Trabajo Práctico 3 - Recursado 2023 - Teoría de la Producción I (Resolución)

Vista previa del material en texto

ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
1 
Economía (FI-UNCo, 2do C, 2023) 
Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
 
EJERCICIO 1.- Suponga que la frontera de posibilidades de producción de una 
firma está dada por la ecuación y = 400 – x2. a) Dibujar la FPP; b) Encuentre su 
pendiente para cualquier punto de la FPP; c) Hallar el valor de la TMT en el punto 
A = (xo, yo) = (10, 300) y explique su significado; d) ¿Qué sucede si los precios de 
los bienes producidos son Px = 4 y Py = 2 y la recta de iso-ingreso pasa por el punto 
dado? 
a) 
 
 
b) y = 400 – x2; la pendiente será el valor de dy/dx, o sea: 
dy/dx = -2x 
c) TMT = -2 (10) = - 20. Sabemos que TMT dx = dy, entonces 
-20 dx = dy. 
Esto quiere decir que si incremento la producción del bien x en un valor dx 
entonces la producción del bien y deberá reducirse 20 veces el valor del 
incremento en x. 
d) Ecuación de la recta que pasa por un punto A y tiene pendiente m dada. 
(y – yo)/(x – xo) = m 
m = – (Px/Py) = – (4/2) = – 2, luego 
(y – 300)/(x – 10) = –2; y – 300 = –2 x + 20, entonces 
y = –2x + 320 
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
2 
En el punto A = (10, 300) los valores de la recta iso-ingreso y los de la FPP 
coinciden, por tanto allí esta recta es tangente a la curva FPP y por consiguiente el 
punto A es un óptimo de producción para los bienes x e y. 
 
EJERCICIO 2.- (a) Calcular los parámetros faltantes a partir de los datos de la 
tabla siguiente: 
 
 
(a) Tenemos que el producto marginal del trabajo o productividad marginal del 
trabajo PML será: 
PML= ∆Q/∆L. 
El producto medio PMe será: 
PMe= Q/L. 
La elasticidad del trabajo eL será: 
eL = (∆Q/∆L)(L/Q) 
1er caso, L= 1 y Q= 10: 
PML= ∆Q/∆L= (10-0)/(1-0)=10; 
PMe= Q/L= (10/1)=10; 
eL =(∆Q/∆L) (L/Q) =(10)(1/10)=1 
 
2do caso, L= 2 y Q=60: 
PML= ∆Q/∆L= (60-10)/(2-1)= 50 
PMe= Q/L = (60/2)= 30 
eL= (∆Q/∆L) (L/Q)= (50) (2/60)= 1,6 
 130 4 30 32,5 
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
3 
Con el mismo procedimiento se va completando el resto de los parámetros 
solicitados. 
 
(b) Encuentre el óptimo técnico de la unidad productiva. 
El óptimo técnico se da cuando el Producto Medio es igual al Producto Marginal, 
siempre que tengamos funciones analíticas. No siendo eso en este caso, los valores 
óptimos calculados serán aproximados, lo mismo ocurrirá con su presentación 
gráfica. En nuestro caso se da con Q=130 y L=4, para los que el PML= 30 y el PMe= 
32,5. 
 
EJERCICIO 3.- Dada la siguiente tabla se pide: (a) Graficar Q=f(L); (b) Hallar los 
valores de PML y PMe, el valor del óptimo técnico. Graficar. 
 
Número de 
trabajadores L 
Producción 
Q 
 
0 
 
0 
1 20 
2 60 
3 120 
4 160 
5 190 
6 216 
7 224 
8 224 
9 216 
 
a) La función Q= f(L): 
 
 
0
50
100
150
200
250
0 2 4 6 8 10
P
ro
d
u
cc
ió
n
 (
Q
)
Trabajo (L)
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
4 
b) A partir de que PML= ΔQ/ΔL y que PMe= Q/L se construyen los gráficos como 
los siguientes. Tener presente que los ΔL=1, por lo que los PML son directamente 
las diferencias entre dos niveles de producción consecutivos. Como se puede 
apreciar, para un L= 4 el producto medio alcanza un máximo y por ese punto pasa 
el producto marginal. 
 
 
 
 
EJERCICIO 4.- Suponga que un fabricante de sillas estuviera produciendo a corto 
plazo, en el que el equipamiento es fijo. El fabricante sabe que a medida que el 
número de trabajadores se eleve de 1 a 7 el número de sillas producidas variaría 
de la siguiente forma: 10, 17, 22, 25, 26, 25, 23. 
¿El producto marginal es siempre positivo? De no serlo, explicar cuál podría ser la 
razón de que el producto marginal del trabajo se vuelva negativo 
Los ΔL=1 por lo que los PML serán: 7, 5, 3, 1, -1 y -2. La explicación de esta situación 
estaría dada por el hecho de que cuando PML=0 el nivel de producción Q alcanza un 
máximo para un determinado número de trabajadores L*. Para L>L* la producción 
empieza a caer y los PML son negativos (en este caso para L*=5). 
 
EJERCICIO 5.- Dada las siguientes isocuantas y para un K promedio de 7 
unidades se pide hallar Q=f(Kmedio;L). Graficar. 
 
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 2 4 6 8 10
P
r
o
d
u
c
c
io
n
 Q
Factor trabajo L
Óptimo técnico PML PMe 
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
5 
 
En este problema las líneas en rojo separan la zona central en donde K y L son 
factores productivos sustitutos. Ello es así ya que, por ejemplo, si cae el capital K 
tengo que incrementar el trabajo L (y viceversa). En la zona externa a la línea A 
vemos que crece K pero también crece L. Esta zona no se considera. Lo mismo ocurre 
a la derecha de la curva B. 
El procedimiento para resolver este ejercicio consiste en trazar una recta paralela al 
eje L de valor K=7 y anotar el par de valores (L,Q) de las intersecciones de esta recta 
con las isocuantas para así poder construir el gráfico de Q=f(L). Como se sabe si 
K= constante estamos en el corto plazo. Dar valor a las isocuantas (100, 200, 300 y 
400) y graficar. 
 
EJERCICIO 6.- Consideremos un proceso de producción simple, en el que un 
empresario utiliza dos insumos variables, L y K. La función de producción está 
dada por Q= f(L, K) = 10 L – L2 + L K 
(a) Encuentre el producto marginal para cada factor. 
PML= ∂Q/∂L= 10 – 2L + K. 
PMK= ∂Q/∂K= L 
 
(b) Interprete para las cantidades L =2 y K=6. Dadas esas cantidades, ¿cuál factor 
generará mayor incremento en el nivel de producción si se aumentan en una 
proporción pequeña? 
Para L=2 y K=6 tenemos que: 
PMK= 2; PML= 14. 
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
6 
Por tanto, en la cercanía de esos valores es mayor el aporte de PML que de PMK, por 
lo que su contribución al proceso de producción será mayor. 
 
EJERCICIO 7.- (7.1) Calcule las productividades marginales de los factores 
capital K y trabajo L, la tasa marginal de sustitución técnica e indique que tipo de 
rendimientos a escala presentan cada una de las siguientes funciones de 
producción: 
(a) Q = L K2; 
PML= ∂Q/∂L= K2; PMK= ∂Q/∂K= 2KL. 
TMST= dK/dL= -(PML/PMK)= - (K2/2KL)= -(K/2L). 
Q(mL,mK)= (mL)(mK)2= m3 (LK2)= m3 Q. Rendimientos crecientes. 
(b) Q = (L2+K2)1/2; 
PML= ∂Q/∂L= ½ (2L) (L2+K2)-½ = L (L2+K2)-½. 
PMK= ∂Q/∂K= K (L2+K2)-½. 
TMST= dK/dL= -(PML/PMK)= - (L/K). 
Q(mL,mK)= [(mL)2 + (mK)2]1/2 = m (L2+K2)1/2= m Q. Rendimientos constantes. 
(c) Q = 100 L K; 
PML= ∂Q/∂L= 100K. 
PMK= ∂Q/∂K= 100L 
TMST= -(PML/PMK)= - (K/L) 
Q(mL,mK)= 100 (mL) (mK)= m2 (100LK)= m2 Q. Rendimientos crecientes. 
(d) Q = 2L + 3K; 
PML= ∂Q/∂L= 2. 
PMK= ∂Q/∂K= 3. 
TMST= -(PML/PMK)= -(2/3) 
Q(mL,mK)= 2(mL) + 3(mK)= m (2L + 3K)= m Q. Rendimientos constantes. 
(e) Q = 10 L0,5K0,5. 
TMST= -(PML/PMK)= -(K/L) 
Q(mL,mK)= 10 (mL)0,5(mK)0,5= m (10 L0,5K0,5)= m Q. Rendimientos constantes. 
 
(7.2) Suponga las siguientes funciones de producción; se pide calcular el producto 
marginal para cada factor y la TSMT para cada función: 
(a) Q = L + 5 K; 
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
7 
PML= ∂Q/∂L= 1. 
PMK= ∂Q/∂K= 5 
TMST= -(1/5). 
(b) Q= 10 L K; 
PML= ∂Q/∂L= 10K. 
PMK= ∂Q/∂K= 10L. 
TMST= -(K/L) 
(c) Q= 10 L0,75 K0,25 
PML= ∂Q/∂L= 10 (3/4 L-0,25K0,25). 
PMK= ∂Q/∂K= 10 (1/4 L0,75 K-0,75) 
TMST= -(PML/PMK)= - 3(K/L). 
 
EJERCICIO 8.- Un proceso de producción de trigo Qt depende de trabajo L y 
tierra T. La función de producción es: Qt = 6L2T2 – L3T3. (a) Suponga que T = 1, y 
realice un análisis sobre la producción de trigo cuando el insumo trabajo crece 
(tome como ejemplo, desde L=1 hasta L=5); (b) Manteniendo el supuesto de T = 1, 
calcule el PMe y encuentre su máximo.Qt = 6L2T2 – L3T3. Si T=1 entonces, 
Qt = 6L2 – L3. Si L crece entonces opera para esta situación la llamada “ley de los 
rendimientos marginales decrecientes”. ¿Qué significa esto? Que a medida que 
aumenta L la producción Q también lo hace pero la tasa a la que se incrementa Q (o 
sea, ΔQ/ΔL) es cada vez menor. Eventualmente alcanza Q un valor máximo, en ese 
punto ΔQ/ΔL=0. Si sigue incrementándose L la producción decae y ΔQ/ΔL<0. 
El PMe= Q/L= 6 L – L2. Es máximo su valor si d(PMe)/dL=0. 
0= 6 – 2L. Luego, L=3. 
 
EJERCICIO 9.- Supongamos un proceso de producción tal que en cualquier caso 
podemos sustituir 1 unidad del factor K por 4 unidades de factor L de manera que 
el nivel de producción no varíe. 
(8.1) (a) Dibuje las curvas isocuantas correspondientes a dicho proceso de 
producción; 
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
8 
Las curvas a representar son rectas paralelas de pendiente negativa y constante, de 
valor absoluto (1/4). 
(b) ¿Qué puede decir de la TMST(L,K)? 
TMST= dK/dL= -1/4. 
Para valores de TMST constantes se infiere que K y L son factores productivos 
perfectamente sustitutos. 
(8.2) (a) La función de producción de una firma que ensambla computadoras es: 
Qc= f(L ,K) = 0,1LK + 3L2K – 0,1L3K. 
(a) Suponiendo que el stock de capital es de 10, obtenga la función de producción 
de la firma para el corto plazo; 
Qc= f(L,K) = L + 30L2 – L3. 
(b) Determine el producto marginal del factor trabajo; 
PML= ∂Q/∂L=1 + 60L – 3L2. 
(c) Determine el PMe del factor trabajo, dividiendo a la función de producción por 
L; 
PMe=1 + 30L – L2. 
(d) Grafique las funciones encontradas en (a), (b) y (c). 
No hay inconvenientes con los gráficos. Verifique que incorporar más de 20 
trabajadores es ineficiente. Para comprobar que más de 20 trabajadores hace 
ineficiente el proceso productivo haremos PML=0. 
PML= ∂Q/∂L= 1 + 60L – 3L2= 0. 
Para L= 20 el PML= 1, con L=21 ya el PML es negativo. 
EJERCICIO 10.- Sea la recta de isocostos cuya gráfica tiene los siguientes datos: 
 
Se pide analizar el comportamiento de los puntos señalados. 
Los puntos a lo largo de la recta FI indican todas las combinaciones posibles de K y L 
disponibles para el costo dado. La pendiente es (-1/2). 
Si hago ΔK/ΔL= (K-2)/(L-1)= -(1/2). Luego, 
ECONOMÍA RECURSADO 2023 – Resolución del TP de “TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN I” 
9 
K-2= - ½ L + ½ . Entonces, K= - ½ L + (5/2). 
El punto E es inalcanzable, implica una combinación de K y L que no puede costearse. 
El punto A es ineficiente. Para L=1 tengo K=1 cuando el recurso monetario me 
alcanza para tener K=2. 
 
EJERCICIO 11.- Sea la función de producción Q=K0,5L0,5 y la recta de isocostos 
1200= 8K + 4L. Se pide hallar el óptimo correspondiente. 
Si 1200= 8K + 4L entonces K= 150 – (1/2)L. 
PML/PMK= K/L= (1/2). Luego, 2K= L. Entonces, 
K= 150 – (1/2)(2K). Luego, 2K= 150, entonces los óptimos serán: 
K= 75 y L=150. 
 
EJERCICIO 12.- Un empresario forestal desea explotar un monte boscoso a fin 
de emprender un negocio que se estima rentable. Para ello compra 18 motosierras 
de última generación de uso individual mediante un crédito bancario. Sin embargo, 
la actividad no rinde los frutos deseados y al no poder pagar con puntualidad las 
cuotas al banco hace que esta entidad le retire primero 4 máquinas y luego 3 más. 
Analice la situación y grafique las isocuantas correspondientes. 
Si la situación fuera descripta por una función de Cobb-Douglas, factores productivos 
sustitutos, llegaríamos a una situación sorprendente e ilógica. Pierdo capital K (las 
motosierras) por no poder pagar el crédito, por tanto tendría que aumentar la 
dotación de trabajadores L. Esto es insostenible. En cambio si se piensa el problema 
en función de suponer que K y L son complementarios la cuestión se torna más 
inteligible. Para eso en vez de usar Cobb-Douglas tendré que pasar a utilizar Leontief. 
Las motosierras individuales indican que existe una relación de máquina a persona 
de 1 a 1. O sea, una motosierra, un operario; dos motosierras, dos operarios, etc. 
Los sistemas productivos reales tienen con más frecuencia distribuciones al estilo 
Leontief que a Cobb-Douglas. Pensemos, por ejemplo, un torno cada dos personas, 
una máquina de coser por trabajadora, una PC por operador, etc.