Clase de Límite-comprimido (1)

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CÁLCULO 1-2023 Límite y continuidad. 
 
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Tema 3 (del programa): Límite y continuidad 
Consideremos la función 𝑓(𝑥) =
1−𝑒𝑥
𝑥
 y observemos que 𝑎 = 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓). Pero nos interesa saber qué 
ocurre con las imágenes de los números 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), cercanos al 0. 
Para ello construimos la tabla siguiente, y observamos que, a medida que nos acercamos a 0 sobre el eje 𝑥 
desde ambos lados (con valores negativos y con valores positivos), las imágenes de esos números se van 
aproximando cada vez más al valor 𝐿 = −1 (𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦). Esto se observa también en la gráfica (b) 
adjunta. 
a) 
 
b)
 
c) 
 
 
 
Se puede observar que se pueden obtener valores 𝒇(𝒙) tan cercanos a 𝑳 = −𝟏, con solo elegir valores 𝒙 
tan cercanos a 𝟎 como sea necesario, como se observa en la gráfica (c) previa. En este caso se dice que “el 
límite de 𝑓(𝑥) es -1 cuando 𝑥 tiende a 0". Y se escribe: 
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = −1 
 
 
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Es importante resaltar que la función podría estar definida en el número 𝑎, pero en el concepto de 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 no 
interesa eso, ya que solamente se quiere saber qué ocurre con las imágenes de los números cercanos a "𝑎" 
pero distintos de él. 
Nota: Podríamos pensar que 𝑣(𝑡) expresa el volumen de un globo de látex a una temperatura 𝑡, y que el 
globo reventará si la temperatura llega a un valor 𝑎. Entonces no se podría calcular el volumen bajo esa 
temperatura y sería necesario calcular el límite al que se aproxima/tiende 𝑓(𝑡) cuando 𝑡 se aproxima a la 
temperatura 𝑡 = 𝑎: 
𝑉 = lim
𝑡→𝑎
𝑣(𝑡) 
LÍMITES LATERALES 
Para la función 𝑔(𝑥) = {
2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1
4 − 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
 estudiamos lo que ocurre en cercanías de 𝑎 = 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 1 
d) e) 
 Observamos que al acercarnos desde la izquierda, 𝑥 < 1, los valores de 𝑔(𝑥) se acercan a 𝐿′′ = 2, pero al 
hacerlo desde la derecha, 𝑥 > 1, las imágenes se aproximan a 𝐿′ = 3. Estas formas de aproximación 
permiten detectar “límites laterales”. En este caso, las imágenes 𝑔(𝑥) se aproximan a diferentes números al 
acercarnos al número 𝑎 = 1, cuando el acercamiento se hace desde lados diferentes. En este caso se dice que 
“el límite lateral izquierdo de 𝑔(𝑥), cuando 𝑥 tiende a ,1 vale 2” y el “el límite lateral derecho de 𝑔(𝑥), 
cuando 𝑥 tiende a 1, vale 3”. Y escribimos: 
𝐿− = lim
𝑥→1−
𝑔(𝑥) = 2 y 𝐿+ = lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥) = 3 
La función 𝑔 está definida en 𝑎 = 1 pero no nos interesa, ya que, como dijimos antes, lo importante es lo 
que ocurre con las imágenes de los números 𝑥 cercanos al 𝑎 en cuestión pero con 𝑥 ≠ 𝑎. 
Ejemplo: 
 
Un barco y un auto moviéndose a lo largo de un mismo paralelo hacia el meridiano 0, 
desde lados opuestos 
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También se presentan funciones como la siguiente, en las cuales las imágenes de números cercanos a un 
valor "𝑎" (en este caso, 𝑎 = 0) van “saltando” sin acercarse a un valor determinado, ni por derecha ni por 
izquierda. En estos casos no existen ni el límite completo ni los límites laterales. 
 
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Nota: Para todas las funciones algebraicas, las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas, es 
válida la regla de sustitución directa, teniendo en cuenta que en algunos casos solamente se podrá tomar un 
límite lateral. 
Ejemplos: a) lim
𝑥→0+
√𝑥 = √0 = 0 b) lim
𝑥→1−
(arcsin 𝑥) = arcsin 1 =
𝜋
2
 
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En general se cumple el siguiente Teorema: 
 
En el Ejemplo 3, se consideraron las funciones: 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 
 
Solución: No podemos aplicar la ley de sustitución directa pero racionalizando el numerador podremos 
aplicar el teorema anterior: 
 
Queda para el estudiante, la continuación y finalización del ejemplo 6. 
Monotonía del límite y teorema de la compresión 
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Caso particular del teorema de la compresión: 
Teorema: Si 𝑓 es una función acotada en un entorno de 𝑎 (puede no estar definida en 𝑎), y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0, 
entonces lim
𝑥→𝑎
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 0 
 
Solución: 
 
 
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Ejemplo: Obtener las asíntotas verticales de: a) 𝑦 =
𝑥2−𝑥
𝑥(𝑥2−1)
 b) 𝑦 = tan 𝑥 
Solución: a) Observemos que 𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {0, −1, 1}. Pero 𝑦 =
𝑥2−𝑥
𝑥(𝑥2−1)
= 
𝑥(𝑥−1)
𝑥(𝑥+1)(𝑥−1)
 , y entonces podemos 
simplificar la expresión para todo 𝑥 ≠ 0, −1, 1: 
𝑦 =
1
𝑥 + 1
, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 
Luego, la única asíntota vertical es 𝑥 = −1 . Graficar la función. 
b) La función tangente tiene asíntotas verticales en todos los números en que no está definida: 𝑥 =
2(𝑘 + 1)
𝜋
2
, para todo 𝑘 ∈ ℤ. 
 
 
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