Encontrar los puntos de la elipse 5x2 + 8xy + 5y2 = 9 que están más cercanos y más alejados del origen. Se debe determinar los puntos que extre...

Encontrar los puntos de la elipse 5x2 + 8xy + 5y2 = 9 que están más cercanos y más alejados del origen.

Se debe determinar los puntos que extreman la función distancia dada por: d(x, y) = √x2 + y2.
Como la función ráız cuadrada es creciente, esto es equivalente a considerar como función objetivo a la función subradical f(x, y) = x2 + y2, sujeto a la restricción g(x, y) = 5x2 + 8xy + 5y2 − 9 = 0.
Utilizando multiplicadores de Lagrange, se obtiene que x = ±y.
Reemplazando en la restricción, se obtienen los puntos (1/√2, 1/√2), (-1/√2, -1/√2), (3/√2, -3/√2) y (-3/√2, 3/√2).
Los dos primeros puntos minimizan la distancia y los dos últimos la maximizan.