Considere o conjunto W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4/x = z e y = −t} (a) (1, 0 pontos) Mostre que W1 é um subespaço de R4; (b) (1, 0 pontos) Determine um...

(a) Para mostrar que W1 é um subespaço de R4, precisamos verificar duas condições: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar. Fechamento sob adição: Sejam u = (x1, y1, z1, t1) e v = (x2, y2, z2, t2) dois vetores em W1. Temos que x1 = z1 e y1 = -t1, e x2 = z2 e y2 = -t2. Agora, vamos verificar se a soma u + v também pertence a W1: u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) = (z1 + z2, -t1 - t2, z1 + z2, -t1 - t2) Podemos ver que x1 + x2 = z1 + z2 e y1 + y2 = -t1 - t2, o que significa que u + v também pertence a W1. Portanto, W1 é fechado sob adição. Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja u = (x, y, z, t) um vetor em W1 e c um escalar. Temos que x = z e y = -t. Agora, vamos verificar se o vetor cu também pertence a W1: cu = (cx, cy, cz, ct) = (cz, -ct, cz, -ct) Podemos ver que cx = cz e cy = -ct, o que significa que cu também pertence a W1. Portanto, W1 é fechado sob multiplicação por escalar. Assim, concluímos que W1 é um subespaço de R4. (b) Para determinar uma base para W1, precisamos encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que geram W1. Podemos reescrever a condição de W1 como: W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x - z = 0 e y + t = 0} Podemos escolher dois vetores que satisfazem essas condições: v1 = (1, 0, 1, 0) v2 = (0, -1, 0, 1) Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Suponha que existam escalares c1 e c2 tais que c1*v1 + c2*v2 = 0. Isso implica no seguinte sistema de equações: c1 + 0 = 0 0 - c1 = 0 c1 + 0 = 0 0 + c1 = 0 A solução desse sistema é c1 = 0 e c2 = 0, o que significa que os vetores v1 e v2 são linearmente independentes. Portanto, uma base para W1 é {v1, v2}. (c) Para determinar um subespaço W2 de R4 tal que W1 ⊕ W2 = R4, podemos escolher W2 como o conjunto dos vetores que são ortogonais a W1. Podemos escrever W2 como: W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x - z = 0 e y + t = 0}⊥ Podemos escolher dois vetores que satisfazem essas condições: w1 = (1, 0, -1, 0) w2 = (0, 1, 0, -1) Agora, vamos verificar se esses vetores são ortogonais a W1. Para isso, vamos verificar se o produto interno desses vetores com os vetores de W1 é igual a zero: w1 · v1 = (1, 0, -1, 0) · (1, 0, 1, 0) = 1 - 1 + 0 - 0 = 0 w1 · v2 = (1, 0, -1, 0) · (0, -1, 0, 1) = 0 + 0 + 0 - 0 = 0 w2 · v1 = (0, 1, 0, -1) · (1, 0, 1, 0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 w2 · v2 = (0, 1, 0, -1) · (0, -1, 0, 1) = 0 + 0 + 0 - 0 = 0 Podemos ver que o produto interno desses vetores com os vetores de W1 é igual a zero, o que significa que w1 e w2 são ortogonais a W1. Portanto, podemos escolher W2 como o subespaço gerado pelos vetores w1 e w2, ou seja, W2 = {c1*w1 + c2*w2 | c1, c2 ∈ R}. Assim, temos que W1 ⊕ W2 = R4.