Ao calcular a integral ∫ sec(2t)tg(2t) dt encontraremos a primitiva A) B) X C) D) E)

Para calcular a integral ∫ sec(2t)tg(2t) dt, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir sec(2t) por 1/cos(2t) e tg(2t) por sen(2t)/cos(2t). Assim, a integral se torna: ∫ (1/cos(2t)) * (sen(2t)/cos(2t)) dt Podemos simplificar essa expressão, multiplicando os termos: ∫ (sen(2t))/(cos^2(2t)) dt Agora, fazemos uma nova substituição, u = cos(2t), e, portanto, du = -2sen(2t) dt. A integral se torna: ∫ (-1/2) * (1/u^2) du Simplificando, temos: -1/2 ∫ du/u^2 Integrando, obtemos: -1/2 * (-1/u) + C Simplificando ainda mais, temos: 1/(2u) + C Substituindo de volta u por cos(2t), temos: 1/(2cos(2t)) + C Portanto, a primitiva da integral ∫ sec(2t)tg(2t) dt é 1/(2cos(2t)) + C. A alternativa correta é a letra C.