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AUTORIDADES Dr. ROHEL SÁNCHEZ SÁNCHEZ Rector de la Universidad Nacional de San Agustín Dra. ANA MARÍA GUTIÉRREZ VALDIVIA Vicerrectora Académica Dr. HORACIO BARREDA TAMAYO Vicerrector de Investigación Mag. JOSÉ PAZ MACHUCA Director CEPRUNSA Dra. ROXANA ALEMÁN DELGADO Coordinadora Administrativa Lic. EMILIO GUERRA CÁCERES Coordinadora Académico Dra. MERCEDES NÚÑEZ ZEVALLOS COMITE DE APOYO CEPRUNSA Mag. FRESIA MANRIQUE TOVAR Lic. RONALD CUBA CARPIO 1 1. FUNCIONES 1.1. DEFINICIÓN Es decir: f = {(x; y)/ y = f(x)} De donde: y = f(x) es regla de correspondencia; teniendo en cuenta que “y” es la variable dependiente y “x” es la variable independiente. 1.2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Ejemplos: 1. Hallar el dominio de la función: y = f(x) = 5 2x−3 Primero se determina las restricciones del domino, haciendo el denominador: 2x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3 2 , lo que significa que “x” no puede asumir el valor de 3 2 Entonces: Df = ℝ − { 3 2 } 2. Hallar el dominio de la función: f(x) = √x2 − 7x + 12. Como se trata de una raíz de índice par, entonces: x2 − 7x + 12 ≥ 0 → (x − 4)(x − 3) ≥ 0 x ∈ < −∞, 3] ∪ [ 4,∞ > = Df 3. El dominio de la función: f(x) = log2(x − 7) En este caso la variable “x” está siendo afectada por un logaritmo, entonces se cumple que: x − 7 > 0 → x > 7 Df = 〈7; +∞〉 FUNCIONES Una función es una relación binaria 𝐟: 𝐀 ⟶ 𝐁 que asigna a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de la función. Dom(f) = {a ∈ A/ b ∈ B ∧ (a; b) ∈ f} Para poder calcular el dominio de una función debemos tener en cuenta las siguientes restricciones: I. El denominador debe ser diferente de cero. II. El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual que cero. III. En la función Logaritmo: f (x) = logax ∀𝑥 > 0; 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1 RANGO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de la función, Ran(f) = {b ∈ B ∕ a ∈ A ∧ (a; b) ∈ f} Para la determinación del rango de una función, tenemos tres métodos: Analítico: Se parte del dominio y se construye la función. Algebraico: Se despeja la variable “x” la cual quedará en términos de la variable “y”, luego se analiza los valores que puede asumir la variable “y”. Gráfico: Se analiza el comportamiento de la función en el eje “y”. 2 EJEMPLOS 1. Hallar el rango de la función: f(x) = −3 + √x2 − 4x + 5 ; −2 ≤ x < 6 Primero acomodamos: x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 → f(x) = −3 + √(x − 2)2 + 1 Luego partimos del dominio para construir la función: −2 ≤ x < 6 −2 + 2 ≤ x − 2 < 6 − 2 (0)2 ≤ (x − 2)2 < (4)2 0 + 1 ≤ (x − 2)2 + 1 < 16 + 1 √1 ≤ √(x − 2)2 + 1 < √17 1 − 3 ≤ −3 + √(x − 2)2 + 1 < −3 + √17 −2 ≤ −3 +√(x − 2)2 + 1⏟ f(x) < √17 − 3 → Rf = [ −2 ; √17 − 3 ⟩ 2. Sea la siguiente función: y = f(x) = x +1 2x+1 ; −4 ≤ x < 1; x ≠ − 1 2 . Calcular el rango de la función. Siendo −4 ≤ x < 1; x ≠ − 1 2 Entonces: −4 ≤ x < − 1 2 V − 1 2 < x < 1, Acomodando: f(x) = 1 2 [1 + 1 2x+1 ] Luego: −4 ≤ x < − 1 2 V − 1 2 < x < 1 −8 ≤ 2x < −1 V − 1 < 2x < 2 −7 ≤ 2x + 1 < 0 V 0 < 2x + 1 < 3 1 2x + 1 ≤ − 1 7 V 1 2x + 1 > 1 3 1 + 1 2x + 1 ≤ 6 7 V 1 + 1 2x + 1 > 4 3 1 2 [1 + 1 2x + 1 ] ≤ 3 7 ⋁ 1 2 [1 + 1 2x + 1 ] > 2 3 Luego el Rf = < −∞; 3 7 ] ∪ 〈 2 3 ; +∞ 〉 1.3. FUNCIONES ESPECIALES FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN CONSTANTE Una función es constante si su regla de correspondencia es f(x) = k donde "k" es una constante, es decir: f = {(x; y) ∈ R x R/ y = k} FUNCIÓN IDENTIDAD Se llama función identidad a la función que hace corresponder a cada número real el propio número. Se representa por f(x) = x. f = {(x; y) ∈ R x R/ y = x} Características: Su dominio es R. Es una función impar (simétrica con relación al origen de coordenadas). Corta al eje X y al eje Y solo en el punto (0,0). FUNCIÓN LINEAL Tiene por ecuación f(x) = ax, “a” se llama pendiente y cuanto mayor sea, mayor la inclinación de la recta que representa. Características: Su dominio es R Es una función impar (simétrica con relación al origen de coordenadas). Corta al eje X y al eje Y solo en el punto (0,0). Crece si a > 0 y decrece si a < 0. 3 FUNCIÓN LINEAL AFÍN Su ecuación es y = mx + b, “m” es la pendiente, “b” es la ordenada al origen y representa la distancia desde el punto donde la gráfica corta el eje Y hasta el origen de coordenadas. Características: Su dominio es R. Corta el eje Y en (0,b) y al eje X en (-b/m,0). FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA A la función f, le llamaremos raíz cuadrada si su regla de correspondencia es f(x) = √x. Características: Su dominio es x 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Tiene por ecuación general: f(x) = ax2 + bx + c con a ≠ 0 y su grafica es una parábola. Características: Vértice situado en (– b 2a , f (− b 2a )) o (– b 2a , 4ac−b2 4a ) El dominio es: Dom (f) = R Corta al eje Y en (0,c). Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba y si a < 0, la parábola se abre hacia abajo. ANÁLISIS DE LA DISCRIMINANTE ∆= 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 ∆ > 0 : la parábola corta en dos puntos al eje X. ∆= 0 : la parábola corta en un punto al eje X. ∆< 0 : la parábola no corta al eje X. FUNCIÓN CON VALOR ABSOLUTO A la función f , le llamaremos función valor absoluto, si la regla de correspondencia es: f(x) = |x| = { x, si x ≥ 0 −x, si x < 0 4 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA (recíproca, hiperbólica) Su ecuación es f(x) = k x ; k > 0 Su grafica es una hipérbola que tiene como asíntotas a los ejes coordenados. Características: El dominio es R – {0} El rango es Ran (f) = R – {0} La función presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 0. No corta a los ejes coordenados. Es una función impar y simétrica con relación al origen de coordenadas. FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS: Toda función f real de variable “x” que puede ser representada como una función definida por tramos o trozos tiene las siguientes características: La regla de correspondencia de f se escribe como dos o más reglas de correspondencia (f1, f2, f3……) Dom(f) = Domf1 ∪ Domf2 ∪ Domf3…Domfn Ejemplos: 1. En las gráficas se observa la dilatación y contracción de las funciones h(x) y g(x) a lo largo del eje “y” con relación a la gráfica de f(x). 2. En las gráficas se observa la dilatación y contracción de las funciones h(x) y g(x) a lo largo del eje “y” con relación a la gráfica de f(x). ESTIRAMIENTO O DILATACIÓN CON RESPECTO AL EJE “Y” Sea: y = a. f(x); a > 1, es una nueva función cuya gráfica es estirada a lo largo del eje “y” con relación a la gráfica de 𝑓(𝑥). 5 Ejemplos: 1. Traslaciones de una función cuadrática 2. Traslaciones de la función Valor Absoluto 3. Traslaciones horizontales y verticales TRASLACIONES 1.- HORIZONTAL: Sea: y = f(x − h), es una nueva función cuya gráfica se obtiene a partir de la función original, mediante traslación horizontal. a) Hacia la derecha, si: h > 0 b) Hacia la izquierda, si: h < 0 2.- VERTICAL: Sea: y = f(x) + k, es una función, cuya gráfica seobtiene de la gráfica de “F”, mediante traslación vertical. a) Hacía arriba, si: k > 0 b) Hacía abajo, si: k < 0 6 EJEMPLOS: 1. Indica el Dominio y Rango de la función a trozos mostrada en el esquema: A) Df = ℝ = 〈−∞; 2〉 ; Rf = [−2; 2] B) Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 ; Rf = 〈−2; 2〉 C) Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 ; Rf = [2; 2] D) Df = ℝ − {−2; 2} ; Rf = [−2; 2] E) Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 ; Rf = [−2; 2] RESOLUCIÓN: La función está determinada de la siguiente manera: f(x) = { 2 si − ∞ < x < −2 x si − 2 ≤ x ≤ 2 −1 si 2 < x < +∞ Observamos el recorrido horizontal de la función y concluimos que ocupa todo el eje de las “x”; entonces Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 Luego notamos que Rf = [−2; 2] Respuesta: E 2. Una carretera f(x) = mx + m pasa a 2 km. al norte de una estación vehicular ubicada en el origen de coordenadas. Calcular el recorrido vertical si su alcance horizontal está determinado en < −1; 0 > A) < 0; 2 > B) < 1; 2 > C) < 0; 1 > D) < −1; 2 > E) < −1; 0 > RESOLUCIÓN: Como la carretera f(x) = mx + m, pasa a 2 km del origen de coordenadas, entonces 2 es el intercepto con el eje “y” que también resulta ser la pendiente: f(x) = 2x + 2 El dominio de la función es: < −1; 0 >; el recorrido vertical corresponde al rango de la función: f(x) = y → y = 2x + 2 ; por construcción tenemos: −1 < x < 0 x(2) −2 < 2x < 0 +2 0 < 2x + 2 < 2 Rango: < 0; 2 > Respuesta: A 3. El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. ¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua “y” con el número de semana “x”? A) y = -12 + 0,5x B) y = - 0,5 + 12x C) y = 12 + 0,5x D) y = 12 – 3,5x E) y = 12 – 0,5x RESOLUCIÓN: Organizamos la situación en una tabla, teniendo en cuenta que el nivel del agua depende del número de semanas, es decir relacionamos las magnitudes de longitud (y) y tiempo (x). N° de semanas 0 1 2 3 4… Nivel del agua 12 11,5 11 10,5 10… y = mx + b (0; 12) → 12 = m(0) + b → b = 12 (1; 11,5) → 11,5 = m(1) + 12 → m = −0,5 y = mx + b → y = −0,5x + 12 Respuesta: E 4. Un grupo de amigos quiere realizar turismo interno al norte del país y preguntan en dos agencias aéreas sobre el costo individual de los “paquetes de viaje”, obteniendo la siguiente información: La Agencia ANDA ofrece: un costo fijo de 300 dólares más 3 dólares por kilómetro recorrido La Agencia PORTADA oferta: un costo fijo de 50 dólares más 8 dólares por kilómetro recorrido ¿En qué empresa deciden viajar si de Arequipa a Piura hay una distancia de 1997km aproximadamente? 7 A) Ambas agencias ofrecen el mismo precio B) Para este caso, les conviene contratar con la agencia ANDA C) Para este caso, les conviene contratar con la agencia PORTADA D) No se puede determinar E) La agencia ANDA ofrece una mejor oferta para menos de 50 km. RESOLUCIÓN: Teniendo en cuenta que contamos con dos magnitudes que se relacionan: “precio con kilómetros”, así mismo, determinamos que el precio (y) depende de los kilómetros (x) recorridos Entonces para cada agencia se tendrá: A(x) = 3x + 300 P(x) = 8x + 50 La gráfica representa Para viajes con trayecto inferior a 50 km, nos interesa contratar Viajes PORTADA. Y como queremos viajar al norte, será mejor contratar a la agencia ANDA. Respuesta: B 5. A Miguel le pagan por producción, si fabrica 1 hebilla le pagan un sol, si produce 2 le darán 2 soles si produce 3 le pagarán 3 soles y así sucesivamente, un día ha sido acreedor a un bono especial de 3ab soles. Si la función f(x) = (x + a)(x – 3) − (x + 2)2 + b modela la relación entre la producción y el pago que recibe, indica ¿Cuánto fue el bono que recibió Miguel? A) 265 soles B) 448 soles C) 315 soles D) 672 soles E) 380 soles RESOLUCION: Reconocemos que la relación entre la producción y el salario de Miguel es una función identidad: f(x) = (x + a)(x – 3) − (x + 2)2 + b f(x) = x2 − 3x + ax − 3a − x2 − 4x − 4 + b f(x) = (−7 + a)x + (b − 4 − 3a) −7 + a = 1 → a = 8 b – 4 – 24 = 0 → b = 28 3(8 ) (28) = 672 Respuesta: D 6. El área destinada al sembrío de rosas tiene forma de trapecio y está formada por las siguientes funciones: f(x) = 8 , g(x) = x – 4 , y = 0 y x = 0 ¿Cuál es el área destinada para el jardín en m2? A) 30m2 B)56m2 C) 72m2 D) 48m2 E) 64m2 RESOLUCION: Haciendo:f(x) = g(x) → x − 4 = 8 x = 12 Si: y = 0 → x − 4 = 0 → x = 4 Luego en la gráfica. A = (B+b) 2 h A = (12+4) 2 8 A = 64m2 Respuesta: E 8 7. Hallar la suma de los tres primeros valores enteros del rango de la siguiente función: f(x) = |x + 1| + |x − 2| A) 11 B) 12 C) 10 D) 15 E) 9 RESOLUCIÓN: Hallando los valores críticos: x + 1 = 0 → x = −1 x − 2 = 0 → x = 2 Hallando los dominios restringidos: Luego: 𝐱 < −𝟏 → 𝐲 = −(𝐱 + 𝟏) − (𝐱 − 𝟐) = 𝟏 − 𝟐𝐱 −𝟏 ≤ 𝐱 < 2 → y = +(x + 1) − (x − 2 = 3 x ≥ 2 → y = +(x + 1) + (x − 2) = 2x − 1 Luego: f(x) = { 1 − 2x, si x < −1 3, si − 1 ≤ x < 2 2x − 1, si x ≥ 2 Rf = [3;+∞ > Luego: S = 3 + 4 + 5 = 12 Respuesta: B 8. Hallar el rango de: f(x) = 1 x+1 . A) y ∈ R − {0} B) y ∈< −1; 0 > C) y ∈< 0; 1 > D) y ∈< −∞; 0 > E) y ∈ R − {−1} RESOLUCIÓN: Despejamos “x”: x = 1 − y y aplicamos la restricción para el denominador: y ≠ 0 Rf = ℝ − {0} Respuesta: A 9. Si f(x) = x+2 x+3 es formación de la función elemental f(x) = 1 x , podemos concluir que: A) Se traslada verticalmente una unidad hacia abajo y horizontalmente tres unidades a la derecha y se refleja respecto al eje Y. B) Se traslada verticalmente una unidad hacia arriba y horizontalmente tres unidades a la derecha y se refleja respecto al eje X. C) Se traslada verticalmente una unidad hacia abajo y horizontalmente tres unidades a la izquierda y se refleja respecto al eje Y. D) se traslada verticalmente una unidad hacia abajo y horizontalmente tres unidades a la izquierda y se refleja respecto al eje y = 1. E) Se traslada verticalmente una unidad hacia arriba y horizontalmente tres unidades a la izquierda y se refleja respecto al eje y = 1. RESOLUCIÓN: Acomodando la regla de correspondencia de la función para realizar sus traslaciones f(x) = x + 2 x + 3 − x + 3 x + 3 + 1 → f(x) = x + 2 − x − 3 x + 3 + 1 f(x) = −1 x + 3 + 1 → f(x) = 1 − 1 x + 3 Entonces: f(x) = 1 ⏟ traslacion vertical hacia arriba − ⏞ refleja respecto al eje "y=1" 1 x + 3⏟ traslación horizontal a la izquierda 9 Respuesta: E 10. Hallar la suma de los límites del rango de f(x) = 1 − (x + 11)2 para: x ∈ [−17; 3] . A) -196 B) -194 C) -188 D) -190 E) -192 RESOLUCIÓN: Hallamos el rango de f(x) = 1 − (x + 11)2 mediante la construcción de la función partiendo de su dominio −17 ≤ x ≤ 3 → −17 + 11 ≤ x + 11 ≤ 3 + 11 −6 ≤ x + 11 ≤ 14 → 0 ≤ (x + 11)2 ≤ 142 0 ≤ (x + 11)2 ≤ 196 → 0(−1) ≤ (−1)(x + 11)2 ≤ (−1)196 0 ≥ −(x + 11)2 ≥ −196 → +1 + 0 ≥ +1 − (x + 11)2 ≥ +1 − 196 1 ≥ 1 − (x + 11)2⏟ f(x) ≥ −195 Rf = [−195; 1] → −195 + 1 = −194 Respuesta: B 11. Un equipo de fútbol en una de sus prácticas diarias se da la siguiente situación: “Un jugador se encuentra a 8 metros de la portería y el portero se encuentra a 4 metros, logrando saltarhasta 2,5 metros de altura para cubrir la portería. El jugador puede escoger para hacer el lanzamiento entre dos trayectorias que corresponden a dos modelos matemáticos: I. y = 0,4x – 0,05x2 II. y = 1,6x – 0,2x2 ¿Cuál de los dos modelos presentados que describe la trayectoria del balón será el más adecuado para meter gol? A) Solo I B) I y II C) Solo II D) Ninguno E) Faltan datos RESOLUCIÓN: Ambas funciones tienen como gráfica una parábola que se abre hacia abajo, entonces hallando las coordenadas de los vértices, hallaremos su altura máxima que alcanza cada modelo de trayectoria. Para y = 0,4x – 0,05x2 a = - 0,05 y b = 0,4 , la fórmula que aplicaremos es: x = − b 2a = − 0,4 2(−0,05) = 0,4 0,1 = 4 Ahora hallamos “y” reemplazando x = 4 en la función. y = 0,4(4) – 0,05(4)2 = 1,6 – 0,8 = 0,8 m La altura máxima que alcanza ésta trayectoria es 0,8 metros. Para y = 1,6x – 0,2x2 a = - 0,2 y b = 1,6 , la fórmula que aplicaremos es: x = − b 2a = − 1,6 2(−0,2) = 1,6 0,4 = 4 Ahora hallamos “y” reemplazando x = 4 en la función. y = 1,6(4) – 0,2(4)2 = 6,4 – 3,2 = 3,2 m 10 La altura máxima que alcanza ésta trayectoria es 3,2 metros. El segundo modelo es el más adecuado, porque el portero no llegaría atajarlo porque la altura máxima de la trayectoria es 3,2 metros, mientras que el portero solo llega hasta 2,5 metros de altura saltando. Respuesta C 12. Desde lo alto de un edificio se lanza una pelota hacia arriba y adelante de modo que su caída describe una trayectoria parabólica cuya gráfica pertenece a la f(x) = a(x − h)2 + k tal como lo muestra la gráfica. Hallar el valor de “a” A) 2 B) -2 C)3 D) -3 E) 4 RESOLUCIÓN: Se observa que el vértice de la parábola tiene por coordenadas (1; 2), el intercepto con el eje “y” es el punto: (0;−1) f(x) = a(x − h)2 + k −1 = a (0 − 1)2 + 2 a = −3 Respuesta: D 13. Dos delfines realizan saltos cuya trayectoria de uno de ellos es una parábola que está dada por la función cuadrática: f(t) = −t2 + 6t − 5; siendo 1 ≤ t ≤ 5, donde “t” es el tiempo en segundos y f(t) es la altura en metros que alcanza el delfin en determinado instante. Calcula el alcance horizontal del otro delfín si su altura máxima al mismo tiempo que el primero es mayor en 5m A) 5 m. B) 6 m. C) 3 m. D) 4 m. E) 8 m. RESOLUCIÓN: f(t) = −t2 + 6t − 5 Hallamos el vértice por medio de la completación de cuadrados f(t) = −(t2 − 6t + 9⏟ TCP − 9 + 5) f(t) = −(t − 3)2 + 4 V1 = (3; 4) → Altura que alcanza 4 m. Entonces la altura (k) del segundo delfín es 4 + 5 = 9 m. En el mismo tiempo que el primero, es decir: V2 = (3; 9) → g(t) = −(t − 3)2 + 9 g(t) = −t2 + 6t interceptos con el eje “x”: 0 = −t2 + 6t → 0 = −(t)(t − 6) t = 0 i t = 6 graficando tenemos: Respuesta B 14. Para graficar una función con valor absoluto se le da las siguientes indicaciones a un estudiante: A partir de la gráfica de f(x) = |x|, la función B(x) presenta las siguientes particularidades: Cumple con la reflexión Su desplazamiento vertical sea 3 veces hacia arriba Su desplazamiento horizontal es 2 hacia la derecha La grafica pasa por el punto (−10; 0) Entonces de acuerdo a todas las características descritas se podría afirmar que: A) A(x) = − 1 4 |2 − x| + 3 o A(x) = − 1 4 |x − 2| + 3 B) La función es solamente: A(x) = − 1 4 |2 − x| + 3 C) La función es solamente: A(x) = − 1 4 |x − 2| + 3 D) A(x) = − 1 4 |2 + x| + 3 o A(x) = 1 4 |x − 2| + 3 11 E) A(x) = 1 4 |2 − x| + 3 o A(x) = 1 4 |x − 2| + 3 RESOLUCIÓN: Siguiendo las indicaciones se tiene que: A(x) = −c|2 − x| + 3 en (−10; 0) 0 = −c|2 + 10| + 3 → c = 1 4 Por lo tanto, la función sería: A(x) = − 1 4 |2 − x| + 3 Sin embargo, por ser valor absoluto también cumple para: A(x) = − 1 4 |x − 2| + 3 Respuesta A. 15. Inicialmente una carretera interprovincial iba a tener el siguiente recorrido representado por la función: f(x) = x2 2 + x − 4, sin embargo, los estudios de suelo han determinado que la zona comprendida por el vértice de la parábola no es la adecuada para dicha vía, motivo por el cual fue modificada de la siguiente manera: f(x) = | x2 2 + x − 4|, entonces el esquema que representa la nueva forma de la carretera es: A) B) C) D) E) 12 RESOLUCIÓN: De acuerdo a las características de la parábola la gráfica es así: f(x) = x2 2 + x − 4, Vértice: h = − 2a b → h = − 2( 1 2 ) 1 → h = −1 f(h) = k = (−1)2 2 + (−1) − 4 → k = − 9 2 V = (−1;− 9 2 ) Interceptos con el eje “x”: x2 2 + x − 4 = 0 → x2 + 2x − 8 = 0 → (x + 4)(x − 2) = 0 x = −4 ; x = 2 Pero la parábola está siendo afectada por el VALOR ABSOLUTO, entonces todos los valores de “y” resultan ser positivos, por esta razón en la curva negativa de la gráfica ocurre una reflexión f(x) = | x2 2 + x − 4| V1 = (−1; 9 2 ) Entonces la forma que tendría la carretera queda así: Respuesta: B 16. Por simple inspección indica la función que corresponde a las gráficas: A, B, C y D A) A(x) = −√x + 2 + 4 ; B(x) = −√x + 2 + 4 C(x) = √−x + 5 − 2 ; D(x) = √−x − 1 B) A(x) = −√x − 4 + 2 ; B(x) = −√x + 2 + 4 C(x) = √x + 5 − 2 ; D(x) = √x + 1 C) A(x) = −√x + 4 + 2 ; B(x) = −√x + 2 + 4 C(x) = √x + 5 − 2 ; D(x) = √−x − 1 D) A(x) = −√x − 4 − 2 ; B(x) = −√x − 2 − 4 C(x) = √x − 5 + 2 ; D(x) = √−x + 3 E) A(x) = −√x + 4 + 2 ; B(x) = −√x + 2 + 4 C(x) = √−x + 1 ; D(x) = √x + 5 − 2 RESOLUCIÓN: Recordando lo siguiente: Además, se puede observar por las traslaciones verticales y desplazamiento horizontal, de las funciones raíz cuadrada. A(x) = −√x + 4 + 2 ; Signo negativo: reflexión vertical con respecto al eje “x” 13 “+ 4” desplazamiento horizontal hacia la izquierda “+ 2” traslación vertical hacia arriba (x) = −√x + 2 + 4 Signo negativo: reflexión vertical con respecto al eje “x” “+ 2” desplazamiento horizontal hacia la izquierda. “+ 4” traslación vertical hacia arriba. C(x) = √x + 5 − 2 ; “+ 5” desplazamiento horizontal hacia la izquierda. “- 2” traslación vertical hacia abajo. D(x) = √−x − 1 Signo negativo: reflexión horizontal con respecto al eje “y” “-1” traslación vertical hacia abajo. Respuesta: C 17. Dadas las funciones: f(x) = √x + 4; g(x) = x−5 x+3 Hallar el dominio de Df ∩ Dg A) [−4; ∞⟩ B) [6; ∞⟩ C) ℝ − {−3} D) [−4;+∞⟩ − {−3} E) [−4;+∞⟩ RESOLUCIÓN: f(x) = √x + 4 Aplicamos la restricción para raíces de índice par: x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4 Df = [−4;+∞[ g(x) = x−5 x+3 Aplicamos la restricción para el denominador: x + 3 ≠ 0 → x ≠ −3 Dg = ℝ − {−3} Entonces Df ∩ Dg Df ∩ Dg = [−4;+∞⟩ − {−3} Respuesta: D 14 2. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS EJEMPLOS: 1. Indica el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación exponencial 22x+3 − 2x+1. 3x − 5. 32x+1 = 0 A) -1 B) 1 C.2 D. 3 E. -2 RESOLUCIÓN: 22x. 23 − 2x. 2. 3x − 5. 32x. 3 = 0; Hacemos un cambio de variable: 2x = m y 3x = n 8m2 − 2mn − 15n2 = 0 factorizando (4m + 5n)(2m − 3n) = 0 m1 = − 5 4 n; no tiene solucion, m2 = 3 2 n; 2x = 3 2 (3)x; 3 2 = ( 2 3 ) x ; x = −1 Respuesta: B 2. Si [√(1+x−1). √(1+x)2 6 ] 3[ √x2.√x3 3 √ 1 x5 6 ] − 3 4 = √ 1 (1+x) A ¿Cuál es el valor de A? con x ≠ {−1; 0} A) 0 B) 1 C) 2 D) 1 2 E) − 1 2 RESOLUCIÓN: Numerador [√(1 + 1 x ) . (1 + x) 1 3 ] 3 = [√( x + 1 x ) . (1 + x) 1 3 ] 3 = [√ (x + 1)1+ 1 3 x ] 3 [√ (x + 1) 4 3 x ] 3 = √ (x + 1) 4 3 .3 x3 = (x + 1)4. 1 2 x3. 1 2 → (x + 1)2 x 3 2 Denominador [ √x2. x 3 2 3 √ 1 x5 6 ] − 3 4 = [ √x7 6 √x−5 6 ] − 3 4 = [√ x7 x−5 6 ] − 3 4 = [√x12 6 ] − 3 4 = x− 3 2 En la fracción (x+1)2 x 3 2 1 x 3 2 = √ 1 (1+x) A → (x + 1)2 = (1 + x)− 1 A 2 = − 1 A → A = − 1 2 Respuesta: E ECUACIÓNES EXPONENCIALES 1. Si bf(x) = b g(x) ⇐⇒ f(x) = g(x) ; ∀ b ∈ R − {0} 2. Si f(x)a = g(x)a ⇐⇒ f(x) = g(x); ∀a ≠ 0 15 EJEMPLOS: 1. Hallar el conjunto solución de la inecuación exponencial: (0,25)(x−2) ≥ (4)(2x+6) A) ⟨−∞;− 2 3 ] B) ⟨−∞;− 3 4 ] C) ⟨−∞; 4 3 ] D) ⟨−∞;− 4 3 ] E) Φ RESOLUCIÓN: (0,25)(x−2) ≥ (4)(2x+6) ( 1 4 ) (x−2) ≥ (( 1 4 ) −1 ) (2x+6) ( 1 4 ) (x−2) ≥ ( 1 4 ) −(2x+6) Cancelamos las bases; pero el sentido de la desigualdad cambia, dado que la base está comprendida entre 0 y 1. x − 2 ≤ −2x − 6 → 3x ≤ −4 → x ≤ − 4 3 C. S. = ⟨−∞;− 4 3 ] Respuesta: D. 2. Resolver: √35x−1 4 > √35x+1 3 . √33x−13 10 , e indicar el conjunto solución: A) 〈−∞; 1〉 B) 〈−∞;−1〉 C) 〈1; +∞〉 D) 〈−∞; 43〉 E) 〈−∞;−2〉 RESOLUCIÓN: √35x−1 4 > √35x+1 3 . √33x−13 10 → 3 5x−1 4 > 3 5x−1 3 + 3x−13 10 5x − 1 4 > 5x + 1 3 + 3x − 13 10 → 5x − 1 4 > 59x − 29 30 5x − 1 2 > 59x − 29 15 → 75x − 15 > 118x − 58 43 > 43x 1 > x Entonces: x < 1 → x ∈ 〈−∞; 1〉 Respuesta: A. INECUACIONES EXPONENCIALES Si: 𝑏 > 1 1. b f(x) < bg(x) ⇐⇒ f(x) < g(x) 2. b f(x) > bg(x) ⇐⇒ f(x) > g(x) Si: 0 < 𝑏 < 1 1. 𝑏 𝑓(𝑥) < 𝑏𝑔(𝑥) ⇐⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 2. 𝑏 𝑓(𝑥) > 𝑏𝑔(𝑥) ⇐⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 16 OTRAS PROPIEDADES 13. logaN = loganN n = log √a n √N n = log1 a 1 N 14. loga mN = (logaN ) m ≠ mlogaN 15. alogbc = clogba; a; b; c son positivos b ≠ 1 16. logbx = logby → x = y 17. ylogbx = xlogby LOGARITMOS logaN = b ⟺ a b = N ; a > 0 ∧ a ≠ 1; N > 0 𝑎logaN = N; ∀ a > 0 ∧ a ≠ 1; N > 0 PROPIEDADES GENERALES 1. Logaritmo de la base: logaa = 1 ⟺ a 1 = a 2. Logaritmo de la unidad: loga1 = 0 ⟺ a 0 = 1 3. Logaritmo de un producto: loga(N. P) = logaN + logaP N > 0; P > 0 4. Logaritmo de un cociente: loga ( N P ) = logaN − logaP N > 0; P > 0 5. Logaritmo de una potencia: logaN x = xlogaN 6. loga𝑦N 𝑥 = x y logaN ; 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ 7. Logaritmo de una raíz: loga √N m = 1 m logaN 8. Cambio de base: logaN = logbN logba a ∧ b ∈ R+ − {1}; N > 0 IDENTIDAD FUNDAMENTAL 9. Regla de la cadena: logya · logab · logbc . logcd… lognx = logyx logba. logaN = logbN logab · logba = 1 → logab = 1 logba 10. Regla del intercambio: 𝑥log𝑎 𝑦 = 𝑦log𝑎 𝑥 ; 𝑥 > 0 ; 𝑦 > 0 11. Antilogaritmo: antilogba = b a Propiedades: antiloga൫logaN ൯ = N loga(antilogaN ) = N 12. Cologaritmo: cologba = logb 1 a = − logba ECUACIÓN LOGARÍTMICA Es aquella ecuación donde una incógnita (o más) está afectada por el operador logaritmo. No Son ecuaciones logarítmicas 1. x + Log25 = 3 2. Log√24 + Log28 + 1 = xLog23 Son ejemplos de ecuaciones 1. Log(x + 7) = 4 2. Logx(x 2 + 1) = Logx(2x 2 − 8) 3. Logxx 2 = 9 EJEMPLOS 17 EJEMPLOS: 1. Indica la suma de las raíces de la siguiente ecuación: 2log7൫x 2−7x+21൯ = 3log74 A) 9 B)10 C)7 D)12 E) 21 RESOLUCIÓN: 2log7൫x 2−7x+21൯ = 3log74 Aplicando la Regla del intercambio: 2log7൫x 2−7x+21൯ = 4log73 2log7൫x 2−7x+21൯ = 22.log73 Igualando exponentes: log7(x 2 − 7x + 21) = 2. log73 log7(x 2 − 7x + 21) = log73 2 Luego: x2 − 7x + 21 = 9 x2 − 7x + 12 = 0 (x − 4)(x − 3) = 0 x = 4 ∧ x = 3 Entonces: 3 + 4 = 7 Respuesta: C 2. Calcular el valor de: E = colog2 antilog2 log2 log2 antilog0.5 log0.2 625 A) -1 B) 4 C) 5 D) -3 E) -2 RESOLUCIÓN: log0.2625 = log1 5 625 = log1 5 54 = log1 5 1/5−4 Por definición: antilog0.5(−4) = 0.5 −4 = 1 2 −4 =16 log216 = log2 (2) 4 = 4 . log22 = 4 log24 = log2 2 2 = 2 . log22 = 2 Por definición: antilog22 = 2 2 = 4 colog2 4 = −log2 4 = −2 ∴ 𝐄 = −𝟐 Respuesta: E EJEMPLOS: 1. Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación: log1 2 (5 − x2) > 0 A) 〈−√5;−2〉 ∪ 〈2; √5〉 B) 〈−√5;−2〉 C) 〈2; √5〉 D) [−√5;−2] ∪ [2; √5] E) [2; √5] RESOLUCIÓN: log1 2 (5 − x2) > 0 log1 2 (5 − x2) > log1 2 1 Aplicando la condición de logaritmo y efectuando la inecuación tenemos: 5 − x2 > 0 5 − x2 < 1 0 < 5 − x2 < 1 4 < x2 < 5 2 < |x| < √5 −√5 < x < −2 2 < x < √5 Luego: C. S. = 〈−√5;−2〉 ∪ 〈2; √5〉 Respuesta A INECUACIONES LOGARÍTMICAS Si: b > 1 1. logb x > logb y → x > y 2. logb x < logb y → x < y Siendo x > 0; N ∈ R logb x > N ⇔ x > b N logb x < N ⇔ x < b N Si: 0 < b < 1 1. logb x > logb y → x < y 2. logb x < logby → x > y Siendo x > 0; N ∈ R logb x > N ⇔ 0 < x < b N logb x < N ⇔ x > b N 18 2. Si el conjunto solución de la inecuación log8 ( x 4 − 3) > log8(x − 15) es de la forma 〈a; b〉. Hallar b − a A) 2 B) -1 C) 1 D) 31 E) -2 RESOLUCIÓN: Por condición tenemos: { x 4 − 3 > 0 ∧ x − 15 > 0 x > 12 ∧ x > 15 → x ∈ 〈15;+∞〉 La inecuación se puede expresar de la siguiente manera: log8 ( x 4 − 3) > log8(x − 15) x 4 − 3 > x − 15 −3x > −48 x < 16 → x ∈ ⟨−∞; 16⟩ El conjunto solución será la intersección de ambas soluciones, así: 〈15;+∞〉 ∩ ⟨−∞; 16⟩ = 〈15; 16〉 〈a; b〉 = 〈15; 16〉 → b − a = 1 Respuesta C 3. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función exponencial de base"𝒂" es aquella cuya regla de correspondencia es: CRECIENTE 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 ∀x ∈ R; a > 0 y a ≠ 1 DECRECIENTE Son continuas y están definidas sobre 𝑅. Dom(f) = R y Ran (f) =< 0, + ∞ > f(0) = 1 GRÁFICAS Si a > 1 la función es estrictamente CRECIENTE. En una función creciente se cumple: 𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐚 𝐱𝟏 < 𝐚𝐱𝟐 La gráfica pasa por el punto (0; 1). La recta 𝐲 = 𝟎 es asíntota con la gráfica. Si 0 < a < 1 la función es estrictamente DECRECIENTE. En una función decreciente se cumple: 𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐚 𝐱𝟏 > 𝐚𝐱𝟐 La gráfica pasa por el punto (0; 1). La recta 𝐲 = 𝟎 es asíntota con la gráfica. 19FUNCIÓN LOGARÍTMICA Una función logaritmo de base"𝒂" es aquella cuya regla de correspondencia es: CRECIENTE 𝐟 (𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱 ∀x ∈ R; a > 0 y a ≠ 1 DECRECIENTE 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = < 0, +∞ > 𝑦 𝑅𝑎𝑛 (𝑓) = 𝑅 GRÁFICAS Si a > 1 la función es estrictamente CRECIENTE. En una función creciente se cumple: 𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟐 La gráfica pasa por el punto (1; 0). La recta 𝐱 = 𝟎 es asíntota con la gráfica. Si 0 < a < 1 la función es estrictamente DECRECIENTE. En una función decreciente se cumple: 𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟏 > 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟐 La gráfica pasa por el punto (1; 0). La recta 𝐱 = 𝟎 es asíntota con la gráfica. La función exponencial es la inversa de la función logarítmica y viceversa. f(x) = ax ⇒ f−1(x) = logax Por ser inversas el dominio y el rango queda definido. Dom(f) = R ∧ Ran (f) =< 0, + ∞ > Dom(f−1) < 0, + ∞ >∧ Ran (f−1) = R Las dos curvas son simétricas en la línea y = x. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 20 EJEMPLOS: 1. La gráfica representa una función exponencial, indica cuáles son las características que le corresponden A) f(x) = 4. 2x Dominio = ℝ Recorrido = [0;+∞⟩ Asíntota: y = 0 Corte OY: (4; 0) Es decreciente B) f(x) = 4. 2x Dominio = ℝ Recorrido = 〈0;+∞〉 Asíntota: x = 0 Corte OX: (0; 4) Es Creciente C) f(x) = 2. 4x Dominio = ℝ+ Recorrido = 〈0; +∞〉 Asíntota: x = 0 Corte OX: (0; 4) Es Creciente D) f(x) = 4. 2x Dominio = ℝ Recorrido = 〈0; +∞〉 Asíntota: y = 0 Corte OY: (0; 4) Es Creciente E) f(x) = 4. 2x Dominio = ℝ− Recorrido = 〈0; +∞〉 Asíntota: x = 0 Corte OX: (0; 4) Es decreciente RESOLUCIÓN: Sea: f(x) = n. ax Tenemos los pares ordenados que pertenecen a la función (−2; 1) y (−1; 2) Cuando (−2; 1) tenemos: y = n. ax ; 1 = n. a−2 → a2 = n … . . (I) Cuando (−1; 2) tenemos: y = n. ax ; 2 = n. a−1 → 2a = n …… (II) Igualando (I) = (II) a2 = 2a → a = 2; n = 4 Entonces la función es f(x) = 4. 2x Analizando la gráfica Dominio = ℝ Recorrido o Rango de la función = 〈0; +∞〉 Asíntota: y = 0 Corte con el semi eje positivo “y”: (0; 4) Es Creciente Respuesta D 2. Hallar el dominio y rango de la función: F(x) = 1 + 2√x−2 A) Df = [2; +∞[ ; Rf = [2; +∞[ B) Df = [−2; +∞[ ; Rf = [2; +∞[ C) Df = [−2; +∞[ ; Rf = [−2; +∞[ D) Df = [0; +∞[ ; Rf = [3; +∞[ E) Df = [−1; +∞[ ; Rf = [1; +∞[ RESOLUCIÓN Se aplica la restricción de la raíz de índice par x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2 Df = [2;+∞⟩ Entonces el rango es: x = 2 → F(2) = 1 + 2√2−2 → F(2) = 2 Rf = [2;+∞⟩ Respuesta: A 3. La figura muestra la bifurcación de dos carreteras interestatales, cuyas curvas están representadas por: F(x) = m− 3. 2 x−2 3 G(x) = 2 x 3 + n ; indica como respuesta “m + n” A) 5 B) 10 C) 0 D) -5 E) 2 21 RESOLUCION Debido a que F(x) = m − 3. 2 x−2 3 tiene valores negativos para el término exponencial; la gráfica es decreciente (obviamente que se trata de la curva entrecortada) y debido a que “m” representa la traslación vertical hacia arriba; observando la gráfica y=5 una asíntota horizontal (que se puede evidenciar según el siguiente análisis) Verificar x → ±∞ la función f(x) se comporta como una recta, para x → −∞ y=5 es asíntota Para x → +∞ no hay asíntotas horizontales Por lo tanto m=5 Debido a que G(x) = 2 x 3 + n tiene valores positivos para el término exponencial; la gráfica es creciente y debido a que “m” representa la traslación vertical hacia arriba; observando la gráfica y=5 una asíntota horizontal (que se puede evidenciar como el análisis anterior) Por lo tanto n=5 5+5=10 Respuesta: B 4. Indica verdadero o falso, según corresponda a) f(x) = log5(−7x 2 + 21x) su dominio es [0; 3] b) f(x) = log3(49 − x 2) su dominio es 〈−5; 5〉 c) f(x) = log1 3 (24 + x2) su dominio es ℝ A) VVV B) FFF C) FFV D) FVV E) FVF RESOLUCIÓN: a) Falso: f(x) = log5(−7x 2 + 21x) dominio es [0; 3] −7x2 + 21x > 0 → 7x2 − 21x < 0 → 7x(x − 3) < 0 → x(x − 3) < 0 Puntos críticos: 0; 3 ∴ Dom(f) = 〈0; 3〉 b) Falso f(x) = log3(49 − x 2) dominio es 〈−5; 5〉 49 − x2 > 0 → x2 − 49 < 0 → (x − 7)(x + 7) < 0 Puntos críticos: −7; 7 ∴ Dom(f) = 〈−7; 7〉 c) Verdadero f(x) = log1/3(24 + x 2) su dominio es ℝ 24 + x2 > 0 ∀x ∈ ℝ Respuesta: C 5. Dada la función y = f(x) = 2log൫x 2+1൯, x ϵ [3;∞⟩. Determine: Rf. A) [3;∞⟩ B) [−1;∞⟩ C) [−2;∞⟩ D) [ 1 2 ;∞⟩ E) [2;∞⟩ RESOLUCIÓN: f(x) = 2log൫x 2+1൯, x ϵ [3;∞⟩ Hallamos el rango a partir del dominio por medio de la construcción de la función: x ≥ 3 → x2 ≥ 9 x2 + 1 ≥ 10 log(x2 + 1) ≥ log10 log(x2 + 1) ≥ 1 2log൫x 2+1൯ ≥ 21 f(x) ≥ 2 → y ∈ [2;∞⟩ Respuesta: E 6. Las estrellas se clasifican de acuerdo a su magnitud de brillo “m” y flujo luminoso “L”. A las estrellas más débiles con flujo luminoso L0 se les asigna una magnitud igual a 6. La relación entre la magnitud de brillo “m” y el flujo luminoso “L” está dada por la fórmula: m = Ko − 5 2 log ( L Lo ) . Calcular “m” si: L = log(1000)10 16 log7 7 𝐿0 3 1014 A) 5 B) 4 C) 8 D) 0 E) 1 22 RESOLUCIÓN De acuerdo con el enunciado podemos hallar la constante “Ko” teniendo en cuenta los datos para las estrellas más débiles donde m = 6 ; L = L0, veamos: 6 = Ko − 5 2 log ( Lo Lo ) → 6 = Ko − 5 2 log(1) 6 = Ko − 5 2 (0) → Ko = 6 Ahora hallaremos “m” cuando L = log(1000)10 16 log7 7 𝐿0 3 1014 m = 6 − 5 2 log ( log(1000)10 16 log7 7 L0 3 1014 Lo ) m = 6 − 5 2 log ( log(103)10 16 . L0 3 1014. Lo ) → m = 6 − 5 2 log ( log(10)10 16 . L0 1014. Lo ) m = 6 − 5 2 log ( 1016 . L0 1014. L0 ) → m = 6 − 5 2 log(102) m = 6 − 5 2 (2) → m = 1 Respuesta: E 4. POLIEDROS 4.1. DEFINICIÓN: Es un sólido formado por polígonos situados en distintos planos, para ser poliedro debe tener como mínimo 4 caras, además debe cumplir con las siguientes condiciones: Cada arista pertenece a dos caras, y estas se denominan contiguas. Dos caras contiguas están ubicadas en planos distintos. Al lado común a dos caras contiguas se le denomina arista y al punto de concurrencia de tres o más aristas, vértice del poliedro. Al segmento que tiene por extremos dos vértices que no pertenecen a una misma cara se denomina diagonal del poliedro. POLIEDRO CONVEXO Un poliedro se llama convexo, si determina sobre una recta secante a su superficie, como máximo dos puntos de intersección. 23 POLIEDRO NO CONVEXO O CONCAVO Es aquel que determina sobre una recta secante más de dos puntos de intersección. El nombre de poliedro depende del número de caras y puede ser: tetraedro (4 caras); pentaedro (5caras); hexaedro (6 caras), etc. PROPIEDADES: Si “V”,”C” y “A” , representan los números de vértices, caras y aristas de un poliedro: a. Las medidas de los ángulos, en todas las caras suman: S = 360°(v - 2) b. La suma del número de caras y vértices, excede en dos al total de aristas: C + V = A + 2 TEOREMA DE EULER c. En todo poliedro se cumple: D = V (V - 1) 2 - A - d D: Número de diagonales del poliedro V: Número de vértices A: Número de aristas d: Número de diagonales de todas las caras d. El número de aristas de un poliedro formado por “k” polígonos de “n” lados, K1 polígonos de n1 lados , hasta Km polígonos de nm lados está dado por: A= k.n + k1.n1+ …+ Km.nm 24.2. POLIEDROS REGULARES Son aquellos que tienen por caras, regiones poligonales regulares y congruentes entre si, además, en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Todo poliedro regular se puede inscribir y circunscribir en una esfera. Poliedros Regulares Forma de las caras Caras Vértices Aristas TETRAEDRO Triángulos Equiláteros 4 4 6 OCTAEDRO Triángulos Equiláteros 8 6 12 HEXAEDRO Cuadrados 6 8 12 DODECAEDRO Pentágonos 12 20 30 ICOSAEDRO Triángulos Equiláteros 20 12 30 24 EJEMPLOS 1. En un poliedro convexo, el número de caras, más el número de vértices, y más el número de aristas, es 28. Si Las medidas de los ángulos en todas las caras suman 1800°. Hallar el número de caras. A) 4 B) 8 C) 10 D) 9 E) 12 RESOLUCIÓN: S = 360(V − 2) = 1800° → V = 7 Por Teorema Euler: C + V = A + 2 A = C + 5 C + V + A = 28 → C + 7 + A = 28 → C + A = 21 Reemplazando: C + C + 5 = 21 → C = 8 Respuesta: C 2. La suma de las medidas de las caras de un poliedro convexo, es 3600°, el número de aristas excede en 2 al doble del número de caras. Hallar el número de caras. A) 8 B) 6 D) 10 D) 7 E) 14 RESOLUCIÓN: S = 360(V − 2) = 3600° → V = 12 A = 2C + 2 Por Euler: C + V = 2C + 2 + 2 → C = 8 Respuesta: A 4.3. PRISMA Es el poliedro limitado por la superficie prismática cerrada y por dos planos paralelos y secantes a dicha superficie, las cuales son polígonos congruentes y con igual cantidad de paralelogramos como lados tenga cada una de las bases las cuales se llaman caras laterales. PRISMA RECTO Es el prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. ÁREA LATERAL 𝐀𝐋 = 𝐏𝐁. 𝐡 PB = Perímetro de la base h = altura ÁREA TOTAL 𝐀𝐓 = 𝐀𝐋+𝟐𝐀𝐁 AL = Área Lateral AB = Área de la base VOLUMEN 𝐕 = 𝐀𝐁. 𝐡 AB = Área de la base h = altura PRISMA REGULAR Sus bases son polígonos regulares. PRISMA IRREGULAR Sus bases son polígonos irregulares. 25 PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR (Ortoedro o Rectoedro) EJEMPLOS: 1. A un carpintero le llevan un cajón de madera en forma de cubo para que aumente sus aristas en 2 m; 4 m. y 6 m. respectivamente, el volumen del paralelepípedo obtenido excede en 568 m3 al volumen del cubo dado. Hallar la longitud de la diagonal del cubo. A) 2√3 B) 3√3 C) 5√3 D) 6√3 E) 7√3 RESOLUCIÓN: Se “a” la longitud de la arista del cubo: (a + 2)(a + 4)(a + 6) − a3 = 568 a3 + 12a2 + 44a + 48 − a3 − 568 = 0 12a2 + 44a − 520 = 0 (3a + 26)(a − 5) = 0 → a = 5 d = a√3 → d = 5√3 m Respuesta: C 2. En la siguiente figura se muestra a un prisma recto. HE = 4m;AE = 16m y BC = 14m, área de ∆CEB = 140 m2. Calcular el volumen del prisma. A) 1320 B) 1240 C) 1680 D) 1450 E) 1540 RESOLUCIÓN: ∆ CEB: 14a 2 = 140 → a = 20 AEQ: Pitágoras: 202 − 162 = h2 → h = 12m Luego: Vp = (14)(12) 2 (20) = 1680m3 Respuesta: C AL = 2ac + 2bc AT = 2ac + 2bc + 2ab V = a · b · c D2 = a2 + b2 + c2 Área lateral Área total Volumen Diagonal 26 4.4. PIRÁMIDE Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Las pirámides se denominan de acuerdo al polígono de su base. Las pirámides pueden ser recta u oblicuas. Las pirámides pueden ser regulares e irregulares. PIRÁMIDE RECTA REGULAR En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base. La cara que es una región poligonal cualquiera se llama base de la pirámide y las otras, se denominan caras laterales. El vértice común de las caras laterales es el vértice de la pirámide. ÁREA LATERAL AL = 1 2 (Pbase) .Ap ÁREA TOTAL AT = Al + Abase VOLUMEN V= 1 3 (A base ).h EJEMPLOS: 1. Para el cumpleaños de Juanito se hace elaborar envases en forma de pirámide regular hexagonal cuya área lateral es el doble del área de la base, el circunradio de la base mide 4m. Hallar la capacidad de 100 envases (considerar √3 = 1,73) A) 8304 B) 7980 C) 6740 D) 8540 E) 5490 En una pirámide regular las aristas laterales tienen longitudes iguales. En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice de la pirámide se denomina apotema de la pirámide. En la pirámide regular las caras laterales son congruentes. 27 RESOLUCIÓN: Apotema de la base: ApB = R 2 √3 AL = 6 Rh 2 AB = 6 R2√3 4 Por dato: AL = 2AB 6 Rh 2 = 2.6 R2√3 4 → h = R√3 Por Pitágoras. h2 = H2 + ( R√3 2 )2 (R√3)2 − ( R√3 2 )2 = H2 → H = 3R 2 V = 1 3 3R2√3 2 3R 2 = 48√3 Luego por 100 envases: V = 100(1,73)48 = 8304 m3 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: 𝐀 2. Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular, si su altura mide √3m y el área de la cara lateral igual a la cara de la base. A) 2 B) 5 C) 4 D) 7 E) 3,5 RESOLUCION: Del gráfico: H2 = h2 − ( a 2 )2 Por dato: ADOC = AABCD → ah 2 = a2 a = h 2 Reemplazando: a = 2H√15 15 h = 4H√15 15 AT = 4( ah 2 ) + a2 → AT = 4H2 3 reemplazando H = √3 AT = 4√3 2 3 → AT = 4m 2 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: 𝐂 4.5. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN CILINDRO CIRCULAR RECTO Denominado también “cilindro de revolución” debido a que puede generarse por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados. ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL VOLUMEN AL = 2πrg 𝐀𝐓 = 𝟐𝛑𝐫(𝐠 + 𝐫) 𝐕 = 𝛑𝐫𝟐. 𝐡 CONO CIRCULAR RECTO Denominado también “cono de revolución” debido a que puede generarse por una región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL VOLUMEN 𝐀𝐋 = 𝛑. 𝐫. 𝐠 𝐀𝐓 = 𝛑. 𝐫(𝐠 + 𝐫) 𝐕 = 𝟏 𝟑 𝛑𝐫𝟐. 𝐡 g r O h r g 360° h g r r 28 ESFERA Es el sólido generado por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro. SUPERFICIE ESFÉRICA VOLUMEN 𝐀 = 𝟒𝛑𝐫𝟐 𝐕 = 𝟒 𝟑 𝛑𝐫𝟑 EJEMPLOS: 1. En el punto A de la intersección de la base y la generatriz AB̅̅ ̅̅ de un cilindro de revolución se encuentra situada una hormiga, ésta debe llegar al extremo superior de la generatriz opuesta cruzando dos veces AB̅̅ ̅̅ , después de salir de A y recorriendo sus superficie lateral, si AB̅̅ ̅̅ = h, y la longitud de la circunferencia de la base es L, halle el recorrido mínimo de la hormiga para ir de A a B. A) √ 25 4 h2 + L2 B) √ 25 4 L2 + h2 C) 3√L2 + h2 D) √9L2 + h2 E) √L2 + h2 RESOLUCIÓN: El menor recorrido: L(1) + L(2) + L(3) = 3L1 Desarrollando la superficie Del tramo 1: (L1) 2 = L2 + ( h 3 )2= 9L2+ h2 9 L1 = √9L2 + h2 3 Luego la longitud total: LT = 3 √9L2+h2 3 = √9L2 + h2 Respuesta: D 2. Un stand en una feria de libros tiene un piso rectangular de 2880 m2 y el techo tiene una forma semicilíndrica. ¿Cuántos m2 de lona se necesitarán para el techo, si el largo del stand esel quíntuple del ancho? A) 1240π B) 1340π C) 1440π D) 1540π E) 1640π RESOLUCIÓN: AL = 2πRh se pide el área de la superficie semicilíndrica = ASL DC = 5AD = 10R Área de la base: AABCD = 2880 ASL = πR(10R) = 10πR 2 AABCD = 2880 → (2R)(10R) = 2880 → R = 12 ASL = 1440π Respuesta: C 29 3. Dado un cono de revolución de vértice “E” y volumen 54 cm3, se traza un diámetro AC en el círculo de la base. Hallar el volumen del tronco de cono que se determina al trazar un plano paralelo a la base por el baricentro de la región triangular AEC. A) 25 cm3 B) 36 cm3 C) 38 cm3 D) 42 cm3 E) 30 cm3 RESOLUCIÓN: Como “G” es baricentro del ∆AEC: h H = 2 3 VTRONCO = VTOTAL − VPARCIAL VTRONCO = 54 − VPARCIAL Por semejanza entre los cono: VPARCIAL VTOTAL = ( h H )3 → VPARCIAL 54 =( 2 3 )3 VPARCIAL = 16cm 3 → VTRONCO = 38cm 3 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: 𝐂 4. En un cono de revolución, las longitudes de su altura y la generatriz son 21 y 29 respectivamente. Calcular el volumen del cono. A) 600π B) 860π C) 2800π D) 1600π E) 2400π RESOLUCIÓN: V = 1 3 πr221 = 7πr2 Por Pitágoras r2 + 212 = 292 → r = 20 Luego: V = 2800π Respuesta: C 5. Una esfera es equivalente a un cilindro equilátero cuyo radio mide 2u. Calcule el área de la superficie esférica. A) 4π√6 B) 8π√18 3 C) 2π√3 D) 12√3 3 E) 6π√3 RESOLUCIÓN: VESFERA = VCILINDRO 4 3 πR3 = π22(4) → r = √12 3 Área esfera: S = 4π(√12 3 )2 = 8π√18 3 u2 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: B 6. Dos esferas de metal cuyos radios miden 3 y 9 cm respectivamente se funden juntas para obtener una esfera mayor. ¿Cuál será la longitud del radio de la nueva esfera? A) 3√3 B) 3√28 3 C) 3√15 3 D) 2√15 E) 4√12 3 RESOLUCIÓN: Del gráfico: 4 3 π33 + 4 3 π93 = 4 3 πR3 33 + 93 = R3 R = 3√28 3 cm 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: B 30 7. Un plano P corta a una esfera de centro “O” y de radio 5u, determinando una circunferencia C y la distancia de O a P es 4u. Entonces el volumen del cono con vértice O y base el círculo limitado por C es igual a: A) 8π u3 B) 10π u3 C) 12π u3 D) 14π u3 E) 6π u3 RESOLUCIÓN: Graficando la situación: Luego: V = π 3 r2. h V = π 3 32(4) = 12π𝑢3 Respuesta: C 8. La punta de un taladro minero tiene forma de octaedro regular P − ABCD − Q, se ubican los puntos medios: M,N, T y H, de AQ,DQ, CQ y QB, respectivamente, interiormente en el octaedro se formó una pirámide cuadrangular de diamante, calcular la razón de volúmenes entre el octaedro y la pirámide: P − MHTN. A) 14/3 B) 7 C) 6 D) 16/3 E) 8/3 RESOLUCIÓN: Se pide: V1(OCTAEDRO) V2(PIRAMIDE) A∎MHTN = S AB = 2(MH) A∎ABCD = 4S V1 = 2V(P−ABCD) V1 = 2 [ (4s)2h 3 ] = 16 3 (Sh) V2 = S(3h) 3 = Sh V1 V2 = 16 3 Respuesta: D 9. Un niño estaba jugando con un bloque sólido de bronce en forma de cilindro, y por curiosidad lo introdujo en un envase de jugo en forma de tetraedro de arista ”a”. De manera que dos puntos opuestos de la base superior del cilindro coinciden con los baricentros de las caras laterales del tetraedro. Entonces cuál será el área lateral del cilindro? A) πa2√2 27 B) 2πa2√2 27 C) 4πa2√2 27 D) 5πa2√2 27 E) 7πa2√2 27 RESOLUCIÓN: Se pide el área lateral del cilindro: 3h = a√6 3 h = a√6 9 Por triángulos semejantes: r n = 2n 3n → r = 2 3 n 2n√3 = a → 2n = a√3 3 ; r = a√3 9 31 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 5.1. SISTEMA DE COORDENADAS SEGMENTO DE RECTA SISTEMA DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL Es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto de origen. Al eje horizontal o eje “x” se le llama eje de las abscisas, mientras que al eje vertical “y” se le conoce como el de las ordenadas. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Si: A(x1; y1) y B(x2; y2) 𝐝(𝐀, 𝐁) = √(𝐱𝟐 − 𝐱𝟏) 𝟐 + (𝐲𝟐 − 𝐲𝟏) 𝟐 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si: A(x1; y1) y B(x2, ; y2) 𝐌(𝐀,𝐁) = ( 𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 𝟐 ; 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 𝟐 ) BARICENTRO: G: Baricentro G= ( x1 + x2 + x3 3 ; y 1 + y 2 + y 3 3 ) 32 5.2. LA RECTA Por ejemplo: Hallar la pendiente de una recta que pasa por la intersección de las rectas L2 ∶ y = 2x + 1 ; L1 ∶ y = −x + 4; y por el punto (−3; 2). Hallamos el punto de intersección de las rectas resolviendo un sistema de ecuaciones: 2x + 1 = −x + 4 3𝑥 = 3 → 𝑥 = 1 Reemplazando “x” en: y = 2x + 1 y = 2(1) + 1 → y = 3 Entonces la recta pasa por los puntos: (1; 3) ; (−3; 2) Hallando la pendiente: m = 3−2 1−(−3) → m = 1 4 Rectas Horizontales 𝐲 − 𝐤 = 𝟎 En una recta horizontal la pendiente es cero. Rectas Verticales 𝐱 − 𝐤 = 𝟎 Una recta vertical no tiene pendiente. Rectas de pendiente negativa 𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛 Donde “m” es negativa. Rectas de pendiente positiva 𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛 Donde “m” es positiva. RECTA Pendiente de una Recta La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. 𝐦 = 𝐭𝐠 ∝ = 𝐲𝟐 − 𝐲𝟏 𝐱𝟐 − 𝐱𝟏 La recta es la representación geométrica de los números reales Es importante distinguir entre rectas horizontales, verticales, rectas de pendiente negativa y positiva. (m: pendiente) 33 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS Ecuación Punto –Pendiente Si la recta L pasa por el punto 𝑷𝟎(𝒙𝒐, 𝒚𝟎) y tiene una pendiente “m”, entonces: 𝐋: 𝐲 − 𝐲𝟎 = 𝐦(𝐱 − 𝐱𝟎) Forma Cartesiana Si la recta pasa por 𝑷𝟎(𝒙𝒐, 𝒚𝟎) 𝒚 𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚1) 𝐋: 𝐲 − 𝐲𝟎 = 𝐲𝟏 − 𝐲𝟎 𝐱𝟏 − 𝐱𝟎 (𝐱 − 𝐱𝟎) 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟎 Forma Ordinaria “b”: ordenada en el origen 𝐋: 𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛 Forma Simétrica La recta L corta a los ejes coordenados en los puntos (a;0) y (0;b); (a, es intercepto con el eje “x” y b, es intercepto con el eje “y”) 𝐋: 𝐱 𝐚 + 𝐲 𝐛 = 𝟏 ECUACIONES DE LA RECTA Ecuación General de una Recta L: Ax + By + C = 0 Pendiente: 𝐦 = − 𝐀 𝐁 Ángulo entre dos Rectas 𝐭𝐚𝐧𝛂 = 𝐦𝟏 −𝐦𝟐 𝟏 +𝐦𝟏.𝐦𝟐 Se considera a 𝐦𝟏 como la pendiente que tiene el mayor ángulo de inclinación 𝐝 = |𝐀𝐱𝟏 + 𝐁𝐲𝟏 + 𝐂| √𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 34 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Rectas Paralelas: Rectas Perpendiculares 𝐒𝐢: �⃡�𝟏 ∥ �⃡�𝟐 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬: 𝐦𝟏 = 𝐦𝟐 𝐒𝐢: �⃡�𝟏 ⊥ �⃡�𝟐 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬: 𝐦𝟏. 𝐦𝟐 = −𝟏 EJEMPLOS: 1. La caida (inclinación) de la tubería de drenaje de una casa debe ser de 2,4 %. ¿Cuál es la caida vertical (altura) que debe haber en una distancia de 25 m.? A) 0,5 m. B) 0,8 m. C) 1 m. D) 0,9 m. E) 0,6 m. RESOLUCIÓN: Graficamos la situación considerando que la caída representa la pendiente del tubo: Entonces: m = ∆y 25 2,4% = ∆y 25 → 24 10 . 1 100 = ∆y 25 → 0,6 = ∆y Respuesta E2. Se construyen dos carreteras para exportar ciertos productos; representadas por las rectas L1: x − y − 2 = 0 y L2; ambas se intersecan en la posición del terminal terrestre. Calcule la ecuación de recta L2, sabiendo que su pendiente m2 < 0 y que el área de la región triangular determinada por las rectas y el eje “y” es 7,5 u2. Considere que el análisis se realiza en un plano cartesiano y que la posición del terminal terrestre es (3; 1) A) x + 3y − 9 = 0 B) 2x − 3y − 9 = 0 C) 3x + 2y − 9 = 0 D) 2x + 3y + 19 = 0 E) 2x + 3y − 9 = 0 RESOLUCIÓN: Graficamos según las condiciones establecidas en la situación: A = 1 2 | 0 −2 3 1 0 0 b −2 | → 15 2 = 1 2 | 0 −2 3 1 0 0 b −2 | 15 = |(0)(1) + (3)(b) + (0)(−2) − (3)(−2) − (0)(1) − (0)(b)| 15 = |3b + 6| → 15 = 3b + 6 ∨ −15 = 3b + 6 15 = 3b + 6 ∨ −15 = 3b + 6 9 = 3b ∨ −21 = 3b 3 = b ∨ −7 = b 3 = b porque m2 < 0. Entonces la ecuación de la recta L2, cuyos puntos de paso son: (3; 1) y (0; 3) m2 = 1 − 3 3 − 0 → m2 = − 2 3 Aplicando la ecuación punto pendiente: L: y − y0 = m(x − x0) siendo P(x0; y0) ∈ L Entonces tenemos: P = (0; 3); m2 = − 2 3 L1: y − 3 = − 2 3 (x − 0) → 2x + 3y − 9 = 0 Respuesta E 35 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA: ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA 𝐂: 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐃𝐱 + 𝐄𝐲 + 𝐅 = 𝟎 D= -2h E= -2k F = 𝐡𝟐 + 𝐤𝟐 − 𝐫𝟐 Centro (h;k); r: radio: Centro: 𝐂 (− 𝐃 𝟐 ; − 𝐄 𝟐 ) Radio: 𝐫 = 𝟏 𝟐 √𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 Nota: Si D2 + E2 − 4F = 0, la ecuación solo representa un punto: C (− D 2 ; − E 2 ) Si D2 + E2 − 4F < 0; no es un conjunto en el plano (representa un círculo imaginario) Si D2 + E2 − 4F > 0; representa una circunferencia ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA Centro (h;k); r > 0 (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐫𝟐 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA Centro (0;0); r > 0 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = 𝐫𝟐 Rectas Tangentes a una circunferencia La tangente a una circunferencia se puede determinar siguiendo dos criterios: I. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto, y, por lo tanto, el radio es igual a la distancia de la tangente al centro de la circunferencia II. La condición de tangencia establece que al reemplazar la recta tangente en la ecuación de la circunferencia al momento de despejar x ó y el discriminante se iguala a cero. NOTA: Lo anterior puede resumirse en colocar la ecuación de la circunferencia en función de una de sus variables. Por tanto, tendremos una ecuación de segundo grado con una incógnita. Esa ecuación puede resolverse por el método de la discriminante. Bastará analizar el discriminante para determinar: 𝐒𝐢 𝚫 < 0 , se trata de la recta L1 𝐒𝐢 𝚫 = 𝟎; L es tangente a la circunferencia 𝐒𝐢 𝚫 > 0; L2 es secante a la circunferencia Ejemplo: Determinar si la recta y = 2x + 3 es tangente de la circunferencia (x − 1)2 + (y − 3)2 = 16 Resolución: Ponemos la ecuación de la circunferencia en función de una variable, así: (x − 1)2 + (2x + 3 − 3)2 = 16 5x2 − 2x − 15 = 0 Analizando la discriminante: ∆= (−2)2 − 4(5)(−15) = 304 Como ∆> 0; entonces la recta es secante a la circunferencia, porque existen dos puntos de corte. 36 EJEMPLOS: 1. El gráfico mostrado representa un sistema de 3 carreteras tangentes a las circunferencias, se requiere saber la ecuación de la circunferencia C para determinar la ubicación de su centro de acuerdo a la distancia OP. Además, T, R, P y Q son puntos de tangencia. OH = HP = a; mTER̂ = 233°. A) (x − 2a)2 + (y − 16)2 = 16 B) (x − 2)2 + (y + 16)2 = 36 C) (x − 2a)2 + (y + 16)2 = 16 D) (x − 2a)2 + (y + 16)2 = 256 E) (x − 4a)2 + (y + 16)2 = 256 RESOLUCIÓN: El arco TER̂ = 233° = TM̂ + MR̂ = 143° + 90°. El triángulo rectángulo sombreado es notable de 37° y 53° → TH = HT, = 8 OH:Mediatriz del ∆OTT, Usando la simetría y la base media HT´ del ⊿OPO, , encontramos el radio de C y por ende, también su centro (2a; −16) Luego: (x − 2a)2 + (y + R)2 = (R)2 (x − 2a)2 + (y + 16)2 = (16)2 → (x − 2a)2 + (y + 16)2 = 256 Respuesta D 2. Los agroglifos de Chibolton como se muestra en la figura están representados por las ecuaciones de las circunferencias: C1: x 2 + y2 = 4, y C2: x 2 + y2 − 12x + 20 = 0, donde A, B,y C son puntos de tangencia, calcular la distancia entre A y B. A) 3√2 B) 2√3 C) 4√3 D) 4√2 E) 2√2 RESOLUCIÓN: Las ecuaciones se les puede escribir: C1: x 2 + y2 = 4, y C2: (x − 6) 2 + y2 = 16 De C1: r 2 = 4 → r = 2 De C2: R 2 = 16 → R = 4 Por propiedad se cumple: AB = 2√Rr = 2√2.4 AB = 2√8 = 4√2 Respuesta: D 37 5.3. PARÁBOLA ELEMENTOS: Vértice: V( h, k ) Foco: F( h ; k + p) Lado Recto: 𝐋𝐑̅̅ ̅̅ = |𝟒𝐩| Ecuación de la directriz: L: y = k – p Ecuación del eje focal: x = h Coordenadas de los extremos del Lado Recto 𝐋(𝐡 + |𝟐𝐩|; 𝐤 + 𝐩); 𝐑(𝐡 − |𝟐𝐩|; 𝐤 + 𝐩) Si Q es un punto que pertenece a la parábola; entonces: d(F,Q) = d(Q,L) AA’̅̅ ̅̅̅ : Cuerda focal CC’̅̅ ̅̅ : Cuerda 𝐋: Recta Directriz P: parámetro de la parábola ECUACIONES DE LA PARÁBOLA Vertical Horizontal Ecuación General de la Parábola 𝐀𝐱𝟐 + 𝐁𝐱 + 𝐂𝐲 + 𝐃 = 𝟎 𝐀𝐲𝟐 + 𝐁𝐱 + 𝐂𝐲 + 𝐃 = 𝟎 Ecuación Ordinaria de la Parábola (𝐱 − 𝐡)𝟐 = 𝟒𝐩(𝐲 − 𝐤) (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝟒𝐩(𝐱 − 𝐡) Ecuación Canónica de la Parábola 𝐱𝟐 = 𝟒𝐩𝐲 𝐲𝟐 = 𝟒𝐩𝐱 L P L C F A A , C , R Q P 0 x Y V Eje focal 38 EJEMPLOS: 1. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola que pasa por los puntos A(−1; 4) y B(9;−1), si tiene como recta directriz y = −6 A) (x − 9)2 = 20(y + 1) B) (x + 9)2 = 20(y − 1) C) (x − 6)2 = 8(y + 4) D) (x + 9)2 = 20(y − 1) y (x + 5)2 = 4(y − 5) E) (x − 9)2 = 20(y + 1) y (x − 5)2 = 4(y + 5) RESOLUCIÓN: Si se tiene una recta directriz y = −6 (horizontal), entonces se trata de una parábola vertical: Según la recta directriz y los puntos de paso: A(−1; 4) y B(9;−1) se deduce que es una parábola cóncava hacia arriba El vértice es: (h; k) = (h;−6 + p) Pasa por los puntos: A = (−1; 4) y B = (9;−1) Reemplazando se tiene: (x − h)2 = 4p(y − k) (−1 − h)2 = 4p(4 + 6 − p) → (1 + h)2 = 4p(10 − p)… . (I) (9 − h)2 = 4p(−1 + 6 − p) → (9 − h)2 = 4p(5 − p)… . (II) (I) − (II) miembro a miembro: (1 + h)2 = 4p(10 − p) −[(9 − h)2 = 4p(5 − p)] _____________________________________________ 1 + 2h + h2 = 4p(5) + 4p(5 − p) −81 + 18h − h2 = −4p(5 − p) _____________________________________________ h = p + 4 Reemplazamos “h” en (I) (1 + p + 4)2 = 4p(10 − p) (p + 5)2 = 4p(10 − p) → p2 + 10p + 25 = 40p − 4p2 5p2 − 30p + 25 = 0 p2 − 6p + 5 = 0 p = 5 v p = 1 Reemplazamos: Si h = p + 4 ; k = −6 + p Para p = 5 → h = 9 ; k = −1 → (x − 9)2 = 20(y + 1) Para p = 1 → h = 5 ; k = −5 → (x − 5)2 = 4(y + 5) Se cumple para las dos funciones Respuesta: E 2. La longitud del lado recto de una parábola que pasa por el punto (12;−11) es 12 m, si la ecuación de su recta directriz es x + 3 = 0, hallar la ecuación de la parábola si es cóncava hacia la derecha y k > 0. A) (y − 2)2 = 12(x + 4) B) (y − 1)2 = 12x C) (y + 1)2 = −12x D) (y + 23)2 = 12x E) (y − 1)2 = 3(x − 11) RESOLUCIÓN:Es una parábola horizontal por x = -3 es directriz (y − k)2 = 12(x − h) → h = −3 + p → h = −3 + 3 = 0 Pasa por el punto (12;−11) ; entonces: (−11 − k)2 = 12(12 − 0) (11 + k)2 = 144 → k = 1 (y − 1)2 = 12x Respuesta: B 39 3. Se quiere unir dos carreteras con un tramo vehicular de doble vía, una de ellas tiene forma parabólica cuya ecuación es: y2 − 4y − 12x − 44 = 0 y la otra es una autopista recta ubicada detrás de la curva en forma perpendicular a su eje focal, además se sabe que las longitudes desde cualquier punto de la curva a la recta (en forma perpendicular) y la longitud de ese punto al foco, son siempre iguales. ¿cuál es la longitud mínima del tramo doble vía? A) 30u B) 4u C) 70u D) 3u E) 12u RESOLUCIÓN: Según la situación lo que te pide hallar es “p”: y2 − 4y − 12x − 44 = 0 Completando cuadrados se tiene: (y − 2)2 = 12(x + 4) Entonces: 4p = 12 → p = 3 Respuesta: D =3u 4. El esquema adjunto pretende facilitar el “análisis visual de opciones para intersecciones en carreteras de diseño” este análisis permite identificar ángulos muertos o zonas con error de viabilidad de un sistema de carreteras, donde la viabilidad se ve dificultada por obstrucciones. Sabiendo que la carretera parabólica mostrada tiene una ecuación de (y − 3)2 = 8x y la que tiene forma recta está determinada por y = ax − 2; indica qué condiciones debe cumplir “a” para que ambas carreteras sean de transporte continuo sin intersecciones. A) a > −0,4 B) a < −0,4 C) a < 0,4 D) a ≠ −0,4 E) a = −0,4 A) a = − 5 3 B) a ≠ − 2 5 C) a = − 2 5 D) a ≠ − 4 3 E) a ≠ −5 RESOLUCIÓN: Para hallar la intersección entre la parábola y la recta se efectuará un sistema de ecuaciones: Reemplazamos y = ax − 2 en (y − 3)2 = 8x ⟹ (ax − 2 − 3)2 = 8x (ax − 5)2 = 8x → a2x2 − 10ax + 25 = 8x a2x2 − (10a + 8)x + 25 = 0 Como sabemos que no pueden haber intersecciones, entonces la ecuación cuadrática no debe tener soluciones reales. Por lo tanto: ∆ < 0 (10a + 8)2 − 4(a2)(25) < 0 100a2 + 160a + 64 − 100a2 < 0 160a < −64 → a < −0,4 Respuesta: B 40 5.4. ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y ) cuya ubicación en el plano es tal, que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos F y F´) es siempre igual a una constante “2a”. Es decir d(P; F) + d(P; F´) = 2a F; F’ : focos FF’ : 2c V; V’ : vértices VV’ : eje mayor = 2a xx’ : eje focal O : centro. yy’ : eje normal AA’ : eje menor= 2b DD’ : cuerda L : directriz ECUACIONES DE LA ELIPSE Lado Recto Si una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos, se le llama cuerda focal. Si la cuerda focal es perpendicular al eje focal la cuerda se llama lado recto. 𝐋𝐑 = 𝟐𝐛𝟐 𝐚 Área de la Elipse: Aelipse= π a b 41 EJEMPLOS: 1. Un parque tiene forma de elipse y concéntrica a ella una loza circular como se muestra en la figura, se sabe que la ecuación de la elipse es: x2 25 + y2 16 = 1. Si en la región sombreada se colocará césped ¿Cuál será la cantidad de césped que se necesita si F1F2 es el diámetro de la circunferencia y F1 y F2 son focos de la elipse? A)10πu2 B)11πu2 C)12πu2 D)13πu2 E)14πu2 RESOLUCION: Según la ecuación: x2 25 + y2 16 = 1 → a = 5 ; b = 4 Aelipse = πab Aelipse = π5.4 → Aelipse = 20π Acircunferencia = πr 2 En la elipse: a2 = b2 + c2 25 = 16 + c2 25 − 16 = c2 √9 = c → 3 = c Área sombreada: 20π − 9π = 11π La cantidad de césped que se necesita es 11πu2 Respuesta: B 2. Un parque Nacional del Perú tiene forma elíptica, colocamos su centro en el origen de coordenadas y su eje mayor contenido en el eje x, si el borde del parque pasa por los puntos P ( 10√6;-10) y Q (20;10√2), y en uno de los focos de dicha elipse de colocará una malla de metal perpendicular al eje mayor ¿Cuál será la longitud de dicha malla si sus extremos llegan al borde del parque? A) 20√2 m B) 20√3 m C) 20√5 m D) 4√2 m E) 20 m RESOLUCIÓN: Según los datos la ecuación sería: x2 a2 + y2 b2 = 1 Sustituyendo los puntos que pertenecen a la elipse: (10√6)2 a2 + (−10)2 b2 = 1………I 600 a2 + 100 b2 = 1 → 6b2 + a2 = 1 100 a2b2 (20)2 a2 + (10√2)2 b2 = 1………II 400 a2 + 200 b2 = 1 → 4b2 + 2a2 = 1 100 a2b2 Igualando: 6b2 + a2 = 4b2 + 2a2 → 2b2 = a2 Sustituyendo: 6b2 + 2b2 = 1 100 (2b2)b2 Efectuando operaciones:b2 = 400 y a2 = 800 a = 20√2 ; b = 20 Por lo tanto lo que se solicita es el lado recto: L. R.= 2b2 a L. R. = 2(20)2 20√2 → L. R.= 20√2 m. Respuesta: A 3. En la elipse cuyo centro se ubica en (-3;1) ,un extremo del eje menor está en (-1;1) y pasa por el punto (-2,-2). Hallar su excentricidad. A) 2√3 6 B) √3 5 C) √6 3 D) 1 4 E) 2 RESOLUCIÓN: Por los datos: Centro (-3,1), el extremo es (-1,1) entonces b = 2 Además, a >b La ecuación sería así: (x+3)2 4 + (y−1)2 a2 = 1 Si pasa por el punto (-2,-2), se reemplaza en ecuación (−2+3)2 4 + (−2−1)2 a2 = 1 resolviendo se obtiene: a2 = 12 → a = 2√3 Por lo tanto, en la elipse: a2 = b2 + c2 Reemplazando: 12 = 4 + c2 → c = 2√2 Entonces la excentricidad es: e = c a → e = 2√2 2√3 e = √2. √3 entonces e = √6 3 Respuesta: C 42 6. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 6.1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES EJEMPLOS: 1. Se colocan 3 esferas sobre un plano, tangentes entre sí, sus radios forman un triángulo cuyas medidas de sus lados a, b y c se encuentran en la siguiente igualdad : 3sen x + 2 cos x − 3cos3x − 2 sen3x + 5 (senx + cosx) = sec2x a + btan2x + ctanx Determina el perímetro de dicho triángulo A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 RESOLUCIÓN: Por dato 3sen x + 2 cos x − 3cos3x − 2 sen3x + 5 (senx + cosx) = sec2x a + btan2x + ctanx Dividiendo al numerador y denominador por cos3x = 3senx+2cosx cos3x −3cos3x−2sen3x+5(senx+cosx) cos3x Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable. I. IDENTIDADES PITAGÓRICAS: 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥 = 1 1 + 𝑇𝑎𝑛2𝑥 = 𝑆𝑒𝑐2𝑥 1 + 𝐶𝑜𝑡2𝑥 = 𝐶𝑠𝑐2𝑥 II. IDENTIDADES RECÍPROCAS: 𝑆𝑒𝑛𝑥. 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1 → ൞ 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 𝐶𝑠𝑐𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥. 𝑆𝑒𝑐𝑥 = 1 → ൞ 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑐𝑥 𝑆𝑒𝑐𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑇𝑎𝑛𝑥. 𝐶𝑜𝑡𝑥 = 1 → ൞ 𝑇𝑎𝑛𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑡𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 = 1 𝑇𝑎𝑛𝑥 III. IDENTIDADES POR COCIENTE: Tanx = Senx Cosx ; Cotx = Cosx Senx IDENTIDADES AUXILIARES: Sen4x + Cos4x = 1 − 2Sen2x. Cos2x Sen4x − Cos4x = Sen2x − Cos2x Tan2x − Sen2x = Tan2x. Sen2x Sen6x + Cos6x = 1 − 3Sen2x. Cos2x Tanx + Cotx = Secx. Cscx Sec2x + Csc2x = Sec2x. Csc2x (Senx ± Cosx)2 = 1 ± 2Senx. Cosx (1 ± Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx)(1 ± Cosx) 43 Resolvemos = 1 cos2x (3tanx + 2) −3 − 2tan3x + 5 cos2x (tanx + 1) = (tan2x + 1)(3tanx + 2) −3 − 2tan3x + 5(tan2x + 1)(tanx + 1) = (tan2x + 1)(3tanx + 2) 3tan3x + 5tan2x + 5 tanx + 2 Factorizamos y simplificamos= (tan2x + 1)(3tanx + 2) (3tanx + 2)(tan2x + tanx + 1) sec2x tan2x + tanx + 1 = sec2x a + btan2x + ctanx a =1 b = 1 c = 1 a+b+c = 3 Respuesta: D 2. Para escuchar un sonido debemos tener en cuenta sus propiedades como la altura, la intensidad y el timbre; la altura del sonido se mide en Hertz ; el oído humano es capaz de captar las ondas comprendidas desde los 20 hasta 20 000 Hertz. José estaba en un parque y la caída de un objeto produjo una onda sonora cuya altura fue N = (1 + senx)(1 + cosx)Hertz; además se sabe que senx + cosx = a ¿Cuál debe ser el menor valor positivo de “a” para que pueda ser escuchado por José? A)2√5 B)( √5 + 1) C) (2√10 − 1) D) √10 + 1 E) 2√5 − 1 RESOLUCIÓN: Iniciamos con la condición: senx + cosx = a Elevamos al cuadrado: (senx + cosx)2 = a2 Luego : sen2x + 2senx. cosx + cos2x = a2 Utilizando identidades: 2senx. cosx + 1 = a2entonces senx. cosx = a2 − 1 2 Luego: N = (1 + senx)(1 + cosx) Luego: N = (1 + senx)(1 + cosx) Efectuando operaciones: N = 1 + cosx + senx + senx. cosx Sustituyendo: N = 1 + a + a2−1 2 Resolviendo:2 N = 2 + 2a + a2 − 1 N = (a + 1)2 2 Ahora para que sea escuchada la onda sonora: (a+1)2 2 ≥ 20 resolviendo a2 + 2a − 39 ≥ 0 𝑎 = −2 ± √(2)2 − 4(1)(−39) 2(1) 𝑎 = −2 ± 4√10 2(1) → −1 ± 2√10 Los puntos críticos son:a = −1 + 2√10 v a = −1 − 2√10 El C. S. = ]∞;−1 − 2√10] ∪ [−1 + 2√10;∞[ Por lo tanto el menor valor positivo de “a” sería: 2√10 − 1 Respuesta: C 44 6.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS EJEMPLO 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son incorrectas? I. Si √2sen2° + cos47° = cosθ; 0 < θ < 90° entonces θ = 43° II. S i: sen(a + b) = 4 5 y sena. cosb = 3 5 entonces sen (a − b) = 2 5 III. Si tg(4x − 5y) = 4 ∧ tg(3x − 6y) = 6 → tg(x + y) = 1 2 A) I B) II C) III D) I y II E) II y III RESOLUCIÓN I. Si √2sen2° + cos47° = cosθ; 0 < θ < 90° entonces θ = 43° Por dato √2sen2° + cos47° = cosθ √2sen(47° − 45°) + cos47° = cosθ √2(sen47°cos45° − cos47°sen45°) + cos47° = cosθ sen47° − cos47° + cos47° = cosθ De donde sen47° = cosθ cos43° = cosθ → θ = 43° (V) II. Si: sen(a + b) = 4 5 y sena. cosb = 3 5 . entonces sen (a − b) = 2 5 Como sena. cosb + cosa. senb = 4 5 3 5 + cosa. senb = 4 5 → cosa. senb = 1 5 Se pide: sen(a − b) = sena. cosb − cosa. senb sen(a − b) = 3 5 − 1 5 → sen(a − b) = 2 5 (V) III. Si tg(4x − 5y) = 4 ∧ tg(3x − 6y) = 6 → tg(x + y) = 1 2 (F) Si 4x − 5y = α → tgα = 4 3x − 6y = β → tgβ = 6 Restando y sustituyendo: 4x − 5y − (3x − 6y) = α − β = x + y tg(α − β ) = tgα−tgβ 1+tgα.tgβ → tg(α − β ) = 4−6 1+(4)(6) tg(α − β ) = −2 25 → tg(x + y ) → −2 25 (F) Respuesta: C 2. En un sistema de coordenadas cartesianas se ubican dos calles: Grau y Cáceres que parten del mismo punto ubicado en el origen de coordenadas si la calle Grau pasa por el punto M (2;7) y la calle Cáceres pasa por el punto P(3;1) .¿Cuál es la tangente del ángulo θ que forman las dos calles? A) 15/13 B) 16/13 C) 17/13 D) 18/13 E) 19/13 RESOLUCIÓN: Incógnita: tan θ Del gráfico tanβ = 7 2 y tan α = 1 3 tanθ = tan (β − α) Por definición tanθ = 7 2 − 1 3 1 + 7 2 ( 1 3 ) Simplificamos tanθ = 19 6 13 6 → tanθ = 19 13 Respuesta: E DE LA SUMA Y DIFERENCIA: sen(α + β) = senα. cosβ + cosα. senβ sen(α − β) = senα. cosβ − cosα. senβ cos(α + β) = cosα. cosβ − senα. senβ cos(α − β) = cosα. cosβ + senα. senβ tan(α + β) = tanα + tanβ 1 − tanα. tanβ tan(α − β) = tanα − tanβ 1 + tanα. tanβ 45 6.3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MULTIPLES EJEMPLOS: 1. Si x = 5π ; entonces el valor de M = Cos ( x 8 )+Sen ( x 8 ) Cos ( x 8 )−Sen ( x 8 ) ; es A) √2 + 1 B) −√2 + 1 C) √2 2 − 1 D) √2 − 1 E) √2 2 + √3 RESOLUCIÓN: M = Cos ( x 8 )+Sen ( x 8 ) Cos ( x 8 )−Sen ( x 8 ) todo entre Cos ( x 8 ) M = 1 + Sen ( x 8 ) Cos ( x 8 ) 1 − Sen ( x 8 ) Cos ( x 8 ) = 1 + Tg ( x 8 ) 1 − Tg ( x 8 ) Buscando equivalencias: Tg 45º+Tg ( x 8 ) 1−Tg 45º.Tg ( x 8 ) = Tg (45 + x 8 ) Como x = 5π Tg (45 + 5π 8 ) = tg ( 315° 2 ) Aplicando la identidad del ángulo mitad: tg ( 315° 2 ) = −√ 1−𝑐𝑜𝑠315° 1+𝑐𝑜𝑠315° tg ( 315° 2 ) = −√ 1 − cos 45° 1 + 𝑐𝑜𝑠45° → tg ( 315° 2 ) = −√ 1 − √2 2 1 + √2 2 tg ( 315° 2 ) = −√ 2 − √2 2 + √2 Racionalizando: tg ( 315° 2 ) = −√ ൫2−√2൯൫2−√2൯ ൫2+√2൯൫2−√2൯ Transformando a radicales simples: tg ( 315° 2 ) = −√3 − 2√2 tg ( 315° 2 ) = −൫√2 − 1൯ = 1 − √2 Respuesta: B ÁNGULO DOBLE: sen2α = 2senα. cosα cos2α = cos2α − sen2α cos2α = 1 − 2sen2α cos2α = 2cos2α − 1 tan2α = 2tanα 1 − tan2α ÁNGULO TRIPLE Sen3x = 3senx − 4sen3x cos3x = 4cos3x − 3cosx tan3x = 3tanx − tan3x 1 − 3tan2x ÁNGULO MITAD sen α 2 = ±√ 1 − cosα 2 cos α 2 = ±√ 1+ cosα 2 tan α 2 = ±√ 1 − cosα 1 + cosα cot α 2 = ±√ 1 + cosα 1 − cosα Nota:() Depende del cuadrante al cual “ 𝛼 2 ” 46 2. En temporada de lluvia la temperatura en Arequipa tiene variaciones constantemente, cierto lunes la temperatura fue de 15°C, al día siguiente la temperatura varió en Hº C. determina la temperatura el día martes si: H = sec2x sec 2x + sec3x sec 3x − 8tanx tan2x A) 20°C B) 14°C C) 13°C D) 12°C E) - 13°C RESOLUCIÓN: H = sec2x sec 2x + sec3x sec 3x − 8tanx tan2x Escribiendo en términos de sen y cos : H = 1 COS2X 1 COS2X + 1 COS3X 1 COS3X − 8 senx cosx sen2x cos2x Aplicando identidades: H = cos2x cos2x + cos3x cos3x − 8(senx)(cos2x − sen2x) cosx(2senx. cosx) H = 2cos2x − 1 cos2x + 4cos3x − 3cosx cos3x − 8(senx)(2cos2x − 1) cosx(2senx. cosx) H = 2 − sec2x + 4 − 3sec2x − 4(2cos2x − 1) cos2x H = 2 − sec2x + 4 − 3sec2x − 8 + 4sec2x H = −2 Entonces la temperatura del día martes sería 15ºC - 2ºC = 13 ºC Respuesta: C 3. La amplitud y frecuencia de una onda registrada por un sismógrafo está representado por “A” y “k” en la siguiente expresión: 2 (2cos α 2 + 1) (2cos α 2 − 1) − 2 = Acos(kα) Determina la suma de éstos dos elementos de la onda. A)6 B)7 C)3 D)4 E)5 RESOLUCIÓN: Efectuando operaciones en el primer miembro: 2(2cos α 2 + 1) (2cos α 2 − 1) − 2 = Acos(kα) 2 (4cos2 α 2 − 1) − 2 = Acos(kα) 2 (2cos2 α 2 + 2cos2 α 2 − 1) − 2 = Acos(kα) Aplicando identidades : 2cos2 α 2 − 1 = cos 2 ( α 2 ) = cosα cos α 2 = √ 1 + cosα 2 Elevando al cuadrado: (cos α 2 ) 2 = (√ 1+cosα 2 ) 2 cos2 α 2 = 1 + cosα 2 Sustituyendo: 2 (2 ( 1 + cosα 2 ) + cosα) − 2 = Acos(kα) 2(1 + cosα + cosα) − 2 = Acos(kα) 2 + 4cosα − 2 = Acos(kα) Comparando: 4cosα = Acos(kα) A = 4 ; k = 1 → 4 + 1 = 5 Respuesta: E 47 7. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Ecuación Trigonométrica Una ecuación trigonométrica es una igualdad, en la cual todas las variables están afectadas por funciones trigonométricas y se verifica para determinados valores de la variable. Ecuación Trigonométrica Elemental (E.T.E.) Una ecuación trigonométrica se llama Elemental o Simple si tiene la siguiente estructura: 𝐹. 𝑇. (𝐴𝑥 + 𝐵) = 𝑁 F.T.= Función Trigonométrica. (𝐀𝐱 + 𝐁) = Argumento. “x”, variable angular. N = Valor numérico. A los valores de la variable que verifican dicha igualdad se les denomina Soluciones o Raíces de la Ecuación. Conjunto Solución: Es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación trigonométrica. Solución General: Es el conjunto de
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