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Escuela Preparatoria Uno
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
DESCRIPCIÓN DE
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Asignatura obligatoria básica:
Las matemáticas en la toma de decisiones
CURSO REGULAR
6º SEMESTRE
ENE – JUN 2023
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 1
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
P
ER
ÍO
D
O
1
ADAS PUNTOS INICIO FIN
UNIDAD 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Actividad 1. Estadística con datos ordenados 4 26 ENE 2023 03 FEB 2023
Actividad 2. Estadística con datos agrupados 6 07 FEB 2023 24 FEB 2023
P
ER
ÍO
D
O
2
Prueba de desempeño Unidad 1 15 02 MAR 2023
Total 25
UNIDAD 2. PROBABILIDAD
Actividad 3. Espacios finitos equiprobables 8 27 FEB 2023 17 MAR 2023
Actividad 4. Teorema de la multiplicación y
Probabilidad condicional
12 21 MAR 2023 31 MAR 2023
P
ER
ÍO
D
O
3
Actividad 5. Teorema de Bayes y Procesos
Estocásticos
12 17 ABR 2023 28 ABR 2023
Actividad 6. Distribuciones de probabilidad 8 02 MAY 2023 19 MAY 2023
Total 40
PRODUCTOS
Problemario 5 22 MAY 2023 26 MAY 2023
Prueba de desempeño Unidad 2 30 29 MAY 2023
Total 35
Total del curso 100
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 2
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
Escuela Preparatoria Uno
LAS MATEMÁTICAS
EN LA TOMA
DE DECISIONES
ASIGNATURA OBLIGATORIA BÁSICA
Competencia de la asignatura: Toma decisiones en
situaciones de su entorno, considerando el análisis de datos
estadísticos y probabilísticos.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 3
UNIDAD 1
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Competencia de la unidad: Toma decisiones mediante la
resolución de problemas en situaciones de su entorno,
considerando el análisis de datos estadísticos. (Analiza
información estadística con base en situaciones hipotéticas a
partir de datos y/o gráficas)
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 4
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1
Estadística con datos ordenados
Valor: 4 puntos
Resultados de aprendizaje:
• Identifica el tipo de variable involucrado en un estudio estadístico.
• Analiza las gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión de datos no
agrupados para resolver problemas hipotéticos o reales empleando argumentos
lógicos.
Descripción de la Secuencia de Actividad:
INICIO
1. Lee el apartado: Conceptos básicos (pág. 3) del documento Estadística Descriptiva,
ubicado en la pestaña RECURSOS de asignatura Las Matemáticas en la Toma de
Decisiones en la plataforma UADY VIRTUAL EMS.
2. Responde si los estudios que se te describen a continuación corresponden a una
muestra o una población.
Se quiere saber la edad promedio de las 15 secretarias que
laboran en la escuela “Francisco Villa”
Se quiere conocer el número promedio de asignaturas
reprobadas de los 1200 alumnos de primer grado de una
escuela.
Una empresa fabricante de tenis acude a un centro comercial
a realizar una encuesta con el fin de conocer el modelo de tenis
favorito de los jóvenes.
Una radiodifusora recibe llamadas durante 15 minutos para
estimar cuál es la canción favorita de sus radioescuchas.
El profesor del tercero cuarta realiza una encuesta a todo el
grupo acerca del número de habitantes en su domicilio, con la
finalidad de conocer el promedio de habitantes por domicilio.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 5
3. Escribe dentro de cada paréntesis que se presenta a continuación (C) si la variable
que se describe es continua, (D) discreta y (A) si es de atributo.
La resistencia a la ruptura de una cuerda, máxima tensión que soporta antes
de romperse.
El total de personas esperando atención médica en la sala de emergencias
de un hospital.
El color de cabello de los niños que acudieron a ver “Coco”.
La talla de calzado de los habitantes de Mérida.
La cantidad de lluvia que cae en Mérida Yucatán durante una semana.
El número de señales de tránsito en Motul.
El número de goles anotados en la final del futbol de primera división de
México.
El foco esta defectuoso o no.
El número de reactivos contestados correctamente por los estudiantes de la
preparatoria 1 en el simulacro de EXANI II.
El tiempo de reacción de un conductor automovilístico cuando se enfrenta a
un peligro inminente.
La cantidad de errores de impresión encontrados en un libro.
La temperatura corporal de una persona enferma medida cada hora durante
24 horas.
El tiempo de espera en un banco.
DESARROLLO
1. Lee el apartado: Colección de datos organizada con una Tabla de distribución de
frecuencias (pág. 11) del documento Estadística Descriptiva, ubicado en la pestaña
RECURSOS de asignatura Las Matemáticas en la Toma de Decisiones en la
plataforma UADY VIRTUAL EMS.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 6
2. En plenaria el profesor realiza encuesta a los alumnos empleando una variable
discreta, por ejemplo: número de habitantes en su domicilio.
Recopilación de datos
Variable:
Datos obtenidos
3. En plenaria se construye la tabla de distribución de frecuencias de los datos.
Organización de datos
Datos
x
Frecuencia
f
Frecuencia
relativa
fr
Frecuencia
acumulada
fa
Frecuencia
acumulada
relativa
far
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 7
4. Con ayuda del instructor construye el histograma de frecuencias, el polígono de
frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas de los datos obtenidos.
Presentaciones gráficas
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 8
5. Con ayuda del instructor encuentra las medidas de tendencia central y las medidas
de dispersión para la variable definida.
Análisis numérico
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 9
CIERRE
De forma individual y de manera no presencial resuelve cada uno de los siguientes
ejercicios respondiendo lo que se solicita en cada caso.
1. En un examen de matemáticas 50 estudiantes obtuvieron calificaciones cuya
distribución se presenta en la siguiente tabla.
Calificación
x
Frecuencia
f
50 6
60 8
65 9
75 11
90 10
100 6
Σ = 50
a) Calcula: media, mediana y moda
b) ¿Cuál de las medidas de tendencia central consideras que es más representativa
para la variable de estudio?
c) Construye: histograma y polígono de frecuencias.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 10
2. Las calificaciones de 45 alumnos de primer año de la secundaria el “charro Avitia”
se presentan en la siguiente tabla.
Calificación
x
Frecuencia
f
Frecuencia
acumulada
fa
50 6
60 17
70 23
80 30
90 38
100 45
Σ =
a) Calcula: la media y la desviación media.
b) Construye: el polígono de frecuencias acumuladas.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 11
3. La siguiente tabla representa las edades de 80 jóvenes que trabajan en la
maquiladora “el pantalón roto”.
Edades
x
Frecuencia
f
15 9
16 12
17 23
18 16
19 11
20 9
Σf = 80
a) Calcula: medidas de tendencia central y medidas de dispersión
b) Construye: histograma de frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 12
4. Las edades en años cumplidos de 60 socios de un club deportivo se distribuyen de
la siguiente manera.
Edades
x
Frecuencia
f
18 12
20 18
24 10
30 13
32 7
Σf = 60
a) Calcula: las medidas de tendencia central y la desviación media.
b) Construye: el polígono de frecuencias.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 13
Analiza lainformación a partir de los gráficos proporcionados y responde lo que se te solicita
en cada caso.
5. El histograma que se muestra a continuación presenta los resultados de una
encuesta realizada acerca de la edad de los alumnos de la secundaria “Pancho
López.
a) ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados? ______________________________________
b) ¿Cuál es el promedio de edad de los estudiantes? _________________________________
c) ¿Cuántos estudiantes tienen menos de 14 años? __________________________________
d) ¿Qué porcentaje tiene 15 años o más? __________________________________________
e) ¿Cuál es la moda de la distribución? ____________________________________________
6. El polígono de frecuencias que se muestra a continuación presenta los resultados
de las calificaciones de un grupo de Cálculo.
a) ¿Cuántos estudiantes tiene el grupo? __________________________________________
b) ¿Cuál es el promedio de calificación del grupo? __________________________________
c) ¿Cuántos estudiantes tienen menos de 70 puntos? ________________________________
d) ¿Qué porcentaje tiene más de 70 puntos? _______________________________________
e) ¿Cuál es la moda de la distribución? ____________________________________________
8
25
36
20
11
0
5
10
15
20
25
30
35
40
12 13 14 15 16
F
re
c
u
e
n
c
ia
s
Edades
Edades de alumnos
2 2
7
13
11 11
4
0
2
4
6
8
10
12
14
40 50 60 70 80 90 100
fr
ec
u
en
ci
a
Calificación
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 14
Recursos y materiales:
• Material didáctico elaborado para la asignatura.
Evidencia de aprendizaje:
• Resolver de ejercicios y problemas.
Instrumento de evaluación (lista de cotejo):
CRITERIOS INDICADORES %
P
re
s
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ta
c
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n
y
e
n
tr
e
g
a
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada,
ordenada, limpia y clara.
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el
profesor.
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del
profesor.
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de
los criterios establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación
o no del trabajo y la valoración total o parcial de dicha actividad.
10%
P
a
rt
ic
ip
a
c
ió
n
e
n
c
la
s
e
• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus
compañeros de clase y con su profesor.
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el
profesor en el aula.
• El alumno realiza de manera individual las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
20%
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a
s
• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el
procedimiento de resolución mostrada por el profesor
durante las sesiones de clase.
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta
correcta.
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de
acuerdo con la retroalimentación presentada de forma
presencial o no presencial.
70%
Recursos bibliográficos:
• Bargas, R. A. & Camargo, M. (2006). Introducción a la Probabilidad y Estadística
(1era ed.). México: Progreso.
• Ibáñez, P. & García, G. (2011). Matemáticas y vida cotidiana 1 (1era ed.). México:
CENGAGE Learning.
• Mendell Hall, W., Beaver, R.J. & Beaver, B.M. (2010). Introducción a la Probabilidad
y Estadística (13ava ed.). México: CENGAGE Learning.
• Ruiz, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría, Trigonometría, Datos y Azar. Serie
Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria.
• Sánchez, O. (2010). Probabilidad y Estadística (3era ed.). México; McGraw Hill
• Spiegel, M. R., Schiller, J. J., Srinivasan, R. A. & Stephens, M. (2010). Probabilidad
y Estadística. Serie Schawn (3era ed.). México: McGraw Hill.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 15
• Johnson, R., Kuby, P. (2012). Estadística elemental (11a. edición). México:
CENGAGE Learning.
• Torres, L (2017). Matemáticas para la Toma de Decisiones. México. Recuperado
de:
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Mat
em%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 16
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2
Estadística con datos agrupados
Valor: 6 puntos
Resultado de aprendizaje:
• Analiza las gráficas, medidas de tendencia central y de dispersión de datos
agrupados para resolver problemas hipotéticos o reales empleando argumentos
lógicos.
Descripción de la Secuencia de Actividad:
INICIO
Lee el apartado: Colección de datos organizada con una Tabla de distribución de
frecuencias con los datos agrupados (pág. 17) del documento Estadística Descriptiva,
ubicado en la pestaña RECURSOS de asignatura Las Matemáticas en la Toma de
Decisiones en la plataforma UADY VIRTUAL EMS.
DESARROLLO
En plenaria se resuelve el siguiente ejercicio.
Los siguientes datos representan las edades en años cumplidos de todos los maestros de
una escuela:
Datos recopilados
30 55 48 43 40 41 44 49 34 60
35 27 54 47 42 45 50 33 42 49
43 36 28 53 46 51 32 41 48 54
50 44 37 29 52 31 40 47 49 57
55 51 45 38 26 39 46 52 56 58
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 17
a) Con ayuda del instructor construye una tabla de distribución de frecuencias con los
datos agrupados.
Organización de datos
Límites
nominales
Límites
reales
Marca
de clase
m
Frecuencia
f
Frecuencia
relativa
fr
Frecuencia
acumulada
fa
Frecuencia
acumulada
relativa
far
b) Con ayuda del instructor construye el histograma de frecuencias relativas, el
polígono de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias acumuladas relativas
(ojiva o curva S porcentual) de los datos obtenidos.
Presentaciones gráficas
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 18
c) Con ayuda del instructor calcula las medidas de tendencia central y las medidas
de dispersión.
Análisis numérico
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 19
CIERRE
De forma individual y de manera no presencial resuelve cada uno de los siguientes
ejercicios respondiendo lo que se solicita en cada caso.
• Una muestra de 70 herramientas cortantes de un proceso industrial dio para su vida
útil (aproximado a la hora más cercana) la siguiente distribución. Completa la tabla.
Vida útil f fr fa
0 – 24 2
25 – 49 4
50 – 74 12
75 – 99 30
100 – 124 18
125 – 149 4
• Los datos proporcionados a continuación corresponden al peso en kg de 30 recién
nacidos durante el pasado fin de semana en la ciudad. Elabora una tabla de distribución
de frecuencias en forma agrupada.
2.65 4.00 4.31 3.12 3.23 3.45
3.56 2.87 2.73 3.54 3.18 2.91
3.28 3.78 3.00 3.10 3.27 3.28
3.50 3.37 3.89 3.21 3.83 3.35
2.82 2.90 3.46 4.05 3.43 3.74
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 20
• Las 86 personas que habitan una colonia de la ciudad de Mérida tienen la siguiente
distribución en cuanto a sus edades. Halla las medidas de:
a) tendencia central.
b) dispersión.
Edades
Frecuencia
f
10 – 13 8
14 – 19 12
20 – 26 17
27 – 31 14
32 – 40 26
41 – 50 9
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 21
• Las calificaciones obtenidas por los 137 alumnos de física en el curso anterior se
presentan en la siguientedistribución de frecuencias.
Calificaciones
Frecuencias
f
40 – 49 16
50 – 59 24
60 – 69 31
70 – 79 46
80 – 89 20
a) Calcula medidas de tendencia central.
b) Construye el histograma y polígono de frecuencias.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 22
• La siguiente tabla presenta los pesos en kg de 48 ejemplares atrapados por el bote de
pesca deportiva “El pirata Morgan”
Calificaciones
Frecuencias
f
0 – 24 5
25 – 49 13
50 – 74 6
75 – 99 18
100 – 124 6
a) Calcula: media, mediana y desviación media.
b) Construye el histograma de frecuencias y la ojiva.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 23
• El monto en las 68 notas de venta de la tlapalería “La tuerca feliz” se distribuyen de la
siguiente manera:
Total
Frecuencias
f
230 – 249.9 31
250 – 269.9 18
270 – 289.9 15
290 – 309.9 3
310 – 329.9 1
a) Calcula: moda y desviación estándar.
b) Construye el polígono de frecuencias y ojiva.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 24
Analiza la información a partir de los gráficos proporcionados y responde lo que se te
solicita en cada caso
• En una huerta del estado cultivan naranjas, el gráfico muestra el peso en gramos de las
naranjas cosechadas en la huerta.
a) ¿Cuántas naranjas fueron cosechadas? ________________________________________
b) ¿Cuál es el promedio de peso de las naranjas? __________________________________
c) ¿Cuál es el peso más común en las naranjas cosechadas? _________________________
d) ¿Qué porcentaje de naranjas tiene un peso por debajo de la media? __________________
• Un auditor analizó las notas de venta de todo un año emitidas por una empresa y
presentó los datos en el siguiente gráfico.
a) ¿Cuántas notas de venta se emitieron durante el año? ______________________________
b) ¿Cuál es el promedio en el monto de las notas de venta? ____________________________
c) ¿Qué porcentaje de notas se encuentran por encima de la media? ____________________
645
7264
11450
2923
8152
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
115 - 145 150 - 180 185 - 215 220 - 250 255 - 285
N
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PESO DE NARANJAS (GRAMOS)
7495
4128
2716
3264
1922
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 -80 80 - 199 200 - 349.99 350 -499.99 500 - 999.99
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Monto ($)
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 25
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS
• En el siguiente gráfico se muestra el número de accidentes automovilísticos a lo largo
de la semana en una ciudad. En promedio, el número de accidentes es 35 y se muestra
en la gráfica mediante la línea punteada.
• De acuerdo con un estudio realizado, se determinó que el tiempo de espera promedio
en una sala de consulta es de 35 minutos.
Posteriormente, se realizó una encuesta y el 65% de los
encuestados contestó que, dado el tiempo promedio de
espera, sí va a cambiar de consultorio.
a) ¿Qué consideras que representa la zona azul del
gráfico de pastel?
b) El número 35 situado sobre la zona azul, ¿representa
el promedio en el tiempo de espera que realiza una
persona? Argumentar
a) El lunes hubo 24 accidentes mientras que el
martes 29 accidentes. La línea que va del lunes
al martes, ¿de qué nos informa?
b) Del miércoles al jueves también aumentó el
número de accidentes. Pero ¿en cuál caso fue
mayor? Eso indicaría un incremento mayor del
número de accidentes.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 26
Recursos y materiales:
• Material didáctico elaborado para la asignatura.
Evidencia de aprendizaje:
• Resolver de ejercicios y problemas.
Instrumento de evaluación (lista de cotejo):
CRITERIOS INDICADORES %
P
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a
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada,
ordenada, limpia y clara.
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el
profesor.
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del
profesor.
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de
los criterios establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación
o no del trabajo y la valoración total o parcial de dicha actividad.
10%
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• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus
compañeros de clase y con su profesor.
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el
profesor en el aula.
• El alumno realiza de manera individual las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
20%
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• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el
procedimiento de resolución mostrada por el profesor
durante las sesiones de clase.
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta
correcta.
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de
acuerdo con la retroalimentación presentada de forma
presencial o no presencial.
70%
Recursos bibliográficos:
• Bargas, R. A. & Camargo, M. (2006). Introducción a la Probabilidad y Estadística
(1era ed.). México: Progreso.
• Ibáñez, P. & García, G. (2011). Matemáticas y vida cotidiana 1 (1era ed.). México:
CENGAGE Learning.
• Mendell Hall, W., Beaver, R.J. & Beaver, B.M. (2010). Introducción a la Probabilidad
y Estadística (13ava ed.). México: CENGAGE Learning.
• Ruiz, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría, Trigonometría, Datos y Azar. Serie
Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria.
• Sánchez, O. (2010). Probabilidad y Estadística (3era ed.). México; McGraw Hill
• Spiegel, M. R., Schiller, J. J., Srinivasan, R. A. & Stephens, M. (2010). Probabilidad
y Estadística. Serie Schawn (3era ed.). México: McGraw Hill.
• Johnson, R., Kuby, P. (2012). Estadística elemental (11a. edición). México:
CENGAGE Learning.
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Modalidad Presencial
CSEMS 27
• Torres, L (2017). Matemáticas para la Toma de Decisiones. México. Recuperado
de:
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Mat
em%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 28
UNIDAD 2
PROBABILIDAD
Competencia de la unidad: Toma decisiones mediante la
resolución de problemas en situaciones de su entorno,
considerando el análisis probabilístico.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 29
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3
Espacios finitos equiprobables
Valor: 8 puntos
Resultados de aprendizaje:
• Aplica de forma pertinente las técnicas básicas de conteo para determinar el número
de grupos posibles dada una o más condiciones.
• Aplica la probabilidad clásica en la solución de problemas hipotéticos o reales.
Descripción de la Secuencia de Actividad:
INICIO
1. Lee en la plataforma de la escuela preparatoria, el libro Matemáticas para la Toma
de Decisiones (Torres, L., 2017); técnicas de conteo.
Tres de los miembros fundadores de la liga de la Justicia (Batman, Superman y la Mujer
Maravilla), se presentarán en una conferencia de super héroes.
Escribe cuántas y cuáles son las formas
posibles en las que pueden sentarse los
tres en el presídium.
A la mitad de la conferencia, surge un
llamado y dos de ellos deben responder ala emergencia, ¿Cuántas y cuáles son las
parejas posibles que pueden formar para
acudir al rescate?
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 30
2. En plenaria y con la ayuda del profesor, lee y analiza la siguiente información.
En nuestra vida cotidiana, y en las matemáticas en particular, es muy común que nos
enfrentemos a la necesidad de formar grupos siguiendo un criterio particular. La parte de
las Matemáticas que nos proporciona las herramientas para determinar el número de
grupos que podemos formar se denomina Teoría Combinatoria. En esta actividad
abordaremos: el principio fundamental de conteo, las permutaciones y combinaciones
simples.
El principio fundamental de conteo es la técnica más simple para determinar el número
de maneras diferentes en las que se puede disponer una serie de objetos, siendo el
diagrama de árbol el ejemplo más representativo del mismo. De acuerdo con el principio
fundamental de conteo:
Si un suceso puede ocurrir de m1 formas distintas, otro suceso puede ocurrir de m2 formas
distintas,.…., y así sucesivamente entonces estos sucesos pueden ocurrir en el orden
mencionado de m1 ∙ m2 ….., maneras distintas.
Revisemos el caso de los héroes de la liga de la justicia que deben acomodarse en el
presídium, tenemos que la primera silla puede ser ocupada por cualquiera de los tres, la
segunda por los dos restantes y la última por el que aún queda de pie, entonces los arreglos
posibles son:
De manera que el número de arreglos posibles será:
(3)(2)(1) = 6
Mujer maravilla
Batman Superman
Superman Batman
Batman
Mujer maravilla Superman
Superman Mujer maravilla
Superman
Mujer maravilla Batman
Batman Mujer maravilla
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 31
La Permutación simple es un arreglo ordenado de elementos diferentes, sin repetición
entre ellos, nos permite encontrar el número de maneras como se puede ordenar un
determinado número de elementos.
Para hacer más sencillo el proceso, cuando tenemos un número más grande de elementos
se define lo siguiente: El número de permutaciones de n elementos, tomados todos a la vez
se determina de la forma:
𝑷𝒏,𝒏 = 𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐) … . (𝟑)(𝟐)(𝟏) = 𝒏!
El número de permutaciones de n elementos, tomados r a la vez se determina de la forma:
𝑷𝒏,𝒓 = 𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐) … . (𝒏 − 𝒓 + 𝟏)
Para resolver la situación de los tres super héroes que deben ocupar tres lugares en el
presídium, la permutación correspondiente se expresa:
𝑃3,3 = (3)(2)(1) = 6
Como puedes observar coincide con el resultado obtenido mediante el principio
fundamental de conteo.
3. En binas y de manera presencial resuelve cada uno de los siguientes problemas
empleando permutaciones simples.
Problema 1 Se tienen esferas marcadas con los números 2, 3, 5, 7 y 9. Calcula
cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse si:
a) no hay condición alguna.
b) deben ser múltiplos de 5.
c) deben ser mayores de 300 y menores de 800.
Respuestas:
2
3
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 32
Problema 2 En una escuela Preparatoria utilizan una plataforma institucional para
consulta de calificaciones materiales de apoyo. La plataforma requiere
de una clave de acceso para cada estudiante, dicha clave debe
contener 3 letras distintas seguidas de 4 dígitos distintos. ¿Cuántas
contraseñas diferentes se pueden crear?
Respuesta:
Problema 3 Para la ceremonia de graduación de la Preparatoria se espera que
ocupen en presídium el director, el secretario académico, el secretario
de EMS, un invitado especial y el rector de la universidad. De cuántas
maneras posibles puede ocuparse el presídium si:
a) no hay condición alguna.
b) el rector debe estar al centro.
c) el invitado especial y el director deben estar juntos.
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 33
4. En plenaria y con la ayuda del profesor, lee y analiza la siguiente información.
La Combinación simple es un método de conteo que permite calcular el número de
maneras como se puede agrupar un determinado número de objetos, sin importar el orden.
El número de combinaciones de n tomados r a la vez se determina como:
𝑪𝒏,𝒓 =
𝑷𝒏,𝒓
𝒓!
El número de combinaciones de n elementos, tomados n a la vez se determina de la forma:
𝑪𝒏,𝒏 =
𝑷𝒏,𝒏,
𝒏!
=
𝒏!
𝒏!
= 𝟏
Retomemos el caso de los super héroes, nos mencionan que dos de los tres deben acudir
a un llamado, ¿Cuántas y cuáles serán las formas posibles?, dado que no importa el orden
podemos emplear las combinaciones para dar solución a la situación descrita:
𝐶3,2 =
𝑃3,2
2!
=
(3)(2)(1)
(2)(1)
= 3
Las formas posibles son: {{Mujer maravilla, Batman}; {Mujer maravilla, Superman};
{Batman, Superman}}
5. En binas y de manera presencial resuelve cada uno de los siguientes problemas
empleando combinaciones simples.
Problema 1 Los vengadores deben elegir una comisión de cuatro de ellos, con el
objetivo de tener una reunión con el gobierno en la que puedan llegar
a acuerdos acerca de sus funciones. De cuántas maneras distintas
se puede elegir el grupo si:
a) no hay condición alguna.
b) no debe estar Hulk dentro de la comisión.
c) debe estar Iron Man en la comisión.
d) Iron Man y el capitán América no pueden estar juntos en la
comisión.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 34
Respuesta:
Problema 2 En la selección de teatro de la escuela hay 15 mujeres y 8 hombres.
Se va a elegir aleatoriamente a 5 de ellos para que participen en un
taller avanzado de teatro que ofrece una prestigiosa academia.
Cuántos son los grupos posibles tales que estén compuestos:
a) solamente de mujeres.
b) por tres mujeres y dos hombres.
c) por al menos un hombre.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 35
Problema 3 Una encuesta realizada a un grupo de 50 estudiantes de la
preparatoria indicó que además de hablar español:
32 estudiantes hablan inglés
20 estudiantes hablan maya
13 estudiantes hablan inglés y maya
Se seleccionará aleatoriamente un grupo de 4 estudiantes para que
participen en un proyecto de interacción comunitaria; calcula las
maneras diferentes como pueden formarse los grupos si:
a) los 4 deben hablar maya.
b) los 4 deben hablar un segundo idioma.
c) al menos uno debe hablar maya.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 36
6. En forma individual y de manera no presencial, resuelve cada uno de los
siguientes problemas empleando la técnica de conteo apropiada.
TÉCNNICAS DE CONTEO
Problema 1 ¿Cuántas contraseñas, de tres letras distintas, puedes formar con las
letras de la palabra COMBINAR?
Respuesta:
Problema 2 Entre los miembros de un club deportivo hay 30 que practica tenis, 15
que practican natación y 10 que practican yoga, calcula de cuántas
maneras se puede formar un comité de 6 personas, si debe haber 2
miembros de cada disciplina.
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 37
Problema 3 El consejo universitario de cierta universidad está compuesto por 53
miembros de los cuales 20 están a favor de cierto proyecto. El
presidente del consejo va a seleccionar aleatoriamente a 4 de los
miembros; cuántos son los grupos posibles tales que:
a) ninguno de los 4 estén a favor del proyecto.
b) la mitad esté a favor del proyecto.
c) los 4 sean de igual opinión, a favor o encontra del proyecto.
d) al menos uno esté a favor del proyecto.
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 38
DESARROLLO
1. Lee en la plataforma de la escuela preparatoria, el libro Matemáticas para la Toma
de Decisiones (Torres, L., 2017); espacios finitos equiprobables.
Recordarás que en primer año de bachillerato realizaste experimentos en los laboratorios
de física y química. En cada una de esas oportunidades se sabía a qué resultado se
llegaría, es decir, bajo las mismas circunstancias obtenías el mismo resultado. Este tipo
de experimentos se denominan experimento determinístico. Un ejemplo es: cuando
sueltas una moneda desde cierta altura, la moneda siempre cae describiendo una
trayectoria vertical hacia abajo.
En esta asignatura, nos ocuparemos de los experimentos que al repetirse bajo las
mismas condiciones producen resultados diferentes y no predecibles. A este tipo de
experimento se le denomina experimento aleatorio.
2. Identifica el tipo de experimento que se presenta a continuación y escribe en el
paréntesis una D si es determinístico y una A si es aleatorio.
( ) Extraer una esfera de una urna cerrada que contiene esferas de distintos
colores.
( ) Realizar la mezcla de agua y aceite en un vaso de precipitado para ver que
sustancia queda arriba.
( ) Determinar la velocidad con la que un móvil que se desliza desde el reposo
llega a la base de una rampa.
( ) Lanzar una moneda para jugar una apuesta.
(
)
Jugar piedra, papel o tijera.
( ) Obtener la imagen de un objeto colocado a 10 cm de un espejo convexo.
( ) Jugar en el sorteo melate.
Para cada experimento aleatorio, existe un conjunto asociado que se compone de los
resultados posibles al realizar dicho experimento. A dicho conjunto se le denomina
espacio muestral y se denota con E, cada uno de los elementos del espacio se le llama
punto muestral.
Consideremos el experimento aleatorio de lanzar una moneda corriente, los resultados
posibles para el experimento son cara o sello, por lo que el espacio muestral asociado
al experimento se puede expresar: E = {cara, sello}, el cual contiene dos puntos
muestrales.
Dado que el espacio muestral es un conjunto, puede asociarse con varios subconjuntos.
Un evento, es un subconjunto de puntos muestrales que cumplen una determinada
condición o característica.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 39
Evento simple. Subconjunto de E que contiene un solo punto muestral.
Evento seguro. Subconjunto formado por todos los elementos del E.
Evento imposible. Subconjunto que carece de elementos.
• Supongamos que pensamos elegir aleatoriamente a uno de los vengadores para acudir
a una misión especial, ¿Cuál es el espacio muestra asociado a tal experimento?
E = {
}
• Escribe los elementos que corresponden a cada uno de los eventos siguientes,
relacionados con el experimento anterior, e identifica el tipo de evento del que se trata.
A = {Se elige a Batman para acudir a la misión especial}
A =
Tipo de evento:
B = {Se elige a un vengador de color verde para acudir a la misión especial}
B =
Tipo de evento:
C = {Se elige a un vengador mujer para acudir a la misión especial}
C =
Tipo de evento:
3. Lee la siguiente información y responde lo que se te solicita.
La Probabilidad es la rama de las Matemáticas que se encarga de estudiar los fenómenos
o experimentos aleatorios. Puede interpretarse de cuatro formas: clásica, de frecuencia
relativa, subjetiva y axiomática.
La probabilidad frecuencial (a posteriori), es la que se obtiene de forma empírica o
experimental cuando se realiza un experimento n veces bajo las mismas condiciones,
registrando los resultados de cada suceso. La interpretación de la probabilidad frecuencial
se basa en el hecho de que, si el número (n) de veces que se repite el experimento aumenta,
la frecuencia relativa de los resultados favorables (m) se aproxima al verdadero valor de la
probabilidad.
Tipo de
evento
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 40
La probabilidad clásica (a priori) permite calcular la probabilidad de los eventos sin realizar
el experimento, se aplica cuando los elementos del espacio son mutuamente excluyentes
y tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por lo cual, podemos expresarla como:
𝑷(𝑨) =
𝒎
𝒏
Donde m indica el número de elementos del evento (casos favorables) y n indica el número
de elementos del espacio asociado al experimento (casos posibles).
Por otra parte, el enfoque de la probabilidad axiomática es totalmente matemático,
definiendo a la probabilidad como una función, misma que cumple ciertos axiomas:
1. Para todo evento A, se cumple que: 𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏
2. La probabilidad del espacio muestral (evento seguro) es 1.
3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅), entonces 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) +
𝑷(𝑩)
Y teoremas:
1. Si ∅ es el conjunto vacío (evento imposible), entonces 𝑷(∅) = 𝟎
2. Si 𝐴𝑐 es el complemento de un evento A, entonces 𝑷(𝑨𝒄) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
3. Si 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces 𝑷(𝑨) ≤ 𝑷(𝑩)
4. Si A y B son dos eventos, entonces 𝑷(𝑨 − 𝑩) = 𝑷(𝑨) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
5. Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
• Retomemos la situación problemática en la que debemos elegir aleatoriamente a uno de
los vengadores para que acuda a una misión especial:
¿Cuál es la probabilidad de elegir a la Viuda Negra? ______________________________
¿Cuál es la probabilidad de elegir a Batman? ____________________________________
¿Cuál es la probabilidad de elegir a Iron Man o a Thor? ____________________________
¿Cuál es la probabilidad de no elegir a Hulk? ____________________________________
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 41
4. En binas y de manera presencial, resuelve cada uno de los siguientes problemas
definiendo correctamente el espacio muestral y empleando el concepto de probabilidad
clásica.
Problema 1 Se lanza un dado corriente, halla la probabilidad de que la cara que
aparezca sea:
a) par.
b) número primo.
c) número mayor que 5.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 42
Problema 2 Si se tiran 2 dados corrientes, calcula la probabilidad de que la suma
de sus números sea:
a) menor que 5.
b) mayor o igual que 8.
c) número primo.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 43
Problema 3 Calcula la probabilidad de que al visitar a una familia con 3 hijos tenga:
a) exactamente un hombre.
b) los 3 del mismo sexo.
c) al menos una mujer.
Respuestas:
Problema 4 En un salón de clases hay 50 alumnos de los cuales 15 son mujeres
y 35 son hombres; según la lista del maestro de cálculo, en ese salón
25 de los hombres y 8 de las mujeres aprobaron la asignatura. Si se
selecciona un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:
a) sea una mujer.
b) sea un hombre que no aprobó cálculo.
c) sea un alumno que aprobó cálculo.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 44
Problema 5 Una encuesta realizada a un grupode 50 estudiantes de la
preparatoria indicó que además de hablar español:
32 estudiantes hablan inglés
20 estudiantes hablan maya
13 estudiantes hablan inglés y maya
Se otorgará una beca para estudiar Chino Mandarín, a un alumno que
será seleccionado de ese grupo. Determina la probabilidad de que el
alumno elegido:
a) no hable maya ni inglés.
b) hable maya, pero no inglés.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 45
CIERRE
1. De forma individual y de manera no presencial resuelve cada uno de los
siguientes problemas, define correctamente el espacio muestral y emplea el
concepto de probabilidad clásica.
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES
Problema 1 Se lanza cuatro veces una moneda corriente, halla la probabilidad de
obtener:
a) cuatro caras.
b) al menos una cara.
c) dos caras y dos sellos.
Respuestas:
Problema 2 En el departamento de orientación de una escuela, 6 de los
orientadores son psicólogos y 4 son licenciados en educación. La
dirección les encargo que revisen y actualicen la estructura de sus
cursos, para tal fin se seleccionará aleatoriamente un comité con 4
de los orientadores. Calcula la probabilidad de que el grupo esté
formado por:
a) dos psicólogos y dos licenciados en educación.
b) al menos un licenciado en educación.
c) ningún psicólogo.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 46
Problema 3 Los vengadores van a participar en una mesa panel para hablar
acerca de su trabajo. Determina la probabilidad de que al ocupar
sus lugares:
a) Hulk quede en el extremo izquierdo.
b) ¿Cuá es la probabilidad de que al ocupar sus lugares el Capitán
América quede en el extremo izquierdo y Iron Man justo a la
mitad de los lugares restantes?
c) Iron Man y el Capitán América ocupen los lugares centrales.
Respuestas:
Problema 4 El consejo universitario de cierta universidad está compuesto
por 53 miembros de los cuales 20 están a favor de cierto
proyecto. El presidente del consejo va a seleccionar
aleatoriamente a 4 de los miembros; cuál es la probabilidad de
que:
a) ninguno de los 4 estén a favor del proyecto.
b) la mitad esté a favor del proyecto.
c) los 4 sean de igual opinión, a favor o en contra del proyecto.
d) al menos uno esté a favor del proyecto.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 47
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 48
Recursos y materiales:
• Material didáctico elaborado para la asignatura.
Evidencia de aprendizaje:
• Resolver de ejercicios y problemas.
Instrumento de evaluación (lista de cotejo):
CRITERIOS INDICADORES %
P
re
s
e
n
ta
c
ió
n
y
e
n
tr
e
g
a
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada,
ordenada, limpia y clara.
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el
profesor.
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del
profesor.
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de
los criterios establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación
o no del trabajo y la valoración total o parcial de dicha actividad.
10%
P
a
rt
ic
ip
a
c
ió
n
e
n
c
la
s
e
• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus
compañeros de clase y con su profesor.
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el
profesor en el aula.
• El alumno realiza de manera individual las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
20%
R
e
s
o
lu
c
ió
n
d
e
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je
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y
/o
p
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le
m
a
s
• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el
procedimiento de resolución mostrada por el profesor
durante las sesiones de clase.
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta
correcta.
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de
acuerdo con la retroalimentación presentada de forma
presencial o no presencial.
70%
Recursos bibliográficos:
• Bargas, R. A. & Camargo, M. (2006). Introducción a la Probabilidad y Estadística
(1era ed.). México: Progreso.
• Ibáñez, P. & García, G. (2011). Matemáticas y vida cotidiana 1 (1era ed.). México:
CENGAGE Learning.
• Mendell Hall, W., Beaver, R.J. & Beaver, B.M. (2010). Introducción a la Probabilidad
y Estadística (13ava ed.). México: CENGAGE Learning.
• Ruiz, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría, Trigonometría, Datos y Azar. Serie
Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria.
• Sánchez, O. (2010). Probabilidad y Estadística (3era ed.). México; McGraw Hill
• Spiegel, M. R., Schiller, J. J., Srinivasan, R. A. & Stephens, M. (2010). Probabilidad
y Estadística. Serie Schawn (3era ed.). México: McGraw Hill.
• Johnson, R., Kuby, P. (2012). Estadística elemental (11a. edición). México:
CENGAGE Learning.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 49
• Torres, L (2017). Matemáticas para la Toma de Decisiones. México. Recuperado
de:
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Mat
em%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 50
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4
Teorema de la multiplicación y
Probabilidad condicional
Valor: 12 puntos
Resultados de aprendizaje:
• Determina la probabilidad de eventos dependientes e independientes en situaciones
de contexto real o hipotético.
• Resuelve problemas hipotéticos o reales que involucran la probabilidad de un evento
bajo la condición la ocurrencia de otro evento.
Descripción de la Secuencia de Actividad:
INICIO
1. Lee en la plataforma de la escuela preparatoria, el libro Matemáticas para la Toma
de Decisiones (Torres, L., 2017); eventos dependientes e independientes.
2. De manera individual, resuelve los siguientes problemas y responde lo que se te
pide.
Durante el mes pasado surgieron tres emergencias que requerían el apoyo de uno de los
vengadores.
Si después de atender cada emergencia el
vengador en cuestión regresaba a la base, y
tenía la posibilidad de acudir a otra
emergencia.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera
emergencia la haya atendido Iron Man, la
segunda Thor y la tercera la Viuda Negra?
Si después de atender cada emergencia
el vengador en cuestión no podía regresar
a tiempo a la base para poder acudir a
otra emergencia.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera
emergencia la haya atendido Iron Man, la
segunda Thor y la tercera Viuda Negra?
Respuesta:
Respuesta:
¿Observas diferencia en tus resultados? _______________________________________
¿A qué crees que se debe? _________________________________________________
________________________________________________________________________
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 51
DESARROLLO
TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN
1. En plenaria y con el apoyo del profesor, lee la siguiente información.
Se considera que dos o más eventos son independientes si, la ocurrencia de uno no influye
en la ocurrencia de otro. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda no influye en el
lanzamiento de un dado o bien la selección aleatoria de un alumno en un grupo no influye
en el alumno que puede ser seleccionado enun grupo distinto al primero.
Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es igual al
producto de sus probabilidades:
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩)
Es decir, la probabilidad de que ocurra el evento A y ocurra también el evento B es igual a
la probabilidad del evento A multiplicada con la probabilidad del evento B.
Por otra parte, los eventos son dependientes si al conocer si uno de ellos ha ocurrido
puede determinarse o predecirse el resultado del otro. Por ejemplo, si estudias para el
examen es de esperar que lo apruebes.
Si dos eventos son dependientes, la probabilidad de que ambos ocurran se define como:
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑩)𝑷(𝑨/𝑩)
La probabilidad de que ocurra el evento A y ocurra también el evento B, es igual a la
probabilidad de que ocurra el evento B multiplicado por la probabilidad de que ocurra el
evento A dado que ya ocurrió B.
2. En binas y de manera presencial, identifica el tipo de eventos y resuelve cada uno
de los problemas de acuerdo con el criterio que corresponda.
Problema 1 Se lanza cinco veces un dado corriente, halla la probabilidad de que
aparezca:
a) siempre una cara par.
b) al menos una vez un número primo.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 52
Problema 2 El maestro de Cálculo tiene dos grupos, en el primer grupo hay 45
alumnos de los cuales 28 aprobaron la asignatura, en el segundo
grupo tienes 51 alumnos de los cuales 35 aprobaron la asignatura. La
dirección le solicitó que seleccione aleatoriamente un alumno de cada
grupo para la aplicación de una prueba estandarizada, determina la
probabilidad de que:
a) ambos hayan aprobado cálculo.
b) uno esté aprobado y el otro no.
Respuestas:
Problema 3 La gerencia de una agencia de automóviles considera que cuando se
comunican con un cliente se tiene 0.42 de probabilidad de efectuar
una venta. Si de su archivo seleccionan aleatoriamente a 3 clientes y
se comunican con ellos, calcula la probabilidad de que:
a) los 3 compren un automóvil.
b) ninguno de los 3 compre un automóvil.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 53
Problema 4 Un profesor impartió un curso de física a 3 grupos, digamos M, N y R.
Las correspondientes listas de calificaciones son tales que:
En M aparecen 36 alumnos de los cuales 20 aprobaron
En N aparecen 24 alumnos de los cuales 21 aprobaron
En R aparecen 46 alumnos de los cuales 30 aprobaron
Sea el experimento elegir al azar una lista y después elegir de ella
también al azar un alumno, calcula la probabilidad de que:
a) La lista sea la M y el alumno esté aprobado.
b) La lista sea la N y el alumno esté aprobado.
c) La lista sea la R y el alumno esté aprobado.
d) El alumno esté aprobado.
e) La lista sea la N y el alumno esté reprobado.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 54
Problema 5 En un grupo de la preparatoria hay 43 señoritas y 7 jóvenes. Se elegirá
aleatoriamente a tres de ellos uno tras otro (sin reposición) para asistir
a un evento organizado por la escuela, halla la probabilidad de que:
a) los 2 primeros sean hombres y la tercera mujer.
c) el primero y el tercero sean del mismo sexo y el segundo sea del
sexo opuesto.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 55
PROBABILIDAD CONDICIONAL
3. Lee en la plataforma de la escuela preparatoria, el libro Matemáticas para la Toma
de Decisiones (Torres, L., 2017); probabilidad condicional
4. De manera individual, resuelve los siguientes problemas y responde lo que se te
pide.
Alejandra tiene en su colección de libros, siete libros de J. K. Rowling, tres de Suzane
Collins y dos de John Grenn. Para un proyecto de la escuela le piden llevar un libro que
sea de su agrado, como no decide cual llevar, toma aleatoriamente un libro de entre los
que tiene:
¿Cuál es la probabilidad de el libro
seleccionado sea de John Grenn?
Si se sabe que seleccionó un libro de un
autor masculino, ¿cuál es la probabilidad
de que el libro seleccionado sea de John
Grenn?
Respuesta: Respuesta:
¿Existe diferencia en las respuestas de cada situación planteada? _____ Si _____ No
¿A qué crees que se debe? _________________________________________________
________________________________________________________________________
5. En plenaria y con el apoyo del profesor, lee la siguiente información.
La probabilidad de la ocurrencia de un evento A dado que otro evento B ocurrió previamente
es lo que denominamos probabilidad condicional. Dado que se trata de eventos
dependientes, tenemos:
𝑷(𝑨/𝑩) =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
Es decir, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B es igual a la probabilidad de
la intersección de los eventos, dividida entre la probabilidad del evento B.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 56
6. En binas y de manera presencial, resuelve cada uno de los siguientes problemas
aplicando el teorema de probabilidad condicional.
Problema 1 Se lanza un dado corriente y resulta caer cara impar, halla la
probabilidad de que sea un número primo.
Respuestas:
Problema 2 Se visita una familia con 3 hijos y ocurre que los 3 son de igual sexo;
calcular la probabilidad de que los 3 sean mujeres.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 57
Problema 3 En un cajón del laboratorio de la escuela se guardan dinamómetros
de 1 N y 5 N. Según el reporte del último inventario se sabe que hay
11 dinamómetros de 1 N, de los cuales 2 están defectuosos y 8 de 5
N de los cuales 3 están defectuosos. Se selecciona al azar un artículo
de la caja, resultando estar defectuoso; calcula la probabilidad de que
el dinamómetro seleccionado sea de 1 N.
Respuestas:
Problema 4 Se lanzan dos dados corrientes y ocurre que salen caras distintas;
calcular la probabilidad de que ambas caras sean número impar.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 58
Problema 5 En cierta ciudad, 40 % de la población tiene cabellos castaños, 25%
tiene ojos castaños y 15 % tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge
una persona al azar. Si tiene cabello castaño, ¿cuál es la probabilidad
de que también tenga ojos castaños?
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 59
CIERRE
1. De forma individual y de manera no presencial resuelve cada uno de los
siguientes problemas aplicando el teorema que corresponda en cada caso.
TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN
Problema 1 De acuerdo con las estadísticas uno de los jugadores de la selección
de basquetbol de la escuela tiene 0.7 de probabilidad de anotar una
canasta cuando efectúa un tiro libre. Si durante el último juego realizó
6 tiros libres, calcula la probabilidad de que:
a) anote los 6.
b) falle los 6.
Respuestas:
Problema 2 En el consultorio de un médico se tienen 2 archiveros A y B
exactamente iguales; en A el 40 % de los expedientes son de
pacientes que han terminado su tratamiento, en tanto que en B el 32%
de los expedientes son de pacientes que han terminado su
tratamiento. Si la secretaria del médico selecciona al azar un archivero
y de él extrae también al azar un expediente, cuál es la probabilidad
de que:
a) el archivero sea A y el paciente haya terminado su tratamiento.
b) el paciente haya terminado su tratamiento.
c) el paciente no ha terminado su tratamiento.Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 60
Problema 3 En una fábrica de focos se tienen 2 máquinas A y B que producen
respectivamente el 60% y el 40% del total de los focos. El porcentaje
de focos defectuosos producidos respectivamente por cada máquina
es del 4% y 3%. Si se selecciona un foco al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) sea defectuoso?
b) no sea defectuoso?
Respuestas:
Problema 4 En un cajón de laboratorio hay 40 foquitos, 12 de ellos están
defectuosos y en un lote (separado del anterior) hay 26 resistores, 8
de ellos están defectuosas. Si se seleccionan al azar, un foquito y un
resistor de cada lote, calcula la probabilidad de que:
a) ambos resulten defectuosos.
b) ninguno resulte defectuoso.
c) el foquito resulte defectuoso y el resistor no.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 61
Problema 5 El equipo de futbol de un club infantil gana con probabilidad de 0.5;
pierde con probabilidad de 0.3 y empata con probabilidad de 0.2. El
equipo tiene tres partidos pendientes, determina la probabilidad de
que gane:
a) el primer juego, empate el segundo y pierda el tercero.
b) una vez por lo menos.
Respuestas:
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Problema 1 El grupo de teatro de la escuela consta de 8 hombres y 15 mujeres de
los cuales la mitad de los hombres y 2/3 de las mujeres tienen ojos
negros. Se escogen aleatoriamente 3 personas para hacer los papeles
principales, si resultan ser:
a) de ojos negros, ¿cuál es la probabilidad de que sean mujeres?
b) mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que tengan ojos negros?
c) hombres, ¿cuál es la probabilidad de que no tengan ojos negros?
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 62
Problema 2 Entre los miembros de un club deportivo hay 30 que practican tenis,
15 que practican natación y 10 que practican yoga. Se selecciona
aleatoriamente a 3 de ellos para otorgarles una membresía gratuita y
resulta que son de la misma disciplina, calcula la probabilidad de que
practiquen yoga.
Respuestas:
Problema 3 En un salón de clases hay 50 alumnos de los cuales 15 son mujeres
y 35 son hombres; según la lista del maestro de cálculo, en ese salón
25 de los hombres y 8 de las mujeres aprobaron la asignatura. Si se
selecciona aleatoriamente a 2 alumnos y resulta que reprobaron
cálculo, calcula la probabilidad de que:
a) sea un hombre y una mujer.
b) sean del mismo sexo.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 63
Problema 4 La policía del Estado considera que al detener a un automovilista que
maneja en estado inconveniente las probabilidades de que sea
multado, sea suspendida su licencia o ambas cosas son 0.80, 0.30 y
0.24 respectivamente. Calcula la probabilidad de que si el
automovilista:
a) es multado, no le sea suspendida su licencia.
b) no es multado, su licencia sea suspendida.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 64
Recursos y materiales:
• Material didáctico elaborado para la asignatura.
Evidencia de aprendizaje:
• Resolver de ejercicios y problemas.
Instrumento de evaluación (lista de cotejo):
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• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada,
ordenada, limpia y clara.
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el
profesor.
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del
profesor.
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de
los criterios establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación
o no del trabajo y la valoración total o parcial de dicha actividad.
10%
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• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus
compañeros de clase y con su profesor.
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el
profesor en el aula.
• El alumno realiza de manera individual las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
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• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el
procedimiento de resolución mostrada por el profesor
durante las sesiones de clase.
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta
correcta.
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de
acuerdo con la retroalimentación presentada de forma
presencial o no presencial.
70%
Recursos bibliográficos:
• Bargas, R. A. & Camargo, M. (2006). Introducción a la Probabilidad y Estadística
(1era ed.). México: Progreso.
• Ibáñez, P. & García, G. (2011). Matemáticas y vida cotidiana 1 (1era ed.). México:
CENGAGE Learning.
• Mendell Hall, W., Beaver, R.J. & Beaver, B.M. (2010). Introducción a la Probabilidad
y Estadística (13ava ed.). México: CENGAGE Learning.
• Ruiz, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría, Trigonometría, Datos y Azar. Serie
Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria.
• Sánchez, O. (2010). Probabilidad y Estadística (3era ed.). México; McGraw Hill
• Spiegel, M. R., Schiller, J. J., Srinivasan, R. A. & Stephens, M. (2010). Probabilidad
y Estadística. Serie Schawn (3era ed.). México: McGraw Hill.
• Johnson, R., Kuby, P. (2012). Estadística elemental (11a. edición). México:
CENGAGE Learning.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 65
• Torres, L (2017). Matemáticas para la Toma de Decisiones. México. Recuperado
de:
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Mat
em%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 66
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5
Teorema de la Bayes y
Procesos Estocásticos
Valor: 12 puntos
Resultados de aprendizaje:
• Resuelve problemas hipotéticos o reales que involucran la aplicación del Teorema
de Bayes.
• Resuelve problemas hipotéticos o reales que involucran la probabilidad de procesos
estocásticos.
Descripción de la Secuencia de Actividad:
INICIO
1. Lee en la plataforma de la escuela preparatoria, el libro Matemáticas para la Toma
de Decisiones (Torres, L., 2017); teorema de Bayes.
2. En binas y de manera presencial, resuelve el siguiente problema.
Un profesor impartió un curso de física a 3 grupos, digamos M, N y R.
Las correspondientes listas de calificaciones son tales que:
En M aparecen 36 alumnos de los cuales 20 aprobaron
En N aparecen 24 alumnos de los cuales 21 aprobaron
En R aparecen 46 alumnos de los cuales 30 aprobaron
Sea el experimento elegir al azar una lista y después elegir de ella
también al azar un alumno. Si resulta que el alumno está aprobado,
¿Cuál es la probabilidad de que sea del grupo N?
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 67
DESARROLLO
TEOREMA DE BAYES
3. De manera individual, lee la siguiente información acerca del Teorema de Bayes.
Sean 𝐴1 y 𝐴2 dos eventos que forman una partición del espacio muestral E, de los cuales
se conocen sus probabilidades 𝑃(𝐴1) y 𝑃(𝐴2), y a las probabilidades condicionales
𝑃(𝐵/𝐴1) 𝑦 𝑃(𝐵/𝐴2),siendo B un subconjunto de E; entonces se cumple que:
𝑃(𝐴1/𝐵) =
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴1)
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵/𝐴2) … + 𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵/𝐴𝑛)
4. En binas y de manera presencial, resuelve cada uno de los siguientes problemas
aplicando el teorema de probabilidad condicional.
Problema 1 El maestro de Cálculo tiene dos grupos, en el primer grupo hay 45
alumnos de los cuales 28 aprobaron la asignatura, en el segundo
grupo tienes 51 alumnos de los cuales 35 aprobaron la asignatura. El
maestro debe enviar un alumno a una competencia, para lo cual, elige
aleatoriamente una de sus listas y de ella elige también al azar a un
alumno que resulta que aprobó el curso, determina la probabilidad de
que el alumno sea del primer grupo.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 68
Problema 2 En una escuela el 45% de los alumnos son hombres y el 55 % son
mujeres; el 30% de los hombres y el 15% de las mujeres están
llevando un curso de probabilidad. Si un alumno es seleccionado al
azar y ocurre que está llevando el curso de probabilidad, calcula la
probabilidad de que el alumno seleccionado sea mujer.
Respuestas:
Problema 3 En una fábrica las máquinas A y B producen respectivamente el
60% y el 40% del número total de artículos; los porcentajes de
desperfectos en la producción son del 4% para A y 3% para B. Si
un artículo es seleccionado al azar y ocurre que no está defectuoso,
calcula la probabilidad de que sea producido por A.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 69
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1. Lee en la plataforma de la escuela preparatoria, el libro Matemáticas para la Toma
de Decisiones (Torres, L., 2017); procesos estocásticos finitos.
2. En binas y en plenaria, responde lo que se te pide.
En una bolsa de dulces hay 30 dulces verdes y 18 rojos.
Seleccionaras un dulce de la bolsa sin ver, si sale verde puedes tomar
otro dulce; pero si sale rojo, debes devolverlo y sacar otro.
Construye el diagrama de árbol que describe el experimento.
¿De qué manera obtendrías la probabilidad de un determinado evento asociado al
experimento dado?
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 70
3. En binas y de manera presencial, lee la siguiente información y resuelve cada uno
de los siguientes problemas con la ayuda del diagrama de árbol correspondiente.
Un proceso estocástico es un proceso de cálculo de probabilidades secuenciales, el cual
se expresa por medio de un diagrama de árbol, en el que se representan todos y cada uno
de los pasos que describen el experimento, indicando la probabilidad de cada uno de ellos.
Problema 1 Se nos dan dos urnas como sigue:
Una urna A contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 8 azules
La urna B contiene 3 bolas rojas y 5 blancas
Se lanza un dado corriente; si aparece el 3 o el 6, se escoge una bola
de B de lo contrario la bola se escoge de A. Halla la probabilidad de
que:
a) se escoja una bola roja.
b) se escoja una bola blanca.
c) se escoja una bola azul.
d) si se escoge una bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda
de B?
e) Si se escoge una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que
aparezca un 5 en el dado?
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 71
Problema 2
Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una bola al azar, se descarta
y se colocan 2 bolas del otro color en la urna. Luego se saca una segunda bola. Halla la
probabilidad de que:
a) la segunda bola sea roja.
b) ambas bolas sean del mismo color.
c) si la segunda bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja?
d) si ambas son del mismo color, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 72
Problema 3
Se nos dan dos urnas como sigue:
Una urna A contiene 5 bolas rojas y 3 blancas
Una urna B contiene 1 bola roja y 2 blancas
Se lanza un dado corriente; si aparece un 3 o un 6, se saca una bola de B y se pone en
A y luego se saca una bola de A; de lo contrario, se saca una bola de A y se pone en B
y luego se saca una bola de B.
a) ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
b) ¿cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 73
CIERRE
1. De forma individual y de manera presencial resuelve cada uno de los siguientes
problemas.
TEOREMA DE BAYES
Problema 1 Los participantes de un congreso son hospedados en 3 hoteles M, N
y R de modo que:
En M hay 60 extranjeros y 32 nacionales
En N hay 43 extranjeros y 18 nacionales
En R hay 64 extranjeros y 27 nacionales
Los organizadores del congreso tienen los correspondientes registros
de los hoteles mencionados, con relación a los congresistas. Si un
registro se selecciona al azar y de él se selecciona también al azar un
congresista que resulta ser nacional, calcula la probabilidad de que el
registro sea del hotel N.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 74
Problema 2 De acuerdo con los registros de la policía tenemos que el 65% de
las personas que viajan en automóvil usan cinturón de seguridad y
el 35% no lo hace. En caso de accidentes es sabido que solamente
el 9% de quienes usan cinturón de seguridad sufre heridas graves,
en tanto que el 54% de quienes no lo usan sufre heridas graves. Si
la policía es llamada a investigar un accidente y resulta que la
persona sufrió heridas graves, calcula la probabilidad de que en el
momento del accidente:
a) la persona usaba cinturón de seguridad.
b) la persona no usaba cinturón de seguridad.
Respuestas:
Problema 3 Tres máquinas tragamonedas están adaptadas de manera que el
jugador tenga 10% de probabilidad de ganar. Una de ellas funciona
mal y hace que el jugador tenga una probabilidad de ganar del 25%.
Al elegir una máquina un jugador, gana la primera vez, ¿cuál es la
probabilidad de que haya seleccionado la máquina defectuosa?
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 75
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Problema 1
Una caja A contiene nueve cartas numeradas del 1 al 9, y otra caja B contiene 5 cartas
numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta; si la carta indica
número par, se saca otra carta de la misma caja; si la carta es de número impar, se saca
una carta de la otra caja.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas muestren números pares?
b) Si ambas cartas muestran números pares, ¿cuál es la probabilidad de que
procedan de A?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas tengan números impares?
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 76
Problema 2
Una caja contiene una moneda corriente y una de dos caras. Se escoge una moneda al
azar y se lanza. Si aparece cara, se lanza la otra moneda; si aparece sello, se lanza la
misma moneda.
a) Halla la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento
b) Si resulta cara en el segundo lanzamiento, halla la probabilidad de que también
aparezca en el primero.
Respuesta:Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 77
Problema 3
Una caja contiene tres monedas, dos corrientes y una de dos caras. Se selecciona una
moneda al azar y se lanza. Si sale cara se lanza la moneda de nuevo; si sale sello,
entonces se escoge otra moneda entre las dos que quedan y se lanza.
a) Halla la probabilidad de que salga cara dos veces.
b) Si se lanza la moneda dos veces, halla la probabilidad de que sea la moneda de
dos caras.
c) Halla la probabilidad de que salga sello dos veces.
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 78
Problema 4
Una caja contiene 5 tubos de radio de los cuales 2 son defectuosos. Se prueban uno tras
otro hasta que se descubren dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que se
suspenda el proceso en la:
a) segunda prueba?
b) tercera prueba?
Respuesta:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 79
Recursos y materiales:
• Material didáctico elaborado para la asignatura.
Evidencia de aprendizaje:
• Resolver de ejercicios y problemas.
Instrumento de evaluación (lista de cotejo):
CRITERIOS INDICADORES %
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• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada,
ordenada, limpia y clara.
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el
profesor.
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del
profesor.
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de
los criterios establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación
o no del trabajo y la valoración total o parcial de dicha actividad.
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• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus
compañeros de clase y con su profesor.
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el
profesor en el aula.
• El alumno realiza de manera individual las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
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• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el
procedimiento de resolución mostrada por el profesor
durante las sesiones de clase.
• El alumno presenta en todos sus ejercicios la respuesta
correcta.
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de
acuerdo con la retroalimentación presentada de forma
presencial o no presencial.
70%
Recursos bibliográficos:
• Bargas, R. A. & Camargo, M. (2006). Introducción a la Probabilidad y Estadística
(1era ed.). México: Progreso.
• Ibáñez, P. & García, G. (2011). Matemáticas y vida cotidiana 1 (1era ed.). México:
CENGAGE Learning.
• Mendell Hall, W., Beaver, R.J. & Beaver, B.M. (2010). Introducción a la Probabilidad
y Estadística (13ava ed.). México: CENGAGE Learning.
• Ruiz, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría, Trigonometría, Datos y Azar. Serie
Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria.
• Sánchez, O. (2010). Probabilidad y Estadística (3era ed.). México; McGraw Hill
• Spiegel, M. R., Schiller, J. J., Srinivasan, R. A. & Stephens, M. (2010). Probabilidad
y Estadística. Serie Schawn (3era ed.). México: McGraw Hill.
• Johnson, R., Kuby, P. (2012). Estadística elemental (11a. edición). México:
CENGAGE Learning.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 80
• Torres, L (2017). Matemáticas para la Toma de Decisiones. México. Recuperado
de:
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Mat
em%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 81
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6
Distribuciones de Probabilidad
Valor: 8 puntos
Resultado de aprendizaje:
• Determina la probabilidad de un evento mediante la aplicación pertinente de las
distribuciones de probabilidad (binomial y normal).
Descripción de la Secuencia de Actividad:
INICIO
1. Lee en la plataforma de la escuela preparatoria, el libro Matemáticas para la Toma
de Decisiones (Torres, L., 2017); distribuciones de probabilidad.
2. Lee la siguiente información
Una distribución de probabilidad es la relación entre los valores que pueden tomar una
variable y la probabilidad que le corresponde.
Se le denomina variable aleatoria a la variable que asume un valor numérico único para
cada uno de los resultados del espacio muestral de un experimento de probabilidad.
Pueden ser: discretas o continuas.
La variable aleatoria discreta puede asumir un numero contable de valores.
La variable aleatoria continua asume un numero incontable de valores.
En el caso de las variables continuas, la relación se maneja generalmente mediante una
función matemática conocida como función de densidad de probabilidad, cuya integración
entre menos infinito (- ∞) y más infinito (+ ∞) produce un área de uno (100%).
Las distribuciones más comunes, tanto para variables discretas como para continuas, son:
Para variables
discretas
• Distribución uniforme
• Distribución simétrica
• Distribución binomial
• Distribución hipergeométrica
• Distribución de Poisson
Para variables
continuas
• Distribución normal
• Distribución exponencial
En nuestro curso abordaremos únicamente las distribuciones binomial y normal.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 82
3. Para cada una de las variables definidas en los siguientes problemas, construye el
histograma y la tabla de distribución de probabilidades.
Problema 1 Sea el experimento de lanzar dos monedas corrientes, construye una
tabla de distribución de probabilidades para la variable aleatoria
discreta X que representa el número de caras que se obtiene, así
como el histograma correspondiente.
Problema 2 Considérese el experimento de lanzar 2 veces un dado corriente y la
variable aleatoria discreta X que representa el número que resulte de
sumar las caras que caen.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 83
Problema 3 De un grupo de 35 pacientes que asisten a consultar con su médico
25 de ellos son mayores de edad; se selecciona al azar a un grupo de
5 de estos pacientes y sea la variable aleatoria discreta definida como
sigue: X el número de pacientes seleccionados mayores de edad.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 84
DESARROLLO
1. Lee la siguiente información y con ayuda del instructor resuelve los problemas
siguientes.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
El término binomial describe situaciones en las cuales los resultados de una variable
aleatoria discreta solamente se pueden agrupar en dos categorías, las cuales son
mutuamente excluyentes.
La distribución binomial se caracteriza por la repetición de un experimento n veces bajo las
mismas condiciones, cada repetición se denomina ensayo. Cada ensayo tiene dos posibles
resultados a los que llamaremos “éxito” y “fracaso”. La probabilidad de éxito y fracaso son
invariables e independientes en cada ensayo. El enunciado matemático es:
𝑷(𝒙 = 𝒌) = 𝑪𝒏,𝒌(𝒑)
𝒌𝒒𝒏−𝒌
En donde:
n: número de repeticiones o ensayos del experimento
k: número de éxitos obtenidos en n ensayos
p: probabilidad de éxito
q: probabilidad de fracasoProblema 1 Un equipo A tiene 2/5 como probabilidad de ganar cuando juega. Si
efectúa 6 partidos, calcula la probabilidad de que:
a) gane exactamente 2 veces.
b) gane más de la mitad de los partidos.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 85
Problema 2 Una compañía que fábrica lámparas considera que la probabilidad de
que una de ellas falle en una prueba de 24 horas es 0.02. Se
seleccionarán aleatoriamente 12 lámparas, determina la probabilidad
de que:
a) exactamente 2 que fallen la prueba.
b) a lo más 2 que fallen la prueba.
Respuestas:
Problema 3 En un proceso de producción el 9 % de los artículos resultan
defectuosos; si se toma al azar una muestra de 13 artículos, calcula
la probabilidad de que en ella:
a) se encuentren exactamente 3 defectuosos.
b) se encuentren menos de 3 defectuosos.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 86
2. Lee la siguiente información y con ayuda del instructor resuelve los problemas
siguientes.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Esta distribución es la más utilizada para variables aleatorias continuas, es decir,
para aquellas en las cuales es imposible enumerar todos los eventos posibles.
Aunque los conceptos básicos fueron planteados inicialmente por el matemático
Abraham de Moivre y por el astrónomo Pedro Simón de Laplace, fue el matemático Karl
Friedrich Gauss quien presentó las leyes fundamentales de la distribución normal, de
manera que ésta se conoce también como distribución gaussiana, y su curva (curva normal)
se conoce como campana de Gauss, cuyas propiedades son las siguientes:
• Es simétrica en forma de campana.
• La media, la mediana y la moda tienen el mismo valor, ubicado al centro de la figura.
• Teóricamente, la curva se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, sin tocar
nunca el eje horizontal.
• El área bajo la curva entre dos puntos del eje horizontal representa la probabilidad de
que un evento tenga cualquier valor entre esos dos puntos.
• El área total bajo la curva es igual a 1.
Área bajo la curva normal
La curva normal de cualquier distribución puede convertirse en una curva estandarizada
mediante:
𝒛 =
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 − 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂
𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓
=
𝑿 − �̅�
𝒔
• Determina, con base en la tabla de la distribución normal estándar, el área bajo la
curva normal.
1. Para valores mayores de z = 0.47
2. Para valores menores de z = 1.25
3. Para valores entre z = 0.57 y z = 1.75
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 87
Problema 1 Las calificaciones de 600 estudiantes que sustentaron un examen final
de Matemáticas se distribuyen normalmente con media de 73 puntos
y desviación estándar de 7 puntos. ¿Cuántos estudiantes deben de
tener calificación entre 76 y 81 puntos?
Respuestas:
Problema 2 El banco de crédito Rural de Yucatán está interesado en comprar
cerdos de la raza Hampshire y está informado de que el peso de ellos
a los 5 meses de nacidos tiene una distribución normal con media 110
kg. y desviación estándar de 10 kg. Si uno de tales cerdos (de 5 meses
de edad) es seleccionado al azar, calcule la probabilidad de que:
a) tenga un peso entre 105 y 132 kg.
b) tenga un peso mayor de 100 kg.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 88
Problema 3 El tiempo necesario para reparar la transmisión de un automóvil en
un taller de servicio tiene una distribución normal con media de 45
minutos y desviación estándar de 8 minutos. Con base a esto
calcule el porcentaje de los trabajos de ese tipo por realizar que
deben tener una duración:
a) entre 40 y 58 minutos.
b) mayor de 50 minutos.
c) entre 50 y 60 minutos.
Respuestas:
CIERRE
1. De forma individual y de manera no presencial resuelve los problemas
siguientes.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Problema 1 Considere que la probabilidad de que un estudiante de una
determinada escuela repruebe el examen de Matemáticas es de 0.30;
con base en esto calcule la probabilidad de que al seleccionar a 10
estudiantes al azar para ser examinados:
a) reprueben exactamente 3 de ellos.
b) reprueben exactamente 4 de ellos.
c) reprueben exactamente 2 de ellos.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 89
Problema 2 Una empresa que fabrica balones de fútbol considera que el 3 % de
su producción está defectuosa en alguna forma. Si esta consideración
es correcta, calcule la probabilidad de que en una muestra aleatoria
de 8 balones:
a) se encuentren exactamente 2 defectuosos.
b) se encuentre al menos uno defectuoso.
c) no haya balones defectuosos
Respuestas:
Problema 3 Si en el Estado de Yucatán la probabilidad de que una persona tenga
dengue hemorrágico es 0.02, en un grupo aleatorio de 100 personas,
¿cuál es la probabilidad de que a lo más cinco tengan la enfermedad?
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 90
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Problema 1 En un proceso para enlatar cerveza, el contenido por lata tiene una
distribución normal con media de 12 onzas y desviación estándar de
0.46 onzas. Calcule el porcentaje de las latas cuyo contenido:
a) sea menor de 11 onzas.
b) sea mayor de 11.65 onzas.
c) esté entre 11.5 y 12.7 onzas.
Respuestas:
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 91
Problema 2 Considere que los pesos de los pescados que atrapa un barco
tienen una distribución normal con media de 5.2 kilogramos y
desviación estándar de 0.48 kg. Con base en esto calcule que
porcentaje de los peces atrapados tendrá un peso:
a) entre 4.85 y 6 kg.
b) mayor de 4.85 kg.
c) menor de 5 kg.
d) entre 4.3 y 6.15 kg.
Respuestas:
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 92
ÁREA BAJO LA CURVA ENTRE = 0 Y z
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 93
Recursos y materiales:
• Material didáctico elaborado para la asignatura.
Evidencia de aprendizaje:
• Resolver de ejercicios y problemas.
Instrumento de evaluación (lista de cotejo):
CRITERIOS INDICADORES %
P
re
s
e
n
ta
c
ió
n
y
e
n
tr
e
g
a
• La evidencia de aprendizaje está completa, detallada,
ordenada, limpia y clara.
• La entrega se realiza en la fecha y hora establecida por el
profesor.
• Cumple con las indicaciones particulares establecidas del
profesor.
Nota: En caso de que la actividad entregada incumpla alguna de
los criterios establecidos, queda a criterio del profesor la aceptación
o no del trabajo y la valoración total o parcial de dicha actividad.
10%
P
a
rt
ic
ip
a
c
ió
n
e
n
c
la
s
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• El alumno muestra una actitud respetuosa con sus
compañeros de clase y con su profesor.
• El alumno participa en las dinámicas realizadas por el
profesor en el aula.
• El alumno realiza de manera individual las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
• El alumno trabaja de forma colaborativa las actividades
presenciales y no presenciales indicadas.
20%
R
e
s
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c
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• El alumno presenta en todos sus ejercicios y/o problemas el
procedimiento de resolución mostrada por el profesor
durante las sesiones de clase.
• El alumno presentaen todos sus ejercicios la respuesta
correcta.
• El alumno realiza las correcciones de sus ejercicios de
acuerdo con la retroalimentación presentada de forma
presencial o no presencial.
70%
Recursos bibliográficos:
• Bargas, R. A. & Camargo, M. (2006). Introducción a la Probabilidad y Estadística
(1era ed.). México: Progreso.
• Ibáñez, P. & García, G. (2011). Matemáticas y vida cotidiana 1 (1era ed.). México:
CENGAGE Learning.
• Mendell Hall, W., Beaver, R.J. & Beaver, B.M. (2010). Introducción a la Probabilidad
y Estadística (13ava ed.). México: CENGAGE Learning.
• Ruiz, J. (2009). Matemáticas 2 Geometría, Trigonometría, Datos y Azar. Serie
Integral por competencias (1era ed.). México: Grupo Editorial Patria.
• Sánchez, O. (2010). Probabilidad y Estadística (3era ed.). México; McGraw Hill
• Spiegel, M. R., Schiller, J. J., Srinivasan, R. A. & Stephens, M. (2010). Probabilidad
y Estadística. Serie Schawn (3era ed.). México: McGraw Hill.
• Johnson, R., Kuby, P. (2012). Estadística elemental (11a. edición). México:
CENGAGE Learning.
Bachillerato General UADY
Modalidad Presencial
CSEMS 94
• Torres, L (2017). Matemáticas para la Toma de Decisiones. México. Recuperado
de:
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Mat
em%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones
https://ems.uadyvirtual.uady.mx/pluginfile.php/315011/mod_resource/content/1/Matem%C3%A1ticas%20para%20la%20Toma%20de%20Decisiones