Qual o fluxo do campo vetorial F=xyi+yzj+xzk através de um quadrado unitário paralelo ao plano xy e com vértices em (0,0,1), (1,0,1) e (1,1,1).

Podemos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) para calcular o fluxo do campo vetorial F através do quadrado unitário. O Teorema da Divergência afirma que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência do campo em todo o volume limitado por essa superfície.

Para aplicar o Teorema da Divergência, primeiro precisamos calcular a divergência do campo F:

div(F) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z

= y + z

Em seguida, podemos calcular o fluxo de F através do quadrado unitário com vértices nos pontos (0,0,1), (1,0,1) e (1,1,1) integrando a divergência do campo F sobre o volume limitado pelo quadrado. Como o quadrado está contido em um plano paralelo ao plano xy, podemos restringir a integral às coordenadas x e y, variando z de 1 a 1:

∬S F · dS = ∭V div(F) dV

= ∫0¹ ∫0¹ ∫1¹ (y + z) dz dy dx

= ∫0¹ ∫0¹ [z²/2 + yz]₁¹ dy dx

= ∫0¹ ∫0¹ (1/2 + y) dy dx

= ∫0¹ [y/2 + y²/2]₀¹ dx

= ∫0¹ (1/2 + 1/2) dx

= 1

Portanto, o fluxo do campo vetorial F através do quadrado unitário é igual a 1.