Exerćıcio 01: Seja a parábola γ(t) = (t, 0, t2), 0 ≤ t ≤ 1. (a) Encontre uma parametrização para a superf́ıcie de revolução S gerada pela rot...

(a) Para encontrar a parametrização da superfície de revolução S gerada pela rotação da parábola γ(t) = (t, 0, t^2) em torno do eixo z, podemos utilizar coordenadas cilíndricas. Seja θ o ângulo de rotação em torno do eixo z. A parametrização da superfície S pode ser dada por: x = r(θ) * cos(θ) y = r(θ) * sin(θ) z = t^2 Onde r(θ) é a função que descreve a distância do ponto (t, 0, t^2) ao eixo z, que é igual a t. Portanto, a parametrização da superfície S é: x = t * cos(θ) y = t * sin(θ) z = t^2 (b) Para encontrar a expressão do vetor normal à superfície S em um ponto genérico, podemos utilizar o operador gradiente. O vetor normal é dado por: N = (∂z/∂t) * (∂x/∂θ) - (∂x/∂t) * (∂z/∂θ) i + (∂z/∂t) * (∂y/∂θ) - (∂y/∂t) * (∂z/∂θ) j + (∂x/∂t) * (∂y/∂θ) - (∂y/∂t) * (∂x/∂θ) k Calculando as derivadas parciais, temos: ∂x/∂t = cos(θ) ∂x/∂θ = -t * sin(θ) ∂y/∂t = sin(θ) ∂y/∂θ = t * cos(θ) ∂z/∂t = 2t ∂z/∂θ = 0 Substituindo esses valores na expressão do vetor normal, temos: N = 2t * (-t * sin(θ)) i + 2t * (t * cos(θ)) j + (cos(θ)) * (sin(θ)) k Portanto, a expressão do vetor normal à superfície S em um ponto genérico é: N = -2t^2 * sin(θ) i + 2t^2 * cos(θ) j + cos(θ) * sin(θ) k