Terceira Avaliação de Álgebra Linear Data: 28 de novembro de 2019 Peŕıodo: 2019.2 (Tarde) Aluno: Curso de Graduação: Matŕıcula: Professor: N...

Terceira Avaliação de Álgebra Linear
Data: 28 de novembro de 2019 Peŕıodo: 2019.2 (Tarde)
Aluno:
Curso de Graduação: Matŕıcula:
Professor: Nota:
IMPORTANTE! Não retire o grampo da prova. Use apenas o papel da prova.
Não apague as contas. Desligue o(s) seu(s) celular(es). Concentre-se!
1. Considere a transformação linear T : R3 → P2(R) definida por
T (x, y, z) = xt2 + (−x+ y − z)t+ z.
(a) (1, 0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo;
(b) (1, 0 ponto) Calcule T−1(xt2 + yt+ z).
2. Sejam as transformações lineares T1 : R2 → R3 definida pela matriz [T1]αβ =
 2 −10 1
−1 3

e T2 : R2 → R2 definida pela matriz [T2]αα =
(
4 3
2 1
)
, onde α é a base canônica do
R2 e β é a base canônica do R3. Determine:
(a) (1, 0 ponto) A matriz [T1 ◦ T2]αβ ;
(b) (1, 0 ponto) A expressão anaĺıtica de (T1 ◦ T2)(x, y).
3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (0, x+ 2y,−3x− 6y).
Determine:
(a) (1, 0 ponto) A matriz [T ]αα, onde α = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)};
(b) (1, 0 ponto) Os autovalores de T (sugestão: utilize a matriz [T ]αα);
(c) (1, 0 ponto) Uma base β de R3, caso haja (caso não haja, justifique o porquê),
constitúıda apenas de autovetores de T .
4. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida pela matriz A =
 3 0 02 3 0
2 1 3
.
Calcule:
(a) (1, 0 ponto) O polinômio caracteŕıstico de T e escreva todos os candidatos a
polinômio minimal de T;
(b) (1, 0 ponto) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.
5. (1, 0 ponto) Determine o operador linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores
λ1 = −2 e λ2 = 3 associados, respectivamente, aos autovetores da forma (3y, y) e
(−2y, y), com y 6= 0.
“Se não puder voar, corra. Se não puder correr,
ande. Se não puder andar, rasteje, mas continue
em frente de qualquer jeito.”(Martin Luther King)
Boa Prova! Boas Festas! Feliz 2020!
1. Considere a transformação linear T : R3 → P2(R) definida por
T (x, y, z) = xt2 + (−x+ y − z)t+ z.
(a) (1, 0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo;
(b) (1, 0 ponto) Calcule T−1(xt2 + yt+ z).
2. Sejam as transformações lineares T1 : R2 → R3 definida pela matriz [T1]αβ =
 2 −10 1
−1 3

e T2 : R2 → R2 definida pela matriz [T2]αα =
(
4 3
2 1
)
, onde α é a base canônica do
R2 e β é a base canônica do R3. Determine:
(a) (1, 0 ponto) A matriz [T1 ◦ T2]αβ ;
(b) (1, 0 ponto) A expressão anaĺıtica de (T1 ◦ T2)(x, y).
3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (0, x+ 2y,−3x− 6y).
Determine:
(a) (1, 0 ponto) A matriz [T ]αα, onde α = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)};
(b) (1, 0 ponto) Os autovalores de T (sugestão: utilize a matriz [T ]αα);
(c) (1, 0 ponto) Uma base β de R3, caso haja (caso não haja, justifique o porquê),
constitúıda apenas de autovetores de T .
4. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida pela matriz A =
 3 0 02 3 0
2 1 3
.
Calcule:
(a) (1, 0 ponto) O polinômio caracteŕıstico de T e escreva todos os candidatos a
polinômio minimal de T;
(b) (1, 0 ponto) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.
5. (1, 0 ponto) Determine o operador linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores
λ1 = −2 e λ2 = 3 associados, respectivamente, aos autovetores da forma (3y, y) e
(−2y, y), com y 6= 0.