Para resolver essa questão, precisamos entender a transformação da variável aleatória \(X\) para \(Y\) na forma \(Y = -3X + 2\). 1. Identificar a função de densidade de \(X\): A função dada é \(f(x) = 2x\) para \(0 < x < 1\). Isso indica que \(X\) é uma variável aleatória contínua. 2. Transformação: A transformação \(Y = -3X + 2\) implica que, quando \(X\) varia de \(0\) a \(1\), \(Y\) varia de \(2\) a \(5\). 3. Encontrar a função de densidade de \(Y\): Para encontrar a função de densidade de \(Y\), precisamos usar a fórmula de transformação de variáveis aleatórias. A função de densidade de \(Y\) pode ser obtida pela mudança de variáveis. 4. Cálculo da função de densidade: - A derivada da transformação \(Y = -3X + 2\) é \(\frac{dY}{dX} = -3\). - Portanto, a função de densidade de \(Y\) será dada por: \[ f_Y(y) = f_X\left(\frac{y - 2}{-3}\right) \cdot \left| \frac{dX}{dY} \right| = f_X\left(\frac{y - 2}{-3}\right) \cdot \frac{1}{3} \] 5. Substituindo \(f_X\): - Para \(Y\) entre \(2\) e \(5\), temos \(X = \frac{2 - y}{3}\). - Assim, \(f_X\left(\frac{y - 2}{-3}\right) = 2\left(\frac{2 - y}{3}\right) = \frac{2(2 - y)}{3}\). 6. Portanto: \[ f_Y(y) = \frac{2(2 - y)}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2(2 - y)}{9} \] Agora, analisando as alternativas: - A função correta deve ser proporcional a \(y - 2\) e válida para \(2 < y < 5\). A alternativa correta é: D \(f(y) = 3(y - 3), 2 < y < 5\).