Problema 2. Encuentre una función u = u(x, t) que resuelva el siguiente problema con condiciones de frontera y condiciones iniciales:ut...

Este é um problema de valor inicial e de fronteira para a equação da onda unidimensional. Para resolvê-lo, podemos seguir os seguintes passos: a) Encontrar as funções próprias e os valores próprios: As funções próprias são da forma X(x) = sin(nπx), onde n é um número inteiro positivo, e os valores próprios são λn = (nπ/3)^2. b) Escrever a solução geral: A solução geral é dada por u(x,t) = Σn=1^∞ Bn sin(nπx) cos(nπt/3), onde Bn são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais e de fronteira. c) Utilizar as condições iniciais para encontrar os coeficientes de Fourier: Substituindo as condições iniciais na solução geral, obtemos: u(x,0) = Σn=1^∞ Bn sin(nπx) = cos(π/2x) - 10cos(15π/2x) ut(x,0) = Σn=1^∞ Bn sin(nπx) = cos(11π/2x) Podemos encontrar os coeficientes Bn usando a fórmula de Fourier: Bn = (2/1) ∫[0,1] sin(nπx) [cos(π/2x) - 10cos(15π/2x)] dx Bn = (2/1) [(2/π) (1/2) - (2/π) (10/15) (1/30) δn,15] d) Escrever a solução final: Substituindo os coeficientes Bn na solução geral, obtemos: u(x,t) = (4/π) [sin(πx/2) - (10/3) sin(15πx/2)/15] cos(πt/3) + (4/3π) Σn=1^∞ [sin(nπx) / n] cos(nπt/3) Portanto, a solução para o problema é u(x,t) = (4/π) [sin(πx/2) - (10/3) sin(15πx/2)/15] cos(πt/3) + (4/3π) Σn=1^∞ [sin(nπx) / n] cos(nπt/3).