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5.6. Multiplicação e divisão de polinômios 75
Subtração
A subtração entre P (x) = an xn + . . .+a1x +a0 e Q(x) = bn xn + . . .+b1x +b0 é definida
por
(P −Q) (x) = [P + (−Q)] (x)
=
n∑
k=0
(ak −bk ) xk
= (an −bn) xn + . . .+ (a1 −b1) x + (a0 −b0)
Exemplo 5.22 Observe as subtrações de polinômios:
a) Sejam f (x) = 7x3 +3x2 −9i x +2i e g (x) =−x3 −2i x2 + i x −2i . Logo:
( f − g )(x) = (7− (−1))x3 + (3− (−2i ))x2 + (−9i − i )x + (2i − (−2i ))
=⇒ ( f − g )(x) = 8x3 + (3+2i )x2 −10i x +4i .
b) Dados P (x) = 2x5 −8x3 +x −4 e Q(x) =−8x3 +2x2 −2x. Então:
(P −Q)(x) = (2−0)x5 + (−8− (−8))x3 + (0−2)x2 + (1− (−2))x + (−4−0)
=⇒ (P −Q)(x) = 2x5 −2x2 +3x −4.
Teorema 5.3 Se P e Q são polinômios não nulos tais que g r (P ) = m, g r (Q) = n e a soma
P +Q também seja não nula, então o grau dessa soma é menor ou igual ao maior dos
valores m e n, ou seja
g r (P +Q) ≤ max{m,n} .
Exemplo 5.23 Obtenha o grau do polinômio P +Q em cada caso.
a) P (x) = 2x2 −1 e Q(x) = x3 +x2 +x +1. Então, pelo Teorema 5.3 segue que
g r (P +Q) ≤ max{2,3} =⇒ g r (P +Q) ≤ 3.
Nesse caso, como P +Q = x3 +3x2 +x, segue que g r (P +Q) = 3.
b) P (x) = 2x2 −2i e Q(x) =−2x2 +x +1 =⇒ g r (P +Q) ≤ max{2,2} =⇒ g r (P +Q) ≤ 2.
Como P +Q = x + (1−2i ) =⇒ g r (P +Q) = 1.
5.6 Multiplicação e divisão de polinômios
Multiplicação
Considere os polinômios
P (x) = am xm + . . .+a2x2 +a1x +a0 e Q(x) = bn xn + . . .+b2x2 +b1x +b0.
O produto PQ é o polinômio expresso por
(PQ)(x) = ambn xm+n + . . .+ (a2b0 +a1b1 +a0b2) x2 + (a0b1 +a1b0) x +a0b0.
Observe que esse produto é equivalente a
76 Capítulo 5. Polinômios
(PQ)(x) = cm+n xm+n + . . .+ c2x2 + c1x + c0
onde cada coeficiente ck , com k ∈ {1, 2, 3, . . . , m +n} é obtido por
ck =
k∑
t=0
at bk−t = a0bk +a1bk−1 + . . .+ak b0.
A forma como é definida a multiplicação (produto) de polinômios é equivalente a se
aplicar a propriedade distributiva e agrupar os termos semelhantes, ou seja, multiplicar
cada termo at x t de P por cada termo b j x j de Q e efetuar a soma dos resultados obtidos.
Vejamos com um exemplo:
Exemplo 5.24 Multiplicando A(x) = x4 −2x2 + i por B(x) = 3x2 −2x − i temos que:
(AB)(x) = (
x4 −2x2 + i
)(
3x2 −2x − i
)
= x4 (
3x2 −2x − i
)−2x2 (
3x2 −2x − i
)+ i
(
3x2 −2x − i
)
= x4 ·3x2 +x4 · (−2x)+x4 · (−i )−2x2 ·3x2 −2x2 · (−2x)−2x2 · (−i )
+i ·3x2 + i · (−2x)+ i · (−i )
= 3x6 −2x5 − i x4 −6x4 +4x3 +2i x2 +3i x2 −2i x − i 2
= 3x6 −2x5 − (6+ i )x4 +4x3 +5i x2 −2i x +1
A multiplicação entre polinômios também pode ser feita por meio de dispositivos
práticos, que não serão abordados aqui. Dois deles podem ser obtidos em [25].
As Propriedades 5.2 descrevem as principais propriedades que a multiplicação no
conjunto K , de polinômios com coeficientes complexos possui, e cujas demonstrações
não serão discutidas nesse texto.
Propriedades 5.2
M1 : (Associativa) f · (g ·h
)= (
f · g
) ·h, ∀ f , g , h ∈ K .
M2 : (Comutativa) f · g = g · f , ∀ f , g ∈ K .
M3 : (Elemento neutro) ∃ q = 1 ∈ K tal que f · q = q · f = f , ∀ f ∈ K . Sendo as-
sim, o polinômio identidade, q(x) = 1, é o elemento neutro da multiplicação de
polinômios.
M4 : (Distributiva) f · (g +h
)= f · g + f ·h, ∀ f , g , h ∈ K .
Teorema 5.4 Se P e Q são polinômios não nulos, então o grau do produto PQ é a soma
dos graus de P e Q, ou seja
g r (PQ) = g r (P )+ g r (Q).
Exemplo 5.25 Dados P (x) = 2x3 − 3i e Q(x) = x4 − i x, tem-se pelo Teorema 5.4 que
g r (PQ) = g r (P )+ g r (Q) = 3+4 =⇒ g r (PQ) = 7. Portanto, se a multiplicação de P e
Q for realizada, iremos perceber que o polinômio gerado terá grau 7. Isso é percebido
facilmente, quando se faz a multiplicação do termo 2x3 de P com o termo x4 de Q.
Polinômios
Multiplicação e divisão de polinômios