Calcule la coordenada z do centro de massa do sólido S = {(x, y, z) ∈ R3 / 0 ≤ z ≤ 2a , x2 + y2 + z2 ≥ a2 , z2 ≥ x2 + y2} com densidade de massa: δ...

Para calcular a coordenada z do centro de massa do sólido S, podemos seguir os seguintes passos: 1. Realização de mudança para coordenadas esféricas: x = ρsin(φ)cos(θ) y = ρsin(φ)sin(θ) z = ρcos(φ) 2. Cálculo da massa do sólido: Podemos calcular a massa do sólido S utilizando a fórmula: m = ∭S δ(x,y,z) dV onde dV = ρ²sin(φ) dρ dφ dθ é o elemento de volume em coordenadas esféricas. Integrando em relação a ρ, φ e θ, temos: m = ∫[0,2π]∫[0,π/4]∫[a/cos(φ),2a] δ(ρ,φ,θ) ρ²sin(φ) dρ dφ dθ m = ∫[0,2π]∫[0,π/4]∫[a/cos(φ),2a] 1/(ρ²) ρ²sin(φ) dρ dφ dθ m = ∫[0,2π]∫[0,π/4] [sin(φ)] dφ dθ ∫[a/cos(φ),2a] [1/(ρ²)] dρ m = 2π [-cos(φ)]|[0,π/4] [-1/ρ]|[(a/cos(φ)),2a] m = 2π [1-cos(π/4)] ∫[a,2a] [1/(ρ²)] dρ m = π [2-sqrt(2)] a Portanto, a massa do sólido é m = π [2-sqrt(2)] a. 3. Cálculo da coordenada z do centro de massa do sólido: Podemos calcular a coordenada z do centro de massa do sólido utilizando a fórmula: zcm = (1/m) ∭S z δ(x,y,z) dV Integrando em relação a ρ, φ e θ, temos: zcm = (1/m) ∫[0,2π]∫[0,π/4]∫[a/cos(φ),2a] z δ(ρ,φ,θ) ρ²sin(φ) dρ dφ dθ zcm = (1/m) ∫[0,2π]∫[0,π/4]∫[a/cos(φ),2a] ρcos(φ) ρ²sin(φ)/(ρ²) dρ dφ dθ zcm = (1/m) ∫[0,2π]∫[0,π/4]∫[a/cos(φ),2a] ρsin(φ) dρ dφ dθ zcm = (1/m) ∫[0,2π]∫[0,π/4] [sin(φ)] dφ dθ ∫[a/cos(φ),2a] ρ dρ zcm = (1/m) 2π [-cos(φ)]|[0,π/4] [ρ²/2]|[(a/cos(φ)),2a] zcm = (1/m) 2π [1-cos(π/4)] ∫[a,2a] [ρ²/2] dρ zcm = (1/m) π [2-sqrt(2)] a [8/3] zcm = (16/3) [1/(2-sqrt(2))] a Portanto, a coordenada z do centro de massa do sólido é zcm = (16/3) [1/(2-sqrt(2))] a.