Eym3_e

Vista previa del material en texto

Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 1
Página 1
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-1
Sistemas de Conductores.
• Los sistemas de conductores representan la práctica mayoría de los 
problemas que se pueden encontrar en los sistemas de 
telecomunicación.
• Se caracterizan por:
– Un número de N de conductores cuya carga o potencial es conocido.
– La ausencia de cargas fuera de los conductores.
– La posible existencia de varios tipos de dieléctricos.
• El objetivo habitual es el cálculo de la carga de los conductores 
(cuando se conoce su potencial) o de su potencial (cuando se 
conoce su carga).
– Salvo en casos especiales (Influencia total), las condiciones de contorno 
aplicadas sobre un conductor afectan al resto. 
i=1 i=2 i=N
V1
Q2 VN
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-2
V1=Φ V0=Φ V0=Φ
1ϕ=Φ
1S 2S 3S
V1=ΦV0=Φ V0=Φ
2ϕ=Φ
1S 2S 3S
V1=ΦV0=ΦV0=Φ
3ϕ=Φ
1S 2S 3S
1V=Φ 2V=Φ 3V=Φ
1S 2S 3S
332211 ϕϕϕ VVV ++=Φ
Coeficientes de Capacidad - Introducción
• Los sistemas de conductores se 
pueden resolver aplicando 
superposición:
– Si hay 3 conductores se plantean 3 
problemas diferentes. 
» 1: Conductor 1 a 1V, resto a 
0V:Solución ϕ1
» 2: Conductor 2 a 1V, resto a 
0V:Solución ϕ2
» 3: Conductor 3 a 1V, resto a 
0V:Solución ϕ3
– Ahora se puede resolver cualquier 
problema aplicando superposición:
332211
3
2
1
3
2
1
ϕϕϕ VVV
V
V
V
S
S
S
++=Φ⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=Φ
=Φ
=Φ
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 2
Página 2
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-3
V1=Φ V0=Φ V0=Φ
1ϕ=Φ
1S 2S 3S
V1=ΦV0=Φ V0=Φ
2ϕ=Φ
1S 2S 3S
V1=ΦV0=ΦV0=Φ
3ϕ=Φ
1S 2S 3S
Coeficientes de Capacidad - Introducción (2)
• Conociendo el potencial en todo el 
espacio se puede obtener la carga 
de los conductores:
– Esta carga también se puede 
obtener por superposición.
– Los coeficientes C son los 
coeficientes de capacidad:
∫∫∫∫ ∂
Φ∂
−=⋅=
ii SS
i dSn
SdDq ε
rr
1V=Φ 2V=Φ 3V=Φ
1S 2S 3S
332211 ϕϕϕ VVV ++=Φ
1q 2q 3q
33,22,11,
3
1
VCVCVC
dS
n
Vq
iii
j S
j
ji
i
++=
=
∂
ϕ∂
ε−=∑ ∫∫
= 3,1C 3,2C 3,3C
2,1C 2,2C 2,3C
1,1C 1,2C 1,3C
jiC ji problema elen conductor del carga, =
3332321313
3232221212
3132121111
VCVCVCq
VCVCVCq
VCVCVCq
++=
++=
++=
×1V
×2V
×3V
=Φ
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-4
• Si hay N conductores se pueden plantear N problemas diferentes:
– En cada uno, el potencial de todos los conductores es nulo excepto en 
uno de ellos, que será la unidad:
– La solución obtenida cumple la ecuación de Laplace:
– El potencial de cada conductor es:
– Y si el infinito está incluido en la región de estudio: 
0=∆ kϕ
⎩
⎨
⎧
=
≠
==
jksi
jksi
kj
jS
k 1
0
δϕ∑
=
=Φ
N
k
kkV
1
ϕ
0
11
=∆=∆=∆Φ ∑∑
==
N
k
kk
N
k
kk VV ϕϕ
cterlimVrlim
S
N
k
krkSr
==Φ
∞∞
∑
= ∞→∞→ 1
ϕrr rr
i
N
k
kik
S
N
k
kkS
VVV
i
i
===Φ ∑∑
== 11
δϕ
Coeficientes de Capacidad
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 3
Página 3
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-5
– Se puede obtener la carga de cada conductor:
– Donde se han definido los coeficientes de capacidad como:
• Resulta evidente que:
En teoría se puede resolver cualquier combinación Carga-Potencial 
de cada conductor.
∑∑ ∫∫∫∫ ∑∫∫∫∫
===
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=−=
Φ
−==
N
k
ikk
N
k
S
k
kS
N
k
k
kS
Si
S Sii
CVdS
n
VdS
n
VdS
n
dSq
iiii 111 ∂
∂ϕ
ε
∂
∂ϕ
ε
∂
∂ερ
∫∫−=
iS
k
ik dSn
C
∂
∂ϕ
ε
NNNiNiNN
NiNiiiii
NNii
VCVCVCq
VCVCVCq
VCVCVCq
LL
M
LL
M
LL
++=
++=
++=
11
11
111111
VCq =
Los coeficientes de capacidad 
son función de la geometría 
de los conductores y de los 
dieléctricos intermedios.
Los coeficientes de capacidad 
son función de la geometría 
de los conductores y de los 
dieléctricos intermedios.
Coeficientes de Capacidad (2)
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-6
Teorema de Reciprocidad.
Enunciado
• Considere dos situaciones, A y B: 
Sobre un mismo sistema de 
conductores se aplican condiciones 
de contorno diferentes:
• Situación A:
– Potencial:
– Potencial de los cond.:
– Carga de los cond.:
• Situación B:
– Potencial:
– Potencial de los cond.:
– Carga de los cond.:
• Se cumple:
• En la figura:
Situación A
1AV 2AV 3AV
1S 2S 3S
332211 ϕϕϕ AAAA VVV ++=Φ
1Aq 2Aq 3Aq
Situación B
1BV 2BV 3BV
1S 2S 3S
332211 ϕϕϕ BBBB VVV ++=Φ
1Bq 2Bq 3Bq
L++=Φ 2211 ϕϕ AAA VV
L,, 21 AA VV
L,, 21 AA qq
L++=Φ 2211 ϕϕ BBB VV
L,, 21 BB VV
L,, 21 BB qq
332211332211 ABABABBABABA qVqVqVqVqVqV ++=++
∑∑
==
=
N
k
AkBk
N
k
BkAk qVqV
11
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 4
Página 4
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-7
Teorema de Reciprocidad:
Demostración
• Dado un mismo sistema de conductores y dos
juegos de condiciones de contorno completas,
es decir, dos situaciones de equilibrio diferentes:
• Consecuencias:
– Los coeficientes de capacidad son simétricos: 
∑∑
==
=
N
k
kk
N
k
kk qVqV
1
12
1
21
( )
}
∑
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∑∫∫∑ ∫∫∑
=
++
===
==
=Φ∇⋅Φ∇=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ∇⋅Φ∇+∆ΦΦ=
=Φ∇Φ⋅∇=⋅Φ∇Φ=⋅Φ∇Φ−=
⋅Φ∇Φ−=⋅Φ∇Φ−=⋅Φ∇−=
∞∞
N
k
kk
VV
V
SSSS
S
N
k
S
N
k
Sk
N
k
kk
qV
dVdV
dVSdSd
SdSdSdVqV
condcond
condkk
1
12
2121
0
21
212121
21
1
21
1
21
1
21
L
sr
rrr
εε
εεε
εεε
jiij CC =
Regularidad
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-8
Teorema de Reciprocidad.
Aplicación.
• Aplicando el teorema:
AjBjBiAi qVqV = jiij CC =⇒=⇒=⇒
Ai
Aiji
Bj
Bjij
Ai
Aj
Bj
Bi
V
VC
V
VC
V
q
V
q
Excepto el conductor “i”, todos los 
conductores están a 0V.
Situación A
AiV
1S iS nS
1Aq Aiq Anq
··· ···
Situación B
BjV
1S jS nS
1Bq Bjq Bnq
··· ···
Excepto el conductor “j”, todos los 
conductores están a 0V.
∑∑
==
=
N
k
kk
N
k
kk qVqV
1
12
1
21
Los coeficientes de capacidad son simétricos.Los coeficientes de capacidad son simétricos.
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 5
Página 5
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-9
• Los coeficientes de autocapacidad
son positivos
• Los coeficientes de capacidad mutua 
son negativos:
• Situación:
– Todos los conductores a 0V, excepto el i, que está a potencial positivo. 
– El máximo valor del potencial es el del conductor i.
– El campo irá desde el conductor i al resto y al infinito.
– El campo es saliente del conductor i: 
» Su carga es positiva y 
el coeficiente de capacidad también:
– El campo es entrante en el resto de conductores:
» Su carga es negativa y también 
los coeficientes de capacidad :
ResumenResumen
Coeficientes de capacidad: Propiedades 
0≥=
i
i
ii V
Q
C
ji
V
Q
C
i
j
ji ≠≤= 0
0>AiV
1S
iS
nS
01 <Aq
0>Aiq 0<Anq
··· ···
jiij
ij
ii
CC
C
C
=
≤
≥
0
0
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-10
• Es evidente que: 
• Ejemplo 1: Conductor hueco.
– El potencial en el hueco será constante e igual al del conductor.
– Campo nulo en el hueco: (densidad de) carga nula en la superficie del 
conductor.
• Ejemplo 2: Esfera conductora.
– Simetría esférica:
Regularidad en el infinito:
– Potencial:
– Carga:
– Capacidad: 
V
Φ =V
ε σ
Sistemas de un único conductor
1111 VCQ =
B
r
A
r
r
rr
+=Φ⇒
Φ
=∆Φ=⇒=
Φ
=
Φ
∂
∂
∂
∂
∂ϕ
∂
∂θ
∂ 2
2
100
r
r
AE
r
AB
r
ˆ00 2=Φ−∇==Φ⇒=⇒=Φ ∞=
r
O
a
ε
σa
AV
ar
=Φ=
=
Aa
a
AdSrr
a
ASdEQ
SS
πεπεεε 44ˆˆ 222 ==⋅=⋅= ∫∫∫∫
rr
a
V
QC πε4==
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 6
Página 6
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-11
Influencia Total
• Se dice que dos conductores están en influencia total cuando todas 
las líneas de campo de uno de ellos van a dar al otro:
– Normalmente implica que un conductor envuelve al otro.
– Bajo estas condiciones el potencial en la región entre conductores no se 
ve influenciado por los que ocurra en el exterior:
» Es un sistema independiente.
– Los coeficientes de capacidad entre el conductor interior y otros 
conductores son nulos:
V2
q1
1V1
q2
2
VCVCVCVq
VCVCVCVq
VCVCVCVCq
VVVCVCq
NNNN
NN
NN
N
3321
3333213
22222212
12111
0
0
00
++++=
++++=
++++=
++++=L
MMMMMM
L
L
L
El conductor 2 apantalla al conductor 1 de lo que ocurre en el exterior
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-12
Condensadores
• Dos conductores en influencia total forman un condensador.
– Aplicando Gauss a una superficie contenida en el interior del conductor 2 
y que encierre al conductor 1 resulta evidente que:
– Si
– Si
– Definiendo la capacidad como: 
V2
q1V1
q2
12210 qqqqSdDS −=⇒+=⋅= ∫∫
rr
12221122
2121111
qVCVCq
VCVCq
−=+=
+=
1112
1121
1111
2 0 CCVCq
VCq
V −=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−
=
⇒=
2212
2221
2121
1 0 CCVCq
VCq
V −=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−
=
⇒=
21122211 CCCCC −=−===
( )
( ) 12
2
21
1
122
211
VV
q
VV
qC
VVCq
VVCq
−
=
−
=⇒
⎭
⎬
⎫
−=
−=
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 7
Página 7
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-13
Condensadores (2)
• La capacidad de un condensador es siempre positiva e 
independiente de la carga de los conductores y de su diferencia de 
potencial.
• Los conductores que forman el condensador reciben el nombre de 
armaduras.
• En los condensadores reales siempre habrá líneas de campo que no
vayan de un conductor a otro.
V2
q1
1V1
q2
2
1 2
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-14
Condensador Esférico
• Está formado por dos conductores esféricos concéntricos.
• Por la simetría de la estructura: 
• Diferencia de potenciales:
• Carga del conductor interior:
• La capacidad:
a b
ε
σ
σ
( ) ( )rfr =Φ r
r
r
Ar
r
EB
r
A
r
r
rr
ˆˆ;01 2
2
2 =
Φ
−=Φ−∇=+=Φ⇒=
Φ
=∆Φ
∂
∂
∂
∂
∂
∂ r
ab
abAB
b
AB
a
AVV ba
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=−
AddAdSrEdSq
aa SS
aa πεθϕθεεσ
π
θ
π
φ
4senˆ
0
2
0
==⋅== ∫ ∫∫∫∫∫ = =
r
ab
ab
VV
q
C
ba
a
−
=
−
= πε4
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 8
Página 8
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-15
Condensador Cilíndrico
• Está formado por dos conductores cilíndricos coaxiales.
• Suponiendo que: 
• Diferencia de potenciales:
• Carga del conductor interior:
• La capacidad:
( ) ( )ρfr =Φ r
ρ
ρ
ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂
ρ
ˆˆ;ln01 AEBA −=Φ−=Φ−∇=+=Φ⇒=Φ=∆Φ
r
( ) ( )
a
bABbABaAVV ba lnlnln −=+−+=−
ALdzad
a
AdSEdSq
Lz
zzSS aa aa
πε−=ϕ
−
ε=ρ⋅ε=σ= ∫ ∫∫∫∫∫
+
=
π
=ϕ
2ˆ 0
0
2
0
r
ab
L
VV
q
C
ba
a
ln
2πε=
−
=
σ
a b
σ
ε
L
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-16
Condensador Plano
• Está formado por dos placas planas enfrentadas.
• Suponiendo que: 
• Diferencia de potenciales:
• Carga del conductor izquierdo:
• La capacidad:
( ) ( )xfr =Φ r
xAx
x
EBAx
x
ˆˆ;02
2
−=
Φ
−=Φ−∇=+=Φ⇒=
Φ
=∆Φ
∂
∂
∂
∂ r
( ) ( ) AdBAdBAVV ba −=+−+⋅=− 0
d
S
VV
q
C
ba
a ε=
−
=
ASdSAdSxEdSq
aaa SSS
aa εεεσ −=−=⋅== ∫∫∫∫∫∫ ˆ
r
X
Va Vb
S
S
x = 0
x d=
Electricidad y Magnetismo Curso 2005/2006
Sistemas de Conductores - Condensadores 9
Página 9
J.L. Fernández Jambrina EyM 3e-17
Efecto de borde
• En los ejemplos anteriores se ha supuesto que el campo era 
ortogonal a las superficies conductoras.
• Esto no es cierto en la realidad: En las proximidades de los bordes 
de los conductores las líneas de campo tienden a dispersarse según 
lo que se conoce como efecto de borde.
– Este efecto está siempre presente, pero su influencia sobre la capacidad 
real del condensador es más notorio cuando mayor sea la separación de 
las armaduras en relación a sus dimensiones.
– Los posibles dieléctricos tienden a minimizar este efecto.
εε 0