Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo: (a) (x +3y) − x y′ = 0 (b) y ′ = 2y + ???????? (c) y ′ − 2x y = x (d) y ′ ...

Claro! Vou fornecer as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem que você mencionou: (a) A equação diferencial é (x + 3y) - xy' = 0. Para resolvê-la, podemos rearranjá-la para obter y' isolado: y' = (x + 3y) / x. Essa é uma equação diferencial separável. Integrando ambos os lados, obtemos ln|y| = ln|x| + 3ln|x| + C, onde C é uma constante de integração. Simplificando, temos ln|y| = 4ln|x| + C. Aplicando a exponencial em ambos os lados, obtemos |y| = e^(4ln|x| + C). Podemos simplificar ainda mais para obter a solução geral: |y| = e^C * e^(4ln|x|). Como e^C é uma constante, podemos substituí-la por outra constante K, então temos |y| = K * e^(4ln|x|). Agora, considerando o valor absoluto, temos duas soluções possíveis: y = K * e^(4ln|x|) ou y = -K * e^(4ln|x|). (b) A equação diferencial é y' = 2y + ?. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. (c) A equação diferencial é y' - 2xy = x. Essa é uma equação diferencial linear. Podemos usar o fator integrante para resolvê-la. O fator integrante é dado por e^(∫(-2x)dx) = e^(-x^2). Multiplicando ambos os lados da equação pelo fator integrante, obtemos e^(-x^2)y' - 2x * e^(-x^2)y = xe^(-x^2). Agora, podemos escrever a derivada do produto y * e^(-x^2) em relação a x: (y * e^(-x^2))' = xe^(-x^2). Integrando ambos os lados, temos y * e^(-x^2) = ∫(xe^(-x^2))dx. Infelizmente, a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução analítica exata. No entanto, podemos usar métodos numéricos para obter uma solução aproximada. (d) A equação diferencial é y' + 3y = x + ? - 2?. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. (e) A equação diferencial é y' - 2y = x^2 - 2?. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. (f) A equação diferencial é y' + y = x - ? + 1. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. (g) A equação diferencial é xy' + y = 3x * cos(2x). Essa é uma equação diferencial linear. Podemos usar o fator integrante para resolvê-la. O fator integrante é dado por e^(∫x dx) = e^(x^2/2). Multiplicando ambos os lados da equação pelo fator integrante, obtemos e^(x^2/2) * xy' + e^(x^2/2) * y = 3x * e^(x^2/2) * cos(2x). Agora, podemos escrever a derivada do produto (e^(x^2/2) * y) em relação a x: (e^(x^2/2) * y)' = 3x * e^(x^2/2) * cos(2x). Integrando ambos os lados, temos e^(x^2/2) * y = ∫(3x * e^(x^2/2) * cos(2x))dx. Infelizmente, a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução analítica exata. No entanto, podemos usar métodos numéricos para obter uma solução aproximada. (h) A equação diferencial é y' - y = 2?. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. (i) A equação diferencial é xy' + 2y = sen(x). Essa é uma equação diferencial linear. Podemos usar o fator integrante para resolvê-la. O fator integrante é dado por e^(∫2/x dx) = e^(2ln|x|) = e^(ln|x|^2) = |x|^2. Multiplicando ambos os lados da equação pelo fator integrante, obtemos |x|^2 * xy' + 2|x|^2 * y = |x|^2 * sen(x). Agora, podemos escrever a derivada do produto (|x|^2 * y) em relação a x: (|x|^2 * y)' = |x|^2 * sen(x). Integrando ambos os lados, temos |x|^2 * y = ∫(|x|^2 * sen(x))dx. Infelizmente, a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução analítica exata. No entanto, podemos usar métodos numéricos para obter uma solução aproximada. (j) A equação diferencial é y' - 2y = 2?. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. (k) A equação diferencial é xy' + 2y = sen(x). Essa é a mesma equação diferencial que a questão (i), então a solução é a mesma. (l) A equação diferencial é x^2 * y' + 2xy = cos(x). Essa é uma equação diferencial linear. Podemos usar o fator integrante para resolvê-la. O fator integrante é dado por e^(∫2x/x^2 dx) = e^(2ln|x|) = e^(ln|x|^2) = |x|^2. Multiplicando ambos os lados da equação pelo fator integrante, obtemos |x|^2 * x^2 * y' + 2|x|^2 * xy = |x|^2 * cos(x). Simplificando, temos x^4 * y' + 2x^3 * y = |x|^2 * cos(x). Agora, podemos escrever a derivada do produto (x^4 * y) em relação a x: (x^4 * y)' = |x|^2 * cos(x). Integrando ambos os lados, temos x^4 * y = ∫(|x|^2 * cos(x))dx. Infelizmente, a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução analítica exata. No entanto, podemos usar métodos numéricos para obter uma solução aproximada. (m) A equação diferencial é y' = x^3 - 2xy. Essa é uma equação diferencial separável. Podemos rearranjá-la para obter y' isolado: y' = x^3 - 2xy. Agora, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados: ∫dy = ∫(x^3 - 2xy)dx. Integrando, obtemos y = ∫(x^3 - 2xy)dx. Infelizmente, a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução analítica exata. No entanto, podemos usar métodos numéricos para obter uma solução aproximada. (n) A equação diferencial é y'sen(x) + ycos(x) = 1. Essa é uma equação diferencial linear. Podemos usar o fator integrante para resolvê-la. O fator integrante é dado por e^(∫cos(x)/sen(x) dx) = e^(ln|sen(x)|) = |sen(x)|. Multiplicando ambos os lados da equação pelo fator integrante, obtemos |sen(x)| * y'sen(x) + |sen(x)| * ycos(x) = |sen(x)|. Simplificando, temos y'sen^2(x) + ysen(x)cos(x) = |sen(x)|. Agora, podemos escrever a derivada do produto (ysen^2(x)) em relação a x: (ysen^2(x))' = |sen(x)|. Integrando ambos os lados, temos ysen^2(x) = ∫|sen(x)|dx. Infelizmente, a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução analítica exata. No entanto, podemos usar métodos numéricos para obter uma solução aproximada. (o) A equação diferencial é xy' + x^2 * y = ?. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. (p) A equação diferencial é (1 + x^2)y' + xy = -(1 + ?^2)5/2. Infelizmente, a parte em branco não está especificada na pergunta, então não é possível determinar a solução sem essa informação adicional. Espero que isso ajude! Se você tiver mais perguntas, é só me avisar.