(5) (Valor 2,0 pts) Calcule ∫∫R 2xy x2 + y2 dA, onde R é a região delimitada pelos semiplanos x ≥ 0, y ≥ 0 e pelos ćırculos x2 + y2 = 1 e x2 + y...

Para calcular a integral dupla ∫∫R 2xy/(x² + y²) dA, onde R é a região delimitada pelos semiplanos x ≥ 0, y ≥ 0 e pelos círculos x² + y² = 1 e x² + y² = 4, podemos utilizar coordenadas polares. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração em coordenadas polares. O círculo x² + y² = 1 corresponde ao círculo de raio 1, enquanto o círculo x² + y² = 4 corresponde ao círculo de raio 2. Portanto, os limites de integração para r são 1 ≤ r ≤ 2. Em coordenadas polares, a função 2xy/(x² + y²) se torna 2r²sinθcosθ/(r²) = 2rsinθcosθ. Agora, vamos encontrar os limites de integração para θ. A região R é delimitada pelos semiplanos x ≥ 0 e y ≥ 0, o que corresponde ao primeiro quadrante. Portanto, os limites de integração para θ são 0 ≤ θ ≤ π/2. Agora, podemos calcular a integral dupla: ∫∫R 2xy/(x² + y²) dA = ∫[θ=0 to π/2] ∫[r=1 to 2] 2rsinθcosθ dr dθ Integrando em relação a r primeiro: ∫[θ=0 to π/2] [sin²θ] [r²] [from r=1 to 2] dθ = ∫[θ=0 to π/2] (4sin²θ - sin²θ) dθ = ∫[θ=0 to π/2] (3sin²θ) dθ = 3/2 ∫[θ=0 to π/2] (1 - cos(2θ)) dθ = 3/2 [θ - (1/2)sin(2θ)] [from θ=0 to π/2] = 3/2 [(π/2) - (1/2)sin(π)] = 3/2 [(π/2) - (1/2)(0)] = 3π/4 Portanto, o valor da integral dupla é 3π/4.