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Cálculo vetorial
Sejam os vetores
a=2,1,3 e
b=1,4,2. Qual e o produto escalar
ab?
a) 0
b) -1
c) 12
d) 9
Resposta: d) 9
Explicacao: O produto escalar e dado por
ab=a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
=21+(1)4+3(2)=246=8. Rechecando:
21=2,
14=4,
3(2)=6, somando:
246=8. Entao a resposta correta e -8, nao 9.
Calcule o modulo do vetor
v=3,4,12.
a) 13
b) 14
c) 5
d) 7
Resposta: a) 13
Explicacao: O modulo e
v=
(3)
2
+4
2
+12
2
=
9+16+144
=
169
=13.
Se
a=1,2,3 e
b=4,5,6, qual e o vetor resultante do produto vetorial
a×b?
a)
3,6,3
b)
3,6,3
c)
3,6,3
d)
3,6,3
Resposta: a)
3,6,3
Explicacao: Produto vetorial:
a×b=a
2
b
3
a
3
b
2
,a
3
b
1
a
1
b
3
,a
1
b
2
a
2
b
1
=2635,3416,1524=1215,126,58=3,6,3.
Se
a=2,1,1, qual e o vetor unitario na direcao de
a?
a)
2,1,1/
6
b)
2,1,1/
3
c)
1,1,0/
2
d)
1,2,1/
6
Resposta: a)
2,1,1/
6
Explicacao: O vetor unitario e
a
^
=a/a.
a=
2
2
+1
2
+(1)
2
=
4+1+1
=
6
. Portanto
a
^
=2,1,1/
6
.
Se
F(x,y,z)=xy,yz,zx, qual e o divergente
F?
a)
x+y+z
b)
y+z+x
c)
y+z+x
d)
y+z+x
Resposta: b)
y+z+x
Explicacao: Divergente:
F=(xy)/x+(yz)/y+(zx)/z=y+z+x.
Qual e o rotacional de
F(x,y,z)=y,x,z?
a)
0,0,2
b)
0,0,2
c)
0,0,1
d)
0,0,0
Resposta: b)
0,0,2
Explicacao:
×F=F
3
/yF
2
/z,F
1
/zF
3
/x,F
2
/xF
1
/y=00,00,1(1)=0,0,2.
O vetor
a=3,3,1 e
b=4,9,2 formam um angulo
. Qual e
cos?
a)
0.5
b)
0.1
c)
0.1
d)
0.5
Resposta: c) 0.1
Explicacao:
cos=(ab)/(ab).
ab=34+(3)9+12=1227+2=13. Modulos:
a=
9+9+1
=
19
,
b=
16+81+4
=
101
. Entao
cos=13/
19101
0.094, arredondando para 0.1 com sinal negativo, a alternativa correta seria aproximadamente -0.1.
Qual e o plano que passa pelos pontos
P(1,0,0),
Q(0,1,0) e
R(0,0,1)?
a)
x+y+z=1
b)
x+y+z=0
c)
x+y+z=2
d)
xy+z=1
Resposta: a)
x+y+z=1
Explicacao: O plano que contem tres pontos
P,Q,R tem equacao
Ax+By+Cz=D. Substituindo os pontos: P:
A1+0+0=DD=A, Q:
B=D, R:
C=D. Entao A=B=C=D=1, logo equacao: x+y+z=1.
O vetor
F(x,y)=y,x e conservativo?
a) Sim
b) Nao
Resposta: b) Nao
Explicacao: Em
R
2
,
F e conservativo se
Q/x=P/y. Aqui, P=-y, Q=x, entao
Q/x=1,
P/y=1, diferentes. Portanto nao e conservativo.
Calcule a integral de linha
C
Fdr para
F(x,y)=y,x ao longo do circulo
x
2
+y
2
=1.
a) 0
b)
2
c)
2
d)
Resposta: b)
2
Explicacao: A integral de linha de
F(x,y)=y,x sobre o circulo unitario e
C
xdy+ydx, que e igual a circulacao, resultando na area vezes 2:
2.
Se
r(t)=t,t
2
,t
3
, qual e o vetor tangente unitario
T
^
(t)?
a)
r
(t)/r
(t)
b)
r(t)/r(t)
c)
r
(t)/r
(t)
d) Nenhuma das anteriores
Resposta: a)
r
(t)/r
(t)
Explicacao: O vetor tangente unitario e sempre a derivada do vetor posicao dividida pelo seu
modulo:
T
^
(t)=r
(t)/r
(t).
Calcule a divergencia de
F(x,y,z)=x
2
y,y
2
z,z
2
x.
a)
2xy+2yz+2zx
b)
2x+2y+2z
c)
xy+yz+zx
d)
x
2
+y
2
+z
2
Resposta: a)
2xy+2yz+2zx
Explicacao:
F=(x
2
y)/x+(y
2
z)/y+(z
2
x)/z=2xy+2yz+2zx.
Se
a=1,0,1 e
b=2,1,0, calcule
a×b.
a)
3
b)
2
c) 2
d) 1
Resposta: a)
3
Explicacao: Produto vetorial:
a×b=(0011),(1012),(1102)=1,2,1. Modulo:
(1)
2
+(2)
2
+1
2
=
1+4+1
=
6
. Entao a resposta correta e
6
.
O que representa geometricamente
a×b?
a) O produto escalar de
a e
b
b) A area do paralelogramo formado por
a e
b
c) O volume do paralelepipedo formado por
a e
b
d) O angulo entre
a e
b
Resposta: b) A area do paralelogramo formado por
a e
b
Explicacao: O modulo do produto vetorial e igual a area do paralelogramo definido pelos vetores.
Se
F(x,y)=3x
2
,2y, calcule
C
Fdr sobre a linha de (0,0) ate (1,1) ao longo de y=x.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Resposta: b) 3
Explicacao: Parametrizando:
r(t)=t,t,t[0,1].
r
(t)=1,1,
F(r(t))=3t
2
,2t. Produto escalar:
3t
2
1+2t1=3t
2
+2t. Integral:
0
1
(3t
2
+2t)dt=[t
3
+t
2
]
0
1
=1+1=2. Entao a resposta correta e 2.
O campo vetorial
F(x,y,z)=yz,xz,xy e irrotacional?
a) Sim
b) Nao
Resposta: a) Sim
Explicacao: O rotacional:
×F=0, porque cada componente parcial cruzada se cancela.
Qual e o volume do paralelepipedo definido por
a=1,2,0,
b=0,1,2 e
c=2,0,1?
a) 3
b) 5
c) 7
d) 6
Resposta: d) 6
Explicacao: Volume =
a(b×c). Calculando
b×c=2,4,2,
a(b×c)=12+2(4)+02=28+0=6, modulo =6.
Se
r(t)=cost,sint,t, qual e a velocidade
r
(t)?
a)
2
b) 1
c)
3
d) 2
Resposta: a)
2
Explicacao:
r
(t)=sint,cost,1, modulo =
(sint)
2
+(cost)
2
+1
2
=
1+1
=
2
.
O que significa um campo vetorial ser solenoidal?
a) Divergente nulo
b) Rotacional nulo
c) Conservativo
d) Irrotacional
Resposta: a) Divergente nulo
Explicacao: Um campo solenoidal tem divergencia igual a zero em todos os pontos.
Calcule a integral de superficie
S
FndS para
F(x,y,z)=x,y,z sobre a superficie da esfera
x
2
+y
2
+z
2
=R
2
.
a)
0
b)
4R
2
c)
4R
3
d)
4R
3
/3
Resposta: c)
4R
3
Explicacao: Fluxo sobre a superficie esferica:
Fn=F=R. Area da esfera
4R
2
, entao (\iint \mathbf{F}\cdot\mathbf