Matemática

Note que essa é uma PA crescente, ou seja os seus termos seguintes são sempre maiores que seus antecessores (an > ... > a3 > a2 > a1), com base nisso temos que a razão está entre 0 e 2/3 (0 < r < 2/3).

Agora perceba uma coisa, o valor mínimo de k representa o número de termos, se eu quero que o número de termos seja necessariamente o menor possível a razão deve ser a maior possível (pois assim "2 chegará até 50" mais rápido, entende?).

Vamos considerar por um instante a razão como 2/3, temos então que:

a1 = 2

an = 50

r = 2/3

n = k

an = a1 + (n - 1).r 

50 = 2 + (k - 1). (2/3)

50 - 2 = (k - 1). (2/3)

48 = (k - 1). (2/3)

48 . 3/2 = k - 1

24 . 3 = k - 1

k = 72 + 1

k = 73 , retirando agora o a1 e o an, já que k representa o número de termos ENTRE       eles:

k = 71

mas note que o exercício diz que a razão é MENOR que 2/3 e não MENOR ou IGUAL a 2/3, assim se a r < 2/3, k > 71, mas como r é bem próximo de 2/3, k é bem próximo de 71, como k necessariamente é um número natural, k = 72.