1 ? \:'o c) x = l.x (..:. : . -~ ) x = x
0 , , :.. .l<{_ 12 o' 6 6 º· '>---§___ ~~} 
b) x = 6xo '\ • d) x = Rxo 10 
40. (!TA-SP) Na figura, os blocos B são idênticos e de massa especffiêã d > · !,O Úcm3. O frasco ·À 
contém _§g~-~~1_i:a_ e o D contém inicialmente um líquido e1 de massa específica 1,3 g/cm3. Se os 
blocos são colocados · em repouso dentro dos : --=-
'líquidos, para- que lado se . desloca a marca P 1 
oferecem atrito e são consideradas de massa 
colo.cada liº cordão de ligação? (As polias não . ...._Q "'"'"_ . p - -""" 
desprezível.) ~ I· : dJ VJ: -~ 
."-> , , ! a) Para a direita. tl l J l 
· b) Para a esquerda. -• _.. J 
·~~ <:, i ,~~ ~::;:~:c~0e~,~~~~~s~: "f : -y~ (1 ~ .,ijl) , .. =« , .. -~~ "~ 
\ e) Oscila em tomo da posição inicial. A D 
4l. (FEI-SP) . A ' figura apresenta uma esfera de 
~ densidade de = 6,8 g/ cm3, imersa num líquido 
., 1 qe densidade di = 0,80 g/cm3, e um cilindro 
de .densidade de =. 2,0 g/ cm3, cuja altura é 
igual ao se u raio , imerso na ág ua 
(da = 1,0 ?>/ cm3). Os d
1
ois corpos estão ligados 
por.. um fio inextensível que passa por duas 
() ~·<'.'. · poli.as, sem atrito. Supondo que o sistema está em 
« , ~ equilíbrio, determine a relação entre os raios da 
esfera e do cilindro. .. , · 
,•J:. 
5. FORÇA ASCENSIONAL. FLUTUAÇAO 
Fig. 5 
..... ... 
~k_9~11QJ.: 
. ~~..lli.J91ª~ 
· · (Fig. 5). Nesse caso, 
1
a intensidade do empuxo é 
maior que a do peso do corpo. 
Realmente, sendo Vr = V, as intensidades são 
dadas p\7,:: 
E = dr · V · g . e P = d V · g 
Sendo d < dr, vem: 
[@ 
A resultante que atua sobre o corpo é denominada/orça ascensional e tem 
intensidade dada por: 
Fig. 6 
Sob a ação dessa força resultante (Fig. 6), o 
corpo desloca-se para cima. Se o fluido for um gás 
confinado num recipiente, o corpo irá atingir o 
equilíbrio ao tocar a parede superior do recipiente . 
. ~dÇQ,_-ª.__t.n.ef!.~<:I.a_ qll~- -9 .. ~..9fl2..º--§.2~--º 
e@ll~diminuillajntensiçi_<;1cl~ .. cl~~Ldo .. ~ dilninuição 
Ç;i._d':l)S.idl\_de dg.m:. O corpo poderá atingir o equi líbrio 
quando o empuxo tiver intensidade igual à do peso do 
corpo: •..•. 
E = P =?: F.~ = O 
Quando um corpo está em equihbrio, flutuando num líquido, a intensidade 
do empuxo é igual à do peso do corpo: ! 
. ~k~ 
Fig. 7. 
~~----
Sendo VL o volume do líquido deslocado, cuja 
densidade é dL, e V o volu~e do corpo, cuja 
densidade é d, temos: 
d· V· g 
Como VL < V, vem: 
Portanto, sempre que tivermos um corpo 
flutuando num líquido em equilíb1io, poderemos 
afirmar que ele é menos denso que o líquido e está 
sofrendo a ação, por parte cio líquido, do empuxo que 
está equilibrando o seu pe~o. 
··. 
·--·--~· ·-·-~~-----------------.....:! 
BIBLIOTECA 
PRÉ-VEST1BULAR CENTRAL 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
' HIDROSTÁTICA+ 
. - . - / 
~ 1;fm. coqJo de volume 0,50 m3 e densidade 5,0 . 102 kg/m3 está to'.aln1ente imerso num 
· hqu1do de densidade 2,0 · 103 kg/m3. Sendo a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, 
determine: 
a) a intensidade do empuxo com que o líquido age sobre o corpo; 
b) a intel).s idãoê·cja ~ que age sobre o corpo; · 
e) a aceleração do) movimento do corpo no líquido, desprezadas as resistências . 
i Resolução: 
a) O vo lume de líquido desfocado é igual ao volume do co rpo imerso: 
VL = V = 0,50 m3 . Sendo dL = 20 · 102 kg/m3 a densidade do líquido e 
g = 10 m/s2 , a intensidade do empuxo vale: . 
E = dL · VL · g = 2,0 103 0,50 · 10 f" E. ,;· l,Q .· ~<(N .~; 
b) A forçâ ascensional FA é a resultante 
entre o empuxo Ê e o peso do corpo P: 
FA = E - p 
O peso do corpo tem intensidade: 
P = d · V · g = 5,0 · 102 · 0,50 · IO 
P = 2,5 · 103 N 
Substituindo: 
c) A massa do corpo va le: m = d · V = 5,0 . 102 . 0,50 
Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica, vem: 
m = 250kg 
~ - a ~ :io ~~2 .· . . . 
)~Num líquido /~e densidade 5,0 · 102 kg/m3 está totalmente imerso um sólido de volume 
-5,0 · 10- 2 m3 e densidade 2,0 ·' 102 kg/m3 . Adote g = 10 m/s2 e determine: 
,· a) a massa e o peso do corpo; . 
b) a intensidade do empuxo exercido pelo líquido sobre o corpo; 
·e) a intensidade da fo~ça ascensional que age sobre o corpo; 
d) a aceleração do movimento do cmpo através do líquido, desprezadas as resistências. 
~Um cmpo de volume 0,10 1113 e massa 20 kg es tá 
totalmente imerso num líquido de densidade 
3,0 · 102 kg/m3 , preso ao fundo do recipiente por 
um fio ideal, como mostra a figura. Sendo a 
aceleração da.gravidade g = 10 m/s2 , determine: 
a) a intensidade do empuxo do líquido no corpo; 
b) a intensidade da tração no fio. 
Resolução : , 
a) Sendo o volume de líquido deslocado igual ao volume do corpo (V~= V= 0,10 m3)e° a 
densidade do líquido dL = 3,0 . 102 kg/m3 , vem: 
E = dL . VL . g = 3,0 . 102 . 0,10 . 10 E = 3,0 · 102 N 
li "11 011111 ljll 11111111 IU I t li 1 
1 111 11" l111 q111l1lo1 '" 1 1 11 
~ l .1 I' 111 I'• 1 111 111 111 'li ~ 1' 
, • ' li 1(1 I ' 
l '111 t1111l11 ' I' I! I ' 
'!' 1,0 • 10 N 
~ () J lo id ·oi qu sustcnt ã um corpo preso ao fundo 
d · um ,. c ipienl e, que e ntém um lfq uido 
homog •neo, suporta no máx imo u·ações de 
in tensidade 200 N. Qual o maiqr val pr que pode 
ter a densidade do líquido para que o fio não se 
rompa? A massa do corpo é 8,0 kg e seu volume 
é 0,20 m3 . Adote g = Hi rn/s2 . . . 
!()) 
~Qua l a intensidade do empuw com que umlíquido age
2
sobre um corpo de massa 2,0 kg 
~que nele flutua parcialmente imerso? Adote g = 10 m/s . 
Resolução: 
Se o corpo está flutu ando parcialmente 
imerso, as forças que agem sobre ele (empu-
xo e peso) se equilipram. Assim: E = P. Mas 
P = m · g, sendo m = 2,0 kg e g = 10 m/s2 . 
Ass im: P = 2,0 - 10, P = 20 N e, portanto: 
E = 20 N 
~Um corpo de jlêso 100 N flutua parcialmente imerso num líquido. Determine a intensidade, do 
·111puxo que age sobre o corpo. 
~ Um e ,rpo de volume º.2P m3 e densid~de 5,0 · 102? kg/m3 flutua parcialmente submers~ nu~ 
líquido. Se ndo a aceleração da gravidade g = 10 m/s-, detenmne a rntens1dade do empuxo com 
16 
que o líquido age sobre o corpo. · 
~Um corpo de volume 20 cm3 e densidade 0,80 g/cm~ flutua em água de densidade 
J ,0 g/cm3 . Determine a massa do corpo e o volume de hqu1do que ele desloca. 
Resolução: 
0-~orpo está em equ ilíbrio flutuando parcial-
mente no líquido. 
Portanto: E = P 
A massa do corpo é dada por m = d · V, sendo 
d = 0,80 gicm3 ,e V = 20 cm3 
ubstituindo: m = 0,80 · 20 
111 = 16 g i 
- -~ 
'· · ·/ 
Ili 11, 11 
111 1111
1 '""°' 
111 ' 1 1r1 ' 1 l r11111 1 
' 1111 111 plt1111 d 1 111ol \l i 11 111 v11 1i111 11 1!11 111 1 1 ili 11 ld11ol1 
1111111 l1q11 ld11 dr d111 ld1td1 11 ,H ll 1'./1 111 1 1li111111 111 
li . ' 1 j /11 11 1 1 l 1 111 11111 11 li• 1 d11 111 1!01 1 
11) ll 111 ISN ll d 1 l)itl l' ll : 
b) o, voli1111 d lfqu ltlo d 1• h1L' ido 1w h1 pl111"11 , 
~Um corpos li lo ílu1u11 num líquido d <k•11sld1Hh1 , 1 )!fl 111 1 ti 1111 11 111 q111 
volume permanecem submersos. 1 •1111 !11 11 d 11 sld11d 1111 111 !'" 
Resoliição: 
O co1po flu tu a com t de seu volume sub111 rsos. Mns o vu lt1111r 111 11 111 1 " 111 1 'I 
con-esponde ao volume de líquido que ele cles loc11 . 
Assim: VL = t V 
Como há equi líbrio: E = P 
Mas E= dL · VL · g e P = d · V · g 
Logo: dL · VL ·i = d · V ·i 
2 , , 
dL · - "fÍ= ,d · "fÍ 
3 
, ' , , , 
d = 1_ · clL 
3 
Como dL = 2,1 g/cm3, vem: 
1 ' \ 
C.1.. \ 
d = 1. · 2 1 d = 1,4 g/cm3 • 
3 ~ ' . . [ 
~Qual a. densidade de um corpo que, colocado · 1; ~ água (dL = 1,0 1-1trn11), 11111111 , 111 1 1 
décimos ele seu volume imersos? 
Resolução: 
Do enunciado: VL = _1_ V 
10 
Mas E = P 
dL ' VL ' i =d . V ' l 
lº / 
dL . 130 . ;J = d · l 
Como dL = 1 O g/cm3 1 O · _1_ = d 
' ' ' 10 
Observação: 
r·· 
l \\ 
')~· ·t/ \ 
~ ><J 
Qu~o.rp.o,__esJ.<Wlutu<111d0-em...ág)lll-.d~.d~sidad.u.Q..g{gn~,_J!..pmpotyão de. ~111 1 
~~lt1)1le_niergulhlido.J11ede-numelicamentv;ua..densidade. 
..o:·-.-- . ,..,,i. ..... ,. . -· 
11. 
~18 
X Um '""".' °"'"'. ,,,;. Jíq,ido do dco,;d>dc 0,80 gkm' com m""'' do "" '"'"'"' ;mmo. Determine sua densidade. 
""" Um p&;m~ do '"'"~ do. "m bloco do "'º P=•'"cr' """"'º of;d do ;g,, (de < 1,0 gkm') · quando ele flutua. Detemune sua_ densidade. : . · . · , · . 
. l\, ()»,/; dom;d,do \!iw• co0cj,o '"'· '"floruric,,;; ágo, de dÓmid,do l,Ó gkm'. pon;,,;,',-.;,m 
· 40% de seu volume submerso? . . ·. . '; 
- -- -
~""""º '"'"' = ákoo/ do '"•fd•do 0,60 gkm'. "m '"'P" ,;;'""'~ wm morado do 
seu volr1me subq1erso. Esse mesmo corpo flutua em outro líquido c~m um quarto de seu 
volume submerso. Determine a densidade desse segundo líquido. 
Resolução: 
No primeiro líquido, no equilíbrio: P = E
1 No segundo líquido, também há equilibrio: 
P = E2 
Comparando: E, = Ez 
Então, nos dois líquidos, o COipo sofre empuxos iguais. 
Mas: E, =d, · V1 · g e Ez = di ··: V2. · g 
Portanto: d1 · V, · g' = dz · Y2 · g' 
/ 3 ' / Como d1 = 0,60 glcm ,. 
V, = f V e V2 = f v. vem: 
0,60 · f 11/ = dz · f / · :; .92 ro~f,2 g/cm3 . . 
- -------
. . )._ Ao floru~ "'' ág"' (d, " 1,0 gkm'), om CO>po pm;,,~ oom "" q"'rt~ '"''~ """=• Ao 
flutuar num líquido de densidade-desconhecida, o volume sÚbmerso do mesmo coipo corresponde 
·a dois terços do volume total. Determine a densidade do segundo líquido. · 
· .' 
~Um, '''" 6"oprooi'"d' com "m bloco do m•doirn de dioornW,, 3 m ' g m " 5 m Ao 
transportar um veículo de massa 500 kg, verifica-se que 30% da balsa fica submersa na 
água, cuja densidade é 1,0 glcm
3
. Sendo a aceleração da gravidade g = 1 O mls
2
, determine 
a densidade da madeira de que é feita a balsa. 
Resolução: 
O volume da balsa vale: 
Ya = 3 X 8 X 5 Ya=J20m3 
O volume de líquido deslocado é medido pelo volume submerso da balsa e corresponde a 30% do volume total. Assim: 
VL = 0,3 · Vs = 0,3 · 120 
A densidade do líquido vale: 
d - 1 O I 3 - 1,0 . 10- 3 kg 
L - . ' g cm - IQ -6 m3 
' [ . 
O peso do veículo é: P = m · g = 500 : 10 
dL = 1,0 · 103 kg/m3 
P = 5,0 · 103 N 
Havendo equilíbrio, os pesos do veículo e da balsa são equiÜbrados pelo empuxo: 
P + Pa = E 
.. 
" í. 
. ! 
Mas Pa = da · Vs · g e E = dL · VL · g 
Daí: 
P + da ; Va · g = dL · VL · g 
Substituindo os valores conhecidos: 
5,0 · 10
3 + d8 · 120 · 10 = 1,0 · 103 · 36 · 10 
5,0 · 10
3 + da · 1,2 · 103 = 360 · 103 
360 . 103 - 5,0 . 103 
da = ---..,~--,~---
1,2 . 103 d8 ~ 295,8 kg/1113 
dn ~ 2,96 · 102 kg/m3 
)~ Uma jangada é constmída com 5 .toras, tendo cadát;;na volume de 0,20 m3• Ao ser co lo '11 d11 11 ,1 
água com' três pessoas de massa 70 kg sobre ela, .verifica-se que dois terços de seu volum • lw 1111 ~ubmerso~. Sendo a aceleração da gravidade 1 O rn/s2 e a densidade da água 1 ;o g/cni3 , dct crn1ii ll' 11 densidade da' jangada. 
~Quer-se constrnir um corpo formado de madeira, cuja densidade é 0,30 glcm
3
, e de plnti1111 , 
cuja densidade é 20 g/cm
3
, que .µermane.ça.em.equilibri.o. a qualquer profundidade qu1111do 
totalmente imerso num líquido de densidade 0,80 g/cm3. Determine a relação cn1r · 11.~ 
volumes de madeira e de platina que devem constituir esse co1po. 
Resolução: 
O empuxo E sofrido pelo sistema equilibra os pesos da platina e da macieira (Pp e P~1) . Assim: 
· ' ''\,.>.,- 1/"\.. • 
'_ E=: Pp + PM ( 
Mas a intensidade do empuxo é: 
Os pesos têm intensidades: ~~;:~~;--i- Madeira 
Pp = dp · V p · g e PM = dM · V M ; g 
Substituindo: 
dL(yp + VM~g' =" clp · Vp · i + dM · VM )f.' 
São d°ãdó;:' d~ = 0,80 g;~m3, clp = 20 glcm3 e dM = 0,30 g/cm
3 Portanto~ 0,80(Vp + VM) =. 20 Vp + O,~o __ Y.M 
0:80 Vp + Õ:So VM = 20 Vp + 0,30 VM 
0,80 VM - 0,30 VM = 20 Vp - 0,80 Vp 0,50 VM = 19,2 Vp 
! VM = 384 
Vp ' 
Platina 
~·Qual o volume de um' pedaço ~e ferro (densidade 7,8 g/cm3) que deve ser colado a um blm·o 1'1 • 
. madeira (densidade o;3o g/cm3) de volume 20 cm3, para que ·o sistema fique cquilibn1d11 11 
. q"ua:lquer profundidade num líquido de densidade 2,0 g/cm3? 
.,. 
~Um cilindro flutua verticalmente disposto 
num sistema constituído por dois líquidos 
imiscíveis: óleo, cuja densidade é 0,80 g/cm3 
e água, cuja densidade é 1,0 g/cm3• Verifica-
se que há equilíbrio quando 20% da altura do ( 
cilindro está imerso na água. Determine a 
densidade do cilindro. 
Resolução: 
Óleo 
Água 
Há dois empuxos equilibrando o peso do cilfodro: o devido à água (E A) e o devido ao óleo 
CEo): -
EA + Eo = P 
As intensidades déssas três forças valem: 
P = d·V·g 
Substituindo: 
dA · V A · i + d0 • Vo · i = d · V · i 
,' / . / . 
O volume da água deslocada é 20% do volume do cilindro (V A = 0,20 V) e, portanto, o 
volume de óleo deslocado é 80% desse mesmo volume (V0 = 0,80 V). Assim: 
dA · 0,20 f + do · 0,80 f = d · yf 
' ' ' 
Como dA = 1,0 g/cm3 e d0 = 0,80 g/cm3 , vem: 
1,0 . 0,20 + 0,80 . 0,80 = d . d = 0,84 g/cm3 , 
'63, Os líquidos imiscíveis A e B, representados na 
figura, têm densidades dA = 2,0 g/cm3 e 
de = 3,0 g/cm3 . Um cubo flutua entre os dois 
líquidos com metade de seu v~lume imerso em 
cada líquido. Detenniné a densidade do cubo. 
A 
B 
J9.'~'::'t ~ ~·~"! 
EXERCÍCIOS DE R~FORÇO ~ _fgj 
~ (FEI-SP) S.abe-se que a densidade do gelo é 0,92 g!c~3 • a do óleo é 0,8 g~; e; da água é de 
1,0 g/cm3. A partir des[es dados podemos afirmar que: · . . , . 
. a) o gelo flutua no óleo e na águâ. . . 
b) o gelo afunda n9 óleo e flutua na água. 
c) o gelo flutua no óleo e afunda na água. -·· .. 
d) o óleo flutua sobre a agua e o gelo flutua sobreo -óleo: 
e) a água flutua sobre o gelo e afunda sobre o óleo. 
•20 
'._r' 
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. ~- . 
(PUC-SP) Considere a figura onde um recipiente A, contendo água até a altura de uma nbcrtura 
lateral, encontra-se sobre o prato de uma balança que indica] OO g. Um corpo, de massa igual u 
60 g e 80 cm3 de volume, é abandonado cuidadosa-
mente na superfície dã-água. Considere a densidade 
da água igual a 1 g/cm3• Após o sistema entrar 
novamente em equilíbrio, o volume de água que 
passa para o recipiente B e a leitura da balança serão, 
respectivamente: 
a) 80 cm3 ; 280 g 
b) 80 cm3; 260 g 
c) 80 cm3 ; 200 g 
E'=drVr~ 
i>" • b" IÔ z \O \)~, Oi.Ô ! ,\ 
d) (iO cm3; 260 g 
e) 60 cm3; 200 g 
, 
·~ l\C\,_ (FUVEST-SP) Um bloco de madeira, de densidade relativa 0,80, está totalmente i~ers~ em água 
.... (densidade relativa= 1,0). Adotar g = 10 m · s-2 e desprezar os atritos. Abandon_ando-se o bloco, 
. ..,~ a sua aceleração será: 
<. ~= V.J 10 
\'i 
} . 
,\ 
. : . .. 67. ;_:. ,3 ~ 
: c\J ::; 
r. '-' I 
a) 2,5 m · ç 2 para cima. - ·· d) 0,80 m · s- 2 pàra cima. 
b) 2 5 m · ç 2 para' baixo E e lô\J e) 1,0 m · s-2 para baixo. ' , ·r =: Yti.::.l.. 
c) nula, pois o bloco está em repouso. º\' .. 
'?)( O( ~ 2)f 
1 7 
"l: 't ' ~-
? ~~ -;~.-. 
(FAAP-SP) Uma esfera de massa 20 g é mantida 
totalmente imersa em um líquido, de forma que a . : -· · j i/;._, · 
distância entre seu .ponto mais alto e a superfície ê;, \~ . 1. 'i t!ii''" é.·:1-" ., ' 'o, . .' 
livre do líquido vale 11,25 cm. Sabendo que a - · . _ :-~~~~-!~'j'.25;Ç,':: 
. r ~:. ~~ir~~;o~~:~:~~:::~:~qli~~~:~:~~q,~~~::~~i~: ~:. ~:.~\1~-~ - ';_::~+~1;~ \ 
• ... ... L.; :,:. i.: ~:-' ·~ 
à superfície. Admita ~~~a de atrit~. ·· ; · ~ ---- ., 1;[ ,1 :?.: p ,_ 
Dado· g = 10 m/s2 ' d _. . , ' ~iY ·. 6l tO tl!.a ';\e I OOoc_-.,, ,_ A ,".ç,;,:;;__.'. • . . -,-·_-~-·~/ 
• . ' -~.:.'. - D,<:. _,. ll \J ' \ ~ : -o,·" ~"'· ''· 
;r:;'.\.--::?J _,,_,-: 1 l <1, \ E. , l'.l i.I,, '/ \ ~·:o ;' _,..__,.~·,-----
~ ,.~117 ,----- . ' 
~ (Ma~kenzie~SP) Um c~r; dê 0,50. kg, i'merso em um-líquido, apresenta mo;imento ascendente de 
velocidade :0,80 m · s- 1, .ççqstante. Sabe-se que a densidade do líquido é 4 vezes maior que a do 
1 corpo. Adote g = i O m · s- 2• Nestas condições, a força de resistência viscosa que age sobre o corpo 
---:~- é de: í v;~-;\ 1 ! -~ç~-{'J- ! d , :s-
~:.~.:. · a) 50 N,.....___·· ·-...~ -' . c) 35 N Q e) 15 N ·:,,-...,.~,;~-S--' V 
;_~ (
1 
;b) 40 N ~t , 11 ,;) ! \;) d) 20 N cp 1! ~~ _" _.. d<- , ~_:~ 
-. .( O .. \ : . . _, ~ .... V r--_ t;,--......-._,....__ ".f': \":. - P 
"-! . -• .S " 40d, . l~=:::ó n ! !!.~ - '·' 
69; (UNISA-SP) -.A figura mos'tfa " trnía- esfera de 
·volume O,~_O_t, constituída de certo material de 
'" . densidade 0,20_g/ql)_3, imersa em água por meio e.,..~ · ,,_ ;,.,1 L 
" d!'! um fio ideal· preso. ao fundo do recipiente. 
Qual é o ' valor da intensidade da força que 
traciona o fio? É dado g = 10 m/s2 . · 
,_. . . . .. .. . . ...,:-'1)"'"-··-
.. .•. ,, _a) 2,4N , - ~' . 01~1o ' lt:'; . e. Er· \ l 
.:.\' b) 4,8 N ··· .. ,. · 1,..,_,..., __ .... ~ 
::i - c):l,2 N _ - : .:..~ -::-. ~ 
d) ·3,6 N f ~ . ~ I Q !•:J 
e) 0,60 N 
21 •"'-
~- ) 
.: .. 
"- ·- ,1 ,<llL , .~, 
. 7\ (USF-SP) Um c01po de volume ·2 litros .e massa ·-:,.''-',"' 1'75 
O,~O kg fica completamente mergulhado em 1:> .. -- :__ ·-
água, preso ao fundo do reservatório por uma 
mola. Considerando a aceleração local da gravi-
dade 1 O m/s2 e a densidade da água 1,0 kg/litro, 
a força exercida pela mola é, em~~ewtons, 
: a) 5 "- 7 - -4~ ,--p ' 
. b) 10 .. : :. 
e) , 15 E º ~r,\ 
<l)' 20 --- ,, 
e) 25 F' -. s t.! 
' 71. (FUVEST-SP) A figura mostra um líquido no 
recipiente A flutuando em outro líquido no 
recipien te B. Abre-se a torneira e o 1·ecipiente A 
sobe. Pode-se afin1!~r que: 
a) a densidade do líqúido em A diminui. 
b) a densidade do líquido em B aumenta. 
c) o empuxo no recipiente A aumenta. 
d) a densidade do líquido em B nãp_se altera. 
e) o empuxo no recipiente A diminui. 
I 
I 
. () 
"-;_· . \ • 
\ / 
·, 
· ·l" '(FUVEST-SP) Uma pessoa de densidade 1, 1 g/cm3 , .quando completamente submersa nas águas de 
. :: uma piscina, fica sujeita a um empuxo de 600 N. 
(;; Sendo a densidade d'água .-da piscina 1,0 g/cni3, responda: 
4 a) Qual é a massa dessa P.essoa? , 
º--~@ Apoiada numa bóia de .. 12 littôs de volume e massa 200 g, ela conseguirá manter-se na 
superfície d'água? Explique. Adote g = 10 m/s2 . .' 
...;. ... 
73. (PUC-SP) A figura mostra um bloco maciço e homogêneo em forma de cubo, com aresta 2 metros 
·e ú1assa 800 kg, flutuando em água de densidade -
103 kg/m3, contida num recipiente retangular de 
faces paralelas ao bloco. Nestaf> ~ircunstâncias, a 
distância h entre o fundo do bloco e a superfície 
da água é: 
a) 2 metros 
b) 1 metro 
c)' 0,2 metro 
d) 0,1 metro 
e) zero --
'(Mackenzie-SP) Um corpo flutua em água (massa específica = 1 g/cm3) com ]_ de seu volume 
imerso. A densidade desse corpo é: 
4 
a) 1,30 g/cm3 c) 0,60 g/cm3 e) 0,25 g/cm3 
b) 0,75 g/cm3 d) 0,50 g/cm3 
75. (E. E. Mauá-SP) Uma esfera maciça homogênea de raio R = 0,15 m flutua com metade de seu 
volume submerso num líquido de densidade d = 1,15 · 103 kg/m3. Retirada desse recipiente e 
colocada num outro, que contém outro líquido, a esfera flutua com 113 do seu volume submerso. 
Calcule: 
a) a densidade do segundo líquido; b) a massa da esfera. 
+22 
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e ._ o,4 v ·_ lú . E - ~ ·i r- - 11.ci \'.l _(('-::· 
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HIDROSTÁTICA • 
:·" .: ::. .· ,. " ·, ....... , .. I . . ' --. " ..... .. - . .. :· . -· . 
-~JMa~kenzielSP) Um ,bloco de Jlladeica~ ei~ água (inâssa específica= l- g/cm3) com volume 
. · ; im~rso )gual a 40% de seu volume tofat' Esse mesmo bl_oco _flutuará em óleo de densidade 
... ..:.:.Q...8.Q...g@n3, 'éóm volumeimers'o' igual a: .... ·: ..... - . ,, \ ... - ..... .. .- . . 
: : . . . . . . ,. . . / 
: a) 20% do seu volume total. d) 50% do seu volume total. 
; b) , 30% do seu yolume total. ' • . e) 60% do se~ volume total . . ·· 
· c) 40% do seu volume total. 
77. (VUNESP-Sf) A ~as!.':'.: específica de . uma ceita madeira é 0,80 g/cm3. Jogando-se um pedaço 
/ desta madeira na água de massa específica 1,0 g/cm3, a porção da madeira que emergitá da água, 
· após,9 equilíbiio, será:' "'i;_". , 'i _k ':i) _ ti t .. '!-r " éV.ê 
1' ,J - • __ , ,., (·; ,- · · ~;) 
. ~a) 2~% b) 80% C~ 20% . d) 75% ,,',' I r- ~~- e) 42% 
' ; , . ·- ._, r . 
78.,_ (CESGRANRIO-RJ) Um bloco de cortiça flutua na supegície da água (Fig. a) . Para manter o bloco 
inteiramente submerso, deve-se exercer sobre a face súperior uma forÇa -p de módulo F (Fig. b ). 
--'.l .f ·. l'"..t.h( 
Se a experiência· fosse feita com outro bloco da mesma cortiça, mas com dimensões lineares duas 
veze~s que as do precedente, o módulo da força necessária para manter o bloco submerso seiia: 
_a) F b) 2 F c) 4 F 
' 
79. (VUNESP-SP) Na extremidade inferior de uma 
vela fixa-se -um·. cilindro de chumbo. A vela é 
acesa e· imersa em água, ~onforme o esq!Jema ao 
lado, ficando inici,almente em 'equilíbrio. Supo~ 
nhamos que não ~!;corra cera fundida enquanto a . 
vela queima. N~stas condições enquanto a vefa 
qu,eima: · ' 
a) x permanece constante e y diminui. 
li) x aumenta' e y diminui . ' 
c} o valor da relação x/y permanece constante. · 
d) x chega a zei:o antes de y. 
' d) 8 F 
e) depois de certo teinpo, a vela tende a tombar para o lado.'"· 
1
e) 16 F 
@<UF-AM) Uma jangada de madeira é constituída de toras cujo volume é_de aproxi~adamente 100_ 
i litros cada uma. A densidade da madeira é 0,80 kg/l. Três pessofis, de 70 kg cada uma, fazem com 
.: que a jangada fique com 10% de seu volume emerso effi' água de densidade 1,0 kg/í'. O número de 
- toras que compõem a jangada é: 
a) 10 b) 21 c) 20 d) li 
81. (FCMSC-SP) Um barqueiro dispõe de uma chata que permite o transportefluvial de cargas de até 
10 000 N. Ele aceitou 'um trabalho de traslado de um lote de.2Q barras maciças de ferro (10 g/cm3) 
de 200 N cada. Por erro de contagem, a firma enviou 51 barras. Não querendo perder o freguês, 
mas também procurando não ter prejuízo com duas viagens, o barqueiro resolveu am<mar um certo 
número 11 de barras embaixo do barco,_ completamente submersas. Qual o número 11 mínimo para 
que a travessia das 51 barras pudesse ser feita numa só viagem? (g = 10 m/s2) 
a) 1 b) 5 c) 10 d) 50 _e) 51 
1111 1 'll) Sob um cilindro circular de madeira (densidade 0,70 g/cm3), coloca-se· um lastro de 
1111 11 111 busc , ele uma liga metálica de densidade 9,0 g/cm3. O conjunto flutua em água, de modo 
q11 () , ()~0 m do cilindro fique emerso. Sabendo que a altura do cilindro de madeira é 0,30 m e a 
1 h 11 ldudc ela água é 1,0 g/cm3, a altura do lastro deve ser: · 
11) o.~ o cm b) 0,30 cm c) 2,5 cm d) 1,0 cm 
M 1 (l 111 M ) Na figura, temos três líquidos não-
1111 dvc ls !, II e III e um sólido S, em equilíbrio. 
1 11 líquidos forem colocados em recipientes 
~p11 1 11tlos, o sólido S poderá flutuar em: 
•. 4 
11) 0111cnte l. · 
li) u111cnte TI. 
d) somente I e TI. Ili 
e) em I, II e III. 
1 ) 'rnncnte II e· III. 
6. CONCEITO DE PRESSÃO 
Você pode imaginar a dificuldade que encontraria ao tentar pregar na parede /' 
um prego rombudo (sem ponta). Por que a ponta facilita a entrada do prego? ti/ . 
resposta é que a força exercida pelo martelo se distribui numa superfície de menor 
área. Para se levar em conta a área onde uma força se distribui, define-se uma· 
grandeza denominada pressão. 
Assim, se tivermos uma superfície 
de área A sobre a qual se distribuem forças 
perpendiculares (Fig. 8a), cuja resultante é 
F (Fig. 8b), define-se pressão média 
sobre essa superfície a grandeza escalar 
dada pela relação entre a intensidade da 
força F e a área da superfície. 
A pressão em determinado ponto da 
superfície é dada pelo limite da relação 
anterior, para a área A tendendo a zero: 
• ······ · - -- ., ... ,,. < . 
:·'; . . IFI ·1• 
p=hm-- ;· . ·A · ,, 
A-O l - - ' 
A pressão em uma superfície é uniforme quando ela tem o mesmo valor em · 
todos os pontos. Nesse caso, a pressão em qualquer ponto da supe1fície ' coincide 
com o valor.da pressão média. . · . . . 
A unidade de pressão coU"esponde à relação entre uma unidade, de inten- . 
sidade de força e uma unidade de área: 
unidade de pressão = unidade de intensidade de força 
unidade de área 
····/ 
!: 
1 
! 
1 
·1 
1 
1 
l 
1 
! 
f. ., 
i 
' 
/ . 
No Sistema Internacional ele Unidades (SI) essa unidade é o newton por 
metro quadrado (N/m2), denominada pascal (símbolo Pa). 
Há ainda unidades práticas de pressão, estabelecidas a partir da pressão 
exercida por colunas líquidas, como o milímetro de mercúrio (mmHg) e a 
atmosfera (atm). J?ssas unidades serão analisadas mais adiante. 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
~Em um~ vitral:, a agulha aplica sobre o di sco uma força de intensidade .10- 2 N. ~e~d.o a . 
ponta da agulha área igual a 10-10 m2, determine a pressão exercida pela agulha no disco. 
Resolução: 
Temos F = 10-2 N e A = 10- 10 m2. A pressão é dada por: 
p = 108 N/m2 
~)U:"trato~ de este;ra tem 8,0 toneladas de mass.a e. a área da esteira em seu ~ontato com o. solo é 
' .. · 2,0 m2• Determine a pressão média exercida no solo, usando g = 10 m/s2. ., 
86-1, Um paralelepípedo de massa 20 kg tem· dimensões 2 m, 4 m e 6 m. Determine a pressão exercid~ .. 
por esse paralelepípedo quándo apoiado sobre uma superfície horizontal em cada uma ele suas 
faces. -Adote g = 10 m/s2• \ • 
- •, . 
~Quatro cubos iguais, ele aresta a = 0,10 m e 
densidade d = 5,0 · l 03 kg/m3, estão apoiados 
sobre um plano horizontal, como indica a figura . 
Determine a pressão média que esses cubos 
exerc~m no plano. Adote g = 10 rn/s2 . 
Resolução: 
/ 
! 
Volume ele cada cubo: V = a3 = (0,10)3 = 10-3 V = 10- 3 m3 
Área de .cada face: A = a2 = (0,10)2 = 10- 2 A = 10- 2 ~2 
Peso ele cada cubo: P =d · V · g = 5,0 · 103 · 10-3 · 10 P = 50 N 
\, . São ,quatro éubos apoiados em duas faces . 
A pressão vale: 
p = .iI'_ = --1...:2Q_ 
2A 2 · 10- 2 
. ' 
p = · 1,0 · 104 N/m2 . 
: ~ Seis -~~b;s ig~ais, ele ares;a a == . 0,20 ~1 ~ ·" 
densidade .!1 .= 8,0 · 103 kg/m3, são arranjados 
cci'mo ·mostra a figura. Séhdo ·g ··= 10 m/s2 , 
deteirnine a pressão média que os cubos exercem. "·. 
: sobre ª . superfície. 
' 
25• 
A 
fig. 9 
EXERCÍCIOS DE REFORÇO 
89. (~ESGRANRIO-RJ) Você está em pé sobre o chão de uma sala. _Seja p a pressão média sobre o 
chão debaixo das solas dos seus i,apato~ .. ,S.e você suspende úm f!é. equilibrando-se numa perna só, 
essa pressãó. méd.ia passá a ser:· '. 
a) P b) ..l 
2 
e) p2 .d) 2p e) _L 
p2 
')o. (ACAFE-SC) Úm vrego é colocado entre doi~ dedos; que produzeí~ a mesma força, de modo que a 
' ponta do prego é pres~ionada 'por tim dedo e a cabeça do prego pela outra. O dedo que pressiona o 
· lado da ponta seh te dor em fun~ão de: 
; a)"' a pressãó ser inversamente proporcional à área para uma mesma força. 
b) a força ser diretamente proporcional à aceleração e inversamente· proporcional à pressão. 
c) a pressão ser diretamente proporcional à força para uma mesma área . 
d) a sua área de contato ser menor e, em-conseqüência, a pressão também . 
e) o prego sofrer uma pressão igual em ambos os lados, mas em sent idos opostos. 
91. (UF-RS) Um gás encontra-s~ contido sob a pressão de 5,0 · 103 N/m2 no intcri<)l" de t;m recipiente 
cúbico, cujas faces possuem uma árs;a .de 2,0 m2~ Qual é o módulo da força méd ia exercida pelo gás 
sobre cada face .do recipiente?/ -· ' 
a)l,0·10
4
N / c)5,0·103 N e) l ,0 · 103 N 
b) 7,5 · 103 N d) 2,5 · 103 N 
~ (CESUPÁ-PA) Confe~ci~nou-se um paralelepípedo com 110 kg de certo material e obteve-se um 
. sólido com densidade, m~dia iguaJ.. a 2,75 g/cm3 . Colocando-se este sólido sobre um plano 
-.. .. horizontal de forma que a -face de: maior área· fique em contato com o plano, verifica-se que a 
'pressão exercida sobre este é igual a 1 375 N/m2. Nestas condições, e cdnsiderando g = 10 m/s2 , 
pode-se afinnar que a menor das dimensões do paralelepípedo, em centímetros, é: 
a) 1,0 b) 2,0. c)'3,0 d) 4,0 .'e) 5,0 
93. (UF-PR) Quatro cubos mç~!!cos homogêneos e iguais, de aresta 
10-
1 
m, . acham-~e dispostos sobrn. um plano.· Sabe-se que a 
pressão apiicada pelo .oonjunto sobre o plano é 104 N/m2• 
Adotando g ;; 10 m/s2, podemos afirmar que a densidade dos 
cubos será aproximadamente de: 
a) 4 · 103 ko/m3 
b) 2,5 · 103 
0
kg/m3 
c) . 103 kg/m3 
d) 0,4 · 103 kg/m3 
e) 0,25 · 103 kg/m3 
7. PRESSÃO HIDROSTÁTICA 
Consideremos um recipiente cilíndrico de e ixo vertical, cuja altura 
é H e cuja área de base é A, completamente cheio por um fluido de 
densidade d, num loc~ onde a aceleração da gravidade é g (Fig . 9). Em 
virtude do seu p eso P, esse flu ido exerce no fundo do recipiente uma 
pressão p dada p or: 
p =x_ 
A 
( 
M as o pes~ P é dado por: 
.P = m · g = d · V · g = d · AH · g 
'----..---' ._,,__. 
mas~a volume 
·Substituindo : 
_ d .·A·g·H 
p - A" 
/.A essa pressão, exerc ida na base por uma coluna líquida, em virtude do seu 
peso, dá-se o nome ele pressão hidrostática. Observe que o va lor dessa pressão 
cleperide da natureza elo líquido (d: densidade), dei" local onde se encontra 
(g: adeleração el a gravidade) e de sua altura (H). Não depende da área de sua 
secção (A). 
As unidades práticas de pressão - centímetro de mercúrio (cmHg) e 
milímetro ele mercúrio (mmHg) - são definidas como a pressão exercida na sua 
base por colunas ele mercúrio de altura, respectivamente, de 1 cm e ele 1 mm, num 
local onde a arnleração da gravidade é g = 9,8 m/s2 e a OºC, temperatura em que a 
densidade elo mercúrio é d = 13,6 · 103 kg/m3. Estabelecendo a relação com a 
unidade do SI, temos: '· · 
Centímetro de mercúrio (cmHg) 
p = 1 cmHg equivale em pascal a: _.1;. 
p = dgH} d = 13,6 · 103 kg/m 3 ; H = 1 cm = 0,01 m; g = 9,8 m/s2 
p = 13,6 · 103 · 9 ,8 · 0,01p = 1 332,8 Pa 
Portanto: 
; l cmHg = 1 ~32,8 Pa ··~. 
.... · ~ . . . 
<li!:;.• .. ":,,~ 
······ .. 
Milímetro de mercúrio (mmHg) ou Torrice /li (Torr) 
Logicamente: 1 mmHg = O, 1 cmHg. 
Atmosfera (atm) 
Outra unidade prática de pressão é a atmosfera (atm), definida como a 
pressão exercida n a sua base por uma coluna ele mercúrio de altura 
H = 76 cm= 0,76 m num local onde a aceleração ela gravidade é g = 9,8 rn/s2 e 
a OºC, quando a densidade do mercúrio é d= 13,6 · 103 kg/m3. 
Logicamente: 
. 1 atm = 76 cmHg = 760 mmHg 
HIOROSTÁ TICA • 
.... l!!!l!!!!!'m!Sl~,,~-~~-J'l .. ~ •. ~~~~'"~~~~-~-~"~~ .. iill.:':IJ. ~-~!!'!:'!1'~111!. !':i,· ~;;i, ~/ô!. '\il'\ili~,~~fl'<~~-!!!!·!'!l, t"),,!!!l!l"M.9"0!"'--~,-~.~~-!:'!!"'~~"'·~·~0\-"!J!"~~-~-!!ll_.,~~'l'Jl-Rí~~i 
. ') 
p = 1 atm equivale em pascal a: 
p = dgH} d = 13,6 · 103 kg/m3 ; H = 76 cm = 0,76 m; g = 9,8 m/s2 
p = 13,6 . 103 . 9,8 . 0,76 
p = 101292,8 Pa p = 1,013 · 105 Pa 
Portanto: 
. '' . i atm ~),013 · 105 Pa. · 
É comum aproximar-se para: 
1 atm é! 105 .Pa :i 
A tabela seguinte resume as unidades de pressão e a relação com a unidade 
SI: 
8. PRESSÃO NO INTERIOR DE UM LÍQUIDO EM 
EQUILÍBRIO . 
Consideremos um líquido de den-
sidade d em equi líbrio no interior ele um 
recipiente. *A pre~~o num pontó A, 
situado à profuncliclacle H em relação à 
superfície livre, será dada pela pressão 
nessa superfície po somada à pressão 
hidrostática determinada pela coluna 
líquida situada acima cio ponto (Fig. 10). 
··- ....................... ' . . ' 
. . PA = Po + dgH ! 
Portanto, conclui-se por essa equa-
ção que a pressão no interior de um 
líquido em equilíbrio cresce com a 
Fig. 10 
p 
profundidade, sendo representada grafi- -o0+----------+H 
camente como mostra a figura 11. Fig. 11 
Se a superfície livre do líquido estiver exposta ao ar, a pressão Po é 
determiriada por este ar e denominada pressão atmosférica (Patm). A equação 
anterior pode então ser escrita: 
1 
i 
1 • 
1 
lPRÉ-VESTlBULAR CENTRALJ 
Observação -------------;-, 
Pontos situados a uma mesma profundidade, como x e y da figura 12, 
apresentam a mesma pressão. Realmente: 
~p = dg~H 
~H = O ==> ~p = O 
Sendo ~p = Py - Px 
O = Py - Px 
Px ..:=. ~.'. ; Fig. 12 
Portanto, no interior de um líquido homogêneo em equilíbrio, tQda.. 
~p..eQ:ície..horizQUtª-LÇJ.s.obática, isto é, apresenta a mesma pressão. ~r~cíprQ.ca 
é-v.erdade@;.._t_Q.d~l!P.e.r.fü;je_j§.9bári.ca..Lh91:i.zollli\l. Daí concluímos que a 
superfície livre do líquido é horizontal, pois todos os pontos apresentam a 
mesma pressão: a pressão atmosférica. 
9. TEOREMA DE. . STEVIN 
Consideremos dois pontos, A e B, no interior de um líquido homogêneo em 
equilíbrio, sendo ~H o desnível entre eles (Fig. 13). Aplicando a cada um deles a 
equação do item anterior, sendo HA e HB as 
respectivas profundidades, vem: 
I 
PB = Patm + dgHB 
PA = Patm + dgHA 
Subtraindo membro a membro: 
ou 
Essa equação traduz analiticamente o Teorema de Stevin: 
::<" A' Jif;renÇa'd~ p;e~~ão e~fre d~i~-~~ntos'"dé um líquido h~rho~ê~eo . 
. ·, \~ em -i{qÚÍIIbÍio ._é dada pela pressão hidrostáticá da ~qluna · líquida 
· - ~!ltre' º-~ ~Ó/s. P?ntos. :.: . , · , '.: · . . .'. ~·. . . • . .· · ., 
~·~...:.·~~ '--':'-~ . • ·,.. .;·.,·~··~::; ·1 __ , ~•"t.',, .<{ · ~.:··:--:~·1• f" 'I..· '.r. ;.--.:-. 't" 
"' l 
• 1 
·.1 
li 
Resolução: 
Sendo d = 1,0 · 10
3 
kg/m
3 
e g = 10 m/s2, a pressão hidrostática exercida na base pela 
coluna de água, de altura H = 10 m, .vale: 
p = d · g · H "" 1,Q · 103 · 10 · 10 p == 1,ir: IOS Pa 
()bservação: . 
Como vimos, ess.e yalo)' correspo11de aproximadamente a uma atmosfera .9e pressão. Por 
isso, podemos dizer que, quando um mergulhador se aprofm\da na água, a cada 10 rrietros 
de profundidade, a· pressão sobre ele se eleva de uma atmosfera. 
IP• 
": ... 
~ Um recipiente cilínd1i~o está preenchido por um líquido de densidade 8,0 - I O~ kg/m3 .até a altura 
de 30 cm. Determine a pressão hidros tá_t~ca ,exercida pelo líquido no fundo _ do .re~ipieW~'- Use g = 
= 10 m/s
2
. 1;·~ . . , , : - • • ; 
h . 1 
....___,,,..___. __ .. _ ... 
~Num deten;_unado. lo:al,_ exer.c:«m a mesma pressão hidrostática, no fund6 dos recipientes 
que os contem, dois IIqmdos de densidades 5;0 · 102 kg/m3 e 2,0 · 102 kg/m3, Detenrune a 
relação en tre a altura da coluna do líquido mais denso e a altu ra da coluna do líquido menos 
denso. ' 
Resolução: 
Exercendo a mesma pressão hidrostática, 
terá maior altura a coluna do Iíq'uido. cie. 
.menÓ;·d~~~id~de, 
Pt = d1 · g · H1 e pz = dz · g · H2 
Igualando: d1 · l · H1 = dz · g' · H2 
/ / 
A relação pedida é dada por: ~~ = ~~ 
Como d1 = 5,_%; 1-~2,kg/m3 e d2 = 2,0 · 102 kg/m3, vem: 
-- -- -r:-- --. 
H1 s_:._5,0 ·- J4z j 
H2 - ( 2,0 · Í-02 •. 
• · - -- í I _ _ _; 
'· ··,.,._ 
Que altura deve ter uma coluna de álcool de densidade 0,60 g/cm3, para exercer a mesma pressão 
hidrostática que ·uma coluna de água de altura 30 cm? (A densidade da água é 1,0 g/cm
3
.) 
H Hxprima nas unidades práticas de pressão (atmosfera, centímetro de mercúrio e nlilímetro de 
111crcúrio) a pressão de 2,4 · 104 Pa: 
~Nurn local onde a pressão atmosférica é 1,02 · 105 Pa e a aceleração da gravidade é 10 m/s2, 
um mergulhador desce no mar até uma profundidade de 15 metros. Sendo a densidade da 
uo do mar 1,02 · 10
3 
kg/m
3
, determine a pressão supo11ada pelo mergulhador. 
,. 
. ----·---- ---------------
i --- -, . 
,_ 
cc".:: 
(!_' . 
HIDROSTÁT ICA + 
" ,, · rl . 
'1 . 
·!_,..··'"" 
1 
; Resolução: 
Sobre o mergulliador atuam ~ pressão atmosférica Patm e a pressão hidrostática da água. 
Assim, a p ressão sobre ele é dada por: 
p = Patm + dgH 
Como P a1rn = l,02 · 105 Pa, 
d = 1,02 · J93 kg/m3, g = 10 m/s2 e 
H = 15 m, vem: 
p = 1,02 · 105 + 1,02 . 103 . 10. 15 
· p b 1,02 . 105 + 1,53 . 105 
p
1 
= 2,55 ·· 105 Pa -
' e.!)-
Y. 
'"') 
Patm ; 
~ (__\_:~ 
1 \ 
i ~-\_ 
./ H= 15 m 
• (Í' 
~Determine a pressão supo11ada p~r ~ma pe~s.oa ~ profundidade de 45 me_tros em á~ua d<; 
densidade 1,0. 10
3 
kg/m
3
. A pressão atmosfenca e 1,0 · 105 Pa e a acele1açao da gravidade e 
10 m/s2. 
1~ 
~- ? s três recipie1Hes da figura têm bases de _mesma área e são preenchidos por um mesn:o .~,,. ltqu1do, de dens1clad1e 2,0 · 103 kg/q13 ate uma ~nesma alturp ~ ·? .. :~1~ Sendo - ~ p1 ~~s~2~ atmosfenca 1,0 · 105-Pa ·-e g = 10 m/s2, e a area da supeif1c1e do fundo<0,50 m •) 
' ---. -...:..:. ____.,, 
determine: 
-i·· 
1 \ 
' ' o.. 
{ ~; 
\ 
a) a pressão supo11ada pelo fundo de cada um dos recipientes; 
b) a intensidade da fo1·ça exercida no fundo de cada um dos recipientes. 
Resolução: 
a) Analisando a expressão que nos dá a pressão no fundo de cada um dos recipientes 
(p = Paim + dgH), observamos que essa pressão não depende da forma da coluna 
líquida. Po11anto, o fundo dos três recipientes suporta a mesma pressão. Sendo 
d = 2,0 : 10
3 
kg/m
3
, g = 10 m/s2, H = 2,0 m e Pa•m = 1,0 -· 105 Pa, vem: 
p = 1,0 - 105 + 2,0 · 103 . 10 - 2.0 
f. p = ·1,( IÓ5 Pa 
b) Quanto à intensidade da força atuante no fundo, também será a mesma, porque a área 
do fundo é igual nos três recipientes (A = 0,50 m2). Podemos calculá-la aplicando a 
definição de pressão: ·' 
p = E_ '* F = p - a F = 1,4 · 105 · 0,50 F = 0,7 · 105 F ,;_· 7·,o · 1Õ4_N A 
()bservação: · 
O fato enunciado .nesse exercício costuma ser denominado " paradoxo. hidrostático" 
1-, 
i 
~ 
1 
·-
f. 
f' 
em vista de a força no fundo dos recipientes ter a mesma intensidade, embora a quan-
tidade de líquido seja diferente em cada um deles . 
Esse fato pode ser explicado tendo-se em vista a reação das paredes do recipiente à 
forçá com que ·o líquido age sobre elas. No primeiro reCipiente, essa reação tem 
direção horizontal, de modo que sua ação não se faz sentir no fundo. No segundo 
recipiente, a reação pode ser decomposta numa componente horizontal e numa 
componente vertical que "alivia" o peso do líquido a mais existente nesse recipiente 
em relação ao primeiro. No terceiro recipiente,