18)3 Estágio - Tarde

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Terceira Avaliação de Álgebra Linear
Data: 28 de novembro de 2019 Peŕıodo: 2019.2 (Tarde)
Aluno:
Curso de Graduação: Matŕıcula:
Professor: Nota:
IMPORTANTE! Não retire o grampo da prova. Use apenas o papel da prova.
Não apague as contas. Desligue o(s) seu(s) celular(es). Concentre-se!
1. Considere a transformação linear T : R3 → P2(R) definida por
T (x, y, z) = xt2 + (−x+ y − z)t+ z.
(a) (1, 0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo;
(b) (1, 0 ponto) Calcule T−1(xt2 + yt+ z).
2. Sejam as transformações lineares T1 : R2 → R3 definida pela matriz [T1]αβ =
 2 −10 1
−1 3

e T2 : R2 → R2 definida pela matriz [T2]αα =
(
4 3
2 1
)
, onde α é a base canônica do
R2 e β é a base canônica do R3. Determine:
(a) (1, 0 ponto) A matriz [T1 ◦ T2]αβ ;
(b) (1, 0 ponto) A expressão anaĺıtica de (T1 ◦ T2)(x, y).
3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (0, x+ 2y,−3x− 6y).
Determine:
(a) (1, 0 ponto) A matriz [T ]αα, onde α = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)};
(b) (1, 0 ponto) Os autovalores de T (sugestão: utilize a matriz [T ]αα);
(c) (1, 0 ponto) Uma base β de R3, caso haja (caso não haja, justifique o porquê),
constitúıda apenas de autovetores de T .
4. Considere o operador linear T : R3 → R3 definida pela matriz A =
 3 0 02 3 0
2 1 3
.
Calcule:
(a) (1, 0 ponto) O polinômio caracteŕıstico de T e escreva todos os candidatos a
polinômio minimal de T;
(b) (1, 0 ponto) O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.
5. (1, 0 ponto) Determine o operador linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores
λ1 = −2 e λ2 = 3 associados, respectivamente, aos autovetores da forma (3y, y) e
(−2y, y), com y 6= 0.
“Se não puder voar, corra. Se não puder correr,
ande. Se não puder andar, rasteje, mas continue
em frente de qualquer jeito.”(Martin Luther King)
Boa Prova! Boas Festas! Feliz 2020!