Ache o centróide da “fatia de pizza”: região R do plano limitada pelas retas y = x, x = 0 e o ćırculo de raio 1, x2 + y2 = 1, no primeiro quadra...

Para encontrar o centróide da região R, que é a "fatia de pizza" limitada pelas retas y = x, x = 0 e o círculo de raio 1, x² + y² = 1, no primeiro quadrante, podemos usar o conceito de coordenadas do centróide. Primeiro, vamos encontrar a área da região R. Podemos fazer isso calculando a área do setor circular formado pelo círculo de raio 1 e subtraindo a área do triângulo formado pelas retas y = x, x = 0 e o ponto de interseção entre a reta y = x e o círculo. A área do setor circular pode ser calculada usando a fórmula A = (θ/360) * π * r², onde θ é o ângulo central do setor e r é o raio do círculo. Nesse caso, o ângulo central θ é 45°, pois a reta y = x forma um ângulo de 45° com o eixo x no primeiro quadrante. A área do setor circular é, portanto, A = (45/360) * π * 1² = (1/8) * π. A área do triângulo pode ser calculada usando a fórmula A = (base * altura) / 2. Nesse caso, a base do triângulo é a distância entre o ponto de interseção entre a reta y = x e o círculo e o ponto (0, 0), que é √2 - 1. A altura do triângulo é a distância entre a reta y = x e a reta x = 0, que é √2. A área do triângulo é, portanto, A = (√2 - 1) * √2 / 2 = (√2 - 1) / √2. A área da região R é a diferença entre a área do setor circular e a área do triângulo, ou seja, A = (1/8) * π - (√2 - 1) / √2. Agora, para encontrar as coordenadas do centróide (x̄, ȳ), podemos usar as fórmulas x̄ = (1/A) * ∫(x * f(x)) dx e ȳ = (1/A) * ∫(y * f(x)) dx, onde f(x) é a função que descreve a curva da região R. No caso da região R, a função f(x) é y = x. Portanto, temos x̄ = (1/A) * ∫(x²) dx e ȳ = (1/A) * ∫(x * x) dx. Integrando essas expressões, encontramos x̄ = (1/A) * ∫(x²) dx = (1/A) * [(x³/3) + C], onde C é a constante de integração. Agora, substituindo os limites de integração, que são x = 0 e x = √2 - 1, temos x̄ = (1/A) * [((√2 - 1)³/3) - (0³/3)]. Da mesma forma, encontramos ȳ = (1/A) * ∫(x * x) dx = (1/A) * [(x⁴/4) + C]. Substituindo os limites de integração, temos ȳ = (1/A) * [((√2 - 1)⁴/4) - (0⁴/4)]. Portanto, as coordenadas do centróide (x̄, ȳ) da região R são (x̄, ȳ) = [((√2 - 1)³/3) - (0³/3), ((√2 - 1)⁴/4) - (0⁴/4)]. Calculando essas expressões, encontramos as coordenadas aproximadas do centróide da região R.