Em um triângulo retângulo, a hipotenusa a e o cateto b satisfazem à relação log2 a + log2 b ≥ 6. Se o seno do ângulo oposto ao cateto b é igual a...

Para resolver esse problema, vamos utilizar as informações fornecidas. Temos a relação log2 a + log2 b ≥ 6 e o seno do ângulo oposto ao cateto b é igual a 3/2. Primeiro, vamos simplificar a relação logarítmica. Podemos usar a propriedade do logaritmo que diz que log a + log b = log (a * b). Portanto, podemos reescrever a relação como log2 (a * b) ≥ 6. Agora, vamos usar a definição de seno em um triângulo retângulo. O seno de um ângulo é dado pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Nesse caso, temos que o seno do ângulo oposto ao cateto b é igual a 3/2. Portanto, temos a seguinte relação: b/a = 3/2. Agora, podemos substituir essa relação na primeira equação. Temos log2 (a * (3/2)a) ≥ 6. Podemos simplificar essa expressão para log2 (3/2)a^2 ≥ 6. Agora, vamos isolar a variável a. Podemos reescrever a expressão como (3/2)a^2 ≥ 2^6. Simplificando, temos (3/2)a^2 ≥ 64. Agora, vamos resolver a inequação. Dividindo ambos os lados por 3/2, temos a^2 ≥ (64 * 2/3). Simplificando, temos a^2 ≥ 128/3. Agora, vamos encontrar o valor mínimo da área do triângulo. A área de um triângulo retângulo é dada pela fórmula A = (b * a)/2. Substituindo a relação b/a = 3/2, temos A = (3/2 * a * a)/2. Simplificando, temos A = (3/4) * a^2. Agora, podemos substituir o valor mínimo de a^2 encontrado na inequação. Temos A ≥ (3/4) * (128/3). Simplificando, temos A ≥ 32. Portanto, o valor mínimo que a área do triângulo pode assumir é 32.