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Cálculo integral 
Programa desarrollado 
 
Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 
 
 
 
Área de Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 
 
Cuatrimestre TRES 
 
 
 
Programa de la asignatura: 
Cálculo integral 
Clave: 
050910310 
 
 
 
Febrero de 2011 
 
 
 
 
Cálculo integral 
Programa desarrollado 
 
Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 
 
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA 
 
Alonso Lujambio Irazábal 
 
 
 
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR 
 
Rodolfo Tuirán Gutiérrez 
 
 
 
PROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIA 
COORDINACIÓN GENERAL 
 
Manuel Quintero Quintero 
 
 
 
COORDINACIÓN ACADÉMICA 
 
Soila del Carmen López Cuevas 
 
 
 
DISEÑO INSTRUCCIONAL 
 
Karla Contreras Chávez 
 
 
 
EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE PROGRAMAS EDUCATIVOS 
 
Karina Montaño 
 
 
 
AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A: 
 
Dr. Juan Carlos Flores García 
 
 
Secretaría de Educación Pública, 2011 
 
 
 
 
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Tabla de contenidos 
 
I. INFORMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA ...................................................................... 6 
a. Ficha de identificación ............................................................................................................ 6 
b. Descripción ............................................................................................................................. 6 
c. Propósito ................................................................................................................................ 8 
II. FUNDAMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA ............................................................................... 8 
III. COMPETENCIA(S) A DESARROLLAR ...................................................................................... 8 
IV. TEMARIO .................................................................................................................................... 9 
V. METODOLOGÍA DE TRABAJO ................................................................................................ 10 
VI. EVALUACIÓN ........................................................................................................................... 11 
VII. MATERIALES DE APOYO ..................................................................................................... 12 
VIII. DESARROLLO DE CONTENIDOS POR UNIDAD ................................................................. 13 
UNIDAD 1. INTEGRALES .............................................................................................................. 13 
Propósito de la unidad .............................................................................................................. 13 
Competencia específica ........................................................................................................... 13 
Presentación de la unidad ........................................................................................................ 13 
1.1. Integral definida ................................................................................................................. 14 
1.1.1. Área de una región ...................................................................................................... 14 
Actividad 1. ¿Qué es área? ................................................................................................... 17 
1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales ................................................... 17 
1.1.3. Integral definida ........................................................................................................... 27 
Actividad 2. Concepto de integral .......................................................................................... 29 
1.1.4. Suma de Riemann....................................................................................................... 29 
1.1.5. Evaluación de integrales ............................................................................................. 32 
Actividad 3. Sumas de Riemann ........................................................................................... 33 
1.1.6. Regla del punto medio ................................................................................................ 34 
1.1.7. Propiedades de la integral definida ............................................................................. 35 
1.2. Teorema fundamental del cálculo...................................................................................... 37 
1.2.1. Teorema fundamental del cálculo ............................................................................... 38 
Actividad 4. Resolución de problemas TFC .......................................................................... 42 
 
 
 
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1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos ...................................................... 42 
Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo ...................................................................... 43 
1.3. Integral indefinida .............................................................................................................. 43 
En el siguiente apartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la 
derivación. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo. .......................... 43 
1.3.1. Integral indefinida ........................................................................................................ 43 
1.3.2. Tabla de integrales indefinidas .................................................................................... 44 
Actividad 6. Integral indefinida .............................................................................................. 45 
1.4. Regla de sustitución .......................................................................................................... 46 
1.4.1. Regla de sustitución .................................................................................................... 46 
Actividad 7. Integración usando reglas de sustitución ........................................................... 49 
1.4.2. Integrales definidas ..................................................................................................... 50 
Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas .............................................. 51 
1.4.3. Simetría ....................................................................................................................... 52 
Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración ................................................................ 54 
Consideraciones específicas de la unidad ............................................................................... 55 
Fuentes de consulta ................................................................................................................. 55 
UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN .................................................................... 56 
Propósito de la unidad .............................................................................................................. 56 
Competencia específica ...........................................................................................................56 
Presentación de la unidad ........................................................................................................ 56 
2.1. Área entre curvas .............................................................................................................. 56 
2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación .................................................................. 57 
2.1.2. Área entre curvas mediante integración ...................................................................... 59 
Actividad 1. Área entre curvas .............................................................................................. 62 
2.2. Volúmenes ........................................................................................................................ 62 
2.2.1. Volumen de un sólido .................................................................................................. 63 
2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución ........................................................................... 68 
Actividad 2. Sólidos de revolución ......................................................................................... 70 
Actividad 3. Sólidos de revolución en la vida diaria ............................................................... 71 
2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos ......................................................................... 71 
Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos ................................................................ 74 
2.3. Valor promedio de una función .......................................................................................... 74 
2.3.1. Valor promedio ............................................................................................................ 74 
2.3.2. Teorema del valor medio ............................................................................................. 75 
Actividad 5. Valor medio de una función ............................................................................... 77 
Evidencia de aprendizaje. Aproximación e integración de volumen ......................................... 77 
Consideraciones específicas de la unidad ............................................................................... 78 
 
 
 
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Fuentes de consulta ................................................................................................................. 79 
UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ................................................................................... 80 
Propósito de la unidad .............................................................................................................. 80 
Competencia específica ........................................................................................................... 80 
Presentación de la unidad ........................................................................................................ 80 
3.1. Integración por partes ........................................................................................................ 80 
3.1.1. Integrales por partes ................................................................................................... 81 
Actividad 1. Métodos de integración ..................................................................................... 82 
Actividad 2. Ejercicios de integración por partes ................................................................... 82 
3.1.2. Sustitución para racionalizar ....................................................................................... 83 
3.2. Integrales trigonométricas ................................................................................................. 84 
3.2.1. Integrales trigonométricas ........................................................................................... 84 
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos ................................................................. 86 
3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes .......................................................... 89 
Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas ................. 90 
3.2.4. Sustitución trigonométrica ........................................................................................... 90 
Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas ....................................................... 92 
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales .................................. 93 
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos ............................................................ 95 
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten ..................................................... 97 
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite ............................. 100 
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido ............................................ 102 
Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales ....................................................... 104 
3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales .......................................... 105 
3.4.1. Tablas de fórmulas integrales ................................................................................... 105 
Actividad 6. Formulas de integración .................................................................................. 106 
3.4.2. Estrategias para integrar ........................................................................................... 106 
Actividad 7. Resolución de integrales ................................................................................. 107 
3.5. Integrales impropias ........................................................................................................ 107 
3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos .......................................................................................... 107 
3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos .............................................................................. 110 
Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral ................................................................. 112 
Consideraciones específicas de la unidad ............................................................................. 113 
Fuentes de consulta ............................................................................................................... 113 
 
 
 
 
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I. INFORMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA 
a. Ficha de identificación 
Área Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 
Nombre del curso o asignatura Cálculo integral 
Clave de asignatura 050910310 
Seriación Sin seriación 
Cuatrimestre Tercero 
Horas contempladas 72 
 
b. Descripción 
El cálculo integral, junto con el cálculo diferencial, proporciona las herramientas matemáticas necesarias 
para resolver diversos problemas en diferentes áreas del conocimiento. El cálculo integral es una rama de 
las matemáticas que sirve para la integración o antiderivación a partir de la aplicación de conceptos 
obtenidos en Cálculo diferencial, y es la base de la resolución de problemas en el cálculo de longitudes 
de curvas, áreas de curvas y volúmenes, así como predicciones sobre problemas específicos en 
diferentes ámbitos. 
En la asignatura se expone la integral como la suma infinitesimal y la importancia del teorema 
fundamental del cálculo, que es el eslabón o conexiónentre el cálculo diferencial e integral, finalmente se 
abordan diversas técnicas de integración que son esenciales para enfrentar los problemas de una manera 
más sistemática. 
 
En la imagen ejemplo (lado izquierdo), la brocha es ancha 
cuando los valores del integrando son grandes y es angosta 
cuando los valores del integrando son pequeños. Esta es 
una analogía del Primer Teorema Fundamental de Cálculo 
que verás con el estudio de esta unidad. 
 
 
 
 
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A continuación se describe los tópicos que se abordarán en cada una de las unidades temáticas: 
Unidad 1. En el desarrollo de esta unidad se exponen los conceptos fundamentales que proporcionan 
sustento al cálculo. 
En el tema de integral definida se revisa la manera de calcular el área de una región y cómo calcular el 
área bajo una curva mediante la suma de rectángulos infinitesimales. El análisis de estos cálculos 
conduce al concepto de sumas de Riemann, herramienta necesaria para evaluar una integral. 
Posteriormente, se evalúan algunas integrales y la regla del punto medio, así como algunas propiedades de 
la integral definida. También se revisa el teorema fundamental del cálculo que describe la derivación e 
integración como procesos inversos; se presenta una tabla de integrales indefinidas y se revisa una regla 
para hacer sustituciones que sirven para evaluar integrales. Al final de esta unidad se revisan las 
propiedades de simetría que poseen algunas integrales. 
Unidad 2. En esta unidad se presenta la integración con diversas aplicaciones para calcular áreas entre 
curvas mediante aproximación e integración, así como algunos métodos de aplicación para calcular 
volúmenes de ciertos sólidos, entre los que destacan sólidos de revolución o cascarones cilíndricos. 
Finalmente, se utiliza la integración para hallar el valor medio de ciertas funciones. 
Unidad 3. En esta unidad se centra el estudio en diferentes técnicas de integración como el método de la 
integración por partes y sustitución para racionalizar. Dentro de los métodos de integración trigonométrica 
se presentan las técnicas de integración para resolver integrales trigonométricas que contienen senos, 
cosenos, tangentes y secantes. Finalmente se abordan los métodos para realizar algunas sustituciones 
trigonométricas en el cálculo de integrales y los diferentes casos del método para integrar funciones 
racionales mediante fracciones parciales. 
Finalmente, la asignatura brinda las habilidades necesarias para aplicar las herramientas matemáticas en 
cursos posteriores, principalmente en la resolución de problemas de cálculo para satisfacer las 
necesidades de áreas afines como pueden ser las siguientes carreras: Telemática, Desarrollo de Software, 
Logística y Transporte, Biotecnología, Tecnología ambiental y Energías renovables. 
El material dispuesto en esta asignatura se imparte en el tercer cuatrimestre de la licenciatura de 
Matemáticas y sienta las base para el estudio de materias como: Cálculo de varias variables, Ecuaciones 
diferenciales I y II, Variable compleja I y II, Probabilidad I y II, Ecuaciones diferenciales parciales, 
Transformaciones y series, Estadística, Análisis matemáticos I y II, Sistemas lineales y no lineales, 
Optimizaciones y Topología. 
 
 
 
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c. Propósito 
El propósito de la asignatura te permitirá: 
 Identificar las bases del cálculo integral, desarrollado a partir de las sumas de Riemann, teorema 
fundamental del cálculo y algunas propiedades básicas de las integrales, así como los conceptos 
de integral definida, teorema del valor medio, integrales indefinidas e impropias. 
 Resolver integrales usando tablas de integración y las propiedades de integrales. 
 Calcular integrales aplicando métodos de integración, como integración por partes, sustitución, 
usando integrales trigonométricas (en sus diferentes casos) y mediante fracciones parciales 
(también en sus diferentes casos). 
 Aplicar la integración para calcular áreas y volúmenes. 
d. Fundamentación de la asignatura 
En esta asignatura trataremos el cálculo integral desde el punto de vista práctico, sin tantas 
demostraciones, seremos concisos y nos enfocaremos en la ejercitación de los temas mediante la 
resolución de problemas. 
La metodología para que logres las competencias estará basada en foros, wikis y tareas, consistente que te 
permitirán lograrlas competencias específicas de cada unidad. 
e. Competencia(s) a desarrollar 
Utilizar herramientas matemáticas del cálculo integral para resolver problemas mediante el uso de las 
sumas infinitesimales, integración y teorema fundamental del cálculo con base en métodos y tablas de 
integración. 
 Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor 
promedio de una función a través del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental 
del cálculo con base en definiciones, modelos y reglas. 
 Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor 
promedio de una función mediante el uso de aproximaciones, con base en definiciones, métodos y 
teoremas. 
 
 
 
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 Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, sustituciones, 
simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de práctica. 
f. Temario 
1. Integrales 
1.1. Integral definida 
1.1.1. Área de una región 
1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales 
1.1.3. Integral definida 
1.1.4. Sumas de Riemann 
1.1.5. Evaluación de integrales 
1.1.6. Regla del punto medio 
1.1.7. Propiedades de la integral definida 
1.2. Teorema fundamental del cálculo 
1.2.1. Teorema fundamental del cálculo 
1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos 
1.3. Integral indefinida 
1.3.1. Integral indefinida 
1.3.2. Tabla de integrales indefinidas 
1.4. Regla de sustitución 
1.4.1. Regla de sustitución 
1.4.2. Integrales definidas 
1.4.3. Simetría 
 
2. Aplicaciones de la integración 
2.1. Área entre curvas 
2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación 
2.1.2. Área entre curvas mediante integración 
2.2. Volúmenes 
2.2.1. Volumen de un sólido 
2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución 
2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos 
 
 
 
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2.3. Valor promedio de una función 
2.3.1. Valor promedio 
2.3.2. Teorema del valor medio 
 
3. Métodos de integración 
3.1. Integración por partes 
3.1.1. Integrales por partes 
3.1.2. Sustitución para racionalizar 
3.2. Integrales trigonométricas 
3.2.1. Integrales trigonométricas 
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos 
3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes 
3.2.4. Sustitución trigonométrica 
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos 
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 
3.4.Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 
3.4.1. Tablas de fórmulas integrales 
3.4.2. Estrategias para integrar 
3.5. Integrales impropias 
3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos 
3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos 
 
g. Metodología de trabajo 
En esta asignatura es fundamental la dedicación en la resolución de ejercicios y perseverancia, ya que 
es posible que a la primera no te salgan los resultados; sin embargo no desesperes, es parte de la 
formación. Es indispensable que tengas una filosofía emprendedora proactiva al aprendizaje. 
 
 
 
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Es indispensable que en el desarrollo de tus actividades verifiques tu procedimiento, signos y 
operaciones. Es recomendable contar con una calculadora que te permita optimizar los tiempos en la 
resolución de las operaciones; sin embargo, esta herramienta no debe reemplazar tu proceso de 
aprendizaje en el desarrollo, análisis, ordenamiento, lógica e interpretación de resultados. 
Dado que la asignatura es de carácter práctico, es aconsejable que trabajes de manera colaborativa con 
otros de tus compañeros a través de foros, wikis y/o redes sociales incluyendo blog personal. También 
puedes hacer uso de páginas de internet para ampliar los temas vistos o incluso verlos desde otras 
perspectivas. 
La metodología empleada en el curso es la de aprendizaje basado en problemas (ABP), por lo cual es 
recomendable realizar muchos ejercicios empleando los diferentes métodos de integración. La mayoría de 
las tareas consiste en realizar ejercicios de acuerdo a los temas vistos. 
El papel del Facilitador(a) estará enfocado en guiarte en cada uno de los temas que conforman la 
asignatura. Te evaluará y te retroalimentará en cada una de tus tareas. La retroalimentación es con la 
finalidad de que vayas perfeccionando tu escritura, método, simbología, orden y procedimiento, así como 
coherencia. 
h. Evaluación 
En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, 
sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que 
se le considera desde un enfoque integral y continuo. 
Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Cálculo integral, se espera la participación responsable y 
activa del estudiante, así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar 
objetivamente su desempeño. Por lo tanto, es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar 
el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales. 
En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación 
permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito 
indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como la 
participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las unidades, dentro 
del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la 
 
 
 
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escala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de 
realizar la actividad correspondiente. 
A continuación presentamos el esquema general de evaluación. 
RECURSOS Y HERRAMIENTAS VALOR 
Actividades formativas (envíos a taller y tareas) 30% 
Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro 
y base de datos) 
10% 
Examen final 10% 
E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje y 
autorreflexión 
50% 
Cabe señalar que, para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la 
ESAD. 
i. Materiales de apoyo 
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning. 
Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill. 
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté. 
 
 
 
 
 
 
 
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II. DESARROLLO DE CONTENIDOS POR UNIDAD 
UNIDAD 1. INTEGRALES 
 
Propósito de la unidad 
En esta unidad desarrollarás tu habilidad para calcular integrales mediante sumas de Riemann y el teorema 
fundamental del cálculo, además de calcular volúmenes y promedios. También, estudiaremos la integral 
definida y la indefinida. 
 
Competencia específica 
Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor 
promedio de una función a través del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del 
cálculo con base en definiciones, modelos y reglas. 
Presentación de la unidad 
En esta unidad empezaremos a desarrollar los fundamentos matemáticos para construir el cálculo integral. 
Verás que para calcular el área de una función, partiremos del hecho de sumar las áreas de rectángulos 
bajo una gráfica y el eje x, situación que nos conducirá al concepto de sumas de Riemann y al concepto de 
integral definida. 
 
Abordaremos algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirán desarrollar tus 
habilidades a la hora de evaluar una integral. 
En esta unidad te darás cuenta de que el cálculo integral y diferencial están ligados por un eslabón muy 
importante: el teorema fundamental del cálculo. Es una herramienta muy poderosa para evaluar integrales 
de manera muy práctica. 
 
Al igual que existen integrales definidas, también existen integrales indefinidas, mostraremos cuál es esa 
pequeña diferencia. Empezarás a calcular integrales no tan complicadas mediante el uso de tabla de 
integrales y mediante sustitución. Por último, revisaremos algunas reglas de simetría que algunas 
integrales poseen, ya que te permitirán ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones. 
 
 
 
 
 
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1.1. Integral definida 
En algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situación de tener que calcular el área de alguna región 
de forma irregular, como ejemplo, calcular el área de un terreno de forma irregular para saber el valor 
monetario en función del precio por metro cuadrado. 
 
En esta sección veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida. Veremos también 
algunas propiedades, también empezarás a evaluar algunas integrales sencillas mediante las sumas de 
Riemann. 
1.1.1. Área de una región 
Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es área. Sabemos que es fácil calcular las áreas de 
ciertas figuras simplemente con saber la forma y su fórmula. Nos viene a la mente que el área limitada por 
un cuadrado es la multiplicación de su lado por lado llA  ; de un rectángulo es lado por su altura; de un 
triángulo es la multiplicación de su base por su altura hbA  . Así sucesivamente podemos citar muchas 
figuras con sus respectivas fórmulas para calcular sus áreas. 
 
 
 
 
 
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El área,entonces, es la región limitada por ciertas fronteras, como puede ser líneas rectas, como el caso 
del cuadrado, o bien, por líneas curvas, como el caso del círculo. 
 
Ahora nos enfrentamos a calcular el área de una figura que tiene forma irregular. Pensemos en un terreno. 
Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, veamos el siguiente ejemplo: 
 
Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: ¿cuál es el área? 
La solución es sencilla: únicamente hay que dividirlo en triángulos, calcular el área de cada triángulo y 
sumar las áreas de todos los triángulos para encontrar el área total del terreno. 
 
 
 
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Así que el área total de este terreno es 4321 AAAAAT  
Veamos ahora una figura un poco más compleja ¿cómo se hallaría el área para la siguiente figura? 
 
 
La respuesta es, inscribir repetidamente el área de una figura geométrica cuya área es conocida, y para 
ello escogemos el cuadrado. El área de cada cuadrado representa una unidad de área. La figura quedaría 
así. 
 
 
 
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El área aproximada de la figura es de 33 unidades de área. Podríamos ser más precisos, y para ello 
tendremos que hacer más pequeños nuestros cuadrados. 
Nota: Hace aproximadamente 2500 años, los griegos sabían cómo hallar el área de cualquier 
polígono al dividirlo en triángulos. También hallaron la forma de encontrar el área de una figura 
curva; lo que hicieron fue inscribir polígonos en la figura y hacer que el número de lados del 
polígono aumentara. Usaban el método conocido como de agotamiento o exhaución. 
Actividad 1. ¿Qué es área? 
Instrucciones 
1. Presentación de cada uno de los integrantes. 
2. ¿Qué esperas de la asignatura de Cálculo integral? 
3. Discutan el significado de área. 
4. ¿Qué es más fácil, obtener el área de una figura geométrica o de una irregular? ¿Por qué? 
5. Explica con tus propias palabras qué entiendes por área. 
 
1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales 
 
 
 
 
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En este subtema obtendremos el área bajo una curva por aproximación de rectángulos, como se muestra 
en el objeto de arriba. Posteriormente se tomará el límite de estos rectángulos. El procedimiento es el 
siguiente: 
Consideremos el siguiente desarrollo. Sea la función 
2xy  . Hallaremos el área bajo la curva en la región 
comprendida entre 0 y 1 del eje x. 
 
Podemos hallar el área aproximada, inscribiendo rectángulos debajo de la curva descrita por 
2xy  en la 
región comprendida entre 0 y 1. El área de la región está dada por la suma de todos los rectángulos 
inscritos en la región S. 
Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada rectángulo es igual a 
1/10. La altura para cada rectángulo es tomada del lado derecho de cada rectángulo, es decir, las alturas 
los rectángulos son los valores de la función 
2)( xxf  en los puntos extremos de la derecha. 
 
 
 
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Considerando de la imagen que, para cada número x de las abscisas, existe un valor para y, se cumple la 
función
2)( xxf  . 
La altura para el primer rectángulo es    2
10
1
10
1 f . 
Para el segundo    2
10
2
10
2 f , 
Para el tercero    2
10
3
10
3 f , 
De manera análoga se calcula las demás alturas para cada uno de los rectángulos. Así que podemos 
escribir las alturas de los rectángulos de la siguiente manera: 
                 2
10
92
10
82
10
72
10
62
10
52
10
42
10
32
10
22
10
1 ,,,,,,,, y 12 
La suma de las áreas de todos los rectángulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida 
entre 0 y 1: 
 
 
 
 
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Realizamos la suma de todas las fracciones: 
385.0200
77
10 R 
Esta es el área aproximada de la región S; sin embargo, nuestros rectángulos sobresalen por encima de la 
gráfica, lo cual quiere decir que el área que hemos calculado es mayor que el área A de la región S. 
A<0.385 
Para tener una mejor estimación del área A bajo la curva, lo que tendremos que hacer es considerar un 
incremento de rectángulos, y así las bases de los rectángulos serán cada vez más pequeñas. Al calcular la 
suma total de rectángulos infinitesimales, obtendremos mejores estimaciones para el área de la región S. 
Si incrementamos infinitamente el número de rectángulos n, de tal forma que el ancho de cada uno de ellos 
se hiciera muy pequeño, veremos que la suma de todos los rectángulos superiores se aproxima al área A 
bajo la curva. 
 
 
 
 
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De manera similar al desarrollo anterior, nR es la suma de n rectángulos de la figura de arriba, aquí el ancho 
de cada rectángulo vale n
1 y las alturas las obtenemos al evaluar los puntos ,...,, 321
nnn
 hasta 
n
n en la 
función 
2)( xxf  , entonces, las alturas son:         ,...,,, 24232221
nnnn
así sucesivamente hasta  2
n
n . 
El área total está dada por la suma de las áreas de todos los rectángulos. 
         21241231221221
n
n
nnnnnnnnnnR  
Factorizamos 2
11
nn
 
 222211 3212 nR nnn  
 22221 3213 nR nn  
La suma de cuadrados tiene una expresión general dada por: 
    
6
121
321 2222


nnn
n 
Sustituimos la expresión en nuestro desarrollo anterior. 
        
223 6
121
6
121
6
1211
n
nn
nn
nnnnnn
n
Rn






 
 
 
 
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Ahora le aplicamos el límite cuando el número de rectángulos tiende a ser infinito n debajo de la 
curva. 
  
26
121
lim
n
nn
R
n
n



 
Reacomodamos algunos términos: 
   





 





 

 n
n
n
n
R
n
n
121
6
1
lim 
 













 nn
R
n
n
1
2
1
1
6
1
lim 
Recordemos que 0
1
lim 
 nn
. Evaluamos los límites, 
  
3
1
2
6
1
0201
6
1
nR 
Por lo tanto, el área de la región S es: 
3
1
nR 
Con la misma metodología se puede calcular el área de la región S, usando rectángulos inscritos cuyas 
alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaríamos al 
mismo resultado cuando aplicamos el límite de infinitos rectángulos debajo de la función. 
 
 
 
 
 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y TecnologíaEsto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectángulos; ya sea que pongamos 
rectángulos superiores o rectángulos inferiores, siempre vamos a llegar al mismo resultado, los límites son 
iguales. 
Ahora estamos preparados para analizar una región más general. Hallemos el área de la curva siguiente. 
Tomemos la región mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el intervalo [a, b] en n rectángulos 
de anchos iguales. 
 
 
 
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El ancho del intervalo [a, b] es b-a; por lo tanto, el ancho para cada rectángulo es: 
 
n
ab
x

 
Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son: 
, ,3 ,2 , 321 xnaxxaxxaxxax n  
Para un i-ésimo rectángulo que tiene un ancho x y una altura f (xi), que es el valor de f en los puntos 
extremos de la derecha, tiene un área igual a xxf i )( . Observa detenidamente la figura de abajo. 
Nota: 
Cuando decimos “i-ésimo” hacemos referencia a un elemento que se encuentra en la posición “i”, 
así que, si estamos hablando de rectángulos nos referimos a la posición i que tiene un rectángulo 
sobre el eje x. 
 
 
 
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Entonces, el área bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la suma de las áreas 
de todos los rectángulos. 
xxfxxfxxfxxfR nn  )()()()( 321 
Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el número de rectángulos que divide el intervalo [a,b]. 
Te aseguramos que esta aproximación va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de 
rectángulos bajo la curva, es decir, cuando n . 
Una vez analizado el caso general para un área aproximada, podemos definir el área A de la región S. 
Definición. El área A de una región S que se encuentra debajo de una función 
continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: 
 xxfxxfxxfxxfRA n
n
n
n


)()()()(limlim 321 
 
Ojo, para que el límite exista se está suponiendo una función f continua. 
Frecuentemente se usa la notación sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen 
muchos términos. Por ejemplo, 
 
 
 
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xxfxxfxxfxxfxxf n
n
i
i 

)()()()()( 32
1
1
 
Nota: 
En la notación sigma 


n
mi
i xxf )( se identifican las siguientes partes. 
 i=m, indica que debemos comenzar con i=m, 
n indica terminar con el elemento n, 
y el símbolo  indica sumar. 
Por lo tanto, la definición anterior la podemos escribir de la siguiente manera: 




n
i
i
n
xxfA
1
)(lim 
Se tiene el mismo valor de área cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda. 





n
i
i
n
xxfA
1
1)(lim 
Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-ésimo rectángulo 
como el valor de f en cualquier número xi
* en el i-ésimo subintervalo [xi-1,xi]. Los números x1
*
,x2
*
,…xn
* reciben 
el nombre de puntos muestra. 
La figura de abajo muestra los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestra diferentes a 
los puntos de los extremos. 
 
 
 
 
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La expresión más general para el área bajo la gráfica de la función f es: 
 






n
i
i
n
xxfA
1
1)(lim 
1.1.3. Integral definida 
Anteriormente habíamos obtenido un límite de la forma 





n
i
i
n
xxf
1
1)(lim cuando se calcula un área bajo 
una curva. Hablando más general, este tipo de límite se presenta en varias situaciones, incluso cuando la 
función f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de límite se le da un nombre y una notación especial. 
Definición de integral definida. Si f es una función continua definida para axb, 
dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho nabx )(  . 
Denotamos con x0 (=a), x1,x2,…xn (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y 
elegimos los puntos muestra x1
*
,x2
*
,…xn en estos subintervalos de modo que xi
* se 
encuentre en el i-ésimo subintervalos [xi-1, xi]. Entonces la integral definida de f, 
desde a hasta b es: 





n
i
i
n
b
a
xxfdxxf
1
)(lim)( 
 
 
 
 
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Nota: 
En una integral se identifican las partes: 

b
a
dxxf )( 
El signo  se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que 
una integral es un límite de sumas. 
Las letras a y b son los límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite 
superior de la integral. 
A f(x) se le llama integrando. 
dx no tiene significado, sin embargo denota con respecto a qué variable se está 
integrando, y de cálculo diferencial lo identificamos como un diferencial. 
Al procedimiento para calcular una integral se le llama integración. 
Nota: 
La integral definida 
b
a
dxxf )( es un número, no depende de x. Se puede tomar 
cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral. 
Ejemplos: 
    
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dssfdrrfdfdyyfdttfdxxf )()()()()()(  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 2. Concepto de integral 
Instrucciones 
 
1. Construye el concepto de integral con base en los temas vistos. 
2. Da ejemplos. 
 
1.1.4. Suma de Riemann 
A la suma que está mostrada en la parte derecha de la definición de integral definida: 





n
i
i
n
b
a
xxfdxxf
1
)(lim)( 
 se le conoce con el nombre de suma de Riemann. 


 
n
i
i xxf
1
)( 
Esta sumatoria representa la suma de áreas de los rectángulos de aproximación. 
La gráfica muestra la representación geométrica de la suma de Riemann de la función )(xf . 
 
Con este ejemplo podemos ver que la suma de Riemann es: 
54321
5
1
)()()( AAAAAxxf
i
i 

 
 
 
 
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Si 0)( ixf es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los 
rectángulos de aproximación cuyas áreas son positivas. Por otra parte, los términos con signo negativo son 
inversos aditivos de áreas y surgen de las particiones o rectángulos que quedan debajo del eje x, ya que en 
ese tramo 0)( ixf . 
De la relación de la definición de integral definida y sumas de Riemann tenemos que: 
 Si 0)( xf , la integral definida 
b
a
dxxf )( es el área bajo la curva )(xfy  , desde a hasta b. 
 
 Si )(xf adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida 
b
a
dxxf )( es la 
diferencia de áreas: 
 
abajo Rarriba R)( AAdxxf
b
a
 
 
 
 
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Donde arriba RA representa el área de la región por arriba del eje x y debajo de la gráfica )(xf ; y abajo RA
representa la región debajo del eje x y arriba de la gráfica )(xf . 
 
Podemos ver un video de la suma de Riemann (viene en dos partes) muestra un ejemplo de como hallar el 
área bajo una curva aplicando el concepto de sumas de Riemann, aplicando el concepto de integral 
definida. 
http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY 
http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related 
Ejemplo 
Expresa   xxxx
n
i
iii
n



1
5 sen lim como una integral en el intervalo [0,π]. 
Solución 
De acuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. No importa 
cómo se elijan los puntos muestra 

ix , podemos remplazar xxi 
 tomando como puntos muestra los 
puntos extremos derechos, por lo tanto, el límite lo podemos escribir como: 
 


b
a
n
i
i
n
dxxfxxf )()(lim
1
 
Comparando el límite de la función dada )( ixf en la definición de integral definida )(xf con la integral de 
nuestra función, identificamos que: 
)()( xfxf i  
xxxxf i sen )(
5  cuando xxi 
 . 
En consideración de lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera. 
    



0
5
1
5 sen sen lim dxxxxxxxx
n
i
iii
n
 
http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY
http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related
 
 
 
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1.1.5. Evaluación de integrales 
Antes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a través de sumas, es necesario 
que conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para trabajar con sumatorias. 
2
)1(
1



nn
i
n
i
 ncc
n
i

1
 


n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba
111
)( 
6
)12)(1(
1
2 

nnn
i
n
i
 


n
i
ii
n
i
acac
11
 


n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba
111
)( 
2
1
3
2
)1(





 


nn
i
n
i
 
 
 
Consideremos el siguiente ejemplo. 
a) Evaluar la suma de Riemann para 2)(  xxf , en el intervalo [3,5]. 
b) Evalúe  
5
3
2dxx 
Solución. 
a) x estaba dado por: 
n
ab
x

 
Sustituimos a y b, 
nn
x
235


 
Para la i-ésima partición o rectángulo, 
i
n
xiaxi
2
3 
La suma de Riemann está dada por: 



n
i
i xxf
1
)( , 
 
 
 
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recuerde que la función )(xf es 2)(  xxf , así que sustituimos xi y x . 
 

































n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
nn
i
nnn
i
nn
i
xxxxf
1
2
1
2
1111
424222
1
2
2
2
3)2()( 
Sacamos de las sumas los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria 
correspondiente, según las fórmulas que dimos al principio de la sección. 

































n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
nn
i
nnn
i
nn
i
xxf
1
2
1
2
111
424222
1
2
2
2
3)( 

















 





 
  
  nnn
nnn
n
n
n
i
nn
n
i
n
i
1
22
1
122
1
22
2
)1(4
)(
24
1
2
2
1 1
2
 
Finalmente tenemos el n-ésimo término de la suma de Riemann. 







 n
xxf
n
i
i
1
22)(
1
 
b) Aplicando el concepto de integral definida se tiene el área bajo la curva entre los límites 3 y 5 del eje x. 
4)02(2
1
22lim)(lim)(
1










 n
xxfdxxfA
n
n
i
i
n
b
a
 
Actividad 3. Sumas de Riemann 
Instrucciones 
Realizar lo que se pide en cada punto. 
1. Expresar   xxxx
n
i
iii
n



1
tan coslim como una integral en el intervalo [0,π]. 
2. Expresar xx
n
i
ii
n









1
38
3
4
lim como una integral en el intervalo [3,9]. 
3. Expresar   xxx
n
i
ii
n



1
32/1 lnlim como una integral en el intervalo [0,3]. 
4. Evaluar las siguientes sumas de Riemann: 
 
 
 
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a) Evaluar la suma de Riemann para 65)(  xxf , en el intervalo [2,5]. b) Evalúa  
5
2
65 dxx 
a) Evaluar la suma de Riemann para 7)( 3  xxf , en el intervalo [3,4]. b) Evalúa  
5
2
3 7dxx 
a) Evaluar la suma de Riemann para xxxxf  32)( 2 , en el intervalo [-2,1]. b) Evalúa  
1
2
2 32 xdxxx 
5. Calcular la integral definida 
1
2
2xdx mediante sumas de Riemann. 
8. Calcular la integral definida  
7
2
23
3
2
5 dxxx mediante sumas de Riemann. 
1.1.6. Regla del punto medio 
Anteriormente el punto medio de un rectángulo más pequeño es ix , cuyo valor era arbitrario, podía estar 
entre 1ix y ix . Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, es 
conveniente usar puntos medios denotados por ix . Tenemos la regla que dice. 
Regla de punto medio 
 )()()()( 1
1
n
n
i
i
b
a
xfxfxxxfdxxf 

, donde 
n
ab
x

 
Y )( 12
1
iii xxx   que es el punto medio de intervalo o la base del rectángulo [ ii xx ,1 ] 
Ejemplo 
Calcular por aproximación la integral 
2
1
1 dx
x
 usando la regla del punto medio con n=5. 
Solución 
Si se tiene un intervalo [1, 2] y se toma n=5, se tienen 5 subintervalos que son: 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0. 
5
1
5
12


x 
Los puntos medios son 1.1)12.1(2
1
1 x , así sucesivamente para los demás: 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9. 
La integral aproximada es: 
 )9.1()7.1()5.1()3.1()1.1(
2
1
1 fffffxdxx  
 
 
 
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





 9.1
1
7.1
1
5.1
1
3.1
1
1.1
1
5
1
2
1
1 dxx 
692.0
2
1
1  dxx 
1.1.7. Propiedades de la integral definida 
En esta sección encontrarás las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad para evaluar 
integrales. Considere que las funciones f y g son continuas. 
 Si ba  se cumple 
1.  
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( 
Si ba  , 0x 
2.  
a
a
dxxf 0)( 
Propiedades básicas de las integrales 
3.  
b
a
abccdx )( , c es una constante. 
 
La integral de una suma es la suma de las integrales. 
4.     
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
 
 
 
 
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5.  
b
a
b
a
dxxfcdxxcf )()( , c es una constante. 
6.     
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
Si 0)( xf y bca  se cumple la propiedad. 
7.   
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxgdxxf )()()( 
 
 
 
 
 
 
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Propiedades de orden de la integral 
Lassiguientes propiedades son válidas para ba  
8. Si 0)( xf para bxa  , entonces  
a
a
dxxf 0)( 
9. Si )()( xgxf  para bxa  , entonces  
b
a
b
a
dxxgdxxf )()( 
10. Si Mxfm  )( para bxa  , entonces  
b
a
abMdxxfabm )()()( 
Esta última propiedad está ilustrada en la siguiente figura. Afirma que el área bajo la gráfica de f es 
mayor que el área del rectángulo de altura m y menor que el área del rectángulo de altura M. 
 
1.2. Teorema fundamental del cálculo 
En esta sección veremos el teorema fundamental del cálculo, así como su importancia en cálculo para 
integrar y/o derivar. 
Recordemos que el teorema fundamental del cálculo establece la conexión entre las dos ramas del cálculo, 
el diferencial y el integral. En otras palabras, la diferenciación y la integración son procesos inversos. Dan la 
relación precisa entre la derivada y la integral. 
El TFC permite calcular integrales con mucha facilidad sin tener que emplear límites de sumas. 
 
 
 
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1.2.1. Teorema fundamental del cálculo 
El teorema fundamental del cálculo se establece en dos partes. Veamos la primera parte. 
Primera parte del teorema fundamental del cálculo 
La primera parte del teorema fundamental del cálculo se deriva del siguiente análisis. 
Consideremos la siguiente gráfica. 
 
Tenemos una curva en rojo, representada por una función )(tf como lo muestra la gráfica. Por otra parte, 
podemos pensar en una función g(x) que describe el área bajo la curva desde a hasta x, representada por: 

x
a
dttfxg )()( 
 
Ahora, supongamos que queremos calcular el área de la franja azul encerrada bajo la gráfica y los 
intervalos x y x+h (ver la parte derecha). Por lo tanto el área que estamos buscando es simplemente la 
diferencia de áreas de la región limitada por [a, x+h] menos el área de la región limitada por [a, x]. 
 
 
 
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También existe otra manera de estimar el área de ese pequeño segmento de área limitado entre x y x+h, 
mediante calcular el área del rectángulo verde cuya área es h por f(x). El área del rectángulo verde es 
aproximada al área de la franja azul, es decir: 
 
)()()( xghxgxhf  
Esta aproximación es más precisa cuando el ancho del rectángulo verde h tiende a cero. Se convierte en 
igualdad cuando h tiende a cero como límite. 
Ahora, si a la aproximación )()()( xghxgxhf  la dividimos por h en ambos lados, se obtiene: 
h
xghxg
xf
)()(
)(

 
Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada de la 
función y que el miembro izquierdo se queda como ƒ(x). 
 
 
 
 
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)(
)()(
lim)(
0
xf
h
xghxg
xg
h




 
Se muestra entonces de manera intuitiva que ƒ(x) = )(xg , es decir, que la derivada de la función de área 
)(xg es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área )(xg es la antiderivada de la 
función original. 
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su 
curva son operaciones "inversas". 
Esto lo podemos enunciar en la primera parte del teorema fundamental del cálculo, que dice. 
Primera parte del TFC 
Dada una función f continua en [a,b], la función g definida por: 

x
a
dttfxg )()( bxa  
Es continua en [a,b] y derivable en (a,b), 
y 
)()( xfxg  
 
Con la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir el teorema fundamental del cálculo de la 
siguiente manera. Considérese que f es continua. 
)()( xfdttf
dx
d x
a
 
Recalquemos que esta ecuación indica que, si primero integramos f y luego derivamos el resultado, 
obtendremos nuevamente la función original f. 
Ejemplo 
Determinar la derivada de la función  
x
dttxg
0
21)( 
Solución 
Reconoceremos las partes que describe el teorema fundamental del cálculo. 
x
a
dttfxg )()( . 
 
 
 
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Identificamos que 
21)( ttf  es una función continua según el teorema, por lo que finalmente: 
21)( xxg  
En el siguiente video podemos ver cómo es que integración y diferenciación son procesos inversos. 
http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related 
Segunda parte del teorema fundamental del cálculo 
La segunda parte del teorema fundamental del cálculo ofrece un método más sencillo para evaluar 
integrales. 
Segunda parte del TFC 
Dada una función f continua en [a,b], entonces 
 
b
a
aFbFdxxf )()()( 
F es cualquier antiderivada de f, de tal forma que F’=f 
Esto quiere decir que si conocemos una antiderivada F, de f, es posible evaluar 
b
a
dxxf )( con sólo restar 
los valores de F en los extremos del intervalo [a, b]. 
Nota: 
Existen estas otras formas para denotar el teorema fundamental del cálculo. 
   )()()()()( aFbFxFxFxF b
a
b
a
b
a
 
Ejemplo 
Evalúa la integral 
6
3 x
dx
. 
Solución 
Una antiderivada de xxf 1)(  es xxF ln)(  . Dado que los límites de integración se encuentran en [3,6] 
podemos omitir las barras de valor absoluto. 
2ln
3
6
ln3ln6lnln
6
3
6
3
 xx
dx
 
http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related
 
 
 
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Actividad 4. Resolución de problemas TFC 
Instrucciones 
 
Realizar lo que se pide en cada punto. 
1. Evalúa la integral dxex
5
1
. 
2. Calcula el área bajo la curva 
3xy  desde 0 a 1. 
3. Calcula  
2
0
12 dxx . 
4. Halla la integral de 
3
1 x
dx
. 
5. Calcula 



 
x
dtt
dx
d
0
2 1 . 
6. Evalúa la función dttF
x
 0 cos en x=0, 6
 , 4
 , 3
 , 2
 . 
 
7. Halla la derivada de dttF
x

3
2
cos

. 
 
1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos 
Hemos visto la importancia que tiene el teorema fundamental del cálculo, nos muestra claramente que la 
integración y la derivación son procesos inversos. 
El teorema fundamental queda establecido como a continuación se enuncia. No lo olvides y tenlo siempre 
presente. 
Dada una función f continua en un intervalo cerrado [a, b]. 
1. Si 
x
a
dttfxg )()( , entonces )()( xfxg  . 
2.  
b
a
aFbFdxxf )()()( , donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F’=f. 
 
Las dos partes del teorema fundamental del cálculo expresan que la derivación y la integración son 
procesos inversos. Cada una deshace lo que hace la otra. 
 
 
 
 
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Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo 
Instrucciones 
 
1. ¿Qué ventajas proporciona el teorema fundamental del cálculo? 
2. ¿Qué consecuencias habría de no existir el teorema fundamental del cálculo? 
 
1.3. Integral indefinida 
En el siguienteapartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la 
derivación. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo. 
Cxdxx 
32
3
1
  233
2
xCx
dx
d







 
Cuando quieras conocer una integral sin tener que evaluarla, deberás tener en mente esta imagen, te 
permitirá hallar de manera más sencilla la integral de una función. Las tablas de integrales resumen estos 
procesos inversos, te serán de gran ayuda. 
1.3.1. Integral indefinida 
De las secciones precedentes habíamos llegado a dos puntos muy importantes del teorema fundamental 
del cálculo. 
1. Si f es continua entonces 
x
a
dttf )( es una antiderivada de f. 
2. Si  
b
a
aFbFdxxf )()()( , donde F es una antiderivada de f. 
Sin embargo, por practicidad, es precisa una notación para las antiderivadas. Por lo tanto, a la integral 

x
a
dttf )( se le llama integral indefinida. 
Integral indefinida 
 )()( )()( xfxFxFdxxf  
 
 
 
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Ejemplo 
derivada la es esta )(2 
2
derivaci—n
2
xfxC
x
dx
d
 





 
indefinida integral o daantideriva la es esta 
2
2x 2)(
2
ciónAntideriva C
x
dxxxf    
C es cualquier constante. 
El TFC trae como consecuencia que una integral definida es una familia de funciones para cada valor de C. 
Nota importante: 
La integral definida 
b
a
dxxf )( es un número. 
La integral indefinida  dxxf )( es una familia de funciones, dado por C, que puede ser cualquier 
número. 
 
1.3.2. Tabla de integrales indefinidas 
A continuación te desplegamos una lista de antiderivadas de funciones, o mejor dicho integrales 
indefinidas. 
Tabla de integrales indefinidas 
  dxxfcdxxcf )()(     dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
Ckxkdx  
)1( 
1
1




 nCn
x
dxx
n
n Cxdx
x
 ln
1
 
 
 
 
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Cedxe xx  C
a
a
dxa
x
x  ln
 
Cxxdx  cossen Cxxdx  sen cos 
Cxxdx  tansec
2 Cxxdx  cotcsc
2 
Cxdxxx  sec tan sec Cxxdxx  csccot csc 
Cxdx
x




1
2
tan
1
1
 Cxdx
x




1
2
sen
1
1
 
 
De manera semejante a lo que se hizo en la sección anterior, puedes derivar la función del lado derecho 
para verificar que se obtiene el integrando. Observa. 
 
x
Cx
dx
d
Cxdx
x
1
ln porque ln
1
 
Actividad 6. Integral indefinida 
Instrucciones 
 
1. Calcular las siguientes integrales indefinidas y verificar su resultado por derivación: 
 
a) 

dx
x 1
45
2
 
b)  dxx 
c) 

dx
x
x 1
 
d)  dxx
senx
2cos
 
e)  





 dx
xx
xx
133 
f) 

dx
x
xx
4
32 3
 
g)    dttt
331 
h)  dz10 
i)     dsen cos7 
 
 
 
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j)  



d
sen
sen
21
 
 
 
 
1.4. Regla de sustitución 
Hemos visto cómo evaluar algunas integrales; sin embargo, si te presentan una integral de la siguiente 
forma, 
  d1 
de seguro te surgirán las siguientes preguntas: 
¿Cómo le hago? 
¿Existe algún truco? 
¿Hay algún método para evaluarlas que tenga que ver con raíces? 
Las respuestas las encontrarás aquí. 
El radical aparentemente te la hace complicada, pero veremos una alternativa interesante para calcular 
integrales que contengan radicales, veremos que el método de sustitución es ideal para resolver este tipo 
de integrales. 
Lo esencial de esta regla es transformar una integral complicada en una integral más sencilla, Esto se lleva 
a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. 
1.4.1. Regla de sustitución 
Hemos visto en nuestras tablas la forma de hallar ciertas antiderivadas; sin embargo, no tenemos las 
herramientas para evaluar integrales donde se vean involucradas radicales o integrales de la forma: 
dxxx 
212 
Para resolverlas implementaremos el siguiente método de sustitución: 
Lo que haremos será introducir un cambio de variable de ux  . 
Designamos por conveniencia a ux  21 : 
 
 
 
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21 xu  
Calculamos el diferencial du (esto se estudió en cálculo diferencial). Es algo análogo a calcular una 
derivada. 
xdxdu 2 
Ahora reacomodamos nuestra integral para facilitar la identificación de términos. Y sustituir estos dos 
últimos resultados en nuestra integral: 
duuduuxdxxdxxx
du
u
  
2/122 2112 
Nuestra integral ha quedado en términos de la nueva variable u, procedemos a calcular la integral con la 
fórmula: C
n
x
dxx
n
n 



 1
1
 que vimos de la sección de tablas de integración. 
CuC
u
C
u
C
u
duu 





 2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
2/1
3
2
1
2
3
2
2
2
1
2
1
 
Ahora que hemos calculado la integral en términos de la variable u procedemos a poner nuestro resultado 
en la variable anterior, es decir, xu  . 
   CxCu
x


2
3
2
2
3
1
1
3
2
3
2
2
 
Finalmente podemos escribir que: 
  Cxdxxx  2
3
22 1
3
2
12 
Hemos visto que evaluamos de manera sencilla nuestra integral haciendo la introducción de un cambio de 
variable. 
Para comprobar nuestro resultado, simplemente, derivamos 
 
 
 
 
 respecto de x usando la regla 
de la cadena, la cual se vio en cálculo diferencial. 
 
El procedimiento anterior lo escribimos con la siguiente regla: 
 
 
 
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Regla de sustitución 
Si tenemos una función )(xgu  diferenciable en el intervalo I, y además continua en 
ese mismo intervalo, entonces: 
    duufdxxgxgf )()()( 
 
Así que si )(xgu  , entonces dxxgdu )( . La clave es pensar en du y dx como diferenciales. 
Ejemplo 
Encontrar dx
x
x

 241
 
Solución 
Proponemos 
241 xu  , ahora calculamos el diferencial. xdxdu 8 
 
Ahora reescribimos nuestra integral, de modo que se adapte a u y du para hacer el cambio de variable. 
Observa que del cociente se identifica al denominador como du y al denominador como u . 












u
du
x
xdx
dx
x
x
22 41
8
8
1
41
 
Identificamos a du y u y la integral se reescribe como: 






 
u
du
8
1
 
Seguimos reacomodando términos que se pueden sacar de la integral. 
CuC
u
C
u
u
du
u
du





2/1
2
1
2
1
1
2/1 8
2
8
1
18
1
8
1
8
1 2
1
2
1
 
 
Ahora colocamos nuestro resultado en términos de la variable inicial. 
 
 
 
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  CxCu
u
du
 
2/122/1 41
4
1
8
2
8
1
 
 
Finalmente nuestra integral queda expresada de la siguiente manera. 
  Cxdx
x
x



2/12
2
41
4
141
 
 
Para comprobar, se precede a derivar. 
Actividad 7. Integración usando reglas de sustitución 
Instrucciones 
Resolver las siguientes integrales usando sustitución. 
 
1.   dxx 12 
2.     dxxx 21
22
 
3.  xdx5cos5 
4.  xdxxsen 3cos3
2 
5.   duuu 2
43
 
6.    dttt 29
2
 
7.  ydyytg22sec 
8.      dxxtgx 11sec 
9.  

dx
x
x
12
12
 
10.  dxe
x5
 
 
 
 
 
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1.4.2. Integrales definidas 
Habíamos mencionado anteriormente en una nota que: la integral definida 
b
a
dxxf )( es un número y que la 
indefinida  dxxf )( es una familia de funciones, dado por C. 
Sin embargo, como nos encontramos sumergidos en el tema de integrales definidas trataremos dos 
maneras de evaluar una integral definida. 
La primera consiste en hallar la integral como en los casos propuestos de la sección anterior para evaluar 
la integral. 
Supongamos que piden que evaluemos la integral: dxxx 
3
0
212 , se calcula la integral y se procede a 
evaluar según los límites superior e inferior. 
             11000
3
2
1
3
2
10
3
2
01
3
2
31
3
2
1
3
2
12 2
3
2
3
2
3
22
3
2
3
0
2
3
2
3
0
2 





 xdxxx 
El otro método consiste en cambiar los límites de integración al momento de cambiar la variable. Con ello 
surge la siguiente regla. 
Regla de sustitución para las integrales definidas 
Si tenemos una función )(xg continua en el intervalo [a,b] y f también es continua en 
la imagen de )(xgu  , entonces: 
   
)(
)(
)()()(
bg
ag
b
a
duufdxxgxgf 
Analicemos el siguiente ejemplo: 
Calculemos la siguiente integral definida dx
x
xe
0
ln
. 
Antes que nada procedamos a realizar el cambio de variable. 
xu ln 
Su diferencial es dxdu
x
1 
Identificamos términos y los intercambiamos por la nueva variable, teniendo así: 
 
 
 
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 
?
?0
ln
ududx
x
xe
 
El signos de interrogación “?”, denota que no sabemos los nuevos límites de integración. 
Ahora los límites de integración quedan definidos por la nueva variable 
Cuando 1x sustituida en xu ln da 0)1ln( u 
y cuando ex  ; 1)ln(  eu 
Por tanto los nuevos límites de integración son: 0 y 1, inferior y superior, respectivamente. Quedando así la 
nueva integral con sus nuevos límites de integración. 

1
0
udu 
Resolvemos y evaluamos. 
2
1
2
1
0
2
1
0

u
udu 
Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas 
Instrucciones 
Evaluar las siguientes integrales definidas. 
 
1.  dxx 
2
0
12 
2.  dxxxe x 
2
0
33
2
 
3.   dxxxx 

0
22cos 
4. dx
xx
xe
e
4
ln
3
2
 
5. 


dsen
3
4
5
 
6.  dttt 
2
0 6
cos 
 
 
 
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7. dxxsenx
2
2
cos


 
8. dxxx 
2
0
3 2 
9.   dxxx 
2
1
21 
10.  dxxe x 
2
0
6 ln 
 
1.4.3. Simetría 
En algunas integrales es posible simplificar los cálculos, poniendo atención a sus propiedades. En cálculo 
diferencial revisaste las propiedades de simetría de una función. 
Considera lo siguiente. 
Integrales de funciones simétricas 
Si tenemos una función f continua en el intervalo [-a, a]. 
i) Si f es par  )()( xfxf  , entonces    
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2 
ii) Si f es impar  )()( xfxf  , entonces   0
a
a
dxxf 
 
Gráficamente representamos los casos. 
 
El caso i) ilustra que f es positiva y par, por lo tanto, el área bajo la curva descrita por )(xf es el doble de 
área desde 0 hasta a, debido a que )(xf es simétrica. Lo puedes ver en la siguiente gráfica. 
 
 
 
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)(xf es par, y se puede hacer    
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2 
En el caso ii) tratamos con una función impar. Las áreas se van a cancelar, ya que se trata de una 
diferencia de áreas. 
 
 
)(xf es impar, la integral se reduce a   0
a
a
dxxf 
En el siguiente video puedes verificar las funciones pares e impares: 
http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8 
 
 
 
 
 
http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8
 
 
 
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Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración 
Propósito 
Calcular el área de un jardín o patio de forma irregular de tu casa o de un vecino. 
Instrucciones 
1. Busca un jardín o patio de forma irregular. 
2. Dibújalo a escala en una hoja cuadriculada. 
3. Calcula el área del jardín o patio en la hoja mediante cuadrados grandes inscritos (es preciso que 
asignes unidades). 
4. Vuelve a calcular el área del jardín o patio disminuyendo el tamaño de los cuadrados a la vez que 
aumentas el número de ellos inscritos en tu jardín o patio. 
5. Por último, halla el área de tu jardín o patio irregular haciendo los cuadrados lo más pequeños posibles, 
al mismo tiempo que aumentas el número de cuadrados dentro del área. 
6. Anota en una tabla las áreas que obtuviste en los pasos 3,4 y 5 respecto de las áreas de los cuadrados. 
7. ¿Qué conclusión puedes obtener cuándo aumentas el número de cuadrados al mismo tiempo que 
disminuyes su tamaño? 
8. Ahora colocarás los cuadrados de tal manera que cubran las fronteras de tu jardín o patio, es decir, que 
los cuadrados estén por fuera de la frontera del jardín o patio de forma irregular. 
 
 
 
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9. Calcula el área del jardín o patio en la hoja mediante cuadrados grandes. 
10. Vuelve a calcular el área del jardín o patio disminuyendo el tamaño de los cuadrados a la vez que 
aumentas el número de ellos. 
11. Por último, halla el área de tu jardín irregular haciendo los cuadrados lo más pequeño que puedas, al 
mismo tiempo que aumentas el número de cuadrados dentro y sobre la frontera del jardín o patio. 
12. Anota en una tabla las áreas que obtuviste en los pasos 8, 9 y 10 respecto de las áreas de los 
cuadrados. 
13. ¿Qué conclusión puedes obtener cuándo aumentas el número de cuadrados al mismo tiempo que 
disminuyes su tamaño? 
14. ¿Qué puedes decir de la respuesta de la pregunta 7 y de la 13? ¿A qué conclusión llegas? 
Consideraciones específicas de la unidad 
Para abordar este curso de Cálculo Integral es necesario que tengas conocimiento sobre matemáticas, 
álgebra y cálculo diferencial. 
En esta sección requerimos el siguiente material: 
Calculadora. 
Tablas de integración. Puedes obtenerlas de algún libro o bien bajarlas de internet. Te aconsejamos que 
tengas las tablas para evaluar las integrales. 
Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y volumétricas 
comunes. 
Fuentes de consulta 
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté. 
Larson,R. E. (2005). Cálculo. México: McGraw Hill. 
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning. 
 
 
 
 
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UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 
 
Propósito de la unidad 
Al terminar la unidad contarás con las herramientas necesarias para hallar áreas entre curvas o regiones, 
obtendrás la capacidad necesaria para calcular el volumen de sólidos mediante integración. 
Incluso, serás capaz de calcular volúmenes mediante cascarones cilíndricos y obtendrás el conocimiento 
para aplicar la integración para encontrar el valor promedio de una función y valor medio de una función. 
 
Competencia específica 
Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de 
una función mediante el uso de aproximaciones con base en definiciones, métodos y teoremas. 
Presentación de la unidad 
En esta unidad trataremos el caso de cómo calcular áreas limitadas por dos funciones, veremos que estos 
métodos tienen mucho que ver con el primer capítulo, donde analizamos la suma de Riemann para 
integración de ciertas áreas. De manera análoga utilizaremos el concepto de sumas de Riemann para 
llegar a la integral definida, útil para calcular el área entre dos curvas de funciones, limitadas al intervalo 
[a, b]. 
Veremos también los métodos de integración para calcular volúmenes de sólidos. Para ello revisaremos el 
concepto de volumen, que nos será de gran utilidad para tener la idea intuitiva de lo que es volumen. 
Calcularemos volúmenes usando los métodos de sólido de revolución y el método de cálculo de volúmenes 
mediante cascarones esféricos. 
Por otra parte, comprenderemos lo que es un valor medio de una función y el valor promedio de una 
función. 
2.1. Área entre curvas 
Para hallar el área delimitada entre dos funciones como se muestra en la figura siguiente, usaremos los 
conocimientos adquiridos en las secciones previas. Usaremos el concepto de sumas de Riemann para 
calcular áreas. 
 
 
 
 
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2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación 
 
 
En la figura de arriba observamos que tenemos un área S delimitada por dos funciones )(xfy  y 
)(xgy  , delimitadas por las rectas verticales x=a y x=b. En principio estamos considerando que las 
funciones son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. 
Nuestra intención es hallar el área S y para ello haremos un procedimiento análogo al que vimos al principio 
de la unidad uno. 
 
 
Para calcular el área de la región S consideremos que incrustamos rectángulos cuyas bases son del tamaño 
de x y alturas )()( ** iii xgxfh  . Así que tenemos rectangulitos de área xha ii  . 
 
 
 
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Nota: Recuerda que es indiferente cómo elijamos los puntos muestra, ya que pueden ser los del lado 
izquierdo, derecho o central. En este caso, tomaremos los del lado derecho 
ii xx 
* . 
Ya hemos definido las dimensiones de nuestros rectangulitos, entonces, así podemos definir nuestra suma 
de Riemann como: 
   


n
i
ii
n
i
i xxgxfxhA
1
**
1
aproximada )()( 
El área aproximada es la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos entre las dos funciones: 
   


n
i
ii xxgxfA
1
**
aproximada )()( 
Finalmente, arribamos a que el área S delimitada por las dos funciones está expresada como un límite, 
cuando n . 
 



n
i
ii
n
xxgxfA
1
** )()(lim 
Esta expresión la podemos reescribir como 



n
i
i
n
xhA
1
lim , representa que vamos a realizar la suma de 
todos los rectangulitos pequeños incrustados dentro de la región S. Al mismo tiempo hacemos cada vez 
más delgados nuestros rectangulitos, de modo que el límite de la suma se aproxima al área real de la 
región S. 
 
 
 
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2.1.2. Área entre curvas mediante integración 
 
Ahora que sabemos que el área de la región S es una aproximación de rectángulos inscritos 
infinitesimalmente delgados o, dicho de otra manera, es el límite de las sumas de las áreas de los 
rectángulos infinitamente delgados. Este límite se expresa como: 
 



n
i
ii
n
xxgxfA
1
** )()(lim 
 
 
 
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Teniendo un poco de imaginación, podemos darnos cuenta de que el límite de esta suma es la integral 
definida de gf  . 
Por lo tanto, el área A de la región limitada por las gráficas )(xfy  , )(xgy  y las rectas verticales en x=a 
y x=b, considerando que f y g son continuas, además de que gf  para cualquier valor de x en el 
intervalo [a, b] es: 
  
b
a
ii dxxgxfA )()( 
 
Es evidente de la figura que se cumple lo siguiente: 
 
 















b
a
b
a
b
a
dxxgxf
dxxgdxxf
xgxf
A
)()(
)()(
)( de
debajo área
)( de
 debajo área
 
Ejemplo 
Hallar el área limitada por 22  xy , y por xy  , acotada por las rectas verticales x=0 y x=1. 
 
 
 
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Solución 
En la figura de arriba se muestra la región limitada por ambas gráficas. Usamos la fórmula 
  
b
a
dxxgxfA )()( para calcular el área e identificamos los términos. 2)( 2  xxf ; xxg )( ; a=0 y 
b=1. 
El área del triangulo representativo es: 
    xxxxxgxfA  )()2()()( 2´ 
El área de la región está dada como: 
 
   
 
6
17
2
2
1
3
1
2
23
2
)()2()()(
1
0
23
1
0
2
1
0
2´










x
xx
dxxx
dxxxdxxgxfA
b
a
 
Finalmente, tenemos que el área encerrada es: 
6
17
A 
 
 
 
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Actividad 1. Área entre curvas 
Instrucciones 
1. Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas. 
2. Decide si integrar con respecto a x o y. 
3. Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho. 
4. Calcula el área de la región de las siguientes funciones: 
 
a) 
2xy  , xy 4 
b) 1 xy , 
29 xy  , 1x , 2x 
c) xy  , xy 3 , 4 yx 
d) 
x
y
1
 , 
2
1
x
y  , 2x 
e) 
24xy  , 32  xy 
f) 92  xxy , 0y , 5x 
g) xxy  3 , xy 3 
h) xy cos , xy
2sec , 
4
x , 
4
x 
i) senxy  , xseny 2 , 0x , 
2
x 
j) 
xey  , xy  , 0x , 1x 
 
2.2. Volúmenes 
Posiblemente, alguna vez te hayas hecho preguntas como: 
¿Con qué formula cálculo el volumen una botella de refresco, de vino o incluso el de una olla de barro?, 
¿Cómo cálculo el volumen de una figura irregular?Pues, en esta sección, daremos respuesta a estas inquietudes. 
 
 
 
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En esta sección encontrarás diferentes métodos de integración para calcular volúmenes de ciertos sólidos. 
2.2.1. Volumen de un sólido 
La pregunta inicial en esta sección es ¿sabes qué es volumen? 
El volumen lo podemos definir como el espacio encerrado por varias superficies. Por ejemplo, en una caja, 
el espacio que está encerrado por las seis superficies planas corresponde al volumen encerrado por dicha 
figura. La manera de calcular el volumen es multiplicar el área de la base l por su altura h. Por lo tanto el 
volumen es hlV  . 
 
Otro ejemplo es cuando se desea calcular el volumen de un tonel de forma cilíndrica para saber su 
capacidad. La manera de hacerlo es multiplicar el área de su base 
2r por su altura h. El área de la base es 
el área de un círculo 
2r . 
 
 
 
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En este caso, el espacio está limitado por dos superficies planas (tapaderas) y una superficie cilíndrica que 
es una superficie curva que rodea el espacio geométrico buscado. El volumen es hrV 2 . 
Lo anterior lo podemos aplicar de manera muy práctica para figuras geométricas conocidas; sin embargo, 
para sólidos o cuerpos volumétricos que no tengan formas bien definidas (como los de abajo), lo que 
haremos es incrustar pequeños cilindros dentro del sólido de cierta anchura. Con lo cual realizamos la 
suma de Riemann, se aplica el límite y obtendremos una integral definida. De esta manera seremos 
capaces de hallar volúmenes a sólidos de diferentes formas. 
 
 
 
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Con esto se puede hacer una estimación del volumen del sólido, simplemente realizando la suma de todos 
los cilindros delgados que estén dentro de la región a calcular. Claro está, si aplicamos el límite cuando el 
número de cilindros va en aumento, llegaremos al valor exacto del volumen de la región interna del cuerpo 
S. 
* 
Para calcular el volumen de este cuerpo, lo primero que haremos es calcular el área de la sección 
transversal )( *ixA de S para multiplicarlos por una anchura x , esto está representado en la figura de arriba 
del lado derecho. Obtenemos cilindros pequeños con áreas cuyas bases miden )( *ixA y altura x o, como 
dicen, tenemos rebanadas del cuerpo de altura x con bases cuyas áreas miden )( *ixA . 
 
 
 
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Realizando la suma de todos los volúmenes de las rebanadas, tendremos el volumen aproximado del 
sólido. Ahora bien, si aplicamos el límite cuando n , es decir, aumentamos el número de cilindros o 
rebanadas dentro del sólido al mismo tiempo que disminuyen su achura, tenemos que  

xxAV i
n
)(lim * . 
Aplicando el concepto de integral definida tenemos el siguiente enunciado: 
Definición de volumen 
Sea un sólido limitado por x=a y x=b. Si el área de su sección transversal de S se encuentra en el plano Px, 
que pasa por x y es perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de 
S es: 
  
b
a
i
n
dxxAxxAV )()(lim * 
Ejemplo 
Vamos a demostrar que el volumen de una esfera es 3
3
4
rV  
 
 
 
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Solución 
Consideremos que la esfera está centrada en el origen. El plano Px secciona a la esfera en un círculo de 
radio 22 xry  , es fácil identificar esto por el teorema de Pitágoras. Se tiene entonces que el área de la 
sección transversal está dada por: 
)()( 222 xryxA   
Usando la definición de volumen 
3
3
3
0
3
2
0
22
22
3
4
3
2
3
2
parfuncion unaser por 2
)()(
r
r
r
x
xr
dxxr
dxxrdxxAV
r
r
r
r
r
r





















 
 
 
 
 
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2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución 
Los sólidos de revolución son comunes en ingeniería y en todo tipo de objetos de uso cotidiano. Ejemplos 
de estos son los embudos, ruedas, discos, píldoras, botellas y pistones, entre otros. 
 
 
Si una región plana se hace girar en torno a una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y a 
esta recta se le llama eje de revolución o eje de giro. 
La fórmula para hallar el volumen de un sólido de revolución es la misma fórmula anterior. 

b
a
dxxAV )( 
Sólo hay que hallar el área de la sección transversal A(x) o A(y). 
Si la sección transversal es un disco, primero buscamos el radio del disco en términos de x o y, según el eje 
de giro x o y. Así que el área es: 
2radio)(A 
Si la sección transversal es un anillo o arandela, necesitamos saber el radio interior y el radio exterior como 
se muestra en la figura siguiente. 
 
 
 
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Para calcular el área de la arandela, restamos el área exterior menos el área interior del disco. 
Lo que queda como 
22 interior) radio(exterior) radio(  A 
Lo anterior lo podemos enunciar de la siguiente manera: 
  
b
a
dxxgxfV 22 )()( 
 
Donde 22 )()( xgxf  representa la diferencia de regiones acotadas por el radio exterior )(xf y el radio 
interior )(xg . 
Ejemplo 
Calcular el volumen del sólido al girar la región acotada por las gráficas de xy  e 
2xy  alrededor del 
eje x. 
 
 
 
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En este caso hay que identificar el radio interno y externo. Los límites son x=0, y x=1 
xxf )( radio exterior 
2)( xxg  radio interior 
Se sustituye en la fórmula para volumen 
 
10
3
52
)(
)()()()(
1
0
52
1
0
4
1
0
22222













xx
dxxx
dxxxdxxgxfV
b
a
 
En este caso, el eje de revolución fue x y se ha integrado con respecto a x. En el caso que el eje de giro sea 
y hay que integrar con respecto a y. 
 
Actividad 2. Sólidos de revolución 
Instrucciones 
1. Calcula el volumen del sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje 
especificado. 
2. Haz un esquema de la región, del sólido y de un disco o anillo típico. 
 
 
 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y TecnologíaActividad 3. Sólidos de revolución en la vida diaria 
Instrucciones 
1. Comenta qué es un sólido de revolución. 
2. ¿Dónde se ven implicados los sólidos de revolución en tu vida diaria? 
3. Proporciona ejemplos. 
2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos 
Veremos cómo calcular el volumen cuando se trata de cascarones, tomando de la analogía que una 
naranja tiene una cáscara. Prácticamente, lo que queremos es hallar el volumen de la cáscara sin 
considerar el núcleo. 
 
El método de los cascarones cilíndricos que enunciaremos a continuación, surge de la necesidad de 
resolver problemas que se complican con el método de la sección anterior. Por ejemplo, para calcular el 
volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región que limitan 
322 xxy  y 0y . La 
región limitada es la siguiente. 
 
 
 
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Si rebanamos perpendicularmente al eje y, obtenemos un anillo o arandela; sin embargo, la situación se 
complica al tratar de calcular el radio interior y el radio exterior de la arandela, tendríamos que resolver la 
ecuación cúbica 322 xxy  para escribir x en términos de y. 
Para calcular el volumen del cuerpo de una figura como la de abajo, se tiene que hacer girar alrededor del 
eje y la región debajo de la curva )(xfy  desde a hasta b: 

b
a
dxxxfV )(2 donde ba 0 
 
Ejemplo 
En este ejemplo hay que calcular el volumen del sólido que se obtiene girando la región limitada por 
322 xxy  y 0y alrededor del eje y. 
 
 
 
 
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Solución 
Miremos el dibujo siguiente que corresponde a las dos funciones, del diagrama identificamos un cascarón 
que tiene radio x, circunferencia xy 2 y altura 322)( xxxf  
 
El volumen para este cascarón es: 





5
16
5
32
82
5
1
2
1
2
)2(2
)2(2)(2
2
0
54
43
32



















xx
dxxx
dxxxxdxxxfV
b
a
b
a
b
a
 
 
 
 
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Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos 
Instrucciones 
1. En los siguientes ejercicios utiliza el método de los cascarones cilíndricos para hallar el volumen 
generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje y. 
 
x
y 1 , 0y , 1x , 2x 
 
2xy  , 0y , 1x 
 
2xy  , 0y , 1x , 2x 
2. En los siguientes ejercicios usa el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen 
generado por las curvas dadas alrededor del eje x. 
 
21 yx  , 0x , 1y , 2y 
 3 yx , 
2)1(4  yx 
3. Realiza un bosquejo de la región calculada de cada uno de los ejercicios. 
 
2.3. Valor promedio de una función 
En esta sección veremos cómo calcular el promedio de una cantidad infinita de números, en tales casos se 
ven involucrados hechos para calcular la temperatura promedio durante el día, si hay una cantidad infinita 
de medidas del termómetro. Hablando de manera general, veremos cómo calcular el valor promedio de una 
función, también cómo calcular el valor medio. Finalmente conoceremos el teorema de valor medio. 
2.3.1. Valor promedio 
La definición es muy sencilla, así que no nos extenderemos mucho. Si tienes una función )(xf como la 
que muestra la siguiente gráfica, es posible encontrar su valor promedio. Veamos. 
 
 
 
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El valor promedio de una función )(xf en un intervalo cerrado [a, b] está definido como: 


b
a
dxxf
ab
f )(
1
prom 
Revisemos el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo 
Calculemos el valor promedio de la función 
21)( xxf  en el intervalo [-1, 2]. 
Solución 
Identificamos el intervalo para el cual se quiere calcular el promedio, 1a y b=2. Los sustituimos en la 
definición. 
2
33
1
)1(
)1(2
1
)(
1
2
1
3
2
1
2
prom















x
x
dxxdxxf
ab
f
b
a
 
Hemos calculado el valor medio de la función 21)( xxf  . El resultado es 2. 
2.3.2. Teorema del valor medio 
Ahora quizá te surja la siguiente duda. 
¿Hay algún número, c, tal que f sea exactamente igual al valor promedio de una función, prom)( fcf  ? 
Según el siguiente teorema, resulta que sí: 
 
 
 
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Teorema del valor medio para las integrales. Si tenemos una función continua en un intervalo cerrado [a, 
b], existe un número tal que cumple: 
))(()( abcfdxxf
b
a
 
 
La figura de arriba muestra que cuando las funciones son positivas, hay un número c tal que el rectángulo 
de base es ab  y altura f(c), tiene la misma área que la región bajo la gráfica de f en el intervalo [a, b]. 
 
Ejemplo 
Como ejemplo consideremos la función 21)( xxf  continua en el intervalo [-1, 2]. 
El teorema de valor medio para las integrales dice que existe un número tal que: 
 )1(2)()1(
2
1
2  cfdxx 
Sabemos que prom)( fcf  , y del problema de la sección anterior se tiene que 2)( prom  fcf 
Por lo tanto, si despejamos la función 
21)(2 ccf  , se tiene que hay dos números que satisfacen la 
relación prom)( fcf  en el intervalo [-1,2]. 
 
 
 
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Actividad 5. Valor medio de una función 
Instrucciones 
Contesta las siguientes preguntas: 
1. ¿Qué entiendes por valor medio de una función? 
2. Da algunos ejemplos donde se pueda aplicar esta definición de valor medio de una función. 
3. ¿Cuál es la diferencia entre valor medio y valor promedio? 
Evidencia de aprendizaje. Aproximación e integración de volumen 
Instrucciones 
1. Selecciona un recipiente de forma irregular. 
2. Usa tres tamaños diferentes de objetos esféricos de los que puedas conocer su volumen (ejemplos: 
limones, todos del mismo tamaño, canicas o chícharos). 
 
 
 limones canicas chícharos 
3. Halla el volumen aproximado de cada limón. Es suficiente con que calcules el de uno, por eso es 
necesario que todos sean del mismo tamaño. 
 
 
 
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4. Halla el volumen aproximado de cada canica. 
5. Calcula el volumen aproximado de cada chícharo. 
6. Llena tu recipiente con limones. Toma una fotografía. 
7. Calcula el área aproximada de tu recipiente usando el volumen conocido de los limones. 
8. Llena tu recipiente con canicas. Toma una fotografía. 
9. Calcula el área aproximada de tu recipiente usando las canicas. 
10. Llena tu recipiente con los chícharos. Toma una fotografía. 
11. Calcula el área aproximada con los guisantes. 
12. Responde: ¿qué pasaría si usas arenapara calcular el volumen, considerando que cada grano es 
esférico y que todos son iguales? 
13. Llena con arena tu recipiente escogido. 
14. Vierte la arena dentro de un recipiente para que puedas conocer el volumen de la arena. 
15. Responde: ¿qué volumen ocupa la arena?, ¿de qué volumen es tu recipiente escogido? ¿qué 
pasaría si usaras cada vez objetos más pequeñitos para calcular el volumen de tu recipiente de 
forma irregular? 
16. Escribe tus conclusiones. 
17. Elabora tu reporte. 
 
Consideraciones específicas de la unidad 
En esta sección requerimos el siguiente material: 
 Calculadora. 
 Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas 
de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales. 
 Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas de figuras geométricas planas y 
volumétricas comunes. 
Es necesario que tengas conocimientos sobre: 
 Álgebra 
 Geometría analítica 
 Cálculo diferencial 
 
 
 
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 Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias. 
Fuentes de consulta 
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté 
Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: McGraw Hill. 
Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press 
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning. 
. 
 
 
 
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UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
 
Propósito de la unidad 
Al término de la unidad habrás incrementado tu competencia en resolver integrales mediante diferentes 
métodos y reglas de integración. Desarrollarás tu habilidad de escoger métodos apropiados para resolver 
integrales. Identificarás integrales que requieran el uso de tablas de integrales para su resolución. 
 
Competencia específica 
Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, sustituciones, 
simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de práctica. 
Presentación de la unidad 
En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es posible integrar 
una función si conocemos su antiderivada, o su integral definida. También hemos adquirido habilidad para 
resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen integrales más complicadas que no es posible 
resolverlas con las fórmulas y métodos hasta ahora expuestos. Por ello, en este capítulo abordaremos 
diferentes técnicas y métodos para resolver integrales. 
Entre los métodos que veremos están integración por partes, integración usando funciones trigonométricas, 
integraciones por sustitución trigonométrica, integración de un cociente mediante la descomposición de 
fracciones parciales entre sus diferentes casos. También veremos el cómo abordar cierto tipo de integrales 
mediante tablas y/o aplicando algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso 
abordaremos las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso 
donde el intervalo es infinito y también al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en un intervalo 
[a, b]. 
3.1. Integración por partes 
Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el método de integración por partes. Dicho método es 
una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de funciones. Veremos también el 
proceso de integración cuando tengamos funciones expresadas como raíces cuadradas. 
 
 
 
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3.1.1. Integrales por partes 
La regla de integración por partes surge de la regla de derivación de un producto de dos funciones. 
Supongamos que f y g son funciones derivables. 
La regla de derivación de un producto de funciones establece: 
  )()()()()()( xfxgxgxfxgxf
dx
d
 
Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos: 
   dxxfxgxgxfdxxgxf
dx
d
  )()()()()()( 
En el primer término se cancela la integral. 
dxxfxgdxxgxfxgxf   )()()()()()( 
Despejamos el primer término de la suma del lado derecho. 
dxxfxgxgxfdxxgxf   )()()()()()( 
Llegamos a lo que se conoce como fórmula de integración por partes. 
Si renombramos los términos )(xfu  y )(xgv  y sus respectivos diferenciales dxxfdu )( y 
dxxgdv )( ; reescribimos la fórmula de integración por partes como: 
duvuvdvu   
Reescribiendo de esta manera una integral, es más sencillo resolverla. Escrita de esta manera te será más 
fácil recordarla. 
Ejemplo 
Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx  . 
Solución 
Antes de realizar la integral identificamos a u y v . 
 u dv  u v  v du 
 
 
 
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Lo que está en rosa es lo que identificamos y lo que está en amarillo es lo que tenemos que encontrar para 
poder aplicar la regla. 
xu  encontrar: dxdu  
senxdxdv  encontrar: xv cos 
Sustituimos en nuestra fórmula de integración por partes, y procedemos a integrar las integrales faltantes. 
En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la regla de integración por partes. En este 
caso no es necesario. 
   
Csenxxx
dxxxcoxx
dxxxsenxdxx
duvvudvu





cos
cos
)cos()cos( 
La integral del coseno la sacamos de las tablas de integrales. 
El objetivo de la integración por partes es obtener una integral más fácil de resolver, en comparación con la 
inicial. 
Actividad 1. Métodos de integración 
Instrucciones 
1. Investiga por tu cuenta y responde las siguientes preguntas: 
2. ¿Qué otros métodos de integración existen y en qué consisten? 
Actividad 2. Ejercicios de integración por partes 
Instrucciones 
Integra por partes las siguientes integrales. 
 
1. dxxx 322 
2.  d
2sec 
3. dxxe x
2
 
4. dxex x
32
 
 
 
 
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5. dxxx ln 
6. dxsenxx )ln(cos 
7. dxxx cos 
8. dxxx
5
1
ln 
9. dxx
2)(ln 
10. dxsenxex 
 
3.1.2. Sustitución para racionalizar 
En esta sección evaluaremos integrales que tienen una expresión de la forma n xg )( , en la cual 
efectuaremos una sustitución n xgu )( . 
Ejemplo 
Evaluar la integral 

dx
x
x 4
 
Solución 
Haremos la sustitución de n xgu )( , es decir: 
4 xu que es lo mismo que 42  xu , despejando x y determinando sus diferencias, 
 42  ux ; ududx 2 
Sustituyendo en la integral, llegamos a: 









du
u
u
du
u
u
udu
u
u
dx
x
x
4
2
4
22
4
4
2
2
2
2
2
 
Este último término será evaluado usando fracciones parciales. 
 
 
 
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3.2. Integrales trigonométricas 
En esta secciónnos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonométricas. Para ello 
conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonométricas frecuentemente usadas. 
3.2.1. Integrales trigonométricas 
Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas combinaciones de 
funciones trigonométricas. 
La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada en una integral más accesible que 
permita realizar el proceso de integración de forma práctica. 
Podemos usar las siguientes identidades, según nuestra conveniencia a la hora de evaluar integrales. 
1cossen 22  xx ó xx 22 cos1sen  ó xx 22 sen1cos  
 xxen 2cos1
2
1
s 2  
 xx 2cos1
2
1
cos2  
1sectan 22  xx 
xx 2csccot1 2  
Para evaluar integrales de la forma  dxnxmx cossen ,  dxnxmx sen sen ó  dxnxmx cos cos , puedes usar 
las siguientes identidades. 
 )(sen )(sen 
2
1
cossen BABABA  
 )( c)( cos
2
1
sen sen BAosBABA  
 )( c)( cos
2
1
coscos BAosBABA  
 
 
 
 
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Además, podemos usar otras identidades como: 
Identidades recíprocas 
senx
x
1
csc  
x
x
cos
1
sec  
x
x
tan
1
cot  
x
senx
x
cos
tan  
senx
x
x
cos
cot  
Identidades pitagóricas 
1cossen 22  xx 
xxan 22 sec1t  
xx 22 csccot1  
Identidades de paridad 
senxx  )(sen 
xxos cos)(c  
xx tan)(tan  
Ejemplo 
Queremos evaluar la integral  dxx cos
3 . Como notarás, no la puedes evaluar directamente con los 
métodos anteriormente vistos. 
 
 
 
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Solución 
Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla más fácil de resolver. 
Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonométricas como: 
xxxxx cos) sen1(coscoscos 223  
Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen  y xdxdu cos 
Cuu
du
dxxxdxx





3
2
23
3
1
)u1(
cos) sen1(cos
 
Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen  
Cxxdxx 
33 sen
3
1
sen cos 
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos 
En esta sección conocerás el método de evaluar integrales de la forma 
 dxxx
n cos senm 
Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos: 
CASO UNO. En el caso que tengamos 12  kn una potencia impar, descomponemos el xncos en 
factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos  con la intención de expresar los factores 
restantes en términos de funciones trigonométricas senos. 
Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en términos de senos. 
 
 
 dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m 
Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos  tenemos una integral de la forma, 
 
 dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m 
 
 
 
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Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen  y al hacer xdxosdu c . Al final 
tendríamos que resolver una integral de la forma: 
duuu mk  )1(
2
 
 
CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12  km . Usamos la misma 
técnica que en el caso uno. 
Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx
22 cos1sen  




dxxxx
dxxxxdxxx
nk
nkn
 cos sen )cos1(
 cos sen )(sen cos sen
2
212k
 
Esta forma se puede resolver por medio de una sustitución, haciendo xosu c , senxdxdu  . Como en la 
expresión no tenemos un dxxsen )( multiplicamos ambos lados por -1 y nos queda la expresión 
dxxsendu )( . Finalmente tendrás que calcular esta integral. 
 duuu nk  )1(
2 
Como te darás cuenta esta integral es más fácil de resolver. 
CASO TRES. Veremos que éste es más fácil, ya que se trata de un caso donde las potencias son pares, 
tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos que aplicar las siguientes identidades: 
 xxen 2cos1
2
1
s 2  
 xx 2cos1
2
1
cos2  
 
xxx 2sen 
2
1
sen cos  
Ejemplo 
Determina 
 
 
 
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 xdxxsen
25 cos 
 
 
Solución 
Podríamos convertir x2cos a xsen21 pero nos quedaríamos con una expresión en términos de senx sin 
factor xcos extra. En vez de eso, separamos un sólo factor seno y reescribimos el factor xsen4 restante en 
términos de xcos : 
xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos  
Sustituyendo xu cos , tenemos senxdxdu  luego 
 
 
 
 
. 
Otro ejemplo 
Evaluar 
 
 
= 
 
 
 
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= 
 
= 
 
= 
3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes 
En esta sección nos interesa evaluar integrales de la forma:  dxxx
n sec tanm . 
Tienes dos casos. 
i) Cuando la potencia kn 2 es par: descompondrás xnsec en factores, manteniendo en un factor una 
potencia igual a 2. Reemplazarás la identidad xx 22 tan1sec  . Expresarás la integral en términos de 
xtan . 






dxxxx
dxxxxdxxx
k
kk
 sec)tan1( tan
 sec)(sec tan sec tan
212m
212m2m
 
Hacemos una sustitución y y la integral que evaluarás quedaría así: 
   duuudxxxan m
k
k
1
22m 1 sec t

  
ii) Cuando la potencia 12  km es impar: lo que harás será descomponer xk 12tan  en factores, 
manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Después reemplazarás la identidad 1sectan 22  xx . 
Posteriormente, expresarás la integral en términos de sec x. 






dxxxxx
dxxxxxdxxx
nk
nkn
 tansecsec)1sec(
 tansecsec)tan( sec tan
12
1212k
 
Convertimos y y nos queda una forma más sencilla de integral: 
 
 
 
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Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas 
Instrucciones 
Calcula las siguientes integrales: 
 
1. dxmxsen
3 
2. dxxx sectan
2 
3. dxxxsen
45cos 
4. dxxcsc 
5. dxxsen 
2)21( 
3.2.4. Sustitución trigonométrica 
En esta sección aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa 
22
 , siendo a una constante 
MAYOR a cero. 
Haremos un cambio de variable de x a  mediante la sustitución asenx  . Emplearemos la identidad 
 22 1cos sen con el objetivo de quitar la raíz, observa: 
 coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa  
Podrás ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una más sencilla facilitando la 
integración. Hemos eliminado la raíz que nos complicaba el trabajo. 
A este tipo de sustitución se le llama sustitución inversa. 
Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuación tenemos una tabla 
donde se muestra la expresión y lo que puedes usar dependiendo de los signos de lostérminos del 
radicando. 
 
 
 
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 Forma del radical Sustitución Nuevo límite de integración Identidad empleada 
1. 22 xa  asenx  
22



 
 22 1cos sen 
2. 22 xa  tanax  
22



 
 22 tan1sec  
3. 22 ax  secax  
2
0

  ó 
2
3
  
1sectan 22   
 
En video puedes ver algunos ejemplos. 
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8 
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related 
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related 
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related 
Ejemplo 
Determina la integral 

dx
xx 4
1
22
 
Solución 
Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la sustitución 
empleada será tan2x definida en el intervalo 2/2/,   . El diferencial de x es ddx 2sec2 . 
Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene: 
 sec2sec2sec4)1(tan44 222 x 
Reemplazamos en nuestra integral original: 





d
d
xx
dx
  

222
2
22 tan
sec
4
1
)sec2)(tan2(
sec2
4
 
 
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related
 
 
 
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El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma: 






22
2
2
coscos
cos
1
tan
sec
sensen
 
La integral queda: 
  







d
sen
d
xx
dx
2222
cos
tan
sec
4
 
Realizando la sustitución senxu  y su respectivo diferencial se tiene: 


 2222 4
1cos
4
1
4 u
du
d
sen
dx
xx
dx



 
Resolviendo 
CC
sen
C
uu
du






 4
csc
4
11
4
1
4
1
2


 
Emplearemos el triángulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ángulo en cuestión. 
x
x 4
csc
2 
 
 
 



C
x
x
xx
dx
4
4
4
2
22
 
Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas 
Instrucciones 
Calcula la integral mediante sustitución trigonométrica en cada caso. 
Dibuja el rectángulo asociado. 
 
 
 
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1. dx
xx

 9
1
22
 
2. dx
xx

 22 25
1
 
3. dxxx  4
23
 
4. 
 
dx
x
x


2
5
42
 
dx
xx

 136
1
2
 
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 
Revisaremos algunos métodos para calcular integrales racionales de la forma: 
 
 
 xQ
xP
xf  
En donde )(xP y )(xQ son polinomios. 
Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una suma de fracciones 
más sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor grado que el polinomio Q. 
Nota: 
Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera. 
  01
1
1 axaxaxaxP
n
n
n
n 

  
En donde 0na . El grado del polinomio está denotado por n . 
Por otra parte, debemos considerar que una función propia )(xf es cuando el grado de )(xP es menor 
que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es mayor que el grado de )(xQ . 
Considerando el caso que tengamos una función impropia, lo primero que haremos será realizar la división 
de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir, 
 
 
 
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)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf  
En donde )(xR y )(xS también son polinomios. 
Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor. 
 
Ejemplo 
Supongamos que nos piden determinar la integral racional de: 
 
Solución 
Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor que el grado del 
polinomio Q. 
Procedemos a realizar la división y la sustituimos dentro del radicando, tenemos: 










 dxx
xxdx
x
xx
1
2
2
1
2
3
 
Cxx
xx
 1ln22
23
23
 
El cálculo de la integral fue más trivial al realizar la división. 
Sin embargo, después de haber realizado la división, es posible que nos quedemos trabajando con el 
cociente 
)(
)(
xQ
xR
 que pueda tener la forma de una función propia. El grado de )(xR es menor que el grado de
)(xQ . 
)(
)(
xQ
xR
 
Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en factores, tanto como sea 
posible para convertir nuestro cociente 
)(
)(
xQ
xR
 en una suma de fracciones parciales cuyos denominadores 
son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos. 
dx
x
xx
 

1
3
 
 
 
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rFFF
xQ
xR
 21
)(
)(
 
El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia, 
)(
)(
xQ
xR
 como una suma de fracciones 
parciales, dependiendo del factor que esté contenido en )(xQ . 
 ibax
A

 ó 
 jcbxax
BAx


2
 
Esto siempre va a ser posible. 
Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para el denominador 
)(xQ de la función propia. 
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos 
Sea el caso que tengamos una función propia. El grado de )(xP es menor que el grado de )(xQ . 
rFFF
xQ
xR
 21
)(
)(
 
Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos. 
Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la potencia de cada 
uno de ellos es uno. 
 
No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como: 
 
donde kAAA ,,, 21  son constantes a encontrar. 
Ejemplo 
Resuelve la siguiente integral. 
      kk babxabxaxQ  2211
 
  kk
x
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xR





 
22
2
11
1
 
 
 
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Solución 
Se trata de una función propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado que el polinomio 
del numerador. 
Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en términos de factores de grado 
uno. 
 
Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de grado uno. ¿Soy 
muy redundante? Pues, sí, ¡que no se te olvide que el grado de cada factor es uno! 
Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales, en términos de 
las constantes A, B y C . 
 
Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos ambos lados de la 
expresión por 
  212  xxx . 
 
Reordenado para conseguir la igualación de literales. 
 
Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales. 
 CBA 221  
 CBEA  22 
dx
xxx
xx
 

232
12
23
2
    212232232 223 xxxxxxxxx
   212212
122






x
C
x
B
x
A
xxx
xx
      122212122  xCxxBxxxAxx
    AxCBEAxCBAxx 222212 22 
 
 
 
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A21  
Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y C . Puedes usar 
cualquier método que desees para resolverlo. 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores 
Al resolver el sistema obtenemos: 
2
1
A , 
5
1
B y 
10
1
C 
Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en términos de fracciones parciales 
 
Cxxx
dx
xxx
dx
xxx
xx














2
10
1
12ln
10
1
ln
2
1
2
1
10
1
12
1
5
11
2
1
232
12
23
2
 
Recalcando, el denominador )(xQ se escribió como un producto de factores lineales distintos 
      kk babxabxaxQ  2211 
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 
Si 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf  , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es un producto de 
factores lineales, algunos de los cuales se repiten. 
Sea el cociente de polinomios 
rFFF
xQ
xR
 21
)(
)(
 
El cual es una función propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un producto de factores 
lineales, algunos de los cuales se repiten. 
     r
r
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1





 
   212212
122






x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
 
 
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Observa que los factores )( 11 bxa  se repiten r veces. 
Un ejemplo claro es el siguiente: 
     32232
3
1111
1








x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2r veces, por lo que se escriben los términos 
x
A
 y 
2x
B
. Y también el factor )1( x es lineal y se repite 3r , por lo que puedes escribir tres términos
)1( x
C
, 
2)1( x
D
 y 
)1( x
E
 
Analicemos un ejemplo de integración. 
Ejemplo 
Determine la integral  

dx
xxx
xxx
1
142
23
4
 
Solución 
El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf  
Dividiendo resulta 
1
4
1
1
142
2323
4




xxx
x
x
xxx
xxx
 
El segundo paso es expresar a   123  xxxxQ en factores. 
Factorizamos, dado que 1 es solución de 0123  xxx tenemos el primer factor )1( x , también a 
)1( 2 x lo podemos descomponer en dos factores )1( x )1( x . Reescribiendo tenemos: 
 
 
 
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      
   11
111111
2
223


xx
xxxxxxxx
 
El factor lineal 1x , aparece dos veces. 
Con esto ya podemos trabajar con la parte 
)(
)(
xQ
xR
 así que este cociente queda expresado como: 
 
Realizando la misma técnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos por el mínimo 
común denominador    11 2  xx y obtenemos 
      
     CBAxCBxCA
xCxBxxAx


2
11114
2
2
 
Igualamos coeficientes en relación con las literales: 
 
0 
42 
0 



CBA
CB
CA
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: 
1A , 2B y 1C 
Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en nuestras fracciones 
parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas. 
 
C
x
x
in
x
x
x
Cxin
x
xinx
x
dx
xxx
xdx
xxx
xxx
























1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
142
2
2
223
24
 
        11111
4
22 





 x
C
x
B
x
A
xx
x
 
 
 
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Una vez más hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores lineales, algunos de 
los cuales se repiten. 
     r
r
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1





 
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 
Caso III. Es el caso tal que la descomposición de  xQ contiene factores cuadráticos irreducibles, de los 
cuales ninguno se repite. Esto es cuando  xQ posee el factor cbxax 2 , en donde 042  acb . El 
cociente 
)(
)(
xQ
xR
 tendrá un término de la forma: 
cbxax
BAx


2
 
Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que  xQ contenga términos lineales 
y no lineales. 
Si el denominador contiene factores lineales, utilizarás el método de la sección anterior para determinar las 
fracciones parciales debido a los términos lineales. Y para determinar la forma de las fracciones parciales 
cuando los factores del denominador tienen factores cuadráticos, usarás el método expuesto en esta 
sección. 
El siguiente ejemplo lo ilustra mejor. 
Ejemplo 
La función  
    412 22 

xxx
x
xf descompuesta en fracciones parciales queda de la siguiente 
manera: 
    412412 2222 







 x
EDx
x
CBx
x
A
xxx
x
 
 
 
 
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Las fracciones parciales 
12 

x
CBx
y 
42 

x
EDx
surgen debido a los factores cuadráticos  12 x y  42 x 
respectivamente; y la fracción 
2x
A
es consecuencia del término lineal )2( x . 
Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una función racional. 
 
 
Ejemplo 
Calcule la siguiente integral dx
xx
xx
 

4
42
3
2
 
Solución 
Procedemos a descomponer )4(4)( 23  xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen dos fracciones, 
una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrático). 
  44
42
22
2





x
CBx
x
A
xx
xx
 
Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por  42 xx para resolver los valores de A, B y C. 
   
  ACxxBA
xCBxxAxx
4
442
2
22


 
Resolviendo llegamos a los valores 
1A 1B , 1C 
Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma: 
dx
x
x
x
dx
xx
xx
 










4
11
4
42
23
2
 
 
 
 
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Fíjate que esta integral, ahora está expresada como la integral de una suma, que es lo mismo que la suma 
de dos integrales. 
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
 




4
11
4
42
23
2
 
El cálculo del primer término es trivial; sin embargo, el segundo término lo podemos expresar en dos partes 
como: 
 





dx
x
dx
x
x
dx
x
x
4
1
44
1
222
 
La primera integral la resolvemos usando una sustitución de variable con 42  xu y xdxdu 2 
respectivamente. En la segunda integral se usa la integral: 
C
a
x
aax
dx










1
22
tan
1
 
Identificamosque 2a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser descompuesta en 
tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadráticas. 
    CxxInxIn
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx









2tan4
4
1
4
1
4
42
1
2
12
2
1
223
2
 
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 
En este tópico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede descomponer en el factor 
 rcdxax 2 repetido r veces. 
)(
)(
xQ
xR
se descompone en las fracciones parciales de la forma: 
   r
rr
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA








22
22
2
11  
Ejemplo 
 
 
 
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Descompón en fracciones parciales el siguiente cociente: 
   322
23
111
1


xxxxx
xx
 
Solución 
       322222322
23
11111111
1
















x
JIx
x
HGx
x
FEx
xx
DCx
x
B
x
A
xxxxx
xx
 
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término 
x
A
, el factor )1( x es lineal y 
tiene potencia 1r , por lo que también se escribe el término 
)1( x
B
. 
El factor )1( 2  xx es cuadrático y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término 
)1( 2 

xx
DCx
 . 
Ahora pon mucha atención, como el factor 
32 )1( x no es lineal y tiene una potencia 3r , es posible 
escribir tres factores de la forma: 
)1( 2 

x
FEx
, 
22 )1( 

x
HGx
 y 
32 )1( 

x
JIx
. 
Ejemplo 
Determinar 
 
dx
xx
xxx



22
32
1
21
 
Solución 
Para la descomposición de fracciones, debemos poner atención en la potencia r de cada factor )(xQ . 
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término 
x
A
; sin embargo, el factor 
)1( 2 x no es lineal y tiene potencia 1r , entonces se escribe el término 
)1( 2 

x
CBx
 y el término 
22 )1( 

x
DDx
. 
 
 
 
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Entonces tenemos que el cociente 
)(
)(
xQ
xR
 es: 
   22222
32
1112
21








x
EDx
x
CBx
x
A
x
xxx
 
Multiplicamos por  22 1xx para hacer una igualación de coeficientes: 
       
     
      AxECxDBACxxBA
ExDxxxCxxBxxA
xEDxxxCBxxAxxx



234
232424
22223
2
12
1112
 
Se tiene: 
0 BA 1C 22  DBA 1 EC 1A 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones: 
1A 1B 1C 1D 0E 
Sustituyendo los valores de las constantes, llegarás a: 
   
 
 
 
C
x
xxx
x
xdx
x
dx
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
dx
xx
xxx

























 

12
1
tan1lnln
111
11
11
1
21
2
12
2
1
2222
22222
32
 
Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales 
Instrucciones 
Evalúa cada una de las siguientes integrales usando el método de descomposición de fracciones 
parciales: 
1. dx
xx
x
 

2
2 1
 
 
 
 
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2. 
 
dx
x
x


3
2
1
 
3. dx
xx
xx
 

23
2
2
235
 
4. dx
xx
xxx
 

45
12
24
23
 
5. 
   
dx
xx
xx



11
12
22
2
 
 
3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 
Dado que la integración ofrece más retos que la diferenciación, daremos unos puntos que debes tener en 
consideración cuando trates de resolver integrales. 
Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de memorizarlas, por lo menos 
las fórmulas básicas de integración. 
3.4.1. Tablas de fórmulas integrales 
La tabla siguiente te será de mucha ayuda a la hora de resolver integrales. 
Tabla de fórmulas de integración 
1.  


1
1
n
x
dxx
n
n
 con )1( n 
11.   xxdxx tanseclnsec 
2. xIndx
x

1
 12.   xxdxx cotcsclncsc 
3. xx edxe  13.   xIndxx sectan 
4.   a
a
dxa
x
x
ln
 
14.   senxIndxxcot 
5.  sen x xdx cos 15. xdxxsenh cosh 
6.   xsendxxcos 16.   xsenhdxxcosh 
 
 
 
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7.   xdxx tansec
2 
17. 








 a
x
aax
dx 1
22
tan
1
 
8. xdxx cotcsc2  18.  








a
x
sen
xa
dx 1
22
 
9.   xdxxx sectansec 19.  


 ax
ax
aax
dx
ln
2
1
22
 
10. xdxxx csccotcsc  20.  

22
22
ln axx
ax
dx
 
 
Actividad 6. Fórmulas de integración 
Instrucciones 
Agrega fórmulas de integración que pueden ser útiles para integrar. 
3.4.2. Estrategias para integrar 
Hemos visto varias técnicas de integración; sin embargo, es necesario tener una estrategia para enfrentar 
las integrales. 
Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es: 
1. Simplificar el integrando en lo posible. 
2. Detectar si existe una sustitución obvia. 
3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los métodos apropiados de 
integración ya sean: 
a. Integración de funciones trigonométricas 
b. Integración de funciones racionales 
c. Integración por partes 
d. Integración de radicales 
4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se puede intentar con 
lo básico, por sustitución o por partes. 
a. Prueba la sustitución 
b. Intenta integrar por partes 
c. Intenta integrar modificando el integrando 
 
 
 
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d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que la experiencia es 
muy importante. 
e. Utiliza varios métodos de integración, a veces no se llega al resultado con un método. 
Una manera más eficiente que te ayudará a incrementar tus habilidades para resolver integrales es la 
experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales como te sea posible para cada uno 
de los métodos vistos a lo largo del curso y en especial de esta unidad. 
¡Ánimo!, sigue resolviendo muchas integrales. 
Actividad 7. Resolución de integrales 
Instrucciones 
Evalúa las siguientes integrales: 
1. dx
x 8
1
3
 
2. dx
e
e
x
x
 

1
1
 
3.  dxx 
21ln 
4.  dxaxsen 
5.  dxxx  seccosh 
 
 
3.5. Integrales impropias 
Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que está definida en un intervalo infinito y 
también en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b]. 
Estudiemos ambos casos. 
3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos 
Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la función 
2
1
x
y  . 
 
 
 
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La región S está acotada por la función 
2
1
x
y  y el eje x , acotada en el lado izquierdo por la recta vertical 
1x en el ladoderecho hasta el infinito. En principio se pensaría que el área S es infinita; sin embargo, 
esto no es así. 
El área de una región acotada por la vertical 1x y por la recta vertical movible en el eje tx  está dada 
por: 
 
tx
dx
x
tA
t
t 1
1
11
1
1 2



  
Si nos ponemos a hacer cálculo variando t , sin importar qué tan grande sea, notaremos que el área no 
rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA . 
Observamos también, que si calculamos el límite cuando t , llegamos a un valor diferente de infinito. 
  1
1
1limlim 






 t
tA
tt
 
El área de la región es igual a uno y esto lo podemos escribir como: 
1
1lim1
1 21 2


 

dx
xt
dx
x
t
 
Este ejemplo te dio una noción intuitiva de que el área no es infinita; sin embargo, considera la definición 
siguiente, la cual te expone tres casos: 
 
 
 
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Definición de una integral impropia de tipo 1 
i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma  dxxf
t
a para cualquier at 
, entonces: 
   dxxfdxxf
t
ata  

 lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma  dxxf
b
t para cualquier 
bt  , entonces: 
   dxxfdxxf
b
tt
b
   lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como 
convergentes si existe dicho límite y divergentes si no lo hay. 
iii) Si en ambas integrales  dxxf
a

 y  dxxf
b
  de los casos anteriores, son 
divergentes, entonces por definición se tiene la suma de integrales: 
     dxxfdxxfdxxf
a
a





 
 
Ejemplo 
Determina si la integral es divergente o convergente 
 dxx
1
 
Solución 
De acuerdo con la definición anterior, la integral se amolda al caso i. 
 
 
 
Cálculo integral 
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
  





tt
xdx
x
dx
x
tt
t
t
t
t
lnlim1lnlnlim
lnlim
1
lim
1
111 
El valor es infinito, no es un número finito, por lo tanto de la definición podemos concluir que la integral 
impropia diverge. 
 
Si tuvieses una integral impropia de la forma: 


1
1
dx
x p
 
Será convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p . 
 
3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos 
Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos discontinuos. 
Definición de una integral impropia de tipo 2 
i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b. 
   dxxfdxxf
t
abt
b
a   lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
 
ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a. 
 
 
 
Cálculo integral 
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   dxxfdxxf
b
tat
b
a   lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
 
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes 
si existe dicho límite y divergentes si no lo hay. 
 
iii) Si tienes una discontinuidad en c que está entre los intervalos a y b , y además son 
convergentes las integrales  dxxf
c
a y  dxxf
b
c , por definición tendrás: 
     dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a   
 
 
Ejemplo 
Determina la integral dx
x


5
2 2
1
 
 
 
 
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Solución 
La gráfica de la función es la siguiente. 
 
Observa y veras que tiene una asíntota vertical en 2x . La discontinuidad es infinita marcada en 2x . De 
la definición ii) de esta sección, se tiene: 

 
32
232lim
22lim
2
lim
2
2
5
2
5
2
5
2













t
x
x
dx
x
dx
t
t
t
tt
 
Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El área es región 
sombreada de la región. 
Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral 
Instrucciones 
1. Escribe tu nombre, fecha de nacimiento y edad. 
2. Sean a y b dos constantes definidas por: 
a= la suma de los dígitos que forman tu fecha de nacimiento. 
b= la suma de los dos dígitos que forman tu edad. 
Ejemplo: 
23 de junio, implica que: 
 
 
 
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a=2+3=5 
18 años, implica que: 
 b=1+8=9 
3. Sustituye los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar. 
4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3. 





















a
a
ba
bxeabx
baxbx
b
a
xxabxb
bxax
xbxa
xba
xx
dxxsen ba
1
2
2
233
22
2
7
2)(
)(
tansec
cos
 
5. Escribe tu desarrollo. 
6. Escribe en una lista los métodos de integración usados. 
 
Consideraciones específicas de la unidad 
En esta sección requerimos el siguiente material: 
 Calculadora. 
 Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas 
de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales. 
 Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y 
volumétricas comunes. 
Es necesario que tengas conocimientos sobre: 
 Álgebra 
 Geometría analítica 
 Cálculo diferencial 
 Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias. 
Fuentes de consulta 
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté. 
 
 
 
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 Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill. 
Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press. 
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.