4. (2.0 pontos) Determinar o valor de m para que seja de 45◦ o ângulo entre os planos π1 : x+ y +mz − 5 = 0 e π2 : x− 2y − 3z + 7 = 0 Determine o v...

Para determinar o valor de m para que o ângulo entre os planos π1 : x+ y +mz − 5 = 0 e π2 : x− 2y − 3z + 7 = 0 seja de 45°, podemos utilizar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois planos. A fórmula é dada por: cos(θ) = (a1 * a2 + b1 * b2 + c1 * c2) / (sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2)) Onde a1, b1, c1 são os coeficientes do primeiro plano e a2, b2, c2 são os coeficientes do segundo plano. No caso, temos: π1 : x+ y + mz − 5 = 0 π2 : x− 2y − 3z + 7 = 0 Comparando os coeficientes, temos: a1 = 1, b1 = 1, c1 = m a2 = 1, b2 = -2, c2 = -3 Substituindo na fórmula, temos: cos(45°) = (1 * 1 + 1 * (-2) + m * (-3)) / (sqrt(1^2 + 1^2 + m^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + (-3)^2)) Simplificando, temos: 1/√2 = (1 - 2 - 3m) / √(2 + m^2 + 14) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 1/2 = (1 - 2 - 3m)^2 / (2 + m^2 + 14) Resolvendo a equação, encontramos o valor de m.