(2) (Valor 2,5) Resolva os seguinte limites: (a) lim (x,y)→(0,0) x3y2 x2 + y2 ; (b) lim (x,y)→(2,0) √ x cos y x4 − y ; (c) lim (x,y)→(0,0) x2y x4 +...

Vamos resolver os limites propostos: (a) lim (x,y)→(0,0) x^3y^2 / (x^2 + y^2) Para resolver esse limite, podemos utilizar a técnica de mudança para coordenadas polares. Substituindo x = rcosθ e y = rsenθ, temos: lim r→0 (rcosθ)^3(rsenθ)^2 / ((rcosθ)^2 + (rsenθ)^2) lim r→0 r^5cos^3θsen^2θ / (r^2cos^2θ + r^2sen^2θ) lim r→0 r^5cos^3θsen^2θ / r^2(cos^2θ + sen^2θ) lim r→0 r^5cos^3θsen^2θ / r^2 lim r→0 r^3cos^3θsen^2θ Como r→0, o limite é igual a 0. (b) lim (x,y)→(2,0) √(x cos y) / (x^4 - y) Para resolver esse limite, podemos substituir os valores diretamente: lim (x,y)→(2,0) √(2 cos 0) / (2^4 - 0) lim (x,y)→(2,0) √2 / 16 O limite é igual a √2 / 16. (c) lim (x,y)→(0,0) x^2y / (x^4 + y^2) Para resolver esse limite, podemos utilizar a técnica de mudança para coordenadas polares novamente. Substituindo x = rcosθ e y = rsenθ, temos: lim r→0 (rcosθ)^2(rsenθ) / ((rcosθ)^4 + (rsenθ)^2) lim r→0 r^3cos^2θsenθ / (r^4cos^4θ + r^2sen^2θ) lim r→0 r^3cos^2θsenθ / r^2(cos^4θ + sen^2θ) lim r→0 rcos^2θsenθ / (cos^4θ + sen^2θ) Como r→0, o limite é igual a 0. Portanto, os limites são: (a) lim (x,y)→(0,0) x^3y^2 / (x^2 + y^2) = 0 (b) lim (x,y)→(2,0) √(x cos y) / (x^4 - y) = √2 / 16 (c) lim (x,y)→(0,0) x^2y / (x^4 + y^2) = 0