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Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-105/12/2005 Campo Electrostático (Segunda Parte) Método de las Imágenes Algunos problemas electrostáticos tienen condiciones de contorno que parecen difíciles de satisfacer por la ecuación de Poisson. Sin embargo como veremos en este tipo de problemas las condiciones de contorno pueden establecerse colocando cargas imagen (equivalentes). El método de reemplazar las condiciones de contorno mediante cargas imagen se denomina método de las imágenes. El ejemplo ilustrativo mas simple es el de una carga puntual q situada a una distancia d sobre un plano conductor a potencial cero, como se indica en la figura. Se sabe: q d φ = 0 σ z Salvo en la carga el potencial satisface: 02 2 2 2 2 2 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++=∆ zyx ∂ φ∂ ∂ φ∂ ∂ φ∂φ En la superficie del conductor: ( ) 00,, ==zyxφ En las proximidades de la carga el potencial varia como: φ πε → q R4 En puntos muy alejados: φ → →∞ →±∞ z x y, 0 Parece difícil encontrar una solución que satisfaga todas las condiciones. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-205/12/2005 Método de las Imágenes Para resolver el problema anterior por el método de las imágenes se sustituye el plano conductor por una carga de valor -q en z=-d como se indica en la figura. q d φ = 0 z d -q El potencial en cualquier punto del espacio es: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= −+ rr q 11 4πε φ Por tanto el problema imagen, en el semiespacio z>0, es tal que ( ) ε δφ zdrq ˆ− −=∆ r El potencial obtenido satisface la misma ecuación de Poisson y las mismas c-c (en z=0 y en la superficie del infinito) de tipo Dirichlet, y por unicidad es la solución del problema. q d φ = 0 σ z ε Es cero en z=0 y también se anula en el infinito. Carga puntual frente a un plano La carga q induce cargas de signo opuesto en la superficie del conductor. q d φ = 0 z d -q σ ε E+E- E ρ ( )( ) ( ) 23224 ˆ 2ˆ ρπε ρ + −=−= d zqdzEE r Por tanto la densidad superficial de carga inducida será: ( ) 23222 ˆˆ ρπ ερ + −=⋅=⋅= d qdzEzDs rr La carga total inducida en el plano será: ( ) q d ddqddSQ S si −= + − == ∫ ∫∫∫ ∞ = =0 2 0 22 232 ρ π φ ρ φρρ π ρ que es el valor de la carga imagen. El mismo resultado se obtiene aplicando el teorema de Gauss a la superficie indicada en la figura. q z ρsφ = 0 S∞ El campo en la superficie del conductor será: Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-305/12/2005 Distribución de cargas frente a un plano Considerando la carga de cada elemento diferencial de volumen como una carga puntual equivalente se puede fácilmente construir el sistema imagen como se indica en la figura de la derecha. dq dv= ρ d dq dv= ρ d d − = −dq dvρ Carga puntual frente a dos planos perpendiculares El problema imagen se muestra a la derecha. d2 d1 q d2 d2 -qq d1d1 -q Obsérvese como para conseguir que los dos planos tengan simultáneamente potencial cero es necesario situar una tercera carga imagen en el tercer cuadrante. Sea una carga puntual frente a dos planos metálicos perpendiculares a potencial cero como se indica en la figura. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-405/12/2005 Carga puntual frente a dos planos inclinados El problema imagen se muestra a la derecha. q d2 d2 -q Obsérvese como para conseguir que los dos planos tengan simultáneamente potencial cero es necesario situar varias cargas. El problema solo tiene solución si 2π/α = n (entero) Sea una carga puntual frente a dos planos metálicos inclinados, formando un ángulo diedro α, a potencial cero como se indica en la figura. d2 d1 α q d1 d1 -q -q qd2 d2 d1 d1 d2 d2 q d1d1 Carga puntual frente a dos planos paralelos Sea una carga puntual frente a dos planos metálicos paralelos a potencial cero como se indica en la figura. Obsérvese como para conseguir que los dos planos tengan simultáneamente potencial cero es necesario situar un sistema indefinido de cargas imagen a ambos lados de los planos. d1 d2 q d1 d2 q -q d2 -q d1 d1 d1 q d2d2 q El problema imagen se muestra a la derecha. Conforme vamos considerando imágenes más alejadas, su contribución al potencial en la zona de estudio va siendo más pequeña. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-505/12/2005 Línea de carga frente a un plano d λ λ d Sea una línea de carga de densidad constante λ frente a un plano a potencial cero. λdd−λ P r+r− El potencial en un punto genérico P será: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − r rln 2πε λφ En los puntos del plano: r r+ −= φ = 0 Tal como se indica en la figura puede construirse un problema imagen situando una línea imagen de densidad -λ a una distancia d al otro lado del plano. Ejercicio Obtener las superficies equipotenciales de dos líneas de carga paralelas de densidades λ y – λ separadas 2d. λ x d−λ P r+r− y K r rcte r r =⇒=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − + −ln 2πε λφ ( ) ( ) 2222 , ydxrydxr +−=++= +− ( ) ( )( )22222 ydxKydx +−=++ ( ) ( ) 0222222 =−+−+− ydxyKdxK ( ) 0122 222222222 =−+−−−−+ KyxddxxdKdKxK ( ) ( ) ( ) ( ) 011121 2222222 =−+−++−− KdKyKxdKx ( ) ( ) 01 12 222 2 2 =++ − + − dy K Kxdx ( )( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 12 d K Kdy K Kd K Kxdx −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − + − ( ) ( ) 222 022 2 22 2 2 2 , 1 4 1 1 Ryxx K Kdy K Kdx =+− − =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − 1 1 2 2 0 − + = K Kdx 1 2 2 − = K KdR Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-605/12/2005 Ejercicio Las superficies equipotenciales son pues cilindros de eje z. centro en (x0 , 0) y radio R. 1 1 2 2 0 − + = K Kdx 1 2 2 − = K KdR ( ) cteK == ln 2πε λφ Para potenciales mayores que cero, K debe ser mayor que 1 y x0 > 0. Las superficies equipotenciales están en el semiespacio x > 0. Para K=1 resultan x0 = ∞, R= ∞ y el potencial es cero. Se trata del plano bisector entre las líneas. Para K<1 los potenciales son menores que cero y x0 < 0. Las superficies equipotenciales están en el semiespacio x < 0. Para K= ∞ resultan x0 = d, R= 0 y el potencial es infinito. Estamos sobre la línea positiva. Línea de carga frente a un cilindro metálico paralelo O a d λ Teniendo en cuenta que las superficies equipotenciales de dos líneas de carga son cilindros puede construirse el problema imagen como se indica en la figura. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − r rln 2πε λφ d a di = 2 En el problema imagen el potencial en la superficie del cilindro es constante como se puede verificar fácilmente en los puntos A y B O a d λ−λ di r+r− B A P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = d a ad ad d a ad daa ad da i A ln2 ln 2 ln 2 ln 2 2 πε λ πε λ πε λ πε λφ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = d a ad ad d a ad daa ad da i B ln2 ln 2 ln 2 ln 2 2 πε λ πε λ πε λ πε λφ Sea una línea de carga de densidad λ frente a un cilindro conductor de radio a y a distancia d de su centro como indica la figura. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-705/12/2005 Línea de carga frente a un cilindro metálico paralelo O a d λ ( )ρ πε λ πε λφ ln 2 ln 2 ′ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + − r r d a di = 2 En el problema imagen el potencial en la superficie del cilindro es ahora cero si O a d λ−λ di r+r− B A P ( ) ( )( )a daa d a A ln ln0ln 2 ln 2 λλ πε λ πε λφ =′⇒= ′ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= Para hacer que el potencial sea cero en la superficie del cilindro se requiere una densidad de carga imagen λ´ adicional en el eje del cilindro como indica la figura. λ´ Carga puntual frente a una esfera metálica O a d q q a d qi = −d a di = 2 Puede verse fácilmente como el potencial en los puntos A y B de la esfera son nulos, por ejemplo: O a d q qi di AB ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 04444 2 =−−−=− − + − = d aad d aq ad q d aa qd a ad q A πεπεπεπε φ Si se tieneuna carga puntual frente a una esfera metálica a potencial cero como en la figura, puede construirse un sistema imagen como el indicado, consistente en una carga imagen alineada con la carga y el centro de la esfera. Los valores de la carga imagen y de su distancia al centro de la esfera deben ser los dados en la figura. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-805/12/2005 Carga puntual frente a una esfera metálica El potencial creado por la carga y la carga imagen viene dado por q d aqi −= d ad d a a d i i 2 =⇒= igualando numeradores y denominadores. Elevando al cuadrado la 2ª Para puntos de la esfera: ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = zdr q zdr qr i i ˆˆ4 1 rr r πε φ rar ˆ=r 0 ˆˆˆˆ4 1 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = zdra q zdra q i i esf πε φ zdra q zdra q i i ˆˆˆˆ − −= − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=− −= ⇒ − − = − zr d az a dr dqaq zr d a dq z a dr aq i ii i ii ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ ( ) ( )zr d a d azr a d a dzr d az a dr iii ˆˆ21ˆˆ21ˆˆˆˆ 2222 ⋅−+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⋅−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+⇒−=− O a d q qi di AB z ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − −+ − = −= 2 3 2 3 cos2 cos cos2 cos 4 ,, 222 2 2 22 θ θ θ θ πε ∂ θ∂φθ d ar d ard d ara rddr drq r rrEr Ejercicio: carga sobre la esfera O a d q qi di P rq ri r θ El potencial en un punto arbitrario P creado por la carga q y su imagen es: ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − += iq r d a r qr 1 4 , πε θφ ( )θερ ,arErs == ( ) 2 1 2 1 cos2 cos2 222 2 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += −+= θ θ d ar d arr rddrr i q La densidad superficial de carga se obtiene como Siendo: Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-905/12/2005 Ejercicio: carga sobre la esfera Después de algunas simplificaciones se obtiene: ( ) ( ) 23cos24 22 22 θπ ρ addaa adq s −+ − −= La carga total inducida sobre la esfera será: ( ) ( ) q d a adda dda a adqdSq S si −= −+ − −== ∫ ∫∫∫ = = π φ π θ θ φθθ π ρ 2 0 0 22 222 2 3 cos2 sin 4 que es igual al valor de la carga imagen. Ejercicio: carga sobre la esfera O a d q qi di P rq ri r θ El campo en un punto arbitrario P creado por la carga q y su imagen es: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − = 33 ˆ )ˆ( ˆ )ˆ( 4 1 zdr zdrq zdr zdrqrE i ii r r r r rr πε Para puntos de la esfera: rar ˆ=r ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − == 33 ˆˆ )ˆˆ( ˆˆ )ˆˆ( 4 1ˆ zdra zdraq zdra zdraqrarE i ii πε rr Las componentes según z se anulan 01 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 2 2 333 3 3 3 3 33 =−=+⇒ ⇒ − + − = − + − i i ii ii i i ii i ii da qd d a a q d dq a qd zr d ad zdq z a dra zqd zdra zdq zdra zqd ( ) 23 2 3 3 3 3 ˆ ˆˆ 1 4 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 4 1ˆ a r z a dr a d q zr d ad raq z a dra rqararE i i i − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− −= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − == πεπε rr Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1005/12/2005 Ejercicios Obtenga el problema imagen del problema de la figura σ 0=φ a q d 0=φ a d q qi di -qi -q Obtenga el problema imagen del problema de la figura σ 0=φ a qd 0=φ a qd qi di -qidi d -q Teorema de la Media Este teorema establece que en una región sin cargas el valor medio del potencial en una superficie esférica es igual al potencial en su centro. Sea una superficie esférica de radio R. ( ) ( ) ( ) ( )RfddR ddRR R dSr R S == === ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ = = = = π θ π ϕ π θ π ϕ ϕθθϕθφ π ϕθθϕθφ π ϕθφ π φ 0 2 0 0 2 0 2 22 sin,, 4 1 sin,, 4 1,, 4 1 Aparentemente el valor medio del potencial es solo función del radio R de la esfera, pero puede verse que en realidad tampoco depende de R: ( ) ( ) ( ) Sd R dS RR ddR R R R dd R RddR dR d dR d SS r ∫∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ⋅∇=== =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= = = = == = φ π∂ ∂φ π ϕθθ ∂ ϕθ∂φ π ϕθθ ∂ ϕθ∂φ π ϕθθϕθφ π φ π θ π ϕ π θ π ϕ π θ π ϕ 220 2 0 2 2 0 2 00 2 0 4 1 4 1sin,, 4 1 sin,, 4 1sin,, 4 1 El valor medio del potencial será: Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1105/12/2005 Teorema de la Media RdSSd ˆ= r dS R Sd ∂ ∂φφ =⋅∇ r El valor medio será el mismo para cualquier radio y por tanto también para R=0, o sea en el centro de la esfera. 01 =⋅−=⋅−=⋅∇ ∫∫∫∫∫∫ SdDSdESd SSS rrrrr ε φ ( )Rf dR d ≠⇒= φ φ 0 La ultima igualdad puede verificarse observando que luego Pero, ya que no hay cargas : Por tanto: Consecuencias del T.M. 1) El potencial no puede presentar máximos ni mínimos fuera de las cargas. En efecto si existiese un máximo en un punto P en el que no hay cargas y se rodea al punto con una esfera de radio pequeño, el valor del potencial en P debe ser el promedio de los valores sobre la esfera. Como hay un máximo en P los potenciales en la esfera son menores que en P y su promedio no puede ser el valor en P, con lo que no se verificaría el teorema de la media y la hipótesis de un máximo en P no es cierta. 2) El potencial en el interior de cualquier superficie equipotencial cerrada que no contenga cargas es constante. En efecto como no hay cargas no puede haber máximos ni mínimos del potencial en dicha región y además el potencial debe ser continuo. Por tanto el potencial en todo el interior debe ser constante y de valor igual al del contorno. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1205/12/2005 Para obtener el potencial usamos imágenes. Además de qi, que pone con q la esfera a potencial cero, se necesita una q´=-qi en el centro para mantener a cero la carga. Por tanto el potencial será Ejercicio Una carga puntual se sitúa frente a un conductor esférico hueco descargado en tres posiciones como se indica en la figura (en la 3 toca al conductor). Obtener la carga total y el potencial en las superficies exterior e interior del conductor. 1) Aplicando Gauss a una superficie esférica en el interior del conductor (E=0) resultará el flujo de D cero y la carga encerrada cero. Por tanto QSi=0. Pero además ΦlSi = cte y como no hay cargas en a todo el potencial es cte en a, no hay campo y por tanto ρsi = 0 Como la carga neta es cero la carga total en la superficie exterior será cero. Pero se induce una ρse. Debe ser tal que 0=∫∫ Se sedSρ e e e i r d rq r q πεπε φ 44 = − = Se Si 1 b c q 2 3 a 2) Aplicando Gauss a una superficie esférica en el interior del conductor (E=0) resultará el flujo de D cero y la carga encerrada cero. Por tanto QSi=-q. Como no hay carga neta debe aparecer una ρse tal que Ejercicio 0=+− ∫∫ Se sedSq ρ Se Si 1 b c q 2 3 a El potencial en el conductor será ahora 24 e se r q π ρ =La carga en la superficie exterior se distribuye uniformemente por lo que er q πε φ 4 = 3) Al tocar la carga al conductor se irá inmediatamente a la superficie. Toda la carga q se distribuye sobre la superficie exterior. Si es una esfera de radio r la ρse será q/4πre2. Resultará qdS Se se =∫∫ ρ La carga neta del conductor será ahora q. Pero además ΦlSi = cte y como no hay cargas en a todo el potencial es cte en a, no hay campo y por tanto ρsi = 0. El potencial en el conductor será er q πε φ 4 = Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1305/12/2005 Ejercicio: Carga puntual frente a una esfera metálica Obtenga el potencial a lo largo del eje z creado por la carga q=4πε frente a la esfera metálica de radio a=1 a potencial cero, si está a una distancia d=2 de su centro. q d aqi −= d adi 2 = El potencial se hace cero en z= ±1 e ∞ en z=2 y -∞ en z=1/2. Puede obtenerse la siguiente tabla de valores El problema imagen es el de la figura. ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − = 21 21 2 1 zz zφ O a d q qi di AB z El potencial sobre el eje z del problema imagen es -∞ 1/2 ∞ 2 0 1 01/2000Φ -∞-2-1∞z Ejercicio: Carga puntual frente a una esfera metálica Por tanto la variacióndel potencial sería cómo la de la gráfica. ¿Cómo se explica el aparente incumplimiento del teorema de la media? 0 1 2-1-2 ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ − −+ = 22222 1 4 , dazx da dzx qzx πε φ En el plano zx el potencial es: Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1405/12/2005 Ejercicio: Carga puntual frente a una esfera metálica Por tanto la variación del potencial en xz sería cómo la de las gráficas. Sistemas de Conductores Cuando se tiene un sistema de N conductores la situación electrostática puede establecerse: -bien conectando los conductores a baterías y estableciendo sus potenciales, en cuyo caso el problema será determinar las cargas que éstos toman, - o bien depositando cargas qi en los conductores, en cuyo caso el problema será determinar los potenciales Vi que toman. En ambas situaciones las cargas (o los potenciales) dependerán de la situación relativa entre los conductores. Un sistema electrostático frecuente es el formado por un dieléctrico homogéneo y un conjunto de conductores (electrodos). El campo electrostático en los conductores es nulo y por tanto el potencial de los mismos es constante. Las cargas que puedan tener los conductores se han de distribuir como densidades superficiales sobre los mismos. Si se mueve uno de ellos las cargas (potenciales) de todos cambian. Por tanto los conductores del sistema se influyen mutuamente. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1505/12/2005 Sistemas de Conductores La primera situación, conductores conectados a baterías con potenciales constantes, puede plantearse como un problema de Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet, y por tanto con solución única. V1 Vi VN V∞ = 01 i N S∞ En la región encerrada por la superficie multiplemente conexa S=(S1+ ... + SN + S∞) el potencial será: 0=∆φ 0,,,1 1 === ∞SNSS VV N φφφ L Unicidad a carga constante La segunda situación, conductores con carga constante, no se corresponde ni con c-c de Dirichlet ni de Neumann. El problema del cálculo del potencial puede plantearse ahora como sigue: q1 Si qN V∞ = 01 i N S∞ S1 SN qi 0=∆φ 0, =−== ∞∫∫∫∫ SS Si S Sii ii dS n dSq φ ∂ ∂φερ Para comprobar que con las anteriores condiciones se verifica la unicidad, puede verse que, dadas dos soluciones φ1 y φ2, la diferencia ψ cumple: ( ) dVdS n dS n dS n V N i SSS i ∫∫∫∑∫∫∫∫∫∫ ∇==+= =∞ 2 1 0 ψ ∂ ∂ψψ ∂ ∂ψψ ∂ ∂ψψ ( ) 0 0 0 21 2 1 =−=⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = ∞∞ ∞ ∞ SS S S φφψ φ φ 02,1 =⇒−= ∫∫∫∫ ii S Si i S Si dS n qdS n ∂ ∂ψ ε∂ ∂φ Por tanto resulta ψ = 0 , φ1 = φ2 y la solución será única. ( ) 021 2 1 =−=⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = ii i i SS iS iS V V φφψ φ φ Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1605/12/2005 Coeficientes de Capacidad Para poder discutir algunas propiedades de los sistemas de conductores suele acudirse a la superposición para expresar el potencial en términos de N funciones regulares en el infinito, tales que: 0=∆ kϕ ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ == jksi jksi kjk 1 0 δϕ∑ = = N k kkV 1 ϕφ 0 11 =∆=∆=∆ ∑∑ == N k kk N k kk VV ϕϕφ i N k kik S N k kkS VVV i i === ∑∑ == 11 δϕφ En efecto: 0 1 == ∞ ∞ ∑ = S N k kkS V ϕφ De esta forma la carga sobre un conductor cualquiera será: ∑∑ ∫∫∫∫ ∑∫∫∫∫ === =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−=−=−== N k ikk N k S k kS N k k kS Si S Sii CVdS n VdS n VdS n dSq iiii 111 ∂ ∂ϕε ∂ ∂ϕε ∂ ∂φερ La carga de cada conductor depende de todos los potenciales del sistema y los coeficientes Cik que intervienen en la relación dependen únicamente de ε y de la geometría. ∫∫−= iS k ik dSn C ∂ ∂ϕεdonde con y Los coeficientes Cik con i=k se denominan de capacidad y los demás se denominan de inducción o influencia (relacionados con las capacidades mutuas). Teorema de Reciprocidad Se dice que un sistema electrostático está en equilibrio una vez que se determinan las cargas y potenciales en los conductores del sistema. Sean dos estados de equilibrio de un sistema, 1 y 2, determinados por las cargas y potenciales: (V1i , Q1i) y (V2i ,Q2i) con i = 1, 2, ... , N. El teorema de reciprocidad establece que: ∑∑ == = N k kk N k kk QVQV 1 12 1 21 Si se cambian las cargas o los potenciales el sistema pasa a otro nuevo estado de equilibrio. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1705/12/2005 Teorema de Reciprocidad En efecto: ( ) } ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∑∫∫∑ ∫∫∑ ∇⋅∇=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇⋅∇+∆= =∇⋅∇=⋅∇=⋅∇−= ⋅∇−=⋅∇−=⋅∇−= ∞∞ ++ === VV V SSSS S N k S N k Sk N k kk dVdV dVSdSd SdSdSdVQV condcond condkk 2121 0 21 212121 21 1 21 1 21 1 21 φφεφφφφε φφεφφεφφε φφεφφεφε sr rrr siendo Scond la superficie de todos los conductores, S1 + ... + SN, y V el volumen exterior a los conductores. De la simetría del resultado obtenido resulta evidente el teorema. jiij CC = También se deduce del teorema con facilidad que: Propiedades En efecto supónganse dos situaciones en las que , en cada una, solo un conductor está a 1 V y los demás están a cero k SNkS 1 N S1 q1 qNkq V1 0> kjk kik VEstado VEstado δ δ = = 2 1 :2 :1 Las cargas en los conductores j e i respectivamente en cada estado serán: ijiNiiijii jijNjijjjj CCCCCq CCCCCq =⋅++⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= =⋅++⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= 0010 0100 12 11 L L Y aplicando el T de Reciprocidad: ∑∑ === k jijkjk k kk CqqVq 1121 δ ijji CC = ∑∑ === k ijikik k kk CqqVq 2112 δ Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1805/12/2005 Otras Propiedades Supóngase una situación del sistema en la que todos los conductores están a potencial cero salvo el 1, cuyo potencial V1 es mayor que cero. i SNSi 1 N S1 NiVi ,,20 L== q1 qNqi V1 0> 0,,,0 21 <> Nqqq L Las cargas para este sistema serán: 000 000 000 3211 223221212 113121111 ⋅++⋅+⋅+= ⋅++⋅+⋅+= ⋅++⋅+⋅+= NNNNNN N N CCCVCq CCCVCq CCCVCq L M L L Y por lo tanto se ve que: 0,,,,0 12111 <> NCCC L Si en lugar del conductor 1 se hubiese razonado sobre el i-ésimo se obtendrían las propiedades: 0,,0 <> ijii CC Las líneas de campo saldrán de dicho conductor (su carga será positiva) e irán hacia la superficie del infinito y hacia las superficies de los demás conductores, que por tanto tendrán carga negativa. Sistema de un Conductor Si se tiene un conductor y se deposita una carga q en él, ésta se distribuye sobre su superficie S como una ρs, tal que: ∫∫= S sdSq ρ La carga que toma el conductor es proporcional al potencial aplicado, y la constante de proporcionalidad se denomina capacidad C del conductor, de manera que: V qC = La capacidad de un conductor depende exclusivamente de su geometría y de la permitividad dieléctrica del medio que le rodea como va a verse con algún ejemplos a continuación. En el caso de un sistema formado por un solo conductor: 11 CVq = Al mismo tiempo éste adquirirá un cierto potencial V. Y a la inversa, si el conductor se pone a un determinado potencial V, conectándole a una batería, tomará una carga q, que se distribuirá superficialmente. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-1905/12/2005 Capacidad de un Conductor Esférico Sea un conductor esférico de radio R en un medio dieléctrico de permitividad ε. 24 R q s π ρ = O R ρsε V El potencial creado por esta densidad superficial de carga, en puntos exteriores a la esfera, es igual que el que crearía una carga puntual q en el origen: ( ) r qr πε φ 4 = Por tanto el potencial de la esfera será el anterior valor particularizado para r = R: ( ) R qrV Rr πε φ 4 == = Y por tanto la capacidad de la esfera metálica es: R V qC πε4== Si la superficie del conductor no es esférica la carga deja de distribuirse uniformemente y se complica el cálculo de la capacidad. que solo depende del radio R y de ε. Sea q la carga total del mismo, que por simetría se distribuirá uniformemente sobre su superficie con una densidad: Influencia Total y Apantallamiento EE Un sistema de conductores importante es el formadocuando dos conductores se encuentran en una situación de influencia total (las líneas de campo que salen de uno de los conductores las recibe el otro que, típicamente, le envuelve) como es el caso con 1 y 2 en la figura. Supóngase la situación en la que q1 = 0 y se pone el conductor 2 a tierra (V2 = 0). Aplicando Gauss a la región entre 1 y 2, dado que q1 = 0, el flujo de D será nulo. Como ello se produce cualquiera que sea la superficie de Gauss que se tome habrá de ser D = 0. Por tanto el potencial en dicha región deberá ser constante y, por continuidad, igual al valor de V2 o sea que V1 = 0. La ecuación para la carga q1 será: NNVCVCVCVCq 13132121111 ++++= L NNVCVCCC 13131211 000 +++⋅+⋅= L Como esta ecuación debe satisfacerse cualesquiera que sean los valores de V3, ... , VN, habrán de ser C13=...=C1N=0. Y por reciprocidad también C31=...=CN1=0. Si qN Vi i N V2 SN qi q1 1 S1 S2 q2 2 VN Así pues ni q1 influye en q3, ... , qN ni viceversa. El conductor 2 pues aísla o apantalla al conductor 1 del exterior. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2005/12/2005 Condensador Se dice que dos conductores forman un condensador cuando están en situación de influencia total como se indica en la figura. En general será: V2 q1 1 S1 S2 q2 2 V1 2221212 2121111 VCVCq VCVCq += += Si se conecta el conductor 2 a potencial cero, el potencial en la región exterior al mismo será cero y por tanto no habrá campo ni carga sobre la superficie exterior del conductor 2. Aplicando el T. de Gauss a una superficie en el interior del conductor 2, donde el campo es nulo, se deduce que q1=-q2 donde la carga de 2 está distribuida en su superficie interior. Por tanto del sistema de ecuaciones anterior se obtiene que 211211 CCC −=−= En general pues: ( ) 222111221111 , VCVCqVVCq +−=−= Se llama capacidad del condensador a: ( )21111 VVqCC −== La carga del conductor 2 será: ( ) ( ) ( ) ( ) 211221211222111 0 2112112221112 VCCqVCCVVCVCVCVCVCq −+−=−+−−=−++−= 44 844 76 1122 CC = Condensador Esférico Es el formado por dos conductores (armaduras) cuyas superficies son esferas concéntricas como se indica en la figura. R1 R2 ε Supóngase que la carga del conductor interior es Q. Aplicando Gauss a una esfera concéntrica con las armaduras se obtiene el campo en la región entre las armaduras como: ( ) r r QrE ˆ 4 2πε = rr La diferencia de potenciales entre las armaduras será: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= − −=−==−= ∫∫∫ 21 221 11 44 2 1 2 1 1 2 RR Qdr r QddVVV R R R R R R πεπε φφ Por tanto la capacidad será: 12 21 21 4 11 4 RR RR RR Q Q V QC − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − == πε πε Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2105/12/2005 Condensador Cilíndrico Las armaduras son dos cilindros coaxiales concéntricos de longitud indefinida (de manera que el campo entre las armaduras es radial). R1R2 Aplicando el T. de Gauss a una superficie cerrada formada por un cilindro coaxial con las armaduras y de longitud L y dos tapas circulares perpendiculares al eje, serán: 1) El flujo sobre las tapas nulo por ser el campo radial. 2) El flujo sobre la sup. lat. es: QEL = r επρ2 ( ) L QE περ ρ 2 = La diferencia de potencial entre las armaduras será: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − −=−= ∫ 1 2 21 ln22 2 1 R R L Qd L QVVV R R πε ρ ρπε La capacidad por unidad de longitud del condensador cilíndrico será: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ == 1 2ln 2 R RV L Q L C πε donde Q es la carga en la longitud L de la armadura interior. Condensador Plano Está formado por dos placas metálicas planas paralelas indefinidas a potencial 0 y V respectivamente. d ε y z x BAx dx d zy +=⇒=⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ≡= =∆ φφ ∂ ∂ ∂ ∂ φ 00 0 2 2 Si φ=V para x=0 y φ=0 para x=d resulta: ( ) d xdV − =φ En la placa situada en x=0 la densidad superficial de carga será: d Vx dx dx x s ε φερ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−⋅= =0 0ˆˆ 1 2 r E V d x= $ rn x≡ $ Como la densidad es uniforme la carga total sobre la placa indefinida será infinita y por tanto también la capacidad. d S V S V QC s ερ === Tomando un condensador plano finito, con superficie de placas S, la capacidad, en el supuesto que la carga se distribuya uniformemente será: Si se considera x la dirección perpendicular a las placas, como se indica en la figura, el potencial entre estas variará únicamente con x como: Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2205/12/2005 Efecto de Bordes Al hacer finitas las placas del condensador plano las superficies equipotenciales dejan de ser planos paralelos a las placas y el campo deja de ser uniforme y su dirección deja de ser constantemente perpendicular a las placas. Los anteriores efectos son más pronunciados en el borde de la placa que en el centro de la misma, por lo que se denominan efectos de borde. Efecto de Bordes Indefinido Su estudio analítico o numérico, aunque factible, es en exceso complicado para su desarrollo aquí. También la carga deja de ser uniforme en las placas. Problema 3-2 Una esfera conductora de radio R1 tiene en su interior una cavidad excéntrica de radio R2 según se muestra en la figura. En el interior de la cavidad y concéntrica con ella se encuentra otra esfera conductora de radio R3. Si la esfera de radio R3 se pone a V0 voltios y la otra a 0 voltios, calcular: a) el potencial en todos los puntos del espacio; b) la capacidad del condensador así formado. R3 R2 R1 a) Potencial. - En el exterior a la esfera de radio R1 es cero. - En la parte maciza de la esfera R1 es cero. - En el interior de la esfera R3 el potencial es V0 - Entre R3 y R2: 010 22 =⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛⇒=∆ dr dr dr d r φφ B r AA dr dr +−=⇒= φφ2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ +−= +−= rRRR RRV B R A B R AV 11 0 232 32 0 2 3 0 φ b) La capacidad es la del condensador esférico: 32 324 RR RRC − = πε Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2305/12/2005 Problema 3-5 Sean tres conductores cilíndricos de espesor despreciable, longitud L y radios a, b y c (a<b<c), colocados según muestra la figura, de modo que entre el conductor interior y el intermedio se tiene aire y entre el intermedio y el exterior existen dos medios distintos: uno de longitud L1 y permitividad ε1 y otro de longitud L-L1 y permitividad ε2. Si el conductor intermedio queda aislado y descargado y se aplica una diferencia de potencial de V voltios entre el interior y el exterior, calcular: a) las distribuciones superficiales de carga en las dos caras del conductor intermedio; b) la capacidad entre los conductores interior y exterior. L L1 ab c ε1 ε2 ε0 a) El potencial en las tres regiones del problema debe ser solución de la ecuación de Lapalace: 0110 2 2 2 2 2 =++⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛⇒=∆ zrr r rr ∂ φ∂ ∂ϕ φ∂ ∂ ∂φ ∂ ∂φ Por simetría entorno al eje y si no hay efectos de borde 0≡ ∂ϕ ∂φ BrA dr dr dr d rz +=⇒=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛⇒≡ ln010 φφ ∂ ∂φ Problema 3-5 Por tanto: 222111000 ln;ln;ln BrABrABrA +=+=+= φφφ ( )1ln00 000 BaAar +=⇒==φ ( )2ln 111 BcAVVcr +=⇒==φ ( )3ln 222 BcAVVcr +=⇒==φ ( )4lnln 110010 BbABbAbrbr +=+⇒= == φφ ( )5lnln 220020 BbABbAbrbr +=+⇒= == φφ Falta una sexta ecuación para poder determinar las constantes. Esta ecuación se obtiene del hecho de que la carga total del conductor intermedio debe ser cero. Por tanto: ( )12110 2220 LLbbLbLQ sss −++== πρπρπρ b AE b AE b AE brsbrsbrs 2 2222 1 1111 0 0000 ;; εερεερεερ ====−=−= === ( )( )60 12211100 LLb AL b AL b A −++−= εεε Con las ecuaciones (1) a (6) se obtienen: ( ) b c LLL L a b V bb A s lnln 1112 0 00 00 εε ε εερ +− + =−= ( ) b c a b L LLL V bs lnln 0 1112 1 1 + +− −= ε εε ερ ( ) b c a b L LLL V bs lnln 0 1112 2 2 + +− −= ε εε ερ Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2405/12/2005 Problema 3-5 Para obtener la capacidad, conviene ver el sistema como la asociación de tres condensadores como se indica en la figura. La capacidad será: C0 C2C1 ( ) 210 210 11 1 CCC CCCC + + =⊕= Para calcular las capacidades hay que tener en cuenta la capacidad por unidad de longitud del condensador cilíndrico de radios re y ri: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = i e r r C ln 2πε Por tanto: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a b LC ln 2 0 0 πε ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b c LC ln 2 11 1 πε ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = b c LLC ln 2 12 2 πε ( ) ( ) ( ) 1 12110 210 lnln 211 1 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ += + + = LLL b c L a b CCC C εεε π Problema 3-12 Sea un condensador de placas paralelas cuadradas, de lado L y separadas una distancia d, entre las que existe un dieléctrico de permitividad relativa ε’. Se conecta al condensador una bateria de V0 voltios que se desconecta una vez cargado, y se comienza a extraer el dieléctrico. En función de la distancia x de la figura, calcular: a) la capacidad del condensador; b) la diferencia de potencial entre sus placas; c) el campo eléctrico entre ellas; d) el valor de V0 que hace saltar la chispa cuando se extrae totalmente el dieléctrico (para d=1 mm y ε’ =100). Se supone que la chispa se produce cuando el campo entre las placas supera el valor de 30 kV/cm. L L d x ε’ a) Despreciando efectos de borde la capacidad será: ( ) ( ) ( )[ ]xL d L d Lx d xLLCCxC 100021 −′−′=+ −′=+= εεεεεε por lo que al aumentar x la capacidad disminuye. b) La carga que adquiere el condensador es d LVQ 2 0 00 εε ′ = Esta carga se mantiene constante al desplazar el dieléctrico: ( ) ( ) ( )[ ] ( )xL LV xL d L d LV xC QxV 11 0 0 2 0 0 0 −′−′ ′ = −′−′ ′ == εε ε εεε εε Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2505/12/2005 Problema 3-12 ( ) ( ) ( )xL L d V d xVxE 1 0 −′−′ ′ == εε ε c) El campo entre las placas será constante aunque su valor dependerá de x: d) El valor máximo de campo que se produce es ( ) ε ′=== d VLxEE 0max Y el valor necesario de V0: .30 100 1.030000max 0 Volt dEV =⋅= ′ = ε Ejercicio Sea un condensador plano de placas paralelas cuadradas de lado L separadas una distancia d. Entre ellas y llenando el espacio hasta d/2 se rellena de un dieléctrico de permitividad ε. Calcule el valor de la capacidad. d L L x ε Φ=0 Φ=V Despreciando efectos de borde el potencial será: ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= ∂ ∂ == ∂ ∂ =∆ 0, 22 ,0 0 ,0 1100 1,01,0 1,0 dddV zy φφφφ φφ φ 1,01,01,0 BxA +=φ Para obtener la capacidad necesitamos la carga p.e. en x=0 para lo que basta obtener A0 ( )d VA 10 1 0 2 εε ε + − = ( )d VAs 10 10 00 2 εε εεερ + =−= ( )d VLLQ s 10 2 102 2 εε εερ + == ( )d L V QC 10 2 102 εε εε + == ( ) 1010 10 2 1 2 0 2 1 2 0 10 2 10 22 222 CC CC CC d L d L d L d L d LC ⊕= + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = εε εε εε εε Como si se hubieran tenido dos condensadores en serie Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2605/12/2005 Ejercicio • Condensador plano con dos dieléctricos. Las dos posibilidades. Cual da mayor capacidad Ejercicio a) Para calcular la capacidad C23 tenemos en cuenta que al despreciar efectos de borde el potencial solo varía con φ y suponiendo Φ=0 en φ=0: BA +=⇒= ∂ ∂ ⇒=∆ ϕφ ϕ φ ρ φ 010 2 2 2 ϕα φ V= El campo será ϕ αρ ϕ ϕ φ ρ φ ˆˆ1 VE −= ∂ ∂ −=−∇= r La densidad superficial de carga sobre φ=α será: ( ) αρ εϕ αρ εϕρ VVDDns 2212 0ˆˆ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⋅−=−⋅= rrr Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2705/12/2005 Ejercicio La carga en φ=α será: Y la capacidad ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∫ = + = d dLVLdzdVQ L z dL d ln2 0 2 α ερ αρ ε ρ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +== d dLL V QC ln223 α ε b) Para obtener el potencial basta considerar el equivalente circuital de la estructura (dos condensadores en serie C12 y C23) V’ V C12 C23 2312 2312 2312 2 112 ; CC CCCCC h LC T + =⊕==ε La carga en las armaduras es VCQ T= Y el potencial V’: VCC CV C C C QV T 2312 23 1212 + ===′ c) Las cargas en la cara superior e inferior del conductor 2 son –Q y Q. 2L Q ss =ρ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =− ∫ ∫ = + = d dLkLdzdkQ L z dL d ln1 0 ρ ρρρ ρ 1ksi = Ld d dLL Q si ≤≤+ − = ρ ρ ρ ln Ejercicio a) Despreciando efectos de borde el potencial será solo función de θ: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ==∆ θ φθ θθ φ sen senr 2 10 A d dsen = θ φθ BtgAd sen A +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛== ∫ 2ln θθ θ φ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= 2 ln 2 ln 1 2 2 1 1 12 2 2 ln 2 ln θθθ θ tgtg VVA BtgAV BtgAV θ θ θ θ φφ ˆ1ˆ1 sen A rr E −= ∂ ∂− =−∇= r Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2805/12/2005 Ejercicio b) La densidad superficial de carga en la armadura 1 será: Lara sen A rsen A rs +≤≤ − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅= 11 0ˆ1ˆ θ εθ θ εθρ La carga en la armadura 1 será: ( ) ALdrsendr sen A r Q La ar πεϕθ θ επ ϕ 2 2 0 1 1 −= − = ∫ ∫ = + = c) La capacidad será: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = 2 ln 2 ln 2 2221 θθ πε tgtg L VV QC Energía Electrostática Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la energía del campo electromagnético como: ( )∫∫∫ ⋅+⋅= V dvBHDEW rrrr 2 1 Por tanto la energía del campo electrostático será: 0 2 1 2 1 2 ≥=⋅= ∫∫∫∫∫∫ VV dvEdvDEW rrr ε Interesa poder expresar la energía también en función de las fuentes del campo, es decir en función de las cargas del sistema. Para ello considérese un sistema lo más general posible, con conductores cargados, distribuciones de carga, superficies de discontinuidad del campo, etc. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-2905/12/2005 Energía Electrostática En todo punto se verificará que: φ−∇=E r ( ) DDD rrr ⋅∇+⋅∇=⋅∇ φφφ por tanto: ( ) 212 IIdvDdvDW VV +=⋅∇+⋅∇−= ∫∫∫∫∫∫ rr φφ Aunque V es todo el espacio la integral solo se extenderá a las distribuciones de carga 0≠ρ ∫∫∫∫∫∫ ⋅∇−=⋅= VV dvDdvDEW rrr φ2y por tanto: Para transformar el integrando, se sabe que: La segunda integral representa la contribución a la energía de las densidades volumétricas de carga. ∫∫∫∫∫∫ =⋅∇= VV dvdvDI φρφ r 2por tanto: La primera integral representa la contribución a la energía de las densidades superficiales de carga. Pueden considerarse dos superficies, Si y Se, muy próximas a la anterior de manera que se subdivide el espacio en dos volúmenes: Vi´ volumen interior a la superficie de discontinuidad y V0i, resto del espacio limitado por la superficie exterior a la discontinuidad y la superficie del infinito. Voi Se Energía Electrostática Pero para aplicar el T.G. las funciones implicadas deben ser continuas en el recinto de aplicación. Para verlo hay que transformar la integral de volumen a una integral de superficie utilizando el teorema de Gauss. Sin embargo, y precisamente en el caso de la presencia de densidades superficiales de carga, la inducción D es una función discontinua sobre dicha superficie. Supóngase una de las superficie sobre las que hay ρs. Si hay varias de dichas superficies los volúmenes V´ y V0i serán la suma de los producidos por ellas. Vi´ Si Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3005/12/2005 Voi Vi´ La integral I1 será: ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅∇−−⋅∇−=⋅∇−= ′ 01 VVV dvDdvDdvDI rrr φφφ y en cada uno de los dos volúmenes se puede aplicar el T.G. ∫∫∫∫ ∞+ ⋅−⋅−= SS eeS ii ei SdDSdDI rrrr φφ1 Energía Electrostática Donde Si es la suma de todas las superficies interiores y Se la suma de las exteriores. En el límite cuando las superficies Si y Se estén infinitamente próximas: ( ) ∫∫∫∫ ∞ ⋅−⋅−−= Σ S eeS ei SdDSdDDI rrrrr φφ1 ei SdSd rr −= Y por tanto: La integral sobre la superficie del infinito se anula si el potencial y el campo son regulares. ( ) ( ) dSdSnDDSdDD sieie ρ=⋅−=⋅− r rrrrr Por tanto: ∫∫∫∫∫ += VS s dvdSW φρφρ 2 1 2 1 Las integrales de superficie y de volumen se extienden ahora solamente a las distribuciones de carga en lugar de hacerlo a todo el espacio. Energía Electrostática La integral sobre la superficiedel infinito se anula si el potencial y el campo son regulares. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3105/12/2005 Energía de un Sistema de Conductores En el caso de un sistema de conductores se supone que las densidades de carga son superficiales y están extendidas sobre las superficies de los mismos ∑∑ ∫∫∑∫∫∑∫∫∫∫ ===== Σ i ii i S si i S si i S sS s QVdSVdSVdSdSW iii 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ρρφρφρ En el caso particular de un condensador Q2 = -Q1 =Q : ( ) ( ) C QCVQVVVQVQVQQVW i ii 2 2 122211 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ===−=+== ∑ Por tanto la energía electrostática será: Energía de una Bola de Carga En el caso de una distribución volumétrica uniforme de carga de densidad ρ en una esfera de radio R, la energía será: ∫∫∫= Esf dvW φρ2 1 Teniendo en cuenta el potencial en el interior de la esfera (véase ejercicio al respecto) ( ) ε ρ ε ρφ 62 22 rRri −= la energía valdrá: ( ) R QR ddrdsenrrRdvrRW R rEsf 1 20 3 15 4 3 62 1 622 1 252 0 2 0 0 222 222 πεε πρ ϕθθ ε ρρ ε ρ ε ρ π ϕ π θ == =−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= ∫ ∫ ∫∫∫∫ = = = donde el resultado final se ha expresado en función de la carga total: ρπ 3 3 4 RQ = Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3205/12/2005 Energía de una Bola de Carga R QW 1 20 3 2 πε == Por ello la carga puntual no tiene realidad física y es solo una aproximación matemática útil. El resultado obtenido puede interpretarse de la siguiente forma. Supóngase una carga Q distribuida por todo el espacio (R= ∞). Entonces la energía es cero. Si se agrupan las cargas habrá que vencer la fuerza de repulsión entre ellas aportándose energía al sistema. Esta energía de formación de la distribución crece al empaquetar de forma más compacta las cargas (al disminuir R). En el caso límite en que se desee una carga puntual, se requerirá una energía infinita. Energía de Interacción Sea un sistema formado por 2 distribuciones volumétricas de carga con potenciales y campos: 2211 ,, EyE rr φφ Por superposición el campo total será: ( ) ( ) ( ) IFF VVV VV TT WWWdvEDDEdvDEdvDE dvDDEEdvDEW ++=⋅+⋅+⋅+⋅= =+⋅+=⋅= ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ 2121212211 2121 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 rrrrrrrr rrrrrr Los dos primeros términos son la energía necesaria para formar las cargas y el tercer término es la energía de interacción La energía será por tanto: 21 EEET rrr += 1ρ 2ρ ( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅−= =⋅∇−⋅∇=⋅∇−=⋅ ∞ V S V VVVV dvSdEdv dvEdvEdvEdvDE 21 0 2121 21212121 ρφφερφ φεεφφε 43421 rr rrrrr Pero: Por tanto: ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ==+= VVV I dvdvdvW 122112212 1 ρφρφρφρφ Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3305/12/2005 Energía de un Sistema de Cargas Puntuales Sea un sistema formado por N cargas puntuales qi . La energía del sistema será: ( )∑∫∫∫∫∫∫ −== i V iiV i dvrrqdvW rrδφφρ 2 1 2 1 siendo Vi un volumen entorno a la carga i-ésima. rr rri qi Vi ( ) ( )∑∑ ∫∫∫ =−= i ii i V iii rqdvrrqqW i rrr φδφ 2 1 2 1 El potencial puede descomponerse como: ( ) ( ) ( )iii rrr rrr φφφ ′′+′= donde el primer término es la contribución al potencial en ri de todas las cargas salvo la i-ésima y el segundo término es el potencial creado por ésta (que es infinito). Por tanto: ( ) ∞+′= ∑ i ii rqW rφ 2 1 El término infinito es la energía necesaria para formar las cargas puntuales. El otro término, denominado energía de interacción, es la energía necesaria para, una vez formadas éstas, colocarlas en la situación relativa que tengan. A diferencia de la energía total que siempre es igual o mayor que cero, la energía de interacción puede ser positiva o negativa. Será por tanto: Energía de Interacción de dos Cargas Puntuales La energía de interacción de dos cargas puntuales es: ( ) 21 21 12 1 2 21 2 1 2 1 4442 1 2 1 rr qq rr qq rr qqrqW i ii rrrrrr r − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − =′= ∑ = πεπεπε φ Claramente si las dos cargas son del mismo signo hay que realizar trabajo para enfrentarlas y la energía de interacción es positiva. rr1 rr2 r rr r1 2− q1 q2 Si las dos cargas son de distinto signo se atraen y la energía de interacción es negativa. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3405/12/2005 Energía de Interacción de una Carga y un Campo Supóngase una región en la que el campo creado por unas determinadas fuentes es conocido. En la citada región el nuevo campo será la superposición del existente antes de colocar la carga más el que crea la carga. r E q r Eq ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅= +⋅+=⋅= V qqV qqV V qqV tt dvDEDEdvDEdvDE dvDDEEdvDEW rrrrrrrr rrrrrr 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 El primer término es la energía de formación del campo, el segundo es la energía de formación de la carga puntual y el tercero es por tanto la energía de interacción . ( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞ ⋅−⋅∇=⋅∇−⋅∇= ⋅∇−=⋅=⋅+⋅= S qV qV qV q V qV qV qqi SdEdvEdvEdvE dvEdvEEdvDEDEW rrrrr rrrrrrr φεεφφεφε φεε 2 1 La integral sobre la superficie del infinito se anula suponiendo regulares el potencial del campo original y el campo creado por la carga puntual. Por tanto: ( ) ( )qV qV qi rqdvrrqdvEW rrrr φδφεφ =−=⋅∇= ∫∫∫∫∫∫ Se introduce una carga puntual en dicha región admitiendo que la presencia de la carga no altera el campo existente. La energía será: Energía de Interacción de un Dipolo y un Campo Si se introduce un dipolo en el seno de un campo preestablecido, la energía de interacción entre el dipolo y el campo será la suma de las energías de interacción de cada una de las cargas con el campo. rr0 r d −q q ( ) ( )drqrqWi rrr ++−= 00 φφ Pero si las cargas están muy próximas y el potencial del campo es una función continua se podrá aproximar: ( ) ( ) ( ) φφ ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φφφ ∇⋅+≅++++=+ dr z d y d x drdr zyx rr L rrr 000 Por tanto: ( ) ( ) ( ) ( )( ) EppdrqrqdrqrqWi rrrrrrrrr ⋅−=∇⋅=∇⋅++−=++−= φφφφφφ 0000 Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3505/12/2005 Ejercicio Un dipolo eléctrico de momento p se encuentra en una región en la que el potencial vale Φ(r). Calcular en primera aproximación la energía necesaria para girar el dipolo 180º respecto de su centro. En una situación inicial la energía de interacción, en primera aproximación, entre el dipolo y el campo es: φ∇⋅=⋅−= pEpWi rrr Si se gira el dipolo 180º su nuevo momento dipolar es : Y ahora la energía de interacción entre el dipolo y el campo es: pp rr −=′ φφ ∇⋅−=∇⋅′=′ ppWi rr La energía necesaria habrá sido la diferencia entre la energía final y la energía inicial: φ∇⋅−=−′ pWW ii r2 Ejercicio Una cáscara dieléctrica esférica de permitividad ε y radios interior y exterior a y b se trae desde el infinito y se centra en el origen de coordenadas donde hay una carga puntual de q culombios. Calcular a) La intensidad e inducción eléctrica en ambas situaciones. b) El cambio de energía entre ambas situaciones. c) El trabajo requerido para realizar el cambio y el sentido de la fuerza. a) En la situación inicial el campo es el de la carga puntual y vale ( ) ( ) r r qrDr r qrE ˆ 4 ,ˆ 4 2120 1 ππε == rrrr En la segunda situación la inducción es la misma que en la primera y vale lo mismo en todas las regiones a b i ii e q ε0 ε ε0 ( ) ( ) ( ) ( ) r r qrDrDrDrD eiii ˆ4 21222 π ==== rrrrrrrr La intensidad de campo eléctrico depende de ε por lo que: ( ) ( ) ( ) r r qrEr r qrEr r qrE eiii ˆ4 ,ˆ 4 ,ˆ 4 20 2222 0 2 πεπεπε === rrrrrr Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3605/12/2005 Ejercicio b) El cambio de energía está asociada al cambio de valor del campo que solo se ha producido en la región ii: ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=⋅−=∆ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫ ba q r ddrdsenrq dV rrr qdVDEEW b a iiii iiii 1111 8 11 42 1 111 42 1 2 1 0 2 0 2 0 4 2 0 2 22 0 2 2 212 εεπ ϕθθ εεπ εεπ π π rrr c) El trabajo es igual al incremento de energía. Comoeste es negativo la fuerza se realiza “a favor” del campo inicial. Por tanto en dirección r̂ Ejercicio Una distribución volumétrica de carga tiene forma de esfera de radio R y carga total Q uniformemente distribuida. En su centro hay una carga puntual –Q y la constante dieléctrica de todo el espacio es la del vacío. Calcular a) El trabajo necesario para llevar la carga puntual al infinito. b) La fuerza a la que está sometida la carga cuando está a distancia r del centro de la distribución. a) La energía de interacción entre las dos cargas (1 puntual, 2 volumétrica) al inicio será RQWWW IiIf 0 2 83 πε=−=∆ R-Q ε0 ε0 ρ ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ==+= VVV I dvdvdvW 122112212 1 ρφρφρφρφ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = = − = − = ∫∫ ∫ ∫ 3 0 2 0 0 0 0 2 0 2 0 3 4 1 8 3 4 44 R Q R Q rdrQddrdsenr r QW RR Ii π ρ πε π πε ρϕθθρ πε π π La energía de interacción entre las dos cargas al final será cero y el trabajo Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3705/12/2005 Ejercicio b) La fuerza cuando r>R es ( ) r r QrEQF ˆ 4 20 2 πε − =−= rr La fuerza cuando r<R es ( ) r R rQrEQF ˆ 4 30 2 πε − =−= rr Ejercicio Una distribución volumétrica de carga tiene forma de esfera de radio R y carga uniformemente distribuida con densidad ρ. A distancia 4R de su centro hay una carga puntual de valor Q. Calcular a) La energía de interacción del sistema. b) La energía que hay que aportar para llevar la carga puntual al centro de la distribución. a) La energía de interacción entre las dos cargas (1 puntual, 2 volumétrica) al inicio será ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ==+= VVV I dvdvdvW 122112212 1 ρφρφρφρφ ( ) 0 2 0 3 0 0 2 0 2 0 3 1244 3 4 4 3 4 ε ρ πε ρπ ϕθθδ πε ρπδ π π QR R QR ddrdsenrrrQ r R W d QIi == =−= ∫ ∫ ∫ + rrR Q ε0 ε0 ρ d 0 22 0 0 0 2 0 2 0 22 22 44 ε ρπ πε ρϕθθρ πε π π QRRQddrdsenr r QW R If =⋅⋅== ∫ ∫ ∫ Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3805/12/2005 Acciones Mecánicas Se había introducido el concepto de campo a través de sus efectos mecánicos según la ecuación: ∫∫∫= V dvEF rr ρ En el caso de una carga puntual la fuerza sobre la misma será: ( ) ( )qV q rEqdvErrqF rrrrrr =−= ∫∫∫ δ En el caso de dos cargas que formen un dipolo será: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )EpEdqrE z Ed y Ed x EdrEq rEdrEqdrEqrEqF zyx rrrrrr L rrr rr rrrrrrrrrrr ∇⋅=∇⋅= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++++≅ −+=++−= 00 0000 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Pero al ser el momento dipolar un vector constante, y siendo E irrotacional resulta: ( ) ( ) ( )iWEpEpF −∇=⋅∇=∇⋅≅ rrrrr En el caso de ser E constante la fuerza sobre el dipolo será nula, pero habrá un par de fuerzas: EpFdM rrrrr ×=×= r E r d −q q r F r F ( )( ) ( ) ( ) ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ϕ∂ϕ iWEppEpEsenzM ±=⋅=±==⋅ rr mm r cosˆ r M x Sistemas de Conductores a Carga Constante Los resultados anteriores indican que pueden obtenerse las fuerzas y pares a partir de la energía electrostática del sistema. En el caso de sistemas de conductores pueden considerarse dos situaciones: el de un sistema de conductores aislados con cargas fijas (no pueden cambiar al evolucionar el sistema), y el de un sistema de conductores con potenciales fijos. En la primera situación las cargas sobre los conductores son constantes. Supóngase que las fuerzas desplazan uno de los conductores una distancia diferencial dl (un desplazamiento virtual en mecánica). El trabajo mecánico realizado por el sistema será ldFdW qmec rr ⋅= donde la fuerza es la fuerza eléctrica que actúa sobre el cuerpo en esta situación de carga constante. Como se tiene un sistema aislado que no recibe energía del exterior el trabajo mecánico realizado debe hacerse a costa de la energía electrostática almacenada, y por tanto: ldFdWdW qemec rr ⋅=−= Teniendo en cuenta que un cambio en función escalar producido por un cambio de posición dl se obtiene del producto escalar del gradiente de la función por dl será: ( ) ( )eqee WFldWdW −∇=⇒⋅∇= rr Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-3905/12/2005 Sistemas de Conductores a Carga Constante Si el cuerpo conductor que se está considerando solo puede girar entorno a un eje, por ejemplo el eje z, el trabajo mecánico realizado por el sistema para un desplazamiento angular dϕ será: ( ) ezqmec dWdMdW −== ϕ donde (Mq)z es la componente z del par que actúa sobre el cuerpo en condiciones de carga constante. Siguiendo el procedimiento aplicado anteriormente se obtiene que: ( ) ( ) ∂ϕ ∂ e zq WM −= Sistemas de Conductores a Potencial Constante Si el sistema de conductores se mantiene a potencial constante, mediante su conexión a baterías, un desplazamiento dl de uno de los conductores implicará un cambio de las cargas de todos los conductores, que serán aportadas por las baterías, para mantener constantes los potenciales. Si en el conductor k-ésimo se produce un cambio dQk de su carga, manteniéndose su potencial a Vk, la energía aportada por las baterías será: ∑= k kkbat dQVdW El trabajo mecánico realizado por el sistema como consecuencia del desplazamiento virtual es ldFdW vmec rr ⋅= donde ahora la fuerza es la que actúa sobre el cuerpo en condiciones de potencial constante. La transferencia de carga produce también un cambio en la energía electrostática total del sistema en: bat k kke dWdQVdW 2 1 2 1 == ∑ Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-4005/12/2005 Sistemas de Conductores a Potencial Constante La ley de conservación de la energía requiere que: batemec dWdWdW =+ Por tanto: ∑∑ ==+⋅=+ k kkbat k kkvemec dQVdWdQVldFdWdW 2 1rr ( ) ( )evee k kkv WFldWdWdQVldF ∇=⇒⋅∇===⋅ ∑ rrrr 2 1 Y de forma análoga se obtiene que si el cuerpo está restringido a rotar entorno al eje z (por ejemplo) la componente z del par es: ( ) ( ) ∂ϕ ∂ e zq WM = R1 R2 R3 α ε0 εr Problema 3-20 Un sistema está formado por tres semicilindros coaxiales rígidamente unidos, que pueden girar alrededor de su eje, situado este último en la superficie de un líquido dieléctrico de permitividad relativa εr. Los radios de los semicilindros son los indicados en la figura y su longitud es L. Si entre el conductor interior (R1) y el exterior (R3) se aplica una diferencia de potencial de V voltios, hallar: a) el esquema circuital del sistema y la capacidad total del mismo; b) el potencial de la placa intermedia (respecto de la exterior); c) la energía electrostática del sistema; d) si se desconecta la batería, razonar en que dirección tiende a girar el sistema (supóngase despreciable el efecto de la gravedad). (Nota: despreciar el efecto de bordes). a) El esquema circuital del sistema puede considerarse como la asociación paralelo de dos conjuntos de dos condensadores en serie C0 2,C0 1, Cr,1 Cr,2 C0 1,C0 2, Cr ,1Cr ,2 Los C0,i corresponden a los condensadores que estén al aire y los Cr,i a los que tienen al liquido como dieléctrico. El i=1 corresponde al que está entre R1 y R2 mientras que el i=2 al que está entre R2 y R3 Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-4105/12/2005 A partir de la capacidad por unidad de longitud del condensador cilíndrico de radios re y ri se puede obtener la capacidad de un sector de ángulo α y longitud L como: ( )ie rrLC lnαε= Por tanto: ( )1201,0 ln RRLC αε= ( )2302,0 ln RRLC αε= ( ) ( )1201, ln RRLC rr εεαπ −= ( ) ( )2302, ln RRLC rr εεαπ −= Además: ( )1302,01,0 ln RRLCC αε=⊕ ( ) ( )1302,1, ln RRLCC rrr εεαπ −=⊕ Y por tanto: ( ) ( )[ ]rrrT RR LCCCCC εαπαε −+=⊕⊕= 13 0 2,1,2,01,0 ln Problema 3-20 b) Si no hay efectos de bordes el potencial varía como: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⇒+= rRRR RRVBr A 11 113 13φφ y por tanto el potencial en la placa intermedia valdrá: ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2113 13 2 11 RRRR RRVRφ Problema 3-20 d) La energía será: 2 2 1 VCW Te = e) El sistema evolucionará a carga constante. Por tanto su energía será: T e C QW 2 2 1 = El sistema se desplazará hacia energía mínima, o sea hacia capacidad máxima.Como la capacidad aumenta al introducir el líquido el sistema girará hasta que el ángulo α sea cero. Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-4205/12/2005 Problema 3-8 Calcular la energía electrostática del sistema de la figura sabiendo que la carga de la esfera conductora interior es Q y el dieléctrico tiene una permitividad A partir del resultado anterior calcule la capacidad del sistema y el potencial de la esfera interior. 2 2 2 0 r Rεε = Q ε(r) R1 R2 R3 Solo hay campo en la región entre esferas. Por Gauss pueden obtenerse D y E: ( ) ( ) 2 0 2 0 2 4 rrDddsenrrDQSdD πϕθθ π θ π ϕ ===⋅ ∫ ∫∫∫ = = rr ( ) 24 r QrD π = ( ) ( ) ( ) 220 2 2 202 4 1 4 R Q r Rr Q r rDrE πεεπε === La energía será: ∫∫∫ ⋅= Ve dvDEW rr 2 1 ( ) 2 20 12 2 0 2 0 2 22 20 2 2 8 1 32 2 1 R RRQddrdsenr rR QW R Rre πε ϕθθ επ π θ π ϕ − == ∫ ∫ ∫= = = La capacidad 12 2 20 2 4 2 RR R W QC e − == πε Y el potencial ( ) 2 20 12 4 R QRR C QV πε − == Ejercicio Se dispone de un condensador cilíndrico con armaduras de altura h y radios a y b (a<b). Se realizan con él dos experimentos sumergiéndolo una profundidad p en un líquido de permitividad ε que penetra entre sus armaduras. El primero de ellos se realiza a potencial constante V0 y el segundo a carga constante. El proceso de adquisición de la carga en el segundo experimento se realiza fuera del líquido. Calcule en ambos experimentos: a) La energía electrostática en función de la profundidad p sumergida dentro del líquido. ¿Dónde se alcanza el mínimo de la energía? b) Las fuerzas electrostáticas que sufre el condensador cuando se sumerge en dicho líquido. Se recomienda obtenerlas a partir de las energías detallando claramente su módulo, dirección y sentido. z ρ=a ρ=b ε0 ε h p a) Ya que la capacidad de un condensador cilíndrico de altura h y radios a y b (a<b) y medio de permitividad ε vale: ( )abln h2C πε= la energía electrostática a potencial constante vale: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+=+= ph ab VVCVCWe 1ln 2 2 1 2 1 2 1 0 0222 0 ε επε εε Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático II EyM 3.2-4305/12/2005 Ejercicio Esta energía varía linealmente con p entre un valor mínimo Wmin hasta un valor máximo Wmax. ( ) ( ) ( ) ( )habVhpWWhabVpWW ln 2 2 1, ln 2 2 10 2max0 2 min πεπε ====== Por otra parte, la energía electrostática a carga constante vale: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+= + = ph ab V CC QWe 1ln 2 2 1 2 1 0 02 2 0 ε επε εε donde la carga Q adquirida inicialmente a potencial V vale: ( )Vabln h2 CVQ 0 πε == En este caso la energía es inversamente proporcional a la profundidad sumergida p y y varía entre un valor mínimo Wmin hasta un valor máximo Wmax. ( ) ( ) ( ) ( )habVhpWWhabVpWW ln 2 2 1, ln 2 2 10 2max0 2 min πεπε ====== Ejercicio b) La fuerza se obtiene como el gradiente de la energía electrostática. De este modo a potencial constante: Mientras que a carga constante la fuerza vale: El sentido de la fuerza se obtiene razonando las anteriores expresiones: a) Potencial constante: La fuerza se dirige hacia donde crece la energía ee. En este caso se presenta el máximo de energía cuando el cilindro está completamente sumergido, por lo que las fuerzas electrostáticas tienden a sumergir el cilindro. b) Carga constante: La fuerza se opone al crecimiento de la energía ee. El máximo de energía se presenta aquí cuando el cilindro esta fuera del líquido, por lo que las fuerzas electrostáticas tienden de nuevo a sumergir el cilindro. ( ) p ph abQp p WWF ee ˆ 1 1 2 ln 2 1ˆ 2 0 0 0 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∂ ∂ −=−∇= ε ε ε ε πε r ( ) pabVpp WWF ee ˆ1ln 2 2 1ˆ 0 02 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= ∂ ∂ =∇= ε επεr
