Caṕıtulo 15. Álgebra de los números complejos 15.2. Operaciones con números complejos 1. Expresar en forma binómica de cada uno de los siguien...

Caṕıtulo 15. Álgebra de los números complejos
15.2. Operaciones con números complejos
1. Expresar en forma binómica de cada uno de los siguientes números com- plejos:
a) 3− 2i
1 + 4i
. b) i23. c) 1
z
. d) z − 1
z + 1
. e) (1− 2i)4. f) √ 3− 4i.
2. Resolver en C la ecuación z2 − (2 + i)z − 1 + 7i = 0.
3. Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo.
4. a) Demostrar que si z ∈ C, entonces Re z > 0⇔ |z − 1| < |z + 1| .
b) Demostrar que si x + yi = (s + ti)n con n ∈ N, x, y, s, t ∈ R, entonces x2 + y2 = (s2 + t2)n.
5. Demostrar que si r es ráız de un polinomio p(z) ∈ C[z] con coeficientes reales, también r es ráız de p(z).
6. Sabiendo que el polinomio p(z) = 4z4−12z3 + 13z2−12z+ 9 tiene la ráız compleja r = i, hallar todas sus ráıces.
7. Determinar el valor real del parámetro a para que la ecuación en z |z|2 − (3− 4i)z − (3− 4i)z + a = 0 represente una circunferencia en el plano complejo de radio 3.
8. Sean z1 = 1, z2, . . . , zn las distintas ráıces enésimas de la unidad. De- mostrar que (1− z2)(1− z3) . . . (1− zn) = n.
9. Sea G = {z ∈ C : |z| = 1}. Demostrar que (G, ·) es grupo.
Solución. 1. a) 3− 2i
1 + 4i
= (3− 2i)(1− 4i)
(1 + 4i)(1− 4i)
= 3− 8 + (−2− 12)i
12 + 42
= − 5
17
−
14
17
i.
b) i23 = i20i3 = (
i4
)5
(−i) = 15(−i) = −i.
c) 1
z
=
z
zz
=
z
|z|2
=
Re z
|z|2
− Im z
|z|2
i.
d) z − 1
z + 1
=
z − 1
z + 1
· z + 1
z + 1
=
|z|2 − 1
|z|2 + 1 + 2Re z
+
2Im z
|z|2 + 1 + 2Re z
i.