3. (2.0 pontos) Determine o valor de m para que seja 30◦ o ângulo entre os planos: π1 : x+my + 2z − 7 = 0 e π2 : 4x+ 5y + 3z + 2 = 0.

Para determinar o valor de m para que o ângulo entre os planos seja de 30°, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois planos. A fórmula é dada por: cos(θ) = (a1 * a2 + b1 * b2 + c1 * c2) / (sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2)) Onde (a1, b1, c1) e (a2, b2, c2) são os vetores normais dos planos π1 e π2, respectivamente. Para o plano π1: x + my + 2z - 7 = 0, o vetor normal é (1, m, 2). Para o plano π2: 4x + 5y + 3z + 2 = 0, o vetor normal é (4, 5, 3). Substituindo esses valores na fórmula do cosseno, temos: cos(30°) = (1 * 4 + m * 5 + 2 * 3) / (sqrt(1^2 + m^2 + 2^2) * sqrt(4^2 + 5^2 + 3^2)) Simplificando a expressão, temos: sqrt(14 + 10m + m^2) = 2sqrt(50) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 14 + 10m + m^2 = 4 * 50 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos: m^2 + 10m - 186 = 0 Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara ou completando o quadrado. A solução para essa equação é: m = -15 ou m = 12 Portanto, os valores de m para que o ângulo entre os planos seja de 30° são m = -15 e m = 12.