dinamicos_paradigma (1)

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Una introducción a sistemas
dinámicos
Paradigma de un sistema dinámico no lineal
Mucho de los modelos de un oscilador encontrados en física como 
en ingeniería están descriptos por la ecuación:
m
d2 u
d t 2
+ f (
d u
d t
, u , c)=0 (1)
cuando no existe dependencia explícita del tempo ( ∂ f
∂ t
=0 ) se los 
llama sistemas autónomos. Asumamos que la función tiene la forma
f (u)=k u−
1
6
μ k u3 entonces se llega a la ecuación no lineal
d2u
d t 2
+w0
2u−
1
6
μw0
2u3=0 (2)
donde w0=√k /m , es la ecuación de Duffing. Esta ecuación es muy 
importante en la teoría de oscilaciones no lineales, pues es el 
modelo base de muchos sistemas no lineales. Consideremos 
resolver dicha ecuación por el método de balance armónico. 
Partamos de la solución de la forma u(t)=C sen(w t) , como
sen3(w t )=
3
4
sen (w t )−
1
4
sen (3w t ) , sustituyendo en (2) resulta:
(w0
2
−w2−μw0
2 C
2
8
)C sen(w t)+μw0
2 C
3
24
sen (3w t )+⋯=0 (3)
Luego a primer orden en frecuencia se obtiene ( C→0 ) un resultado
inesperado w2=w0
2
(1−μ
C2
8
) , y es que la frecuencia de resonancia 
depende de las condiciones iniciales cuando μ≠0 . Este es un 
hecho común en los sistemas no lineales. En cambio en los 
sistemas lineales la frecuencia de oscilación depende 
exclusivamente de los parámetros del sistema. 
Otro modelo básico de oscilador no lineal (también es un sistema 
autónomo) es la ecuación de Van der Pol:
d2u
d t 2
−μ(1−u2)
d u
d t
+u=0 (4)
Para μ<0 la solución diverge o converge a cero dependiendo de la 
condición inicial o si μ>0 independientemente de la condición 
inicial el estado final es una solución oscilatoria que se denomina 
ciclo límite, como se ve en la figura siguiente.
 
Nota: Toda ecuación diferencial ordinaria de segundo 
orden se puede llevar a un sistema de primer orden de la 
siguiente forma, sea m d
2u
d t 2
+ f (
du
d t
, u , c)=0 , defino la variable 
auxiliar v=d u
dt
lo que resulta en el sistema
m d v
d t
=−f (v , u, c)
d u
d t
=v
Sistemas dinámicos continuos 
Consideremos un sistema de ecuaciones ordinarias de primer orden
de la forma:
d ū
d t
= f̄ ( ū) con condición inicial ū(t0)=ū0 (5)
donde ū∈D⊂ℝn y t>0 ∈ ℝ . A dicho sistema se lo llama autónomo,
si en cambio 
d ū
d t
= f̄ ( ū ,t ) con condición inicial ū(t0)=ū0 (6)
donde hay una dependencia explícita con el tiempo se lo llama no 
autónomo. Ahora si existe T>0 tal que:
f̄ (ū , t)= f̄ (ū ,t+T ) (7)
se lo llama periódico.
Teorema de Louville
Consideremos el sistema autónomo d ū
d t
= f̄ ( ū) cuya solución es el 
operador ϕt :M→M y un dominio inicial de condiciones iniciales 
medibles U0 , cuya medida es el volumen v (0) , luego en 
cualquier instante de tiempo U t=ϕt (U0) cuyo volumen es v (t) . El 
teorema de Louville dice que:
d v(t )
dt
=∫
U t
∇⋅̄f dn x (8)
En el caso de los sistemas conservativos dicha derivada se anula. 
Si la derivada es menor que cero en cualquier instante de tiempo el 
sistema se llama disipativo. 
Derivada orbital 
Consideremos el campo escalar F :M→ℝ y el sistema autónomo
d ū
d t
= f̄ ( ū) , se llama derivada orbital a Lt F=∇ F⋅
d ū
d t
. La función
F :M→ℝ es una integral primera de movimiento si Lt F=0 ; en el 
caso de los sistema estudiados en la mecánica se verifica que
Lt H=0 .
Puntos estacionarios y linealización
Consideremos el sistema autónomo d ū
d t
= f̄ ( ū) , se llama puntos 
estacionarios a los puntos solución de f̄ (ū)=0 , supongamos que al 
menos el campo vectorial de velocidades es dos veces diferenciable
en M; y sea ū0 / f̄ (ū0)=0 , entonces a primer orden
 d ū
d t
=D f (ū0)⋅(ū−ū0)+⋯ (9)
Se llama matriz jacobiana evaluada en el punto estacionario a
A=Df (ū0) (10). Si x̄=ū−ū0 resulta el sistema ordinarios de 
ecuaciones lineales siguiente:
d x̄
d t
=A x̄ (11)
La pregunta es cuan representativo es (11) de la dinámica del 
sistema original en la vecindad al punto estacionario. Bueno este 
teorema lo garantiza.
Definición: Un punto estacionario ū0 se dice hiperbólico si la parde 
real de todos los autovalores de A=Df (ū0) es no nula. 
Teorema de Hartman-Grobman (1960): Existe una vecindad a un
punto hiperbólico estacionario del sistema autónomo no lineal
d ū
d t
= f̄ ( ū) tal que la dinámica cualitativa de su linealización
d x̄
d t
=A x̄ es homeomorfa al sistema original. 
Es decir se entiende por homeomorfismo de soluciones a la 
transformación continua, H, (no necesariamente diferenciable, ni 
lineal) que relaciona al operador ϕt solución de 
d ū
d t
= f̄ ( ū) y el 
operador eA t solución de d x̄
d t
=A x̄ de la siguiente forma
ϕt=H
−1∘eA t∘H en dicha vecindad.
Características del sistema lineal
Sea d x̄
d t
=A x̄ el sistema lineal asociado a un punto estacionario de
d ū
d t
= f̄ ( ū) que pudiera o no ser hiperbólico. Los autovalores de la 
matriz son λ j cuyos autovectores son (con multiplicidad 
geométrica igual a uno) w̄ j=ū j+i v̄ j∈ℂ
n . Si la matriz es no singular 
puedo dividir el espacio solución como la suma directa de 
subespacios Ω=Es+Eu+E c donde:
1. Es=SP (w̄ j) / ℜ(λ j)<0 es el espacio de las soluciones estables, 
es decir ϕt∈E
s⇔ lim
t→∞
ϕt ( x̄)=0 .
2. Eu=SP(w̄ j) / ℜ(λ j)>0 es el espacio de las soluciones inestables,
es decir ϕt∈E
s⇔ lim
t→−∞
ϕt ( x̄)=0 .
3. Ec=SP(w̄ j) / ℜ(λ j)=0 es el espacio de las soluciones centrales 
u oscilatorias.
Clasificación de los puntos estacionarios
• ℜ(λ j)<0 ∀ j nodo estables o atractor, además si la parte 
imaginaria es no nula se lo llama foco.
• ∃ j / ℜ(λ j)>0 nodo inestable, y si además los autovalores son 
reales y no nulos se lo llama nodo silla (saddle en inglés)
• ∃i , j / ℜ(λ j)=ℜ(λi)=0∧ℑ(λi)≠0∧ℑ(λ j)≠0 y son complejos 
conjugados, se lo llama centro.
 
Axioma-A de la mecánica (1967)
En física el Axioma de Smale o Axioma-A define una categoría de 
sistemas dinámicos los cuales fueron estudiados in extenso y son 
muy conocidos. Daremos una definición rigurosa en base a lo que 
vimos.
Sea M una variedad suave, y sea el difeomorfismo ϕt :M→M
solución de algún sistema dinámico. Luego ϕt cumple con el 
Axioma-A si y sólo si:
1. Todo conjunto no errante de ϕt , Ω(ϕt) , es hiperbólico y 
compacto
2. El conjunto de órbitas periódicas de ϕt , si existiese, es densa 
en Ω(ϕt)
La mayor importancia que tiene un sistema dinámico que respete el
Axioma-A es la propiedad de la estabilidad estructural ante 
perturbaciones de los parámetros (no confundir con sensibilidad a 
las condiciones iniciales). El problema de los 3 o mas cuerpos de la 
astrofísica, salvo casos particulares, no cumple con el Axioma-A.
Notas:
• Ω(ϕt) es un conjunto hiperbólico si lo puedo descomponer 
como Ω(ϕt)=ω
s
+ω
u (suma directa), donde ωs es el conjunto de 
órbitas estables y ωu el conjunto de órbitas inestables.
• Ω(ϕt) Es denso si toda sucesión de Cauchy converge en Ω(ϕt)
• Un conjunto es errante si para cada x̄∈Ω(ϕt) existe una 
vecindad U de x̄ tal que ∀n>N⇒ϕn(U )∩U=∅ . Caso contrario 
es no errante. Dada la probabilidad P se dice que además es 
mezclante (Mixing) si verifica P(ϕn(U )∩U )=P (U )
2 . Esto tiene 
importancia en mecánica estadística pues todo sistema que 
tenga Mixing es ergódico.
Descripción de la turbulencia
Teoría de Euler-Kelvin
Muchas de las investigaciones de sistemas disipativos ha motivado 
el deseo de ser aplicadas en la dinámica de fluidos, entre ellos 
explicar las causas de la turbulencia. A principios del siglo pasado 
se pudo mostrar que la ecuación de Navier-Stokes para un fluido 
incompresible con condiciones de contorno de Diritchlet tienen 
solución única. Actualmente se lo llama problema del milenio el 
encontrar si la ecuación de Navier-Stokes para un fluido arbitrario 
con cualquier tipo de condición de contorno tiene o no solución 
única. Sin embargo en 2013 El matemático kazajo Mujtarbay 
Otelbáyev afirma haber encontrado la solución al problema por 
ahora se lo considera una conjetura. Por eso el estudio de la 
turbulencia se focaliza a la única situación conocida de existencia 
de solución. Seaū el campo de velocidades, entonces la ecuación 
de Navier-Stokes (ENS) para este caso es:
d ū
d t
−ν∇ 2ū=−1ρ ∇ P+ f̄ (1)
donde d
d t
= ∂
∂ t
+ū⋅∇ es la derivada Eureliana en la línea de flujo. 
Además hay que sumar la ecuación de continuidad que para el caso
de un fluido incompresible es:
∇⋅̄u=0 (2)
y la condición de contorno (u)∂D=G(D) (3). Al parámetro ν=μ/ρ se
lo llama viscosidad cinemática. El campo de fuerzas externas es
f̄ y el término ν∇2 ū es el causante de la disipación de la energía,
lo que produce un inevitable incremento de la temperatura en la 
línea de flujo. Esto causaría corrientes convectivas, para evitar este 
nivel de complejidad es que se asume para el estudio que f̄=0 , y
todo impulso es debido al gradiente de presión. 
Un estudio dimensional permite definir un adimensional conocido 
como número de Reynolds
R=
us L
ν (4)
donde us es la velocidad característica del fluido y L la longitud 
característica del dominio, luego se pude mostrar que 
• R < 2100 es un fluido laminar
• 2100 < R < 10000 es un fluido inestable
• 10000 < R es un fluido turbulento
La forma adimensional de las ENS se pueden reescribir como:
d ū
d t
−
1
R
∇ 2ū=−∇ P (5)
donde se ha modificado las dimensiones de la velocidad y la 
presión. En el caso de ser ν=0 el fluido se lo llama Eureliano por lo
que (5) se lo simplifica a:
d ū
d t
=−∇ P (6)
En este tipo de fluido es posible elaborar una formulación 
Hamiltoniana usando el concepto de vórtice. Un vórtice es un flujo 
turbulento en rotación espiral con trayectorias de corriente 
cerradas. Como vórtice puede considerarse cualquier tipo de flujo 
circular o rotatorio que posee vorticidad. La vorticidad es un 
concepto matemático usado en dinámica de fluidos que se puede 
relacionar con la cantidad de circulación o rotación de un fluido. Se 
la define como:
ω=∇∧ū (7)
Kelvin llamaba como vorticidad a Γ=∮ ū⋅d l̄ , el demostró que en un
fluido Eureliano d Γ
d t
=0 , es decir que la vorticidad se conserva o es
una constante de movimiento del fluido. 
En el caso de dos dimensiones si ū=(u , v) de la condición
∇⋅̄u=∂u
∂ x
+
∂ v
∂ y
=0 , se pude definir el potencial de vórtice ψ tal 
que: 
u=
∂ψ
∂ x
v=−
∂ψ
∂ y
(8)
luego la vorticidad diferencial es ω=∂ v
∂ x
−
∂u
∂ y
=−∇ 2ψ (9). En el caso
de vórtices puntuales ω=∑
j
Γ jδ( x̄− x̄ j) (10), donde cada vórtice 
posee una vorticidad de Γ j∼f j siendo f j la frecuencia de rotación
del vórtice. Luego de 10 integrando 9 queda el potencial de vórtice 
como 
ψ=
1
2π∑j
Γ j ln|x̄i− x̄ j| (11)
finalmente el Hamiltoniano del fluido queda como 
H=− 1
4π∑i j
ΓiΓ j ln|x̄i−x̄ j| (12)
El cual es conservativo. Luego las ecuaciones de Hamilton-Jacobi 
para un sistema de vórtices no es otra cosa que:
Γi ẋ i=
∂H
∂ yi
Γi ẏi=−
∂H
∂ x i
(13)
Visto como sistema dinámico cada uno corresponde a movimientos 
en toros invariantes.
Teoría de Hopf-Landau (1940)
Es una extensión de la teoría Hamiltoniana de Kelvin-Ëuler donde se
supone que la creación de nuevos vórtices ocurre por bifurcaciones 
de Hopf siendo el número de Reynols un parámetro de orden que 
genera la transición del estado. Cada nueva creación de frecuencia 
incrementa la dimensión de Toro donde están las trayectorias. 
ū(ω1,R1)→ ū(ω1 ,ω2 , R2)→ ū(ω1,ω2 ,ω3 ,R3)→… (14)
Además se proponía que las soluciones fuesen cuasiperiódicas, es 
decir ωi y ω j fuesen primos entre si. Luego la solución general de 
la ENS (usando teoría de perturbaciones sobre la ecuación de Ëuler 
(6) sería de la forma:
ū( x̄ ,t )=∑
m̄
A m̄( x̄)e
i m̄⋅ω̄ t (15)
donde ω̄=(ω1,⋯,ωk ) vector de frecuencias y m̄=(m1,⋯,mk ) vector de 
armónico. 
Teoría de Ruelle-Takens (1971)
Esta teoría posterior, a diferencia de la propuesta por Hopf-Landau, 
propone que el número de bifurcaciones de Hopf está limitado a un 
valor tal que cuando se llega al toro T4 el movimiento deja de 
verificar el Axioma-A y se genera un conjunto conocido como 
atractor extraño. En base de esto en 1978 Newhouse et al. 
proponen el teorema T3 => Caos, como la ruta a la turbulencia 
desde un flujo laminar. Un atractor extraño no tiene diemensión 
entera sino fracionaria y corresponde a un objeto Fractal. Cuando se
alcanza dicho objeto se vuelve a verificar el Axioma-A de la 
mecánica. 
Teoría de Lorens (1963)
 
Esta teoría fue construida con mucha anterioridad al conocimiento 
de lo que era el Caos y los atractores extraños. Lamentablemente al
ser demasiado adelantada a su época tuvo un gran rechazo en su 
momento. La misma estudia las turbulencia en una columna de aire
húmedo en la tropopáusa. 
Consideremos un fluido que se mueve entre dos isotermas planas 
separadas una altura H, con diferencia de temperatura ΔT y 
sometida a la acción de gravedad, g, que se supone uniforme. 
Además se propone que el movimiento significativo ocurre entre los
ejes (x,z) y es indiferente de lo que pase en el eje y. Si bien el aire 
no es un fluido incompresible, por simplicidad (y conveniencia) se 
asume que lo es. La velocidad ū=(u , v ) corresponde a los ejes (x,z). 
Usando el potencial escalar u=
∂ψ
∂ x
v=−
∂ψ
∂ y
, las ENS junto a la 
ecuación de balance térmico por convección son:
∂
∂ t
∇
2
ψ=
∂ψ
∂ z
∂∇
2
ψ
∂ x
−
∂ ψ
∂ x
∂∇
2
ψ
∂ z
+ν∇
4
ψ+gα ∂θ
∂ x
∂θ
∂ t
=∂θ
∂ z
∂ψ
∂ x
−∂θ
∂ x
∂ψ
∂ z
+K∇ 2θ+
ΔT
H
∂ψ
∂ x
 (16)
donde θ es el perfil térmico, α coeficiente de expansión térmica, ν 
viscocidad cinemática y K la conductividad térmica. Rayleigh 
propuso una solución de la forma:
ψ=ψ0 sen(
πa x
H
)sen( π z
H
)
θ=θ0cos(
π a x
H
)sen( π z
H
)
(17)
Donde el número de términos se incrementa si el número de 
Rayleigh Rα=
gα H3ΔT
νK
es mayo que un valor crítico Rα
c=
π4 (1+a2)3
a2
y H /Lx ; donde Lx es la amplitud del contenido de fluido. El 
menor valor ocurre para a2=1 /2 y vale Rα
c≈657,511 . Para los 
casos de turbulencia el número de Rayleigh es lo bastante grande 
para ser aceptada por este criterio la solución en serie (método de 
Garlerkin):
ψ=∑
m≥1
∑
n≥1
ψm n(t)sen (
mπa x
H
)sen( nπ z
H
)
θ=∑
m≥1
∑
n≥1
θmn(t)cos (
mπa x
H
)sen(
nπ z
H
)
(18)
Sustituyendo la solución en serie en (16) produce un sistema 
recursivo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Lorenz buscó un 
sistema mininal de la forma:
Ẋ=σ(Y−X)
Ẏ=−α Z+r X−Y
Ż=X Y−b Z
(19)
donde σ=ν/K es el número de Prandtl, r=Rα /Rα
c número de 
Raiyleigh normalizado y b=4 /(1+a2) factor geométrico. El tiempo es
re-escaleado como τ=π2(1+a2)K t /H2 . Por otro lado cada variable 
representa; X es el movimiento convectivo, Y la temperatura de la 
columna de aire, y Z distorsión vertical del perfil térmico. 
Si se llama con el "vector velocidad del espacio de fases" a
ū=( Ẋ , Ẏ , Ż) resulta ∇⋅̄u=
∂ Ẋ
∂X
+
∂ Ẏ
∂Y
+
∂ Ż
∂ Z
=−(b+σ+1)<0 pues
min(b ,σ)>0 . Esto indica por el teorema de Louville que el volumen 
del espacio de las fase se contrae indefinidamente, con lo cual el 
sistema es disipativo. 
Los puntos estacionarios se los encuentra de hacer Ẋ=Ẏ=Ż=0 y 
son: 
1. X=Y=Z=0 que corresponde al estado de pura conducción del
calor donde no hay convección.
2. X=Y=+√b(r−1) , Z=r−1 y X=Y=−√b(r−1) , Z=r−1 que 
corresponde al estado estacionario de la convección, la cual 
existe si r>1. 
Las propiedades de estabilidad de los puntos estacionarios se las 
analiza de la linealización de la ecuación en una vecindad a ellos;
d
d t (
δ X
δY
δZ )=(
−σ σ 0
r−Z −1 −X
Y X −b )(
δ X
δY
δZ ) (20)
1. Para (X ,Y ,Z )=(0,0,0) y r<1 los autovalores de la matriz 
tienen parte real negativa por lo que es un estado estable. 
Para r=1 uno de los autovalores se anula, por lo que se genera
una variedad central y el sistema comienza a bifurcar 
soluciones. Ya para r>1 uno de los autovalores adquiere parte 
real positiva y el punto se vuelve inestable. 
2. Para (X ,Y ,Z )=(±√b(r−1),±√b(r−1) , r−1) , para r>1 los 
autovalores son complejos conjugados con parte real negativa,
por lo que son focos estables, pero se vuelven inestables si
r>σ (σ+b+3)/(σ−b−1) con σ>b+1 . A partir de dichovalor 
comienza la ruta al caos conocida como cascada subarmónica.
	Paradigma de un sistema dinámico no lineal
	Nota: Toda ecuación diferencial ordinaria de segundo orden se puede llevar a un sistema de primer orden de la siguiente forma, sea , defino la variable auxiliar lo que resulta en el sistema
	Sistemas dinámicos continuos
	Teorema de Louville
	Derivada orbital
	Puntos estacionarios y linealización
	Definición: Un punto estacionario se dice hiperbólico si la parde real de todos los autovalores de es no nula.
	Características del sistema lineal
	Clasificación de los puntos estacionarios
	Axioma-A de la mecánica (1967)
	Descripción de la turbulencia
	Teoría de Euler-Kelvin
	Teoría de Hopf-Landau (1940)
	Teoría de Ruelle-Takens (1971)
	Teoría de Lorens (1963)