Calcule pelo método de Runge-Kutta de 2ª ordem a equação diferencial y' + 3y = 2x com y(0) = 2, no intervalo [0, 2] com n = 2?
Cálculo Numérico
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Elesandro Turella Duma

Question

Quando se torna inviável resolver uma equação diferencial ordinária, lançamos mão dos métodos numéricos para encontrar uma aproximação f a esta solução y. O método de Runge-Kutta de 2ª ordem é um deles. Calcule pelo método de Runge-Kutta de 2ª ordem a equação diferencial y' + 3y = 2x com y(0) = 2, no intervalo [0, 2] com n = 2.É necessário a demonstração dos cálculos

Ed · Answer

Para resolver essa equação diferencial pelo método de Runge-Kutta de 2ª ordem, precisamos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar o valor de h, que é o tamanho do passo. Como n = 2, temos que h = (2-0)/2 = 1.

2. Calcular os valores de k1 e k2 para cada ponto i:

- k1 = f(xi, yi) = yi' + 3yi - 2xi = y(i-1)' + 3y(i-1) - 2xi-1
- k2 = f(xi + h, yi + hk1) = (yi + hk1)' + 3(yi + hk1) - 2(xi + h) = y(i-1)' + 3(yi + hk1) - 2xi-1 - 2h

3. Calcular o valor de yi+1 para cada ponto i:

- yi+1 = yi + (h/2)(k1 + k2)

Aplicando esses passos, temos:

- i = 1:
  - k1 = y(0)' + 3y(0) - 2x0 = 2' + 3*2 - 2*0 = 8
  - k2 = y(0 + 1)' + 3(y(0) + h*k1) - 2(0 + h) = y(1)' + 3(2 + 1*8) - 2 = y(1)' + 30
  - y1 = y0 + (h/2)(k1 + k2) = 2 + (1/2)(8 + 30) = 20

- i = 2:
  - k1 = y(1)' + 3y(1) - 2x1 = y(1)' + 3*20 - 2*1 = y(1)' + 58
  - k2 = y(1 + 1)' + 3(y(1) + h*k1) - 2(1 + h) = y(2)' + 3(20 + 1*58) - 4 = y(2)' + 190
  - y2 = y1 + (h/2)(k1 + k2) = 20 + (1/2)(58 + 190) = 133

Portanto, a solução aproximada da equação diferencial y' + 3y = 2x com y(0) = 2, no intervalo [0, 2] com n = 2 pelo método de Runge-Kutta de 2ª ordem é y(2) = 133.

Calcule pelo método de Runge-Kutta de 2ª ordem a equação diferencial y' + 3y = 2x com y(0) = 2, no intervalo [0, 2] com n = 2.

Cálculo Numérico (mat28)

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