3. (20 pontos) Prove o refute as seguintes afirmacoes (a) ∃x : (P (x)→ Q(x)) ≡ ∃x : P (x)→ ∃x : Q(x) (b) ∀x : (P (x)→ q) ≡ ¬∃x : (P (x) ∧ ¬q). a) ∃...

Para provar ou refutar as afirmações, podemos usar as leis lógicas e as regras de quantificadores. Vamos analisar cada uma delas: (a) ∃x : (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x : P(x) → ∃x : Q(x) Para provar essa afirmação, precisamos mostrar que ambos os lados da equivalência são verdadeiros. Vamos começar com o lado esquerdo: Suponha que existe um elemento x tal que P(x) → Q(x) seja verdadeiro. Isso significa que, para esse x específico, se P(x) for verdadeiro, então Q(x) também será verdadeiro. Agora, vamos analisar o lado direito: Suponha que existe um elemento x tal que P(x) seja verdadeiro. Isso significa que, para esse x específico, P(x) é verdadeiro. Agora, precisamos mostrar que existe um elemento y tal que Q(y) seja verdadeiro. Podemos escolher o mesmo elemento x que escolhemos anteriormente, pois se P(x) → Q(x) é verdadeiro, então Q(x) também será verdadeiro. Portanto, podemos concluir que ambos os lados da equivalência são verdadeiros, o que prova a afirmação (a). (b) ∀x : (P(x) → q) ≡ ¬∃x : (P(x) ∧ ¬q) Para provar essa afirmação, também precisamos mostrar que ambos os lados da equivalência são verdadeiros. Vamos começar com o lado esquerdo: Suponha que, para todos os elementos x, P(x) → q seja verdadeiro. Isso significa que, para qualquer x, se P(x) for verdadeiro, então q também será verdadeiro. Agora, vamos analisar o lado direito: Suponha que não existe um elemento x tal que P(x) ∧ ¬q seja verdadeiro. Isso significa que, para todos os x, P(x) ∧ ¬q é falso. Isso implica que, para todos os x, P(x) é falso ou q é verdadeiro. Podemos ver que, se P(x) for falso, então P(x) → q será verdadeiro, pois a implicação de uma proposição falsa é sempre verdadeira. Portanto, o lado esquerdo é verdadeiro. Além disso, se q for verdadeiro, então ¬q será falso, o que significa que P(x) ∧ ¬q será falso para qualquer x. Portanto, o lado direito também é verdadeiro. Dessa forma, podemos concluir que ambos os lados da equivalência são verdadeiros, o que prova a afirmação (b). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.