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ARITMÉTICA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo : Anual Virtual UNI Docente: Ramiro Díaz TEORIA DE NUMERACIÓN II C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A Objetivos • Realizar la descomposición polinómica de un numeral. • Representar un numeral en diferentes sistemas de numeración • Conocer y aplicar las propiedades en la resolución de problemas de numeración. Con tarjeta CHIPLEY C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A INTRODUCCIÓN La conversión de un número hexadecimal en binario, y de un número binario en hexadecimal, es una tarea común cuando se trabaja con el registro de configuración de los routers de Cisco. Los routers de Cisco poseen un registro de configuración de 16 bits de longitud. El número binario de 16 bits se puede representar como un número hexadecimal de cuatro dígitos. Por ejemplo, 0010000100000010 en números binarios es igual a 2102 en números hexadecimales. La palabra hexadecimal a menudo se abrevia como 0x cuando se utiliza con un valor como el que aparece en el número anterior. 0x2102. Diseño la computadora G-15 una máquina de 430 kg; una de las primeras en trabajar códigos de programa en sistema Hexadecimal. HARRY HUSKEY (1916 – 2017) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL Consiste en expresar un numeral como la suma indicada de los valores relativos de cada una de una de sus cifras. EJEMPLOS • 3524 = 3000 + 500 + 20 + 4 3524 = 3 × 103 + 5 × 102 + 2 × 10 + 4 Descomposición polinómica • 104057 = 0 × 73 + 4 × 72 + 0 × 7 + 51 × 74 + • 1200105 = 2 × 54 + 1 × 51 × 55 + • 2134 = + 1 × 4 + 32 × 42 • 3a1b6 = a × 62 + 1 × 6 + b3 × 63 + = 654 + 36a 𝒂𝒃𝒄…𝒑𝒒 𝒌 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 𝒏 = 𝒃 × 𝒏𝒌−𝟐+ + 𝒑 × 𝒏 + q𝒂 × 𝒏𝒌−𝟏 + … + b OBSERVACIÓN Si + 2 × 9 + 65× 92A = A = 5269 Si + + 21 × 43B = B = 30103243 × 45 3 × 4+ DESCOMPOSICIÓN POR BLOQUES • 35𝑎𝑏𝑐8 = 23 × 104• 232323= + 23 × 102+ 23 358 × 83 + 𝑎𝑏𝑐8 • 2314126 = 236 × 64 + 146 × 62 + 126 • abab8 = ab8 × 82 + ab8 = 65 ab6 • abc0abc5= abc5 × 54 + =abc5 626 abc5 Permite sumar bloques iguales, separar parte literal de parte numérica o separar convenientemente según el problema lo requiera. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2006 - II De la igualdad 𝑎2𝑏(7) = 𝑎51(𝑛) , calcule el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑛. A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 RESOLUCIÓN Piden 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 Se observa 𝑛 > 5 𝑦 𝑎2𝑏(7) = 𝑎51(𝑛) + - - + De ahí 5 < 𝑛 < 7 𝑛 = 6 Luego tendremos: 𝑎2𝑏(7) = 𝑎51(6) Descomponiendo polinómicamente: 49 𝑎 + 14 + 𝑏 = 36 𝑎 + 30 + 1 13 𝑎 + 𝑏 = 17 𝑎 > 0 1 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 = 𝟏𝟏 Clave:A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2008 - II Sabiendo que: 𝑎00𝑎(6) = 𝑏𝑐 1 , 0 es el cero, 𝑎 ≠ 0, determine la suma (𝑎 + 𝑏 + 𝑐). A)12 B)13 C)14 D)15 E)16 RESOLUCIÓN Piden 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Descomponiendo polinómicamente el numeral de la izquierda tendremos: = +𝑎00𝑎(6) 𝑎𝑥63 𝑎 = 217𝑎 luego: 217𝑎 𝑏𝑐1= 𝑎 < 6 3 651 De donde: 𝑎 = 3, 𝑏 = 6 y 𝑐 = 5 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝟏𝟒 Clave:C C U R S O D E A R I T M É T I C A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2017 - II C U R S O D E A R I T M É T I C A Se tiene un número N cuya representación en dos sistemas de numeración son las siguientes 𝑥𝑦(𝑧+3) 𝑦 𝑧𝑥(𝑦) , donde z 𝑒 𝑦 son cifras pares, tal que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 13 Calcule 3𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧. A)47 B)53 C)59 D)61 E)73 RESOLUCIÓN Piden 3𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 De 𝑥𝑦(𝑧+3) = 𝑧𝑥(𝑦) 𝑧 < 𝑦 < 𝑧 + 3 𝑦 = 𝑧 + 2Como ambos son pares Z+1 o Z+2 Descomponiendo polinómicamente 𝑥 𝑧 + 3 + 𝑦 = 𝑧. 𝑦 + 𝑥 luego 𝑥 𝑧 + 3 − 𝑥 = 𝑧. 𝑦 − 𝑦 𝑥 𝑧 + 2 = 𝑦(𝑧 − 1) 𝑥 = 𝑧 − 1 En el dato 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 13 (𝑧 − 1) + (𝑧 + 2) + 𝑧 = 13 𝑧 = 4 De ahí 𝑥 = 3 , 𝑦 = 6 3𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 = 𝟔𝟏 Clave:D C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A APLICACIÓN Si 𝑎𝑏0𝑎𝑏(𝑛) = 455 , calcule el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑛. A)6 B) 8 C)11 D)13 E)15 RESOLUCIÓN Piden 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 Descomponiendo polinómicamente por bloques el numeral de la izquierda de la base n 𝑎𝑏0𝑎𝑏(𝑛) = 𝑎𝑏(𝑛)𝑥𝑛 3 + 𝑎𝑏(𝑛) = 𝑛3 + 1 x𝑎𝑏(𝑛) Luego 𝑛3 + 1 x𝑎𝑏(𝑛) = 455 = 5𝑥 7𝑥13 Formaremos un factor que sea cubo más uno Así tendremos 𝑛3 + 1 x𝑎𝑏(𝑛) = 65 𝑥 7 𝑛 = 4 𝑦 𝑎𝑏4 = 7 Agrupando de cuatro en cuatro = 𝟏𝟑𝟒 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 = 𝟖 Clave:B C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A CAMBIOS DE BASE Base n Base 10 POR DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Ejemplo 1 Convierta el número 3527 a base 10 3 × 72 + 5 × 7 + 23527 = 147 + 35 + 23527 = 1843527 = Ejemplo 2 Convierta el número 13428 a base 10 3 × 82 + 4 × 8 + 213428 = 1 × 83 + 192 + 32 + 213428 = 512 + 13428 = 738 POR EL MÉTODO DE RUFFINI Ejemplo 1 Convierta el número 3549 a base 10 3 5 4 9 3 × 27 32 288 292 Ejemplo 2 Convierta el número 31046 a base 10 3 1 0 6 3 × 18 19 114 688 4 114 684 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A Base 10 Base m POR DIVISIONES SUCESIVAS Ejemplo 1 Convierta el número 532 al sistema heptanario 532 7 760 7 106 7 13 13607=532∴ Ejemplo 2 Convierta el número 630 al sistema cuaternario 630 4 1572 4 391 4 93 213124=630∴ 4 21 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A Base n Base 10 Base m Ejemplo Convierta el número 6328 al sistema cuaternario 6 × 82 + 3 × 8 + 26328 = 384 + 24 + 26328 = 4106328 = En primer lugar pasamos el número 6328 a base 10 Luego este número obtenido lo pasamos a la base que nos piden Así 410 lo llevamos al sistema cuaternario (base4) 410 4 1022 4 252 4 61 121224=410 ∴ 4 12 121224=6328 + - - + NO OLVIDAR C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2004 - II El número 𝑚𝑎𝑚5 expresado en base 𝑎 es 𝑥3𝑥 , indique cuántas cifras tiene en el sistema binario. A)4 B) 5 C)6 D) 8 E) 10 RESOLUCIÓN Piden cantidad de cifras en el sistema binario Del enunciado 𝑚𝑎𝑚(5) = 𝑥3𝑥(𝑎) se observa 3 < 𝑎 < 5 𝑎 = 4 reemplazamos en 𝑚4𝑚(5) = 𝑥3𝑥(4) Descomponiendo polinómicamente 26𝑚 + 20 =17𝑥 + 12 26𝑚 + 8 = 17 𝑥 1 2luego 1415 A base 2 1415=46; 46 2 230 2 111 2 51 2 21Tendrá 6 cifras en el sistema binario Clave:C 2 10 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2001 - I Si al número 1573 dado en base 𝑛 , lo pasamos a la base 𝑛 + 1, entonces la suma de sus cifras en la base 𝑛 + 1 𝑒𝑠: A) 2𝑛 + 1 B) 3 C) 2 D) 𝑛 + 3 E) 𝑛 + 1 RESOLUCIÓN Piden la suma de cifras en base 𝑛 + 1 Tenemos 1573𝑛 A base 𝑛 + 1; OBSERVACIÓN Una manera de resolver sería descomponer polinómicamente y llevar a base diez (se obtendría un polinomio en variable 𝑛) y luego se dividiría entre 𝑛 + 1 por división sintética; mediante divisiones sucesivas para obtener las cifras en base 𝑛 + 1. 𝑛 − 𝑛 + 1 = −𝟏 Trabajaremos con el esquema de Ruffini (en forma práctica) 1 5 7 −𝟏 1 × -1 4 -4 3 3 -3 0 ×−𝟏 1 -1 3 -3 0 −𝟏 × 1 -1 2 Luego 1573𝑛 =𝟏𝟐𝟎𝟎𝑛+1 La suma de cifras será 3 Clave:B C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A CAMBIOS DE BASE ESPECIALES Base n Base nK Base nk Base n 1. Se forman grupos de K cifras; a partir de la última cifra (de derecha a izquierda). 2. Cada grupo así formado se descompone polinómicamente, dicho resultado es la cifra en la nueva base 𝐧𝐤 . Ejemplo: Represente 10 202 112(3) en el sistema nonario. 10 20 21 12(3) 1x3+0 2x3+0 2x3+1 1x3+2 3 6 7 5(9) 10 202 112(3) = 3675(9) . 1. Cada cifra delnumeral de la base 𝐧𝐤 genera un grupo de k cifras en base n 2. Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones sucesivas entre n Ejemplo: Represente 5 207(9) en el sistema ternario. 12 02 00 21(3) 5 2 0 7(9) 5 207(9) = 12 020 021(3) . 3. Si las divisiones no generan K cifras, se completará con ceros a la izquierda 5 3 2 1 2 3 2 0 0 3 0 0 7 3 1 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A APLICACIÓN Si el numeral 12 100 102 010 211(n) se expresa en base n3 la suma de sus cifras aumenta en 38. Calcule el valor de n A)3 B) 7 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN Piden 𝑛 Observemos que la suma de cifras del numeral expresado en base n es: S = 1+2+1+0+0+1+0+2+0+1+0+2+1+1= 12 Del enunciado al expresar en base n3 , la suma de cifras aumenta en 38, es decir será: 12 +38 = 50 Luego 12 100 102 010 211(n) (n+2) n2 (n2 +2 ) n (2n2 +n + 1 )(n3) De ahí: (n+2) + n2 + (n2 +2 ) + n + (2n2+ n + 1) = 50 (4n2+ 3n + 5) = 50 n (4n+ 3) = 45 3 15 n = 3 Clave:A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A NUMERAL CON CIFRAS MÁXIMAS EN CIERTA BASE Si todas las cifras de un numeral en cierta base son cifras máximas (base – 1), es posible representar a dicho número de manera mas sencilla como lo veremos en los siguientes ejemplos Ejemplos 9 = 10 − 1 99 = 100 − 1 = 102 − 999 = 103 − 1 1 9999 = 104 − 1 99……99 = 10𝑛 − 1 Base del sistema de numeración Cantidad de cifras del numeral 𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 En otra base 8889 = 93 − 1 66667 = 74 − 1 111111112 = 28 − 1 = 255 Numeral en base 10 En General n − 1 n − 1 …(n − 1)n = nk − 1 k cifras TENER EN CUENTA 74 − 1Si A = =A 66667 36 − 1Si B = =B 2222223 1620− 1Si C = =C (15)(15)…….(15)16 20 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A APLICACIÓN Si 𝑎𝑎𝑎. . 𝑎𝑎2 = 1𝑏𝑐𝑑; calcular 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑘. A)12 B)13 C)14 D)15 E)16 𝑘 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 RESOLUCIÓN Piden 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑘 De 𝑎𝑎𝑎. . 𝑎𝑎2 0 < 𝑎 < 2 𝑎 = 1 Luego tendremos: 111…112 = 𝑘 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 1𝑏𝑐𝑑 Por propiedad 2𝑘 − 1 = 1𝑏𝑐𝑑 28 = 256 29 = 512 210 = 1024 211 = 2048 210 − 1 = 1𝑏𝑐𝑑 1𝑏𝑐𝑑 = 1023 De donde: 𝑘 = 10, 𝑏 = 0 , 𝑐 = 2 y 𝑑 = 3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑘 = 𝟏𝟔 Clave:E C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A INTERVALO DE UN NUMERAL CON CIERTA CANTIDAD DE CIFRAS Y EN DETERMINADA BASE Si se conoce la cantidad de cifras de un numeral y el sistema de numeración en el cual está escrito (base), se conoce el intervalo en el cual se encuentra dicho numeral. Ejemplos Para un numeral de tres cifras recordamos 𝐚𝐛𝐜 ∶ 100; 101; 102; … ;999 se tiene abc <≤100 1000 abc <≤102 103 Para un numeral de cuatro cifras en el sistema senario recordamos 𝐚𝐛𝐜𝐝𝟔 : 10006; 10016; 55556… ; se tiene <≤10006 abcd6 100006 <≤ abcd663 64 Para un numeral de cinco cifras en el sistema octonario <≤ abcde884 85 En General abc…den k cifras ≤ <nk−1 nk Cantidad de cifras del numeral C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A APLICACIÓN Cuantos números naturales existen tal que al expresarlos en el sistema nonario y cuaternario se representen con tres y cuatro cifras respectivamente A) 93 B) 105 C)127 D) 139 E) 175 RESOLUCIÓN Sea N un número que cumple: N abc9 = mnpq4 Observando el intervalo para cada numeral <≤ abc992 93 <≤ mnpq443 44 <≤ abc981 729 <≤ mnpq464 256 <≤ N81 729 <≤64 256N 64 25681 729 <≤81 256N N : 81; 82; 83; … ; 255 175 números ∴ Existen 175 números Clave:E w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
