(Colégio Naval - 2016) sejam x e y números reais tais que xy = 2√3. Sendo assim, o valor mínimo de x^8 e y^8 é ?

Matemática

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Colégio Objetivo

Zlatan Ibrahimovic

31/05/2022

Respostas

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Vinícius Costa

31.05.2022

Não tente, de forma alguma, desenvolver x8+y8 com o objetivo de chegar a alguma relação. Para
questões assim é muito mais interessante utilizar a desigualdade das médias. Supomos dois números reais e
positivos a e b, é sempre verdade que (√a-√b)² ≥ 0, dessa forma, podemos afirmar que:
a+b
a-2√ab+b≥0..
≥ Vab.
Ou seja, a média aritmética é maior do que ou igual a média geométrica. Por agora, só nos interessa para dois
termos, mas essa relação é aplicável para qualquer valor inteiro n ≥ 2 de termos. No caso da questão:
18+y8
2√√√xsys
2
x+y8> 2. (xy)4 = (2√3)=288.
Concluindo, assim, que 288 é o valor mínimo para x8+y8, sendo esse valor múltiplo de 18.