Questão resolvida - O volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo y, a região limitada pelas retas y 0, x 0, x 8 e y x 1 é - Cálculo II - Universidade Norte do Paraná

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• O volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo , a região limitada pelas y
retas , , e é:y = 0 x = 0 x = 8 y = + 1x
 
Resolução:
 
Veja que o domínio da cruva que contém a raiz é maior que zero, só admitindo valores 
positivos para . Já a imagem só admite valores maiores ou iguais a 1, dessa forma, x
substituindo alguns valores nessa curva, temos que;
 
Se x = 0, y = + 1 y = 1 ponto 0, 10 → → ( )
 
Se x = 1, y = + 1 y = 1 + 1 y = 2 ponto 1, 21 → → → ( )
 
Se x = 4, y = + 1 y = 2 + 1 y = 3 ponto 4, 24 → → → ( )
 
Se x = 8, y = + 1 y = + 1 y = 2 + 1 ≅ 3, 83 ponto 8, 2 + 18 → 2 ⋅ 4 → 2 → → 2
Com essas informações e sabendo que a região que queremos rotacional ao redor do eixo y
é delimitada pelas retas , e ; podemos esboçar essa região, como feito na y = 0 x = 0 x = 8
sequência:
 
 
 
 
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução, em torno de y, pelo método dos 
discos é;
 
V = 𝜋 f y dy
b
a
∫ [ ( )]2
 
Antes de aplicar a fórmula, é preciso colocar a curva que contém a raiz em função de y;
 
f y = y - 1( ) ( )2
 
Perceba, pelo gráfico que representa a região, que o volume que queremos é o volume 
formado quando a região delimitada pela reta e pela reta , entre e , x = 8 x = 0 0 2 + 12
gira em torno do eixo , menos o volume delimitado pelas curvas , , y f y = y - 1( ) ( )2 x = 0
entre e , em trono do eixo . Traduzindo em uma integral, esse volume é;1 2 + 12 y
 
 
 
Gira
Região
fx
2 + 1 ≅ 3, 832
y = + 1 + 1 = y = y - 1 = y - 1 x = y - 1x → x → x → x
2
( )2 → ( )2
V = 𝜋 8 dy - 𝜋 y - 1 dy
0
∫2 +12 [ ]2
1
∫2 +12 ( )2 2
 
V = 𝜋 64dy - 𝜋 y - 1 dy V = 64𝜋y - 𝜋 y - 1 dy
0
∫2 +12
1
∫2 +12 ( )4 →
2 +1
0
2
1
∫2 +12 ( )4
Vamos resolver a integral que restou separadamente em sua forma indefinida;
 
𝜋 y - 1 dy; u = y - 1 du = dy; ∫( )4 →
𝜋 y - 1 dy = 𝜋 u du = 𝜋 + c = 𝜋 + c = + c∫( )4 ∫ 4 u
4 + 1
4+1( ) u
5
5
𝜋 y - 1
5
( )5
 
Voltando, o volume fica;
 
V = 64𝜋y -
2 +1
0
2
𝜋 y - 1
5
( )5 2 +1
1
2
V = 64𝜋 2 + 1 - 0 - = 64𝜋 2 + 1 -2
𝜋 2
5
2
5
2
𝜋 2
5
( )5 2
5
 
V = 64𝜋 2 + 1 - = 64𝜋 2 + 1 -2
𝜋32 2
5
1
2
5
2
𝜋32 ⋅ 2
5
5
2
V = =
5 ⋅ 64𝜋 2 + 1 - 32𝜋 2
5
2 5
1
2
320𝜋 2 + 1 - 32𝜋 2
5
2 5
1
2
 
V = =
320𝜋 2 + 1 - 32𝜋 2 ⋅ 2
5
2 4
1
2
320𝜋 2 + 1 - 32𝜋 ⋅ 2 ⋅ 2
5
2
4⋅
1
2
1
2
 
 
 
V = 64𝜋 2 + 1 - 64𝜋 0 - -2 ( )
𝜋 2 + 1 - 1
5
2
5
𝜋 1 - 1
5
( )5
0
0
V = =
320𝜋 2 + 1 - 32𝜋 ⋅ 2 ⋅ 2
5
2
4
2
1
2 320𝜋 2 + 1 - 32𝜋 ⋅ 2 ⋅ 2
5
2 2
1
2
 
V = =
320𝜋 2 + 1 - 32𝜋 ⋅ 4 ⋅ 2
5
2
1
2 320𝜋 2 + 1 - 128𝜋
5
2 2
 
V = =
320𝜋 2 + 1 - 128𝜋
5
2 2 32 ⋅ 10𝜋 2 + 1 - 32 ⋅ 4𝜋
5
2 2
 
V = u. v.
32𝜋 10 2 + 1 - 4
5
2 2
 
 
 
 
(Resposta)