Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
Álgebra Linear I
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IFBA
Bianca Marinho

Question

Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u = (u,u...

Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u = (u,uz) e v = (v1,12) por u+0= (u1 + v1 + 1,u2 X V2 +1)e au = (auy,au2). (a) Calcule u t v e au, sabendo que u = (0,4), v= (1,3) e a = 2. (b) Mostre que (0,0) # 0. (c) Mostre que (1,-1) =0 (d) Mostre que vale o Axioma 5 fornecendo um par ordenado -u tal que u + (-u) te74/=0.comu- = 0, com __ (uy,u2): (e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos

Geometria Analítica

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UNAMA

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Leonardo Silva

05/06/2023

Ed · Answer

(a) Para calcular u + v, basta somar as coordenadas correspondentes de u e v. Então, temos:

u + v = (0 + 1, 4 x 3) = (1, 12)

Para calcular au, basta multiplicar cada coordenada de u por a. Então, temos:

au = (2 x 0, 2 x 4) = (0, 8)

(b) Para mostrar que (0,0) ≠ 0, basta encontrar um vetor u ≠ (0,0) tal que u + (0,0) = u. Por exemplo, podemos escolher u = (1,1). Então, temos:

u + (0,0) = (1,1) + (0,0) = (1 + 0, 1 x 0) = (1,0) ≠ (1,1) = u

(c) Para mostrar que (1,-1) ≠ 0, basta encontrar um vetor u ≠ (0,0) tal que u x (1,-1) = 0. Por exemplo, podemos escolher u = (1,1). Então, temos:

u x (1,-1) = (1 x 1, 1 x -1) = (1,-1) ≠ (0,0)

(d) Para mostrar que vale o Axioma 5, precisamos encontrar um vetor -u tal que u + (-u) = 0. Podemos escolher -u = (-u1, -u2). Então, temos:

u + (-u) = (u1 + (-u1), u2 x (-u2)) = (0,0)

(e) Dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos são:

1. Axioma 2: Para todo u em V, existe um vetor -u em V tal que u + (-u) = 0. Este axioma não é válido em um espaço vetorial sobre um corpo finito, como o corpo dos números inteiros módulo 2.

2. Axioma 5: Para todo u em V, temos 1 x u = u. Este axioma não é válido em um espaço vetorial sobre um corpo que não possui elemento neutro multiplicativo, como o corpo dos números reais não negativos.

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