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CAPÍTULO 6. Álgebra e Análise Tensoriais 303
Definição 6.9 (Espaço métrico de Riemann). Seja
Rn ≡ R× · · · ×R︸ ︷︷ ︸
n vezes
=
{(
q1, . . . , qn
)
| qj ∈ R, j = 1, . . . n
}
o conjunto de todas as n-uplas ordenadas obtidas a partir do produto Cartesiano do corpo dos
números reais e com valores determinados por um sistema de coordenadas X. Seja d` um
elemento de arco medido em X e cujo valor é determinado pela métrica Riemanniana
d`2 = gijdq
idqj , (6.26)
onde g = [gij ] é o tensor de métrica que satisfaz as condições:
(ER1) As componentes gij
(
q1, . . . , qn
)
do tensor de métrica pertencem à classe C2 (Rn).
(ER2) O tensor g = [gij ] é simétrico, i. e., gij = gji.
(ER3) O tensor g = [gij ] é não singular, i. e., det [gij ] 6= 0.
(ER4) A forma diferencial (6.26) é invariante frente a uma troca arbitrária de coordenadas.
Então, estrutura Rn
.
= 〈Rn, g〉 forma o Espaço Riemanniano de dimensão n.
Rigorosamente, as condições (ER1)−(ER4) impostas ao tensor de métrica definem um espaço
pseudo-Riemanniano, pois o elemento d`2 obtido por (6.26) não é positivo-definido. Para se definir
um espaço Riemanniano, a condição (ER3) deve ser substituída pela condição mais restritiva(
ER′3
)
O tensor g = [gij ] é positivo-definido, isto é, gijvivj > 0 para todo vetor v =
(
v1, . . . , vn
)
∈ Rn
não nulo.
A distinção entre um espaço Riemanniano e um espaço pseudo-Riemanniano não afeta a dis-
cussão realizada nesta e nas próximas seções. Um exemplo importante de um espaço pseudo-
Riemanniano é o espaço-tempo de Mikowski, o qual será discutido nas seções 6.15.1 e 6.15.2.
As componentes covariantes do tensor de métrica são obtidos a partir da base covariante {ei}
e são dados por (1.8),
gij = ei · ej , (6.27a)
o que mostra claramente que o tensor de métrica é simétrico.
Se o sistema de coordenadas é ortogonal, ei · ej = 0 para j 6= i. Neste caso, é conveniente
empregar mais uma vez os fatores de escala hi, definidos em (1.11), com os quais se pode
escrever a base ortonormal { êi} como êi = ei/hi, ressaltando que neste caso i é um índice livre.
Assim, o tensor de métrica fica escrito simplesmente como
gij = h2
i δij (i : índice livre) . (6.27b)
6.7.2.1 OPERAÇÃO DE ELEVAÇÃO OU REBAIXAMENTO DE ÍNDICE
O tensor de métrica possui uma outra função na álgebra tensorial covariante que é de ex-
trema importância. Ele possibilita alterar a posição (contra- ou covariante) de um determinado
índice (livre ou mudo).
Para se mostrar como esta operação ocorre, retoma-se a discussão do produto escalar entre
os vetores a e b realizada no final da seção anterior. Ressaltando que, como estes são tensores de
posto um, o objeto resultante de seu produto interno deve ser um escalar, que possui o mesmo
valor seja qual for a representação ou sistema de coordenadas adotado para os vetores. Por isto,
uma expressão alternativa às obtidas acima para o produto escalar é
a · b =
(
aiei
)
·
(
bjej
)
= aibjei · ej = gija
ibj ,
onde se nota o surgimento do tensor de métrica, devido a sua definição. Comparando com uma
das expressões (6.25), percebe-se que, necessariamente,
ai = gija
j .
Ou seja, uma componente covariante de a é obtida a partir de suas componentes contravari-
antes com o uso do tensor de métrica. Diz-se então que o índice foi rebaixado para a posição
covariante.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
304 6.7. Tensores generalizados
Por outro lado, da mesma forma como a expressão (6.27) define o tensor de métrica co-
variante, pode-se também definir o mesmo tensor com seus componentes escritos na forma
contravariante através de
gij
.
= ei · ej . (6.28)
Ressalta-se que os componentes de gij são, em geral, distintos dos respectivos componentes de
gij.
Desta maneira, o produto escalar entre a e b também pode ser escrito como
a · b =
(
aie
i
)
·
(
bje
j
)
= gijaibj .
Nota-se agora que ai = gijaj, ou seja, foi realizada a elevação o índice para a posição contravari-
ante por intermédio também do tensor de métrica.
A capacidade do tensor de métrica de realizar a mudança na posição de um determinado
índice não se restringe aos componentes de tensores de posto um. Este pode ser empregado
também para mover o índice de um vetor de base. Ou seja, se ek · ej = δjk, multiplicando ambos
os lados por gji e realizando a soma implícita,
ek · ejgji = δjkgji = gki = ek · ei.
Portanto, observa-se que ei = gije
j, uma vez que o tensor de métrica é simétrico. A partir do
produto externo, verifica-se facilmente que o tensor de métrica pode realizar a mesma operação
em qualquer índice de um tensor de posto dois ou superior, ou seja,
T ij = T ikgkj ou T ij = T ikg
kj , etc.
Finalmente, a relação entre gij e gij também é facilmente derivada. Dado o i-ésimo compo-
nente do vetor a, pode-se escrever
ai = gijaj , mas, aj = gjka
k. Portanto, ai = gijgjka
k.
Este resultado implica em que
gikgkj = δij , (6.29)
ou seja, usando uma representação matricial para o tensor de métrica e denotando g = [gij ], a
sua inversa será g−1 =
[
gij
]
.
Finalmente, a forma mista (contra- e covariante) do tensor de métrica pode ser obtida di-
retamente do resultado anterior, empregando o mesmo para alterar a posição de um de seus
índices,
gij = gikgkj = δij . (6.30)
6.7.2.2 ELEMENTOS INFINITESIMAIS DE ARCO E VOLUME
Continuando com a discussão realizada na seção 1.1, se dr = dqiei é o vetor deslocamento
infinitesimal em um espaço Riemanniano escrito em termos da base {ei}, a norma ou o elemento
infinitesimal de arco deste espaço é dado pela métrica (6.26), isto é,
d`2 = dr · dr = gijdq
idqj .
Considera-se agora a base canônica. De acordo com o que foi demonstrado no exercicio 1.2,
para sistemas ortogonais resulta { x̂i} =
{
x̂i
}
. Além disso, como os fatores de escala são todos
unitários, resulta também que xi = xi. Assim, os vetores de base {ei} podem ser novamente
expressos, conforme as definições (6.24) e (1.7a), como
ei =
∂r
∂qi
=
∂xj
∂qi
x̂j =
∂xj
∂qi
x̂j ≡ Hj
i x̂j = Hji x̂
j , (6.31)
respectivamente, sendo agora
Hi
j =
∂xi
∂qj
e Hij =
∂xi
∂qj
,
onde H é a matriz de transformação do sistema Cartesiano ao curvilíneo, cujo determinante
corresponde ao Jacobiano da transformação. Portanto, o tensor de métrica pode ser escrito
também como
gij = ei · ej = Hk
iH`j x̂k · x̂` = Hk
iH`jδ
`
k = Hk
iHkj , (6.32)
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
	1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais 
	6 Álgebra e Análise Tensoriais
	6.7 Tensores generalizados
	6.7.2 O espaço de Riemann e o tensor de métrica
	6.7.2.1 Operação de elevação ou rebaixamento de índice
	6.7.2.2 Elementos infinitesimais de arco e volume