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CAPÍTULO 6. Álgebra e Análise Tensoriais 275 Tensores ou pseudotensores. As propriedades de transformação de tensores de posto N arbi- trário podem ser deduzidas facilmente se estes são puderem ser construídos a partir de produtos de vetores polares e/ou axiais. Se for realizada uma transformação de paridade sobre um tensor de posto N e este se transformar com o fator (−1) N , então este é denomi- nado um tensor verdadeiro ou simplesmente tensor. Contudo, se a inversão espacial levar ao fator (−1) N+1, então este é denominado de pseudotensor de posto N . 6.2.3 REVERSÃO TEMPORAL Um outro tipo de transformação relevante aos sistemas físicos é a transformação de reversão temporal t → t′ = −t. Embora esta transformação não se aplica a sistemas descritos pela mecânica newtoniana, na qual a dependência temporal no comportamento do sistema físico é considerada de forma distinta da sua dependência espacial, mesmo assim é importante que esta seja discutida. As leis básicas da física comportam-se de maneira bem determinada frente a inversão no sentido de evolução do tempo, e esse comportamento permite classificar as quantidades físicas como pares ou ímpares frente a uma reversão temporal. Transformação par. Uma determinada quantidade física é par frente a uma reversão temporal se a lei física que a determina não muda de sinal frente à transformação t→ t′ = −t. Um exemplo simples de uma quantidade par é o vetor posição, r t→−t−−−→ r. Um outro vetor par é a aceleração de uma partícula, pois a = d2r dt2 t→−t−−−→ d2r dt2 = a. Transformação ímpar. Uma quantidade física é ímpar frente a uma reversão temporal se a lei física que a determina muda de sinal frente a esta transformação. Um exemplo de quantidade ímpar é o momentum de uma partícula, pois (para massa constante) p = m dr dt t→−t−−−→ −mdr dt = −p. As propriedades de algumas quantidades fundamentais na mecânica clássica e no eletro- magnetismo frente às transformações discutidas nas seções 6.2.1 – 6.2.3 são apresentadas na tabela 6.1. As definições e o comportamento das quantidades físicas frente a transformações passivas do sistema de coordenadas, discutidos nesta seção, serão desenvolvidos em maiores detalhes nas seções posteriores. Para esta discussão aprofundada acerca dos tensores Cartesianos, será considerada de forma preponderante a transformação de rotação (própria) do sistema de refe- rência. 6.3 TENSORES CARTESIANOS Nesta seção serão realizadas definições um pouco mais rigorosas dos campos escalares, ve- toriais e tensoriais e suas propriedades sob tranformações em geral. A discussão ainda estará restrita aos chamados tensores Cartesianos. Esta restrição será posteriormente eliminada na seção 6.7. Uma vez que os campos de interesse na física dependem de forma contínua nas coordenadas do vetor posição, será realizada inicialmente uma breve discussão a respeito de espaços funci- onais e suas classes. Essa discussão servirá como uma continuação à definição 3.22 de uma função. 6.3.1 ESPAÇOS FUNCIONAIS Um espaço funcional é formado por um conjunto de funções f : X 7→ Y (definição 3.22) de um determinado tipo ou classe, que estabelecem um mapeamento do conjunto X ao conjunto Y . Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022 276 6.3. Tensores Cartesianos Tabela 6.1: Propriedades de transformação de algumas quantidades físicas na mecânica clássica e no eletro- magnetismo. Quantidade Física Rotação (posto do tensor) Inversão Espacial Reversão Temporal Mecânica Clássica Posição r 1 Polar Par Momentum linear p 1 Polar Ímpar Momentum angular L = r × p 1 Axial Ímpar Força F 1 Polar Par Torque τ = r × F 1 Axial Par Energia Cinética p2/2m 0 Escalar Par Energia potencial U (r) 0 Escalar Par Eletromagnetismo Densidade de carga ρ (r) 0 Escalar Par Densidade de corrente J (r) 1 Polar Ímpar Campo elétrico E (r) 1 Polar Par Deslocamento elétrico D (r) 1 Polar Par Polarização P (r) 1 Polar Par Indução magnética B (r) 1 Axial Ímpar Campo magnético H (r) 1 Axial Ímpar Vetor de Poynting S = E ×B 1 Polar Ímpar Tensor de stress Tij 2 Tensor Par Este conjunto de funções é denominado um espaço porque em muitas aplicações de inte- resse para a física esse conjunto forma um espaço topológico4 (incluindo espaços métricos5), um espaço vetorial,6 ou ambos. Por exemplo, o conjunto de todas as transformações lineares7 (ou funções) do espaço vetorial V ao espaço vetorial W sobre o mesmo corpo K é, em si mesmo, um espaço vetorial sobre o corpo K. Alguns exemplos relevantes destes espaços funcionais são: • C [a, b], o conjunto de todas as funções reais f : R 7→ R contínuas no intervalo (fechado) [a, b] ⊂ R. • Cr [a, b], o conjunto de todas as funções reais que são contínuas até a derivada de ordem r no intervalo [a, b] ⊂ R. • C0 (R), o conjunto de todas as funções reais contínuas que são nulas no infinito. • Cr (R), o conjunto de todas as funções reais que são contínuas até a derivada de ordem r. • C∞ (R), o conjunto de todas as funções reais que possuem derivadas em todas as ordens. Estas funções também são denominadas de funções suaves. • L1 [a, b], o conjunto de todas as funções reais cujo valor absoluto é integravel no intervalo [a, b] ⊂ R. • L2 [a, b], o conjunto de todas as funções reais quadraticamente integráveis no intervalo [a, b] ⊂ R. A partir desta definição de espaços funcionais é possível prosseguir com a definição de cam- pos tensoriais em geral. Inicialmente serão tratados os campos escalares e vetoriais, os quais serão em seguida generalizados. 6.3.2 TENSORES CARTESIANOS DE POSTOS ZERO E UM Nesta seção serão apresentadas as definições dos campos escalares e vetoriais, bem como suas propriedades de transformação. 4Definição 4.39. 5Definição 4.35. 6Capítulo 4. 7Seção 4.4. Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022 1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais 6 Álgebra e Análise Tensoriais 6.2 Propriedades de transformação de escalares, vetores e tensores 6.2.3 Reversão temporal 6.3 Tensores Cartesianos 6.3.1 Espaços funcionais 6.3.2 Tensores Cartesianos de postos zero e um
