(a) Prove que um número expresso no sistema duodecimal é um múltiplo de 3 se, e somente se, o algarismo das unidades é também múltiplo de 3.

Para provar que um número expresso no sistema duodecimal é um múltiplo de 3 se, e somente se, o algarismo das unidades também é múltiplo de 3, podemos utilizar a propriedade dos múltiplos de 3. No sistema duodecimal, temos 12 como base, então os algarismos vão de 0 a 11. Vamos considerar um número qualquer expresso nesse sistema, sendo o algarismo das unidades representado por "x". Se o número é um múltiplo de 3, então podemos escrevê-lo como 3k, onde k é um número inteiro. No sistema duodecimal, isso seria representado como 3kx, onde x é o algarismo das unidades. Agora, vamos analisar a condição de que o algarismo das unidades também é múltiplo de 3. Se x é múltiplo de 3, podemos escrevê-lo como 3m, onde m é um número inteiro. Nesse caso, o número seria representado como 3km. Podemos ver que 3km é igual a 3kx, ou seja, o número é um múltiplo de 3 se, e somente se, o algarismo das unidades também é múltiplo de 3. Portanto, provamos que um número expresso no sistema duodecimal é um múltiplo de 3 se, e somente se, o algarismo das unidades também é múltiplo de 3.