3) No circuito da figura abaixo, a corrente está avançada de 78,69° em relação à tensão da fonte na frequência angular de ω = 500 rad/s. (a) Deter.?

a)

Impedância indutiva (Zl):

→ Zl = j·ω·L

→ Zl = j·500·(20 m)

→ Zl = j·500·20·10⁻³

→ Zl = j10 Ω

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Impedância capacitiva (Zc):

→ Zc = - j/(ω·C)

→ Zc = - j/(500·40 µ)

→ Zc = - j/(500·40·10⁻⁶)

→ Zc = - j50 Ω

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Impedância total do circuito (Zt):

→ Zt = R + Zl + Zc

→ Zt = R + j10 + (-j50)

→ Zt = R - j40

Fase de Zt:

→ θ = arctan(-40/R) (1)

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Uma vez que a corrente (I) do circuito está avançada de 78,69° em relação à tensão (V = 100<0° V) da fonte, a fase da divisão V/I é:

→ Fase( V/I ) = Fase( V ) - Fase( I )

→ Fase( V/I ) = 0° - 78,69°

→ Fase( V/I ) = - 78,69° (2)

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Como a divisão V/I é igual à impedância total Zt, as equações (1) e (2) são iguais. Portanto, o valor da resistência R é:

→ Fase( V/I ) = θ

→ - 78,69° = arctan(- 40/R)

→ tan(- 78,69°) = - 40/R

→ - 5 = - 40/R

→ 5 = 40/R

→ R = 40/5

→ R = 8 Ω

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b)

Corrente do circuito (I):

→ I = V/Zt

→ I = ( 100<0° )/( R - j40 )

→ I = ( 100<0° )/( 8 - j40 )

→ I = ( 2,4515<78,69° ) A

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Tensão do resistor (Vr):

→ Vr = R·I

→ Vr = 8·( 2,4515<78,69° )

→ Vr = ( 19,6116<78,69° ) V

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Tensão do indutor (Vl):

→ Vl = Zl·I

→ Vl = ( j10 )·( 2,4515<78,69° )

→ Vl = ( 24,515<168,69° ) V

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Tensão do capacitor (Vc):

→ Vc = Zc·I

→ Vc = ( -j50 )·( 2,4515<78,69° )

→ Vc = ( 122,5726<-11,31° ) V

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Representação fasorial:

→ V = ( 100<0° ) V

→ I = ( 2,4515<78,69° ) A

→ Vr = ( 19,6116<78,69° ) V

→ Vl = ( 24,515<168,69° ) V

→ Vc = ( 122,5726<-11,31° ) V

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c)

Nova impedância indutiva (Zl'):

→ Zl' = j·ω'·L

→ Zl' = j·ω'·(20 m)

→ Zl' = j·0,02ω' Ω

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Nova impedância capacitiva (Zc'):

→ Zc' = - j/(ω'·C)

→ Zc' = - j/(ω'·40 µ)

→ Zc' = - j·25000/ω' Ω

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Nova impedância total do circuito (Zt'):

→ Zt' = R + Zl' + Zc'

→ Zt' = 8 + j·0,02ω' + (- j·25000/ω')

→ Zt' = 8 + j·( 0,02ω' - 25000/ω')

→ Zt' = 8 + j·( 0,02ω'² - 25000 )/ω'

Nova fase de Zt':

→ θ' = arctan[ ( 0,02ω'² - 25000 )/( 8ω' ) ] (3)

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Uma vez que a nova corrente (I') do circuito agora está atrasada de 78,69° em relação à tensão (V = 100<0° V) da fonte, a nova fase da divisão V/I' é:

→ Fase( V/I' ) = Fase( V ) - Fase( I' )

→ Fase( V/I' ) = 0° - (- 78,69°)

→ Fase( V/I' ) = 78,69° (4)

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Como a nova divisão V/I' é igual à nova impedância total Zt', as equações (3) e (4) são iguais. Portanto, tem-se o seguinte:

→ Fase( V/I' ) = θ'

→ 78,69° = arctan[ ( 0,02ω'² - 25000 )/( 8ω' ) ]

→ tan(78,69°) = ( 0,02ω'² - 25000 )/( 8ω' )

→ 5 = ( 0,02ω'² - 25000 )/( 8ω' )

→ 40ω' = 0,02ω'² - 25000

→ 0 = 0,02ω'² - 40ω' - 25000

→ 0 = ω'² - 2.000ω' - 1.250.000

→ 0 = ( ω' - 2.500 )( ω' + 500 )

Como a frequência angular é um valor positivo, seu novo valor é:

→ ω' = 2.500 rad/s

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