Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com ...

Para determinar a área entre as curvas y = x² e y = 2x, podemos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas e calcular a integral definida da diferença entre as duas funções nesse intervalo. Primeiro, igualamos as duas funções para encontrar os pontos de interseção: x² = 2x x² - 2x = 0 x(x - 2) = 0 Portanto, os pontos de interseção são x = 0 e x = 2. Agora, podemos calcular a integral definida da diferença entre as duas funções no intervalo [0, 2]: ∫[0, 2] (2x - x²) dx Para calcular essa integral, podemos usar a fórmula da integral definida ou simplificar a expressão: ∫[0, 2] (2x - x²) dx = [x² - (x³/3)]|[0, 2] = (2² - (2³/3)) - (0² - (0³/3)) = (4 - 8/3) - (0 - 0) = (12/3 - 8/3) - 0 = 4/3 Portanto, a área entre as curvas y = x² e y = 2x é igual a 4/3. Assim, a alternativa correta é a letra A) Somente a opção III está correta.