Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en C(-3,2), vértice en V(-7,2) y distancia focal de 10 unidades. Determinar las coordenadas de los fo...

Para encontrar a equação da hipérbole com centro em C(-3,2), vértice em V(-7,2) e distância focal de 10 unidades, podemos usar a fórmula geral da hipérbole: (x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 Onde (h, k) é o centro da hipérbole, a é o semieixo real e b é o semieixo imaginário. Primeiro, vamos encontrar o valor de a. A distância entre o centro C e o vértice V é igual a a, então: a = |-7 - (-3)| = 4 Agora, vamos encontrar o valor de b. A distância focal é igual a 2b, então: 2b = 10 b = 5 Agora, podemos substituir os valores na equação da hipérbole: (x + 3)²/4² - (y - 2)²/5² = 1 Portanto, a equação da hipérbole é: (x + 3)²/16 - (y - 2)²/25 = 1 Agora, vamos encontrar as coordenadas dos focos. Os focos estão localizados nos pontos (h ± c, k), onde c é a distância focal. Neste caso, c = 10/2 = 5. Substituindo os valores, temos: Foco 1: (-3 + 5, 2) = (2, 2) Foco 2: (-3 - 5, 2) = (-8, 2) As coordenadas dos focos são F(2, 2) e F'(-8, 2). Para encontrar os extremos do eixo conjugado, podemos usar a fórmula: Eixo conjugado = 2b Eixo conjugado = 2 * 5 = 10 Os extremos do eixo conjugado estão localizados nos pontos (h, k ± b). Substituindo os valores, temos: Extremo 1: (-3, 2 + 5) = (-3, 7) Extremo 2: (-3, 2 - 5) = (-3, -3) As coordenadas dos extremos do eixo conjugado são B(-3, 7) e B'(-3, -3). Por fim, as equações das assíntotas da hipérbole são dadas por: y - k = ± (b/a) * (x - h) Substituindo os valores, temos: y - 2 = ± (5/4) * (x + 3) Portanto, as equações das assíntotas são: y - 2 = (5/4) * (x + 3) y - 2 = -(5/4) * (x + 3)