Dada a elipse 4x2 + 9y2 + 24x− 18y + 9 = 0, determine: a) sua equação reduzida e o centro; b) os vértices; c) os focos; d) excentricidade; e) um es...

a) Para determinar a equação reduzida da elipse, precisamos completar o quadrado para x e y. Primeiro, vamos agrupar os termos com x e y: 4x^2 + 24x + 9 + 9y^2 - 18y = 0 Agora, vamos completar o quadrado para x e y: 4(x^2 + 6x) + 9(y^2 - 2y) = -18 Para completar o quadrado para x, adicionamos (6/2)^2 = 9 ao lado esquerdo da equação: 4(x^2 + 6x + 9) + 9(y^2 - 2y) = -18 + 4(9) Simplificando: 4(x + 3)^2 + 9(y - 1)^2 = 36 Agora, vamos dividir toda a equação por 36 para obter a equação reduzida: (x + 3)^2/9 + (y - 1)^2/4 = 1 Portanto, a equação reduzida da elipse é (x + 3)^2/9 + (y - 1)^2/4 = 1. O centro da elipse é (-3, 1). b) Para encontrar os vértices, precisamos determinar o valor de a e b. No caso da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Temos a^2 = 9 e b^2 = 4, então a = 3 e b = 2. Os vértices são encontrados adicionando e subtraindo a do centro da elipse. Portanto, os vértices são (-3 + 3, 1) = (0, 1) e (-3 - 3, 1) = (-6, 1). c) Para encontrar os focos, precisamos determinar o valor de c. Usando a fórmula c^2 = a^2 - b^2, temos c^2 = 9 - 4, então c^2 = 5 e c ≈ √5. Os focos são encontrados adicionando e subtraindo c do centro da elipse. Portanto, os focos são (-3 + √5, 1) e (-3 - √5, 1). d) A excentricidade (ε) é dada por ε = c/a. Substituindo os valores, temos ε = √5/3. e) Para fazer um esboço do gráfico, podemos usar as informações que encontramos até agora. O centro da elipse é (-3, 1), os vértices são (0, 1) e (-6, 1), e os focos são (-3 + √5, 1) e (-3 - √5, 1). A excentricidade é aproximadamente 0,745. A partir dessas informações, podemos desenhar uma elipse com centro (-3, 1), semi-eixo maior de comprimento 3, semi-eixo menor de comprimento 2, e os focos localizados em (-3 + √5, 1) e (-3 - √5, 1).