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RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICA Antoniel Gomes da Costa Matrícula: 01675086 RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS ENSINO DIGITAL RELATÓRIO DATA: 09/02/2025 RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS: CÁLCULOS VETORIAIS EDO DADOS DO(A) ALUNO(A): NOME:ANTONIEL GOMES DA COSTA MATRÍCULA: 01675086 CURSO:ENGENHARIA CIVIL POLO:JOCKEY PROFESSOR(A) ORIENTADOR(A): ELIAS ARCANJO RELATÓRIO Considere o fluxo de um fluído qualquer, que percorre uma tubulação localizada em um relevo que apresenta cotas diferenciadas ao longo de sua superfície. E que a função = x² y³ - 4y, representa a velocidade de cada partícula em movimento. Considerando essas informações, calcule o que se pede, em cada situação proposta: a) Calcular o vetor Gradiente desse fluxo, no ponto (2, -1) b) Calcular a derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, -1) c) Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1) RESPOSTAS 1 – Calculando o vetor Gradiente do fluxo no ponto (2, -1); Função velocidade é dada por 𝑉 V= x ²y ³ - 4y. Vetor gradiente de V (x, y) é obtido derivando parcialmente em relação a x e y; grad V (x, y) = (𝛛𝑉/ 𝛛X, 𝛛𝑉/𝛛Y) Cálculo das derivadas parciais: 𝜕𝑉/ 𝜕x = 𝜕/ 𝜕𝑥 (𝑥²𝑦³ − 4 𝑦) = 2𝑥𝑦³ 𝛛𝑉 /𝛛𝑦 = 𝛛/ 𝛛𝑦 (𝑥² ↓ −4𝑦) = 3 𝑥²𝑦² − 4 Substitui-se os pontos (2, -1): 𝛛𝑉/𝛛𝑥 | (2, − 1) =2(2) (−1) ³ = 2(2) (-1) = - 4 𝛛𝑉/𝛛𝑦 | (2, − 1) =3(2²) (-1) ² - 4 = 3(4)(1) - 4 = 12 - 4 = 8 RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS ENSINO DIGITAL RELATÓRIO DATA: 09/02/2025 O vetor gradiente em (2,-1) é: grad V (2,-1) = (-4,8) 2º – Cálculo da derivada direciona l em relação ao vetor; t=2l+5j no ponto (2, -1) Derivada direcional de V na direção do vetor t = 2𝚤 + 5𝚥 é dada pelo: 𝐷t V = grad V. t No qual t é o vetor t→ normalizado. Calculamos t: t = t/ |t| = (2,5) / √2²+5² = (2,5) / √4+25 = (2,5) √29 Calculamos o produto escalar: 𝐷t V = (-4, 8). 2/√29, 5/√29) = 1/ √29 [(−4) (2) + (8) (5)] 𝐷t V = 1 /√29 (-8 + 40) = 32 /√29 Resposta=32 /√29 3° Cálculo da máxima velocidade do ponto; A maior velocidade é alcançada na direção do gradiente. O valor máximo da deriva da direcional é determinado por: Máxima velocidade = | grad V (2, -1) | Calculando a magnitude do vetor gradiente: grad V (2, -1) | = √ (−4) 2 + 8² = √16 + 6 4 = √80 = 4 √5 Sendo assim, a máxima velocidade no ponto (2,-1) é 4√5 RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS ENSINO DIGITAL RELATÓRIO DATA: 09/02/2025 Para entender e otimizar fluxo de um fluido em uma tubulação que corre ao longo do solo em diferentes alturas podemos utilizar conceitos do cálculo vetorial como gradiente e derivadas direcionais para maximizar a eficiência deste fluxo. Entender o comportamento da velocidade das partículas em movimento direciona para compreender o comportamento do fluido ao longo do caminho; considerando a função velocidade do fluido V = x²y³ - 4y, é possível analisar as características importantes deste fluido no ponto específico (2, -1);O vetor gradiente é um dos conceitos mais importantes no cálculo diferencial e integral com aplicação fundamental em processos de maximização, mas também pode ser utilizado em diversas áreas como engenharia civil e ambiental. Dessa forma, o vetor gradiente no ponto (2,-1) é essencial para identificar a direção na qual a taxa de variação da velocidade é máxima; O gradiente é obtido diferenciando a função em relação às suas variáveis x e y; como vemos o vetor gradiente no ponto (2, -1) é igual a V =-4i +8j.Este vetor indica a direção do aumento mais rápido na velocidade no campo de fluxo. O gradiente (−4, 8) mostra que a velocidade do fluido aumenta mais rapidamente na direção positiva de y e diminui na direção de x. Esta informação é crucial para entender onde o fluido flui mais eficientemente. A direção do gradiente pode ser usada para ajustar a orientação da tubulação e melhorar o seu desempenho. Então, a derivada da direção da função velocidade em relação ao vetor t = 2i =5 j, n o ponto (2, -1), é calculada com o produto escalar do vetor gradiente com o normalizado vetor t; Isso significa, que a taxa de variação da velocidade na direção do vetor t no ponto (2,- 1) é 32/√29.Finalmente, para determinar a velocidade máxima no ponto (2, -1), devemos considerar que o máximo da velocidade estará no ponto (2,-1), direção do vetor gradiente, pois este indica a direção do aumento máximo da função; Embora a direção e a taxa de mudança do fluxo possam ser bem determinadas, a velocidade efetiva do fluido neste ponto é zero. Esta dicotomia destaca a importância de uma análise abrangente para trazer mais próximos da condição real de fluxo, levando em consideração não apenas a direção do fluxo, mas também as condições locais, que podem ocasionar variações RELATÓRIO DE AULAS PRÁTICAS ENSINO DIGITAL RELATÓRIO DATA: 09/02/2025 que e influenciar significativamente o comportamento do fluido em um sistema dinâmico como este. REFERENCIAS: Livro: Ebook_Cálculo Vetorial e Edo_SER (Versão Digital) Daniel de Freitas Barros Neto; Joao Pedro Marins Braga. Organizadora: Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lobo. VALLE, M. E. Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
