Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = √x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno: a) do eixo x. b) do eixo ...

Para determinar o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = √x, y = 2 e x = 0, em torno dos diferentes eixos e retas, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. a) Rotação em torno do eixo x: Nesse caso, utilizamos o método dos discos. O raio de cada disco é dado pela função y = √x, e a altura de cada disco é dada pela diferença entre as retas y = 2 e y = √x. Integrando essa função de raio ao quadrado (π∫(√x)² dx) no intervalo de x = 0 a x = 4, obtemos o volume do sólido. b) Rotação em torno do eixo y: Nesse caso, utilizamos o método das cascas cilíndricas. A altura de cada casca cilíndrica é dada pela diferença entre as funções y = 2 e y = √x, e o raio de cada casca é dado pela coordenada x. Integrando essa função de raio ao quadrado (2π∫(2 - √x) dx) no intervalo de x = 0 a x = 4, obtemos o volume do sólido. c) Rotação em torno da reta y = 2: Nesse caso, também utilizamos o método das cascas cilíndricas. A altura de cada casca cilíndrica é dada pela diferença entre as funções y = 2 e y = √x, e o raio de cada casca é dado pela coordenada y = 2. Integrando essa função de raio ao quadrado (2π∫(2 - √x) dx) no intervalo de x = 0 a x = 4, obtemos o volume do sólido. d) Rotação em torno da reta x = 4: Nesse caso, utilizamos novamente o método dos discos. O raio de cada disco é dado pela diferença entre as retas x = 4 e x = 0, e a altura de cada disco é dada pela função y = √x. Integrando essa função de raio ao quadrado (π∫(4 - x)² dx) no intervalo de x = 0 a x = 4, obtemos o volume do sólido. Lembrando que é necessário realizar os cálculos das integrais para obter os valores exatos do volume em cada caso.